NCERT 11年级数学第2章解决方案：关系与函数

练习 2.1

解决方案

因为有序对相等。因此，两侧对应的元素也必须相等。

x/3 + 1 = 5/3

x/3 = 2/3

x = 2

y - 2/3 = 1/3

y = 1

所以，x = 2 且 y = 1。

2. 如果集合 A 有 3 个元素，集合 B = {3, 4, 5}，求 (A × B) 中的元素个数。

解决方案

集合 A 中的元素个数 = 3

集合 B 中的元素个数 = 3

(A × B) 中的元素个数 = 3 × 3 = 9

所以，A × B 中有 9 个元素。

3. 如果 G = {7, 8} 且 H = {5, 4, 2}，求 G × H 和 H × G。

解决方案

我们知道对于任意两个集合 P 和 Q，笛卡尔积定义为

P × Q = {(p, q): 其中 p ∈ P, q ∈ Q}

因此，

G × H = {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}

H × G = {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}

4. 判断下列陈述是真还是假。如果陈述是假的，请正确地重写该陈述。

1. 如果 P = {m, n} 且 Q = { n, m}，那么 P × Q = {(m, n),(n, m)}。
2. 如果 A 和 B 是非空集合，那么 A × B 是一个非空集合，包含有序对 (x, y)，其中 x ∈ A 且 y ∈ B。
3. 如果 A = {1, 2}, B = {3, 4}，那么 A × (B ∩ φ) = φ。

解决方案

(i) 该陈述是错误的。

正确的陈述是

如果 P = {m, n} 且 Q = {n, m}，那么 P × Q = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}。

(ii) 该陈述是正确的，因为对于任意两个集合 P 和 Q，笛卡尔积定义为

P × Q = {(p, q): 其中 p ∈ P, q ∈ Q}

(iii) 该陈述是正确的，因为 B ∩ φ 是 φ。

5. 如果 A = {-1, 1}，求 A × A × A。

解决方案

A × A × A = {(a, b, c):a, b, c ∈A}

A × A × A = {(-1, -1, -1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (-1, 1, 1), (1, -1, -1), (1, -1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}

6. 如果 A × B = {(a, x),(a , y), (b, x), (b, y)}。求 A 和 B。

解决方案

我们知道对于任意两个集合 P 和 Q，笛卡尔积定义为

P × Q = {(p, q): 其中 p ∈ P, q ∈ Q}。因此，

A 是所有第一个元素组成的集合，B 是所有第二个元素组成的集合。

所以，A = {a, b} 且 B = {x, y}。

7. 令 A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} 且 D = {5, 6, 7, 8}。验证：

(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)。(ii) A × C 是 B × D 的子集。

解决方案

(i) 左侧 = A × (B∩C) = A ×φ =φ

右侧 = (A × B) ∩ (A × C)

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} ∩ {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}

= φ

左侧 = 右侧。已验证。

(ii) A × C = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}

B × D = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}

可以观察到 (A × C) ⊂ (B × D)。

因此，已验证。

8. 令 A = {1, 2} 且 B = {3, 4}。写出 A × B。A × B 有多少个子集？列出它们。

解决方案

我们知道对于任意两个集合 P 和 Q，笛卡尔积定义为

P × Q = {(p, q): 其中 p ∈ P, q ∈ Q}

因此，

A × B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

n[P (A × B)] = 2^{n (A × B)}

= 2⁴ = 16

因此，A × B 有 16 个子集。

P (A × B) = φ, {(1, 3)}, {(1, 4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, {(1, 3), (1, 4)}, {(1, 3), (2, 3)}, {(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}, {(1, 4), (2, 4)}, {(2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}, {(1, 3), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

9. 令 A 和 B 是两个集合，使得 n(A) = 3 且 n(B) = 2。如果 (x, 1), (y, 2), (z, 1) 在 A × B 中，求 A 和 B，其中 x, y 和 z 是不同的元素。

