11 年级数学 第 7 章：排列组合的 NCERT 解决方案

练习 7.1

1. 假设以下条件，可以从数字 1, 2, 3, 4 和 5 中组成多少个三位数？

1. 数字可以重复使用？
2. 数字不可重复使用？

解决方案

设 A 为三位数的百位数字，B 为十位数字，C 为个位数字。

(i) 由于允许重复，因此 A、B 和 C 都可以是 5 个可用数字中的任意一个。

因此，可以组成的三位数总数为 = 5 × 5 × 5

= 125

(i) 由于不允许重复，因此，如果 C 占用了 5 个可用数字中的一个，那么 B 必须是 4 个可用数字中的一个。同样，当 B 占用了剩余 4 个数字中的一个时，A 必须是 3 个可用数字中的一个。

因此，可以组成的三位数总数为 = 5 × 4 × 3

= 60

2. 如果数字可以重复使用，那么从数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 中可以组成多少个三位偶数？

解决方案

设 A 为三位数的百位数字，B 为十位数字，C 为个位数字。

为了使数字 ABC 为偶数，个位数字必须是偶数。

这意味着 C 必须是 2、4 或 6 中的一个。因此，C 可以是 3 个可能的数字之一。

由于允许重复，因此 A 和 B 都可以是给定的 6 个数字中的任意一个。

因此，可以组成的三位偶数总数为 = 6 × 6 × 3

= 108

3. 如果不允许重复使用字母，则使用英语字母表的前 10 个字母可以组成多少个 4 字母的代码？

解决方案

设有一个 4 字母代码 αβγδ。

由于不允许重复，因此，如果 α 占用了 10 个可用字母中的一个，那么 β 必须是剩余 9 个中的一个。同样，当 β 占用了 9 个可用字母中的一个时，γ 必须是剩余 8 个中的一个；当 γ 占用了 8 个可用字母中的一个时，δ 必须是剩余 7 个中的一个。

因此，可能的 4 字母代码总数为 = 10 × 9 × 8 × 7

= 5040

4. 如果每个数字的出现次数不超过一次，如何使用数字 0 到 9 构建 5 位电话号码，其中每个号码都以 67 开头？

解决方案

设 5 位电话号码为 ABCDE，其中 AB 固定为 67，C 为百位数字，D 为十位数字，E 为个位数字。

6 和 7 已经使用过一次，不能再次出现，因此剩余 8 个数字可用于号码的其余部分。

由于不允许重复，因此，如果 C 占用了 8 个可用数字中的一个，那么 D 必须是剩余 7 个中的一个。同样，当 D 必须是 7 个可用数字中的一个时，E 必须是剩余 6 个中的一个。

因此，可以构建的 5 位电话号码总数为 = 1 × 1 × 8 × 7 × 6

= 336

5. 抛掷一枚硬币 3 次并记录结果。有多少种可能的结果？

解决方案

当抛掷一枚硬币时，它有 2 种可能的结果——正面或反面。

当一枚硬币抛掷 3 次时，每次抛掷都有可能显示这两种结果中的一种。

因此，可能的结果总数为 = 2 × 2 × 2 = 8

6. 给出 5 种不同颜色的旗帜，如果每个信号需要使用 2 面旗帜（一面在另一面下方），可以生成多少种不同的信号？

解决方案

上面的旗帜可以是 5 种可用颜色中的任何一种。

由于不允许重复，因此下面的旗帜可以使用剩余 4 种颜色中的任何一种。

因此，可以生成的信号总数为 = 5 × 4 = 20

练习 7.2

1. 计算

(i) 8 ! (ii) 4 ! - 3 !

解决方案

(i) 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 40320

(ii) 我们知道

4! = 4 × 3 × 2 × 1

可以写成 4 × 3!

因此，

4! - 3! = 4 × 3! - 3!

= 3! × (4 - 1)

= 3 × 2 × 1 × (3)

= 18

2. 3 ! + 4 ! = 7 ! 吗？

解决方案

LHS = 3! + 4! = 3! + 4 × 3!

= 3! × (4 + 1)

= 5 × 3!

RHS = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3!

= 7 × 6 × 4 × (5 × 3!)

显然，7! > 3! + 4!。

LHS ≠ RHS

因此，3! + 4! ≠ 7!

3. 计算 8!/(6! × 2!)

解决方案

8!/(6! × 2!)

= (8 × 7 × 6!)/(6! × 2 × 1)

= (8 × 7)/2

= 4 × 7 = 28

4. 如果 1/6! + 1/7! = x/8!，求 x。

解决方案

LHS = 1/6! + 1/7!

