11 年级科学物理 第 4 章：平面运动的 NCERT 解决方案

为了在考试中提供准确的答案，学生必须努力 Thoroughly 学习每个主题。作为评价最高的运动学章节之一，NCERT 11年级物理第4章平面运动解决方案是该年级学生的重要学习资源。必须回答NCERT书中每章末尾的问题才能在11年级考试中取得好成绩。学生可以使用NCERT解决方案，根据2022-2023年CBSE课程大纲的规范和评分方法来构建适当的答案。

在上一章中，我们学习了位移、位置、加速度和速度等术语。这些术语对于理解物体如何沿直线运动至关重要。使用“+”和“-”号将处理方向方面的问题。可以使用向量来描述物体在二维或三维空间中的运动。

锻炼

问题 1

陈述以下物理量是标量还是矢量。

1. 质量
2. 体积
3. 速度
4. 加速度
5. 密度
6. 摩尔数
7. 速度
8. 角频率
9. 位移
10. 角速度

答案

加速度：速度乘以时间是加速度。由于时间是标量，速度是矢量，因此用矢量除以标量会产生矢量。因此，加速度是矢量。

速度：位移除以时间等于速度。与时间（它是标量变量）不同，位移是矢量。我们知道，将矢量除以标量会得到矢量。因此，速度是矢量。

位移：位移被视为一个箭头，从物体开始位置指向最终位置，定义为在指定时间内物体初始点和最终点之间的最短距离。

角速度：角速度是矢量，因为它传达了幅度和方向（对于旋转）。它也遵循标准的矢量代数规则。

因此，矢量包括加速度、速度、位移和角速度。

速率：速率是指距离变化的快慢，它是一个标量。

标量包括体积、质量、密度、摩尔数和角频率。

问题2

从以下选项中选择任意两个标量

力、角动量、功、电流、线动量、电场、平均速度、磁矩、相对速度。

答案

力：力是一个同时具有幅度和方向的量。施加力的方向称为力的方向。

角动量：角动量也是一个矢量，它定义为转动惯量与角速度沿某轴的乘积。

表示为：

做的功 (W)：功是位移的大小与沿该方向的力的分量之积。

因此，我们也知道，如果我们对两个矢量进行点乘，结果始终是一个标量。

电流：由于电流违反了矢量加法定律，因此它是一个标量。

线动量：线动量是一个矢量，因为它同时具有幅度和方向。它定义为质量和速度的乘积。

电场：电场是一个矢量，因为每单位正电荷的电场力（这是它的定义方式）是一个矢量。鉴于此，电场也是一个矢量。

平均速度：平均速度的大小和方向使其成为矢量。总位移除以时间定义了平均速度。

磁矩：磁矩是连接物体扭矩和磁场的矢量。数学上可以表示为

相对速度：相对速度是一个矢量，它测量一个物体相对于另一个物体静止系的运动速度。

在问题提供的列表中，“功”和“电流”是标量。

问题3

从以下选项中，识别矢量

压力、温度、能量、时间、引力势、功率、总路径长度、电荷、摩擦系数、冲量。

答案

给出的物理量是温度、压力、冲量、时间、功率、总路径长度、能量、引力势、摩擦系数和电荷。

我们知道，用矢量乘以标量会得到矢量。力与时间结合（其中力是矢量，时间是标量）形成冲量。因此，冲量是一个矢量。

冲量是矢量，因为它也是通过将两个矢量相加得到的。

问题4

陈述（并给出理由）以下涉及标量和矢量物理量的代数运算是否有意义

1. 任意两个标量相加
2. 将一个标量与一个具有相同维度的矢量相加
3. 将矢量乘以任意标量
4. 任意两个标量相乘
5. 任意两个矢量相加
6. 将矢量分量添加到同一矢量