解决方案

我们知道对于任意两个集合 P 和 Q，笛卡尔积定义为

P × Q = {(p, q): 其中 p ∈ P, q ∈ Q}。因此，

A 是所有第一个元素组成的集合，B 是所有第二个元素组成的集合。

所以，A = {x, y, z} 且 B = {1, 2} 因为

10. 笛卡尔积 A × A 有 9 个元素，其中包含 (-1, 0) 和 (0,1)。求集合 A 和 A × A 的其余元素。

解决方案

n (A × A) = n (A) × n (A)

9 = n (A) × n (A)

因此，n (A) = 3。

我们知道对于集合 P，笛卡尔积定义为

P × P = {(p, p): 其中 p ∈ P}。

因为 A × A 中的两个元素是 (-1, 0) 和 (0, 1)。因此，我们可以得出结论 A = {-1, 0, 1}。

因此，A × A 的所有剩余元素是

(-1, -1), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (1, -1), (1, 0), 和 (1, 1)

练习 2.2

1. 令 A = {1, 2, 3,...,14}。定义从 A 到 A 的关系 R 由 R = {(x, y) : 3x - y = 0, 其中 x, y ∈ A}。写出其定义域、余定义域和值域。

解决方案

3x - y = 0

3x = y

因此，R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}

有序对的所有第一个元素将构成 R 的定义域。

R 的定义域 = {1, 2, 3, 4}

R 的余定义域 = A = {1, 2, 3, ..., 14}

有序对的所有第二个元素将构成 R 的定义域。

R 的值域 = {3, 6, 9, 12}

2. 在自然数集合 N 上定义关系 R，其中 R = {(x, y) : y = x + 5, x 是小于 4 的自然数; x, y ∈N}。用列举法描述这种关系。写出定义域和值域。

解决方案

小于 4 的自然数是：1, 2 和 3。

因此，

R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}

有序对的所有第一个元素将构成 R 的定义域。

R 的定义域 = {1, 2, 3}

有序对的所有第二个元素将构成 R 的定义域。

R 的值域 = {6, 7, 8}

3. A = {1, 2, 3, 5} 且 B = {4, 6, 9}。定义从 A 到 B 的关系 R，其中 R = {(x, y): x 和 y 的差是奇数; x ∈ A, y ∈ B}。用列举法写出 R。

解决方案

x 和 y 的差必须是奇数。我们知道两个奇数之差以及两个偶数之差总是偶数。因此，

R = {(1, 4), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)}

4. 图 2.7 显示了集合 P 和 Q 之间的关系。写出该关系

(i) 用集合-描述式 (ii) 用列举法。

其定义域和值域是什么？

解决方案

P = {5, 6, 7} 且 Q = {3, 4, 5}

(i) R = {(x, y): x = y + 2，其中 x ∈ P 且 y ∈ Q}

(ii) R = {(5, 3), (6, 4), (7, 5)}

R 的定义域 = {5, 6, 7} (有序对的第一个元素)

R 的值域 = {3, 4, 5} (有序对的第二个元素)

5. 令 A = {1, 2, 3, 4, 6}。令 R 是定义在 A 上的关系，其中 R = {(a, b): a, b ∈A, b 能被 a 整除}。

1. 用列举法写出 R
2. 求 R 的定义域
3. 求 R 的值域。

解决方案

1. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)}
2. R 的定义域 = {1, 2, 3, 4, 6} (有序对的第一个元素)
3. R 的值域 = {1, 2, 3, 4, 6} (有序对的第二个元素)

6. 确定由 R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} 定义的关系 R 的定义域和值域。

解决方案

R = {(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)}

R 的定义域 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (有序对的第一个元素)

R 的值域 = {5, 6, 7, 8, 9, 10} (有序对的第二个元素)