= 1/6! + 1/(7 × 6!)

= 1/6! × (1 + 1/7)

= 1/6! × (7 + 1)/7

= 1/6! × 8/7

= 8/(7 × 6!)

= 8/7!

现在，

8/7! = x/8!

8/7! = x/(8 × 7!)

8 = x/8

x = 64

5. 求值，当

(i) n = 6, r = 2 (ii) n = 9, r = 5

解决方案

(i) 当 n = 6 且 r = 2 时，

n!/(n - r)! = 6!/(6 - 2)!

= 6!/4!

= (6 × 5 × 4!)/4!

= 6 × 5 = 30

(ii) 当 n = 9 且 r = 5 时，

n!/(n - r)! = 9!/(9 - 5)!

= 9!/4!

= (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/4!

= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 151200

练习 7.3

1. 如果不重复使用数字，则使用数字 1 到 9 可以组成多少个三位数？

解决方案

可能的数字总数 = 9 = n

该数字需要有 3 位。因此，r = 3

规定不允许重复，因此，

从 1 到 9 的三位数数量（无重复）

= 可能的排列数 = ⁿP_r = n!/(n - r)!

⁹P₃= 9!/(9 - 3)!

= 9 × 8 × 7 × 6!/6! = 504

2. 有多少个不重复数字的四位数？

千位数字不能为 0，否则将成为一个三位数。因此，千位数字只能有 9 个可能的数字（1 到 9）。

剩余 3 位数字的可能数字数量 = 9 = n

我们需要从剩余的 9 个数字中选择 3 个。因此，r = 3

规定不允许重复，因此，

无重复的四位数数量

= 9 × 可能的排列数 = 9 × ⁿP_r = 9 × n!/(n - r)!

9 × ⁹P₃= 9 × 9!/(9 - 3)!

= 9 × 9 × 8 × 7 × 6!/6! = 4536

3. 使用数字 1, 2, 3, 4, 6, 7，如果不重复使用数字，可以形成多少个三位偶数？

解决方案

为了使数字为偶数，个位数字必须是 2、4 或 6 之一。

由于不允许重复，剩余数字数量 = 5

数字的剩余两位可以有 ⁵P₂ 种方式形成。

⁵P₂ = 5!/(5 - 2)!

= 5 × 4 × 3!/3! = 20

给定数字的可能三位偶数总数 = 3 × ⁵P₂ = 3 × 20 = 60

4. 找出使用数字 1, 2, 3, 4, 5 可以形成多少个四位数，如果不重复使用数字。其中有多少是偶数？

解决方案

可用数字总数 = 5

无重复的四位数数量 = ⁵P₄= 5!/(5 - 4)!

= 5 × 4 × 3 × 2 × 1/1! = 120

为了使数字为偶数，个位数字必须是 2 或 4。

由于不允许重复，剩余数字数量 = 4

数字的剩余三位可以有 ⁴P₃ 种方式形成。

⁴P₃ = 4!/(4 - 3)!

= 4 × 3 × 2 × 1/1! = 24

无重复的偶数四位数数量 = 2 × ⁴P₃ = 2 × 24 = 48

5. 从 8 人组成的委员会中，有多少种方式可以选择一位主席和一位副主席，假设一个人不能担任多个职位？

解决方案

主席和副主席的总可能候选人 = n = 8

要选择的人数 = r = 2

选择主席和副主席的总方式数 = 排列数

ⁿP_r = ⁸P₂ = 8!/(8 - 2)!

= 8 × 7 × 6!/6!

= 56

6. 如果 ^{n - 1}P₃ : ⁿP₄ = 1 : 9，则求 n。

解决方案

^{n - 1}P₃ = (n - 1)!/(n - 1 - 3)!

= (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × (n - 4)!/(n - 4)!

= (n - 1)(n - 2)(n - 3)

ⁿP₄ = n!/(n - 4)!

= n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × (n - 4)!/(n - 4)!

= n(n - 1)(n - 2)

现在，^{n - 1}P₃/ ⁿP₄ = 1/9

(n - 1)(n - 2)(n - 3)/n(n - 1)(n - 2)(n - 3) = 1/9

1/n = 1/9

n = 9

7. 求 r，如果

(i) ⁵P_r = 2 ⁶P_{r - 1} (ii) ⁵P_r = ⁶P_{r - 1}

解决方案

(i) ⁵P_r = 2 ⁶P_{r - 1}

5!/(5 - r)! = 2 × (6!/(6 - r + 1)!)