答案

a.) 标量相加仅在两者具有相同维度时才可能。

b.) 无法将一个标量与一个具有相同维度的矢量组合，因为矢量具有方向和幅度，而标量仅具有幅度。

c.) 可以将任何矢量乘以标量，因为矢量乘以标量所得的乘积也是矢量。

d.) 可以将任意两个标量相乘，得到另一个标量。

考虑一种质量为 m、温度升高为 **(∆T)** 的液体。

它们都是标量。通过将这些数字相乘，可以得到液体吸收的热量，这是一个标量。

e.) 仅当两个矢量具有相同的维度时，它们才能相加。

f.) 如果两个矢量都具有相同的维度，则可以将一个矢量分量添加到同一矢量中。

问题5

仔细阅读下面的每个陈述，并给出理由，说明它是真还是假

1. 矢量的幅度始终是标量
2. 矢量的每个分量始终是标量
3. 粒子的总路径长度始终等于位移矢量的幅度
4. 粒子平均速率（定义为总路径长度除以覆盖路径所用的时间）大于或等于同一时间间隔内粒子平均速度的幅度
5. 不共面的三个矢量永远不能相加得到零矢量

答案

a.) 真：所说的准确无误。位移是矢量，但其幅度是标量，可能等于距离。

b.) 假：该陈述是错误的，因为矢量的分量总是其他矢量。例如，子弹的运动具有水平和垂直的速度分量，它们都是矢量数。

c.) 假：该陈述是错误的。总路径长度可能不等于位移矢量的幅度。例如，在一个圆周路径上，物体绕路径旋转一周所经过的距离是该路径的周长。然而，该物体的位移为零。

d.) 真：在速度为负的情况下，平均速率为正。在这种情况下，平均速度大于平均速率。

因此，当速度也为正时，平均速率为正。在这种情况下，平均速率和平均速度是相同的。

换句话说，路径长度总是大于或等于位移。

因此，该陈述是准确的。

e.) 真：给定零矢量，不共面的三个矢量的乘积可以相加。这是因为它们只有在共面时才能相加。因此，该陈述是准确的。

问题6

通过几何或其他方式证明以下矢量不等式

1. |a+b| < |a| + |b|
2. |a+b| > ||a| −|b||
3. |a−b| < |a| + |b|
4. |a−b| > ||a| − |b||

上面的等号何时适用？

答案

a.) 下图所示的平行四边形，以两个矢量 a 和 b 为邻边。矢量 a+b 表示为平行四边形的对角线。

根据平行四边形 OMNP，

OM = PN = |a|, OP = MN = |b|, ON = |a+b|

根据三角形的性质，每条边的长度都小于其他两条边的和。

∴ 在 ∆OMN 中

如果我们代入上述方程中的值，我们将得到：

|a + b| < |a| + |b| ...(i)

现在，如果 a 和 b 沿直线同向作用，则：

|a + b|=|a| + |b| ...(ii)

从方程 (i) 和 (ii) 我们得到

|a + b| ≤ |a| + |b|

因此，证明了 |a + b| ≤ |a| + |b|。

b.) 下图所示的平行四边形，以两个矢量 a 和 b 为邻边。矢量 a+b 表示为平行四边形的对角线。

根据平行四边形 OMNP，

OM = PN = |a|, OP = MN = |b|, ON = |a+b|

根据三角形的性质，每条边的长度都小于其他两条边的和。

∴ 在 ∆OMN 中

|ON| + |OM| > |MN|

|ON| > ||MN| - |OM||

如果我们代入上述方程中的值，我们将得到：

||a + b|| > ||a| - |b||

|a + b| > ||a| - |b|| ...(iii)

现在，如果 a 和 b 沿直线同向作用，则：

|a + b| = ||a| - |b|| ...(iv)

从方程 (v) 和 (iv) 我们得到

|a + b| ≥ ||a| - |b||

因此，证明了 |a + b| ≥ ||a| - |b||。

c.) 下图中平行四边形的邻边由矢量 a 和 -b 表示，平行四边形的对角线表示矢量 a-b。

根据平行四边形 OPSR，

OR = PS = |b|, OP = |a|, OS = |a-b|

根据三角形的性质，每条边的长度都小于其他两条边的和。

∴ 在 ∆OPS 中

OS < OP + PS

如果我们代入上述方程中的值，我们将得到：

|a - b| < |a| + |b|,...(v)

