NCERT 10年级数学第2章 解决方案：多项式

练习 2.1

1. 如图2.10所示，给出了某些多项式p(x)的y = p(x)的图像。在每种情况下，找出p(x)的零点的数量。

解决方案

我们可以通过计算图与X轴的交点数量来找到p(x)的零点数量。应用此知识，我们可以得出以下图具有以下零点数量：

1. 零个零点
2. 一个零点
3. 三个零点
4. 两个零点
5. 四个零点
6. 三个零点

2. 求下列二次多项式的零点，并验证零点与系数之间的关系。

1. x² - 2x - 8
2. 4s² - 4s + 1
3. 6x² - 3 - 7x
4. 4u² + 8u
5. t² - 15
6. 3x² - x - 4

解决方案

因此，给定的多项式有两个零点。

验证

II.

因此，给定的多项式有两个零点。

验证

III.

因此，给定的多项式有两个零点。

验证

IV.

因此，给定的多项式有两个零点。

验证

V.

因此，给定的多项式有两个零点。

验证

VI.

因此，给定的多项式有两个零点。

验证

3. 分别以给定的和与积作为零点之和与零点之积的二次多项式。

1. 1/4 , -1
2. √2, 1/3
3. 0, √5
4. 1, 1
5. -1/4, 1/4
6. 4, 1

解决方案

练习 2.3

1. 用多项式g(x)除以多项式p(x)，并在每种情况下找出商和余数。

1. p(x) = x³ - 3x² + 5x - 3, g(x) = x² - 2
2. p(x) = x⁴ - 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 - x
3. p(x) = x⁴ - 5x + 6, g(x) = 2 - x²

解决方案

2. 通过将第二个多项式除以第一个多项式，检查第一个多项式是否是第二个多项式的因式。

1. t² - 3, 2t⁴ + 3t³ - 2t² - 9t - 12
2. x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ - 7x² + 2x + 2
3. x³ - 3x + 1, x⁵ - 4x³ + x² + 3x + 1

解决方案

因为余数为零。

因此，第一个多项式是第二个多项式的因式。

因为余数为零。

因此，第一个多项式是第二个多项式的因式。

因为余数不为零。

因此，第一个多项式不是第二个多项式的因式。

解决方案

将两个零点代入 (x - a)(x - b)

现在，1/3 和 3x² - 5 都是给定多项式的因式。如果我们将 3x² - 5 除以给定的多项式，我们会得到

因此，

3x⁴ + 6x³ - 2x² - 10x - 5 = (3x² - 5) (x² + 2x + 1)

= (3x² - 5) [(x² + x + x + 1)]

= (3x² - 5) [x(x + 1) + 1(x + 1)]

= (3x² - 5) (x + 1) (x + 1)

当 (x + 1) = 0 时，x = -1，当 (x + 1) = 0 时，x = -1。

因此，给定多项式的另外两个零点是 -1 和 -1。

4. 用多项式 g(x) 除以 x³ - 3x² + x + 2，得到的商和余数分别为 x - 2 和 -2x + 4。求 g(x)。

解决方案

我们知道：

p(x) = g(x) × 商 + 余数

因此，

x³ - 3x² + x + 2 = g(x) × (x - 2) + (-2x + 4)

x³ - 3x² + x + 2 + 2x - 4 = g(x) × (x - 2)

x³ - 3x² + 3x - 2 = g(x) × (x - 2)

将 x - 2 除以 x³ - 3x² + 3x - 2，得到

5. 给出满足除法算法的多项式 p(x), g(x), q(x) 和 r(x) 的示例，并且

1. deg p(x) = deg q(x)
2. deg q(x) = deg r(x)
3. deg r(x) = 0

解决方案

I. p(x) = 8x² + 4x + 2

q(x) = 4x² + 2x + 1

g(x) = 2

r(x) = 0

II. p(x) = x³ - 3x² + 5x - 3

q(x) = x - 3

g(x) = x² - 2

r(x) = 7x - 9

III. p(x) = x³ - x² + 2x + 3

q(x) = x - 1

g(x) = x² + 2

r(x) = 5

练习 2.4 (可选)

1. 验证给出的数字是三个项多项式的零点。在每种情况下，还验证零点与系数之间的关系。

1. 2x³ + x² - 5x + 2; 1/2 , 1, - 2
2. x³ - 4x² + 5x - 2; 2, 1, 1

解决方案

I. 将给定多项式与 p(x) = ax3 + bx2 + cx + d 进行比较，我们得到

a = 2, b = 1, c = -5, d = 2

现在，我们将通过将它们替换为 x 来检查给定的数字是否是给定多项式的零点。

因此，给定的数字是给定多项式的零点。

II. 将给定多项式与 p(x) = ax3 + bx2 + cx + d 进行比较，我们得到

a = 1 , b = -4, c = 5, d = -2

现在，我们将通过将它们替换为 x 来检查给定的数字是否是给定多项式的零点。

因此，给定的数字是给定多项式的零点。

2. 求一个三次多项式，其零点之和、两两配对的零点之积之和以及零点之积分别为 2、-7 和 -14。

解决方案

3. 如果多项式 x³ - 3x² + x + 1 的零点是 a - b, a, a + b，求 a 和 b。

解决方案

将给定多项式与 Ax³ + Bx² + Cx + D 进行比较，我们得到

A = 1, B = -3, C = 1, D = 1

4. 如果多项式 x⁴ - 6x³ - 26x² + 138x - 35 的两个零点是 2 � √3，求其他零点。

解决方案

将两个零点代入 (x - a) (x - b)

现在，x² - 4x + 1 是给定多项式的因式。如果我们将 x² - 4x + 1 除以给定多项式，我们得到

因此，

x⁴ - 6x³ - 26x² + 138x - 35 = (x² - 4x + 1) (x² -� 2x - 35)

= (x² - 4x + 1) (x² - 7x + 5x - 35)

= (x² - 4x + 1) {x(x - 7) + 5(x - 7)}

= (x² - 4x + 1) (x - 7) (x + 5)

因此，另外两个零点是 7 和 -5。

5. 如果多项式 x⁴ - 6x³ + 16x² - 25x + 10 除以另一个多项式 x² - 2x + k，余数是 x + a，求 k 和 a。

解决方案

首先，我们需要将 x⁴ - 6x³ + 16x² - 25x + 10 除以 x² - 2x + k，并找出余数。

通过比较系数，我们得到两个方程

第一个方程 -

第二个方程 -

代入 k = 5

因此，k = 5 且 a = -5。