5!/-(r - 5)! = 2 × (6!/-(r - 7)!)

5!/(r - 5)! = 2 × 6!/(r - 7)!

(r - 7)!/(r - 5)! = 2 × 6!/5!

(r - 7) × (r - 6) × (r - 5)!/(r - 5)! = 2 × 6 × 5!/5!

(r - 7)(r - 6) = 12

r² - 7r - 6r + 42 = 12

r² - 13r + 30 = 0

r² - 10r - 3r + 30 = 0

r(r - 10) - 3(r - 10) = 0

(r - 10)(r - 3) = 0

当 (r - 10) = 0 时，r = 10

或

当 (r - 3) = 0 时，r = 3

但是，r = 10 在 ⁵P_r 中大于 n = 5，因此不可能。所以 r = 10 被拒绝。

因此，r = 3。

(ii)

⁵P_r = ⁶P_{r - 1}

5!/(5 - r)! = (6!/(6 - r + 1)!)

5!/-(r - 5)! = (6!/-(r - 7)!)

5!/(r - 5)! = 6!/(r - 7)!

(r - 7)!/(r - 5)! = 6!/5!

(r - 7) × (r - 6) × (r - 5)!/(r - 5)! = 6 × 5!/5!

(r - 7)(r - 6) = 6

r² - 7r - 6r + 42 = 6

r² - 13r + 36 = 0

r² - 9r - 4r + 36 = 0

r(r - 9) - 4(r - 9) = 0

(r - 9)(r - 4) = 0

当 (r - 9) = 0 时，r = 9

或

当 (r - 4) = 0 时，r = 4

但是，r = 9 在 ⁵P_r 中大于 n = 5，因此不可能。所以 r = 9 被拒绝。

因此，r = 4。

8. 使用单词 EQUATION 的所有字母，不考虑有意义与否，每个字母使用一次，可以形成多少个单词？

解决方案

单词 EQUATION 中的唯一字母 = {E, Q, U, A, T, I, O, N} = 8 个字母

用于构成单词的字母数量 = 8

可能的单词总数 = 总排列数

ⁿP_r = ⁸P₈ = 8!/(8 - 8)! = 8!/0! = 8! = 40320

9. 使用单词 MONDAY 的字母，如果不重复使用任何字母，可以形成多少个有意义或无意义的单词，如果。

1. 一次使用 4 个字母，
2. 一次使用所有字母，
3. 使用所有字母，但第一个字母是元音？

解决方案

单词 MONDAY 中的唯一字母 = {M, O, N, D, A, Y} = 6 个字母

(i) 用于构成单词的字母数量 = 4

可能的排列数 = ⁶P₄ = 6!/(6 - 4)!

= 6!/2! = 720/2 = 360

(ii) 用于构成单词的字母数量 = 6

可能的排列数 = ⁶P₆ = 6!/(6 - 6)!

= 6!/0! = 720

(iii) 第一个字母固定为元音，即只能是 O 或 A，因此第一个字母可以有 2 种选择方式。

要使用的剩余字母数量 = 5

用于构成单词的字母数量 = 5

可能的排列数 = ⁵P₅ = 5!/(5 - 5)!

= 5!/0! = 120

可能的单词数量 = 2 × 180 = 240

10. 在单词 MISSISSIPPI 的所有不同排列中，四个 I 不在一起的情况有多少种？

解决方案

单词 MISSISSIPPI 中的字母总数 = 11

唯一字母 = {M, I, S, P}

M 出现一次，I 出现四次，S 出现四次，P 出现两次。

不同排列的数量 = 11!/(1!4!4!2!)

= 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!/(4! × 4! × 2)

= 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5/(48)

= 34650

如果四个 I 总是在一起，它们可以被视为一个字母，其位置会影响排列。因此，剩余字母数量 = 11 - 4 + 1 = 8

四个 I 在一起的排列数量 = 8!/1!4!2! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4!/(4! × 2)

= 840

因此，四个 I 不在一起的排列总数 = 34650 - 840

= 33810

11. 如果单词 PERMUTATIONS 的字母排列，并且

1. 单词以 P 开头，以 S 结尾，
2. 元音在一起，
3. P 和 S 之间总是有 4 个字母？

解决方案

单词 PERMUTATIONS 中的唯一字母 = {P, E, R, M, U, T, A, I, O, N, S} = 11 个字母

(i) 单词 PERMUTATIONS 中的字母总数 = 12，其中 T 出现两次

如果 P 和 S 固定为第一个和最后一个字母，则剩余字母数量

= 12 - 2 = 10

剩余 10 个字母的排列数量 = ¹⁰P₁₀

P 和 S 固定时的总排列数 = ¹⁰P₁₀/2!