现在，如果 a 和 b 沿直线同向作用，则：

|a + b| = ||a| - |b|| ...(vi)

从方程 (v) 和 (vi) 我们得到

|a - b| ≤ |a| + |b|

因此，证明了 |a - b| ≤ |a| + |b|。

d.) 下图中平行四边形的邻边由矢量 a 和 -b 表示，平行四边形的对角线表示矢量 a-b。

根据平行四边形 OPSR，

OR = PS = |b|, OP = |a|, OS = |a-b|

根据三角形的性质，每条边的长度都小于其他两条边的和。

∴ 在 ∆OPS 中

OS + PS > OP, OS > OP - PS, |OS| > |OP-PS|

如果我们代入上述方程中的值，我们将得到：

||a-b|| > ||a| - |b||, |a-b| > ||a| - |b|| ...(vii)

现在，如果 a 和 b 沿直线同向作用，则：

|a - b| = ||a| - |b|| ...(viii)

从方程 (vii) 和 (viii) 我们得到

|a - b| ≥ ||a| - |b||

因此，证明了 |a - b| ≥ ||a| - |b||。

问题 4.7

已知 l + m + n + o = 0，以下哪些陈述是正确的？

1. l、m、n 和 o 必须是零矢量。
2. (l + n) 的幅度等于 (m + o) 的幅度。
3. l 的幅度永远不能大于 m、n 和 o 的幅度之和。
4. 如果 l 和 o 不共线，则 m + n 必须在 l 和 o 的平面内；如果它们共线，则在 l 和 o 的直线上？

答案

a.) 假

该陈述不正确，因为即使在以下情况下，所有四个矢量的总和也为 0：

b.) 真

已知：

l + m + n + o = 0

重新排列上述方程得到：

l + n = - (m + o) ...(i)

对方程 (i) 两边取模得到：

|l + n| = | - (m + o)|

|l + n| = |m + o| ...(ii)

根据方程 (ii)，我们可以说 **(l + n)** 的幅度等于 **(m + o)** 的幅度。

因此，上面给出的陈述成立。

c.) 真

已知：

l + m + n + o = 0

重新排列上述方程得到：

l = - (m + n + o) ...(iii)

对方程 (i) 两边取模得到：

| l | = | - (m + n + o)|

| l | ≤ |m| + |n| + |o| ...(iv)

现在，如果我们看方程 (iv)，它说 **| -(m+n+o) |** 是矢量 **m, n** 和 **o** 的和。因此，**| -(m+n+o) |** 的幅度将小于或等于矢量 m、n、o 的幅度之和。因此，l 的幅度不能大于 m、n 和 o 的幅度之和。

因此，上面给出的陈述成立。

d.) 真

问题8

三个女孩在一个半径为 200 米的圆形公园里滑冰，从公园边缘的一个点 P 开始，到达与 P 直径相对的 Q 点，走的是不同的路径。每个人位移矢量的幅度是多少？对哪个女孩来说，这个值等于她滑行的实际路径长度？

答案

位移是粒子初始位置和最终位置之间的距离。这三个女孩都从 P 点到达 Q 点。位移的大小由公园的直径决定。

给定半径 = 200 m

∴ 直径 = 200 × 2 = 400 m

因此，每个女孩的行进距离是 400 m。这个大小等于 B 女孩滑行的路径。

问题9

一名骑自行车者从半径为 1 公里的圆形公园中心 O 开始，到达公园边缘 P，然后沿着圆周骑行，并沿着 QO 返回中心，如图 4.21 所示。如果往返行程需要 10 分钟，那么：

1. 净位移
2. 平均速度和
3. 骑自行车者的平均速率

答案

i.) 位移是物体原始位置和最终位置之间的距离。在 20 分钟内，骑自行车者返回了起点。因此，没有位移。

ii.)

从 i 可知，骑自行车者的位移为零，因此骑自行车者的平均速度也为零。

iii.)