7. 用列举法写出关系 R = {(x, x³ ) : x 是小于 10 的素数}。

解决方案

小于 10 的素数是：2, 3, 5, 和 7。

因此，R = {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}

8. 令 A = {x, y, z} 且 B = {1, 2}。求从 A 到 B 的关系个数。

解决方案

A 和 B 的笛卡尔积 = A × B

= {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}

n (A × B) = 6

因此，A × B 的子集个数 = 2^{n (A × B)}

= 2⁶ = 64

9. 令 R 是定义在 Z 上的关系 R = {(a,b): a, b ∈ Z, a - b 是整数}。求 R 的定义域和值域。

解决方案

为了使 a - b 为整数，a 也必须为整数。因此，

R 的定义域 = Z

且 R 的值域 = Z

练习 2.3

1. 下列关系哪些是函数？给出理由。如果是函数，确定其定义域和值域。

1. {(2,1), (5,1), (8,1), (11,1), (14,1), (17,1)}
2. {(2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7)}
3. {(1,3), (1,5), (2,5)}.

解决方案

1. 因为给定关系定义域的每个元素都有唯一的像。因此，该关系是一个函数。
2. 因为给定关系定义域的每个元素都有唯一的像。因此，该关系是一个函数。
3. 因为给定关系定义域的元素 1 对应多个像。因此，该关系不是函数。

2. 求下列实函数 (function) 的定义域和值域

(i) f(x) = - |x| (ii) f(x) = √(9 - x²)

解决方案

(i)

已知 f(x) 对 x ∈ R 有定义。因此，R 是给定函数的定义域。

因为 f(x) 的值域是负实数和 0。因此，R 的值域是 (-∞, 0]。

(ii) 因为 f(x) 是实数。因此，

9 - x² ≥ 0

9 ≥ x²

-3 ≤ x ≤ 3

所以，f(x) 的定义域是 {x: -3 ≤ x ≤ 3} 或 [-3, 3]

并且 f(x) 的值域是 {x: 0 ≤ x ≤ 3} 或 [0, 3]，因为对于 -3 ≤ x ≤ 3，f(x) 的值将在 0 和 3 之间。

3. 函数 f 定义为 f(x) = 2x -5。写出下列值：

(i) f (0), (ii) f (7), (iii) f (-3)。

解决方案

(i) f(x) = 2x - 5

f(0) = 2(0) - 5 = -5

(ii) f(x) = 2x - 5

f(7) = 2(7) - 5 = 9

(iii) f(x) = 2x - 5

f(-3) = 2(-3) - 5 = -11

4. 将摄氏温度转换为华氏温度的函数 t 定义为 t(C) = 9C/5 + 32。

Find

(i) t(0) (ii) t(28) (iii) t(-10)

(iv) 当 t(C) = 212 时的 C 值

解决方案

t(C) = 9C/5 + 32

(i) t(0) = 9(0)/5 + 32 = 32

(ii) t(28) = 9(28)/5 + 32

= 412/5

(iii) t(-10) = 9(-10)/5 + 32

= 14

(iv) t(C) = 212

9C/5 + 32 = 212

9C/5 = 180

9C = 900

C = 100

5. 求下列各函数的 R 值域。

1. f (x) = 2 - 3x, x ∈ R, x > 0。
2. f (x) = x² + 2, x 是实数。
3. f (x) = x, x 是实数。

解决方案

(i) f(x) = 2 - 3x, x ∈ R 且 x > 0

x > 0

两边乘以 3

3x > 0

两边乘以 -1

-3x < 0

两边加 2

2 - 3x < 2

f(x) < 2

因此，该函数的 R 值域是 (-∞, 2)