= 10!/2(10 - 10)! = 10!/2(0!)

= 1814400

(ii) 单词 PERMUTATIONS 中的元音数量 = {A, E, I, O, U} = 5 个字母

如果五个元音总是在一起，它们可以被视为一个字母，其位置会影响排列。因此，剩余字母数量 = 12 - 5 + 1 = 8

排列数量 = ⁸P₈/2!

= 8!/2(8 - 8)!

= 8!/2(0!)

= 20160

(iii) 单词 PERMUTATIONS 中有 12 个字母位置

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

由于 P 和 S 之间需要有 4 个字母。因此，P 和 S 的可能位置分别是 1 和 6、2 和 7、3 和 8、4 和 9、5 和 10、6 和 11、7 和 12。

因此，有 7 种可能的方式来放置 P 和 S，使它们之间有 4 个字母。

P 和 S 也可以在这些位置上交换，因此排列 P 和 S 的总可能方式 = 2 × 7 = 14

剩余字母 = 12 - 2 = 10

剩余字母的排列数量 = ¹⁰P₁₀/2!

= 10!/2(10 - 10)! = 10!/2(0!)

= 1814400

总排列数 = 1814400 × 14 = 25401600

练习 7.4

1. 如果 ⁿC₈ = ⁿC₂，则求 ⁿC₂。

解决方案

我们知道当 ⁿC_r = ⁿC_p 时，r = p 或 r = n - p

ⁿC₈ = ⁿC₂ (已知)

所以，8 = n - 2

n = 10

因此，

ⁿC₂ = ¹⁰C₂ = 10!/(2!(10 - 2)!)

= 10!/2(8!)

= 10 × 9 × 8!/(2 × 8!)

= 45

2. 确定 n，如果

(i) ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 12 : 1 (ii) ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 11 : 1

解决方案

(i) ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 12 : 1

²ⁿC₃/ⁿC₃ = 12/1

²ⁿC₃ = 12 × ⁿC₃

2n!/3!(2n - 3)! = 12 × n!/3!(n - 3)!

2n × (2n - 1) × (2n - 2) × (2n - 3)!/3!(2n - 3)! = 12 × n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3)!/3!(n - 3)!

2n × (2n - 1) × 2(n - 1) = 12 × n × (n - 1) × (n - 2)

2(2n - 1) = 6 × (n - 2)

4n - 2 = 6n - 12

0 = 2n - 10

2n = 10

n = 5

(ii) ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 11 : 1

²ⁿC₃/ⁿC₃ = 11/1

²ⁿC₃ = 11 × ⁿC₃

2n!/3!(2n - 3)! = 11 × n!/3!(n - 3)!

2n × (2n - 1) × (2n - 2) × (2n - 3)!/3!(2n - 3)! = 11 × n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3)!/3!(n - 3)!

2n × (2n - 1) × 2(n - 1) = 11 × n × (n - 1) × (n - 2)

4(2n - 1) = 11 × (n - 2)

8n - 4 = 11n - 22

0 = 3n - 18

3n = 18

n = 6

3. 在圆上 21 个点上可以画出多少条弦？

解决方案

我们知道弦可以通过连接圆上的 2 个点来画出。因此，

通过 21 个点可以画出的弦的数量 = ²¹C₂ = 21!/2!(21 - 2)!

= 21!/(2 × 19!)

= 21 × 20 × 19!/(2 × 19!)

= 210

可以画出的弦的总数是 210。

4. 如果从 5 个男孩和 4 个女孩中选择一个由 3 个男孩和 3 个女孩组成的团队，有多少种方式？

解决方案

男孩数量 = 5

要选择的男孩数量 = 3

从 5 个男孩中选择 3 个男孩的方式数 = ⁵C₃

女孩数量 = 4

要选择的女孩数量 = 3

从 4 个女孩中选择 3 个女孩的方式数 = ⁴C₃

选择团队的总方式数 = ⁵C₃× ⁴C₃

= 5!/3!(5 - 3)! × 4!/3!(4 - 3)!

= 5!/3!2! × 4!/3!1!

= 5 × 4 × 3!/(3! × 2) × 4 × 3!/3!