问题10

在开阔的地面上，一名驾车者沿着一条每隔 500 米就向左转 60° 的赛道行驶。从一个转弯点开始，请说明驾车者在第三、第六和第八个转弯时的位移。比较每次位移的幅度与驾车者覆盖的总路径长度。

答案

根据给定的图形，驾车者行驶的路径代表一个边长为 500 米的正六边形。

设驾车者的起点为 P

在 S 点，驾车者进行第三个转弯

因此，位移的幅度为：

PS = PV + VS

PS = 500 + 500

PS = 1000 m

路径的总长度为：

PQ + QR + RS

= 500 + 500 + 500

= 1500 m

在 P 点，驾车者进行第六个转弯，这与起点相同。

因此，驾车者的初始位置和最终位置相同，因此位移的幅度将为零。

路径的总长度为：

PQ + QR + RS + ST + TU + UP

= 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500

= 3000 m

在 R 点，驾车者进行第 8 次转弯，

位移的幅度是 PR，

因此，在 30° 角处，沿 PR 的位移幅度为 866.03 m。

总路径的长度 = 六边形周长 + PQ + QR

= 600 × 500 + 500 + 500

= 4000 m

下表显示了根据必要的转弯，位移的幅度以及路径的总长度

问题11

一位乘客抵达新镇，想从车站到位于车站直线公路 10 公里外的酒店。一个不诚实的出租车司机绕着一条 23 公里长的曲折路线载他，并在 28 分钟内到达酒店。

1. 出租车的平均速度是多少？
2. 平均速度的幅度是多少？两者相等吗？

答案

a.) 乘客的总行驶距离 = 23 km

总共花费的时间为：

因此，

b.) 酒店和车站之间的总距离 = 10 km

因此，汽车的位移也是 10 公里。

因此，这两个物理量不相等。

问题12

雨以 30 米/秒的速度垂直落下。一位女士以 10 米/秒的速度向南北方向骑自行车。她应该在哪个方向打伞？

答案

下图描绘了问题中给出的情况。

此处，

v_c = 骑车人的速度

v_r = 下雨的速度

为了挡雨，女士必须将伞朝着雨相对于她的相对速度（v）的方向。

因此，女士必须将雨伞以大约 18° 的角度朝向垂直方向，面向南方。

问题13

一个人在静水中游动的速度为 4 公里/小时。如果河流以恒定的 3 公里/小时速度流动，并且他以正常于河流的笔直动作划水，他需要多长时间才能横渡 1 公里宽的河流？当他到达对岸时，他会沿河向下游多远？