杂项练习

解决方案

f(x) = x² 当 0 ≤ x ≤ 3 时

f(x) = 3x 当 3 ≤ x ≤ 10 时

对于 x = 3

f(x) = x² = 3² = 9

或

f(x) = 3x = 3 × 3 = 9

x = 3 的唯一像是 '9'。

因为 f(x) 的像在 0 ≤ x ≤ 10 保持唯一。因此，关系 f 是一个函数。

g(x) = x² 当 0 ≤ x ≤ 2 时

g(x) = 3x 当 2 ≤ x ≤ 10 时

对于 x = 2

g(x) = x² = 2² = 4

或

g(x) = 3x = 3 × 2 = 6

x = 2 有两个不同的像，分别是 4 和 6。

因为关系 g 的定义域的一个元素对应多个像。因此，关系 g 不是一个函数。

因此，证明完毕。

2. 如果 f (x) = x²，求 (f(1.1) - f(1))/(1.1 - 1)。

解决方案

f(x) = x²

f(1.1) = 1.21

f(1) = 1

(f(1.1) - f(1))/(1.1 - 1) = (1.21 - 1)/0.1

= 0.21/0.1

= 2.1

3. 求函数 f (x) = (x² + 2x + 1)/(x² - 8x + 12) 的定义域。

解决方案

f(x) 的分母 = x² - 8x + 12

= x² - 6x - 2x + 12

= x(x - 6) - 2(x - 6)

= (x - 6)(x - 2)

因此，f(x) 对除 2 和 6 之外的所有实数都有定义，因为这会使分母为零，f(x) 会变得未定义。

所以，f 的定义域 = {2, 6}

4. 求实函数 f 定义为 f (x) = √(x - 1) 的定义域和值域。

解决方案

因为函数 f 是实函数。因此，

√(x - 1) ≥ 0

x - 1 ≥ 0

x ≥ 1

故，

f 的定义域 = [1, ∞)

f 的值域 = [0, ∞) (因为 √(x - 1) ≥ 0)

5. 求实函数 f 定义为 f (x) = |x -1| 的定义域和值域。

解决方案

已知 f(x) = |x - 1| 是一个实函数。

|x - 1| 对所有实数都有定义。

所以，f 的定义域 = R

|x - 1| 总是返回一个非负值。

因此，f 的值域是所有非负实数的集合。

解决方案

显然 x² > 1 + x²。

因此，x²/(1 + x²) 只能大于或等于 0 且小于 1。

所以，0 ≤ x²/(1 + x²) < 1。

因此，f 的值域将是 [0, 1)。

7. 令 f, g : R→R 分别定义为 f(x) = x + 1, g(x) = 2x - 3。求 f + g, f - g 和 f/g。

解决方案

已知函数 f, g :R→R 定义为

f(x) = x + 1 且 g(x) = 2x - 3

因此，

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= (x + 1) + (2x - 3) = 3x - 2

因此，(f + g)(x) = 3x - 2

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

= (x + 1) - (2x - 3) = x + 1 - 2x + 3

= 4 - x

因此，(f - g)(x) = 4 - x

f/g(x) = f(x)/g(x)，其中 g(x) ≠ 0 且 x 是实数

= (x + 1)/ (2x - 3)，其中 2x - 3 ≠ 0 且 x 是实数

= (x + 1)/ (2x - 3)，其中 2x ≠ 3 且 x 是实数

= (x + 1)/ (2x - 3)，其中 x ≠ 3/2 且 x 是实数

因此，f/g(x) = (x + 1)/ (2x - 3)，其中 x ≠ 3/2 且 x 是实数

8. 令 f = {(1,1), (2,3), (0,-1), (-1, -3)} 是从 Z 到 Z 的函数，定义为 f(x) = ax + b，其中 a, b 为某些整数。确定 a, b。