= 10 × 4 = 40

因此，从 5 个男孩和 4 个女孩中选择一个由 3 个男孩和 3 个女孩组成的团队的总方式数 = 40

5. 如果每个选择都由每种颜色的 3 个球组成，那么从 6 个红球、5 个白球和 5 个蓝球中选择 9 个球有多少种方式？

解决方案

每种颜色要选择的球数 = 3

从 6 个红球中选择 3 个红球的方式数 = ⁶C₃

从 5 个白球中选择 3 个白球的方式数 = ⁵C₃

从 5 个蓝球中选择 3 个蓝球的方式数 = ⁵C₃

选择球的总方式数 = ⁶C₃ ×⁵C₃× ⁵C₃

= 6!/3!(6 - 3)! × 5!/3!(5 - 3)! × 5!/3!(5 - 3)!

= 6!/3!3! × 5!/3!2! × 5!/3!2!

= 6 × 5 × 4 × 3!/3!3! × 5 × 4 × 3!/(3! × 2) × 5 × 4 × 3!/(3! × 2)

= 6 × 5 × 4/(3 × 2) × 5 × 4/2 × 5 × 4/2

= 20 × 10 × 10

= 2000

因此，从 6 个红球、5 个白球和 5 个蓝球中选择 9 个球，其中每个选择包含每种颜色的 3 个球的总方式数 = 2000

6. 确定从 52 张牌组成的牌库中选择 5 张牌的组合数量，如果每种组合恰好有 1 张 A。

解决方案

我们知道一副 52 张牌有 4 张 A。因此，从 4 张 A 中选择 1 张 A 的方式数

= ⁴C₁

牌库中剩余的牌数 = 52 - 4 = 48

要选择的剩余牌数 = 5 - 1 = 4

从 48 张牌中选择 4 张牌的方式数 = ⁴⁸C₄

选择给定牌组合的总方式数 = ⁴C₁ × ⁴⁸C₄

= 4!/1!(4 - 1)! × 48!/4!(48 - 4)!

= 4!/3! × 48!/4!44!

= 4 × 3!/3! × 48 × 47 × 46 × 45 × 44!/4!44!

= 4 × 48 × 47 × 46 × 45/24

= 778320

因此，从 52 张牌组成的牌库中选择 5 张牌的组合，如果每种组合恰好有 1 张 A 的总方式数 = 778320

7. 在一个包含 17 名球员的板球队中，需要选择 11 名球员，其中只有 5 名球员会投球，如果每支 11 人的板球队必须包含恰好 4 名投球手，有多少种方式？

解决方案

球队中有 5 名球员会投球，我们需要为 11 人的球队选择 4 名投球手。

从 5 名投球手中选择 4 名投球手的方式数 = ⁵C₄

剩余球员 = 17 - 5 = 12

球队中剩余的位置数 = 11 - 4 = 7

从 12 名球员中选择 7 名球员的方式数 = ¹²C₇

选择球队的总方式数 = ⁵C₄ × ¹²C₇

= 5!/4!(5 - 4)! × 12!/7!(12 - 7)!

= 5!/4!1! × 12!/7!5!

= 1/4! × 12!/7!

= 1/24 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7!/7!

= 1/24 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8

= 3960

因此，从 17 名球员中选择一支由恰好 4 名投球手组成的 11 人板球队的总方式数 = 3960

8. 一个袋子里有 5 个黑球和 6 个红球。确定选择 2 个黑球和 3 个红球的方式数。

解决方案

黑球数量 = 5

要选择的黑球数量 = 2

从 5 个黑球中选择 2 个黑球的方式数 = ⁵C₂

红球数量 = 6

要选择的红球数量 = 3

从 6 个红球中选择 3 个红球的方式数 = ⁶C₃

选择球的总方式数 = ⁵C₂× ⁶C₃

= 5!/2!(5 - 2)! × 6!/3!(6 - 3)!

= 5!/2!3! × 6!/3!3!

= 5 × 4 × 3!/(2 × 3!) × 6 × 5 × 4 × 3!/3!3!

= 5 × 4/2 × 6 × 5 × 4/(3 × 2)

= 200

因此，从 5 个黑球和 6 个红球中选择 2 个黑球和 3 个红球的总方式数 = 200

9. 如果有 9 门课程可供选择，并且有 2 门特定课程是每个学生都必须选修的，那么学生可以选择 5 门课程的课程有哪些方式？

解决方案

总可用课程 = 9

有 2 门课程是每个学生都必须选修的。所以，

剩余可用课程 = 9 - 2 = 7

要选择的剩余课程 = 5 - 2 = 3

从 7 门课程中选择 3 门课程的方式数 = ⁷C₃ = 7!/3!(7 - 3)!

= 7!/3!4!

= 7 × 6 × 5 × 4!/3!4!

= 7 × 6 × 5/(3 × 2)

= 35

因此，当 2 门特定课程是必修课时，从 9 门课程中选择 5 门课程的总方式数 = 35

杂项练习

1. 使用单词 DAUGHTER 的字母，可以形成多少个包含 2 个元音和 3 个辅音（有意义或无意义）的单词？

解决方案

单词 DAUGHTER 中的元音 = {A, U, E} = 3

单词 DAUGHTER 中的辅音 = {D, G, H, T, R} = 5

要选择的元音数量 = 2

从 3 个元音中选择 2 个元音的方式数 = ³C₂ = 3!/2!(3 - 2)!

= 3!/2!1!

= 3 × 2!/2! = 3

要选择的辅音数量 = 3

从 5 个辅音中选择 3 个辅音的方式数 = ⁵C₃

选择构成单词的字母的方式数 = ³C₂ × ⁵C₃

= 3!/2!(3 - 2)! × 5!/3!(5 - 3)!

= 3!/2!1! × 5!/3!2!

= 3 × 2!/2! × 5 × 4 × 3!/3!2!

= 3 × 10

= 30

因此，我们有 2 个元音 + 3 个辅音 = 5 个字母可以排列并构成单词。

排列数量 = ⁵P₅ = 5!/(5 - 5)! = 5!/0! = 120

因此，从单词 DAUGHTER 中可以形成的包含 2 个元音和 3 个辅音的单词总数 = 30 × 120 = 3600

2. 使用单词 EQUATION 的所有字母一次，可以形成多少个有意义或无意义的单词，使得元音和辅音在一起？

解决方案

单词 EQUATION 中的元音 = {E, U, A, I, O} = 5

单词 EQUATION 中的辅音 = {Q, T, N} = 3

排列 5 个元音的排列数量 = ⁵P₅

= 5!/(5 - 5)! = 5!/0! = 120

排列 3 个辅音的排列数量 = ³P₃

= 3!/(3 - 3)! = 3!/0! = 6

当元音和辅音在一起时，要么元音先出现，要么辅音先出现，因此我们有两种排列方式。

因此，当元音和辅音在一起时，从单词 EQUATION 形成的单词总数 = 2 × 6 × 120 = 1440

3. 要从 9 个男孩和 4 个女孩中组成一个 7 人的委员会。当委员会由以下组成时，有多少种方法可以做到：

(i) 恰好 3 个女孩？ (ii) 至少 3 个女孩？ (iii) 最多 3 个女孩？

解决方案

(i) 从 4 个女孩中选择 3 个女孩的方式数 = ⁴C₃ = 4!/3!(4 - 3)!

= 4!/3!1!

= 4 × 3!/3! = 4

需要选择的剩余委员会成员数量 = 7 - 3 = 4

从 9 个男孩中选择 4 个男孩的方式数 = ⁹C₄ = 9!/4!(9 - 4)!

= 9!/4!5!

= 9 × 8 × 7 × 6 × 5!/4!5!

= 9 × 8 × 7 × 6/(4 × 3 × 2)

= 126

组成恰好有 3 个女孩的委员会的总方式数 = 4 × 126 = 504

(ii) 由于委员会需要至少有 3 个女孩，并且我们是从 4 个女孩中选择，因此可以有 3 个女孩和 4 个男孩，或者 4 个女孩和 3 个男孩。

当委员会由 3 个女孩和 4 个男孩组成时，与 (i) 中相同。

当委员会由 4 个女孩和 3 个男孩组成时

从 4 个女孩中选择 4 个女孩的方式数只有 1 种。

从 9 个男孩中选择 3 个男孩的方式数 = ⁹C₃ = 9!/3!(9 - 3)!

= 9!/3!6!

= 9 × 8 × 7 × 6!/3!6!

= 9 × 8 × 7/(3 × 2)

= 84

组成至少有 3 个女孩的委员会的总方式数 = 84

(iii) 委员会可以组成如下：

0 个女孩，7 个男孩

1 个女孩，6 个男孩

2 个女孩，5 个男孩

3 个女孩，4 个男孩

当委员会由 3 个女孩和 4 个男孩组成时，与 (i) 中相同。

当委员会由 0 个女孩和 7 个男孩组成时

从 9 个男孩中选择 7 个男孩的方式数 = ⁹C₇

= 9!/7!(9 - 7)!

= 9!/7!2!