解决方案

已知

f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)}

且此函数定义为 f(x) = ax + b

现在，因为 (1, 1) ∈ f。因此，

f(1) = 1

a(1) + b = 1

a + b = 1

a = 1 - b

另外，因为 (2, 3) ∈ f。因此，

f(2) = 3

a(2) + b = 3

2a + b = 3

将 a = 1 - b 代入上式

2(1 - b) + b = 3

2 - 2b + b = 3

2 - b = 3

-b = 1

b = -1

所以，a = 1 - b = 1 - (-1) => a = 2

因此，a = 2 且 b = -1。

9. 令 R 是从 N 到 N 的关系，定义为 R = {(a, b) : a, b ∈N 且 a = b² }。下列说法是否正确？

(i) 对于所有 a ∈ N，都有 (a,a) ∈ R (ii) 如果 (a,b) ∈ R，则 (b,a) ∈ R

(iii) 如果 (a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R，则 (a,c) ∈ R。

解决方案

(i) 给出的陈述是错误的。

a = a² 仅当 a ∈ N 且 a = 1 时才成立。

对于任何大于 1 的自然数，a ≠ a²。例如，如果 a = 2

左侧 = 2

右侧 = 2² = 4

LHS ≠ RHS

(ii) 给出的陈述是错误的。

如果 a = b²，那么 b = a² 仅当 a, b ∈ N 且 a = 1, b = 1 时才成立。

对于任何大于 1 的自然数，b ≠ a²。例如，如果 a = 4 且 b = 2

a = b²，因为 4 = 2²

b = 2

a² = 4² = 16

b ≠ a²

(iii) 给出的陈述是错误的。

a = b² 且 b = c² 意味着 a = c²。

当 a, b, c ∈ N 且 a = 1, b = 1, c = 1 时，此陈述才成立。

对于任何大于 1 的自然数，a ≠ c²。例如，如果 a = 16, b = 4 且 c = 2

a = b²，因为 16 = 4²

b = c²，因为 4 = 2²

但是，a ≠ c²，因为 16 ≠ 2²

10. 令 A ={1,2,3,4}, B = {1,5,9,11,15,16} 且 f = {(1,5), (2,9), (3,1), (4,5), (2,11)}。下列说法是否正确？

(i) f 是从 A 到 B 的关系 (ii) f 是从 A 到 B 的函数。

请在每种情况下论证。

解决方案

A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 5, 9, 11, 15, 16}

A 和 B 的笛卡尔积 = A × B

= {(1, 1), (1, 5), (1, 9), (1, 11), (1, 15), (1, 16), (2, 1), (2, 5), (2, 9), (2, 11), (2, 15), (2, 16), (3, 1), (3, 5), (3, 9), (3, 11), (3, 15), (3, 16), (4, 1), (4, 5), (4, 9), (4, 11), (4, 15), (4, 16)}

(i) f = {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}

可以观察到 f 是 A × B 的子集。

我们知道，如果 A 和 B 是非空集合，那么从 A 到 B 的关系总是它们笛卡尔积 A × B 的子集。

因此，我们可以得出结论，给定的陈述是正确的。

(ii) 可以观察到相同的第一个元素对应多个不同的像。因此，我们可以得出结论，给定的陈述是错误的。

11. 令 f 是 Z × Z 的子集，定义为 f = {(ab, a + b) : a, b ∈ Z}。f 是从 Z 到 Z 的函数吗？论证。

解决方案

已知 f 定义为 f = {(ab, a + b): a, b ∈ Z}

f 不是从 Z 到 Z 的函数。如果我们取四个整数：1, 2, -1, -2，那么

(1 × 2, 1 + 2) ∈ f

(2, 3) ∈ f 并且

(-1 × (-2), -1 - 2) ∈ f

(2, -3) ∈ f

第一个元素 2 对应多个不同的像。因此，f 不是函数。

12. 令 A = {9,10,11,12,13} 且令 f : A→N 定义为 f (n) = n 的最高质因数。求 f 的值域。

解决方案

已知 A = {9, 10, 11, 12, 13} 且 f: A → N 定义为 f(n) = n 的最高质因数。

对于 A 中的每个元素

f(9) = 3

f(10) = 5

f(11) = 11

f(12) = 3

f(13) = 13

因此，f 的值域是 {3, 5, 11, 13}