= 9 × 8 × 7!/7!(2)

= 36

委员会可以组成 36 种方式。

当委员会由 1 个女孩和 6 个男孩组成时

从 4 个女孩中选择 1 个女孩的方式数 = ⁴C₁ = 4!/1!(4 - 1)!

= 4!/3! = 4 × 3!/3! = 4

从 9 个男孩中选择 6 个男孩的方式数 = ⁹C₆ = 9!/6!(9 - 6)!

= 9!/6!3! = 9 × 8 × 7 × 6!/3!6!

= 9 × 8 × 7/(3 × 2)

= 84

委员会可以组成 4 × 84 = 336 种方式

当委员会由 2 个女孩和 5 个男孩组成时

从 4 个女孩中选择 2 个女孩的方式数 = ⁴C₂ = 4!/2!(4 - 2)!

= 4!/2!2! = 4 × 3 × 2!/(2 × 2!) = 6

从 9 个男孩中选择 5 个男孩的方式数 = ⁹C₅ = 9!/5!(9 - 5)!

= 9!/5!4! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5!/5!4!

= 9 × 8 × 7 × 6/(4 × 3 × 2)

= 126

委员会可以组成 6 × 126 = 756 种方式

4. 如果按照字典的顺序列出单词 EXAMINATION 的所有字母的不同排列，那么在第一个以 E 开头的单词之前，这个列表中有多少个单词？

解决方案

单词在字典中按字母顺序排列，因此我们必须计算以 A、B、C 或 D 开头的单词。在这四个字母中，单词 EXAMINATION 只有 A。因此，我们需要找到以 A 开头的单词的数量。

单词中的字母总数 = 11

剩余可用字母 = 11 - 1 = 10

排列数量 = 10!/2!2! = 10!/(2 × 2)

= 907200

因此，字典中以 E 开头的单词之前的单词数量 = 907200

5. 使用数字 0, 1, 3, 5, 7 和 9 可以形成多少个六位数，这些数字可以被 10 整除且不重复使用数字？

解决方案

我们知道一个数字可以被 10 整除，当且仅当它的个位数是 0。因此，在要形成的六位数中，个位数将固定为 0。

数字中要填充的剩余位置数量 = 6 - 1 = 5

5 个数字的排列数量 = ⁵P₅

= 5!/(5 - 5)! = 5!/0! = 120

因此，从 0, 1, 3, 5, 7 和 9 中形成的可以被 10 整除的六位数的数量 = 120

6. 英语字母表有 5 个元音和 21 个辅音。可以从字母表中形成多少个包含 2 个不同元音和 2 个不同辅音的单词？

解决方案

从 5 个元音中选择 2 个元音的方式数 = ⁵C₂

从 21 个辅音中选择 2 个辅音的方式数 = ²¹C₂

选择元音和辅音的总方式数 = ⁵C₂× ²¹C₂

= 5!/2!(5 - 2)! × 21!/2!19!

= 5!/2!3! × 21!/2(19!)

= 5 × 4 × 3!/(2 × 3!) × 21 × 20 × 19!/2(19!)

= 10 × 210 = 2100

选择的 4 个字母可以以不同的方式排列以构成不同的单词。

排列数量 = ⁴P₄ = 4!/(4 - 4)! = 4!/0! = 24

按给定方式形成的单词总数 = 24 × 2100

= 50400

7. 在一次考试中，一份试卷包含 12 个问题，分为两个部分，即第一部分和第二部分，分别包含 5 个和 7 个问题。学生总共需要尝试 8 个问题，每个部分至少选择 3 个。学生有多少种方式可以选择问题？

解决方案

学生可以选择

第一部分选择 3 个问题，第二部分选择 5 个问题，

第一部分选择 4 个问题，第二部分选择 4 个问题，

第一部分选择 5 个问题，第二部分选择 3 个问题

当学生从第一部分选择 3 个问题，从第二部分选择 5 个问题时

从 5 个问题中选择 3 个问题的方式数 = ⁵C₃

从 7 个问题中选择 5 个问题的方式数 = ⁷C₅

选择问题的数量 = ⁵C₃ × ⁷C₅

= 5!/3!(5 - 3)! × 7!/5!(7 - 5)!

= 5!/3!2! × 7!/5!2!

= 5 × 4 × 3!/(2 × 3!) × 7 × 6 × 5!/(2 × 5!)

= 10 × 21

= 210

当学生从第一部分选择 4 个问题，从第二部分选择 4 个问题时

从 5 个问题中选择 4 个问题的方式数 = ⁵C₄

从 7 个问题中选择 4 个问题的方式数 = ⁷C₄

选择问题的数量 = ⁵C₄ × ⁷C₄

= 5!/4!(5 - 4)! × 7!/4!(7 - 4)!

= 5!/4!1! × 7!/4!3!

= 5 × 4!/4! × 7 × 6 × 5 × 4!/4!3!

= 5 × 7 × 6 × 5/(3 × 2)

= 175

当学生从第一部分选择 5 个问题，从第二部分选择 3 个问题时

从 5 个问题中选择 5 个问题的方式数 = ⁵C₅

从 7 个问题中选择 3 个问题的方式数 = ⁷C₃

选择问题的数量 = ⁵C₅ × ⁷C₃

= 5!/5!(5 - 5)! × 7!/3!(7 - 3)!

= 5!/5!0! × 7!/4!3!

= 7 × 6 × 5 × 4!/4!3!

= 7 × 6 × 5/(3 × 2)

= 35

因此，学生选择问题的总方式数 = 210 + 175 + 35 = 420

8. 确定从 52 张牌组成的牌库中选择 5 张牌的组合数量，如果每种组合恰好有 1 张 K。

解决方案

我们知道一副牌有 4 张 K。从 4 张 K 中选择 1 张 K 的方式数 = ⁴C₁

牌库中剩余的牌数 = 52 - 4 = 51

要选择的剩余牌数 = 5 - 1 = 4

从 48 张牌中选择 4 张牌的方式数 = ⁴⁸C₄

选择 5 张牌组合的总方式数 = ⁴C₁ × ⁴⁸C₄

= 4!/1!(4 - 1)! × 48!/4!(48 - 4)!

= 4!/3! × 48!/4!44!

= 4 × 3!/3! × 48 × 47 × 46 × 45 × 44!/4!44!

= 4 × 48 × 47 × 46 × 45/(4 × 3 × 2)

= 778320

因此，恰好有 1 张 K 的 5 张牌组合的总方式数 = 778320

9. 要求将 5 个男人和 4 个女人排成一排，使得女人占据偶数位置。有多少种这样的排列方式？

解决方案

女人应该占据偶数位置。因此，女人将坐在第 2、4、6 和 8 位，而男人将坐在第 1、3、5、7 和 9 位。

将 4 个女人安排在 4 个位置的方式数 = ⁴P₄

将 5 个男人安排在 5 个位置的方式数 = ⁵P₅

安排男人和女人的总方式数

= ⁴P₄ × ⁵P₅

= 4!/(4 - 4)! × 5!/(5 - 5)!

= 4!/0! × 5!/0!

= 4 × 3 × 2 × 5 × 4 × 3 × 2

= 2880

因此，女人占据偶数位置的男人和女人安排的总方式数 = 2880

10. 从 25 名学生组成的班级中，要为远足派对选择 10 名。有 3 名学生决定要么他们都参加，要么他们都不参加。有多少种方式可以选择远足派对？

解决方案

(i) 当三个都去时

班级中剩余的学生数量 = 25 - 3 = 22

派对要选择的剩余学生数量 = 10 - 3 = 7

从 22 名学生中选择 7 名学生的方式数 = ²²C₇

= 22!/7!(22 - 7)!

= 22!/7!15!

= 22 × 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15!/7!15!

= 22 × 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16/(7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)

= 170544

(ii) 当三个人都不去时

可以去的剩余班级学生数量 = 25 - 3 = 22

要为远足派对选择的学生数量 = 10

从 22 名学生中选择 10 名学生的方式数 = ²²C₁₀

= 22!/10!(22 - 10)!

= 22!/10!12!

= 22 × 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13 × 12!/10!12!

= 22 × 21 × 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14 × 13/(10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)

= 646646

因此，学生可以为远足派对选择的总方式数 = 170544 + 646646 = 817190

11. 如果单词 ASSASSINATION 的所有字母的排列方式是所有 S 都放在一起，有多少种方式？

解决方案

单词 ASSASSINATION 中的字母总数 = 13

唯一字母 = {A, S, I, N, T, O}

A 出现三次，S 出现四次，I 出现两次，N 出现两次，T 出现一次，O 出现一次。

如果四个 S 总是放在一起，它们可以被视为一个字母，其位置会影响排列。因此，剩余字母数量 = 13 - 4 + 1 = 10

四个 S 在一起的排列数量 = 10!/3!2!2! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3!/(3! × 2 × 2)

= 151200

因此，单词 ASSASSINATION 的字母排列方式，使得四个 S 总是放在一起的总方式数 = 151200