答案

问题14

在一个港口，风以 72 公里/小时的速度吹，停泊在港口的一艘船桅杆上的旗帜向东北方向飘动。如果船以 51 公里/小时的速度向北行驶，船桅杆上的旗帜将是什么方向？

答案

船的速度 = v_b = 51 km/h

风速 = v_w = 72 km/h

旗帜向东北方向移动。这表明风向东北吹。当船开始向北航行时，旗帜将朝着相对于船的风的相对速度 (v_wb) 方向移动。

与东方测量的角度等于 45.11° - 45° = 0.11°。

问题15

一架飞机的机翼离地 25 米高。以 40 米/秒的速度抛出的球在不碰到飞机机翼的情况下能达到的最大水平距离是多少？

答案

球的速度，u = 40 ms^-1

球的最大高度，h = 25 m

问题16

一名板球运动员可以将球抛到最远 100 米的水平距离。该运动员可以把同样的球抛到离地多高？

答案

最大水平距离，R = 100 m

板球运动员要将球抛到最大水平距离，投射角必须为 45°。

θ 必须等于 33.60°

球的投射速度 v 的水平范围给出为：

当球垂直向上抛出时，它将飞得最远。对于这种运动，在最大高度 H 处的最终速度 v 为零。

加速度，a = - g

根据第三个运动方程，我们得到：

问题17

一根系在绳子末端的石头，绳长 80 厘米，以恒定速度在水平圆周上旋转。如果石头在 25 秒内完成 14 次革命，石头的加速度方向和幅度是多少？

答案

绳长，l = 80 cm = 0.8 m

革命次数 = 14

花费的时间是 = 25 秒

向心加速度的方向始终沿着绳子，朝向中心，在所有点。

问题18

一架飞机以 900 公里/小时的稳定速度执行半径为 1 公里的水平回路。将其向心加速度与重力加速度进行比较。

答案

问题 19

仔细阅读下面的每个陈述，并给出理由，说明它是真还是假

(a) 圆周运动中粒子的净加速度始终沿半径方向指向圆心。

(b) 粒子在某点的速度矢量始终沿着该点处粒子路径的切线方向。

(c) 均匀圆周运动中粒子的加速度矢量在一个周期内的平均值为零矢量。

答案

(a) 假

只有在匀速圆周运动的情况下，运动中的粒子的净加速度才始终指向圆的半径方向，朝向圆心。

(b) 真

在某一点，粒子似乎沿着该点处的圆形路径的切线方向运动。

(c) 真

匀速圆周运动（UCM）中加速度矢量的方向指向圆心。但随着时间的推移，它会不断变化。在整个周期内平均这些矢量会得到零矢量。

问题 20

粒子的位置由下式给出

其中 t 以秒为单位，系数具有适当的单位，使 r 以米为单位。

(a) 求粒子的 'v' 和 'a'？

(b) 求 t = 2.0 s 时速度的幅度和方向？

答案

(a) 粒子的位置由下式给出

(b) 我们有速度矢量，

负号的存在表示速度方向在 x 轴下方。

问题 21

答案

问题 22

答案

问题 23

以下哪种关系适用于空间中的任意运动？

答案

(a) 假

给定粒子的运动是任意的。因此，粒子的平均速度不能由该方程给出。

(b) 真

粒子的任意运动可以用该方程表示。

(c) 假

粒子的运动是任意的。粒子的加速度也可能不均匀。因此，该方程不能表示空间中粒子的运动。

(d) 假

粒子的运动是任意的；粒子的加速度也可能不均匀。因此，该方程不能表示空间中粒子的运动。

(e) 真

粒子的任意运动可以用该方程表示。

问题 24

仔细阅读下面的每个陈述，并给出理由和示例，说明它是真还是假。

标量是一个

1. 在过程中守恒
2. 永远不能取负值
3. 必须无量纲
4. 在空间中的一个点到另一个点不变化
5. 对于具有不同坐标轴方向的观察者具有相同的值

答案

(a) 假

能量是标量，但在非弹性碰撞中，它不守恒。

b) 假

温度是标量，但它也可以有负值。

c) 假

总路径长度是标量。然而，它具有长度的量纲。

d) 假

对于具有不同坐标轴的观察者，标量的值保持不变。

e) 真

对于具有不同坐标轴的观察者，标量的值不会改变。

问题 25

一架飞机以 3400 米的高度飞行。如果飞机在 10.0 秒间隔内的位置在地面观测点处形成的夹角为 30°，则飞机的速度是多少？

答案

飞机飞行的高度为 = 3400 m

假设飞机处于 A 和 B 位置，将形成 AOB = 30° 的夹角。在 AB 上，画出垂直线 OC。这里，OC 是飞机的高度，为 3400 米，而 AOC = COB 为 15°。

问题 26

矢量在空间中有位置吗？它会随时间变化吗？位于不同位置的两个等效矢量 x 和 y 在物理效应上是否必然无法区分？请给出支持你答案的例子。

答案

否、是和否。

矢量在空间中没有固定点。这是因为当矢量在不改变其方向或幅度的方向上移动时，它保持不变。即使如此，位置矢量在空间中也有一个特定位置。

矢量会随时间变化。例如，以一定速度运动的球，其速度矢量会随时间变化。

放置在不同位置的两个等效矢量在空间中的物理效果并不相同。例如，当两个等效力作用在物体上的不同点时，物体会趋于旋转，但它们的组合不会产生相同的转动效果。

问题 27

由于矢量具有方向和幅度，那么是否必然是：如果某物具有方向和幅度，则称之为矢量？物体的旋转由绕轴的旋转角度和轴的旋转方向定义。它会是矢量的旋转吗？

答案

否，否。

具有方向和幅度的物理量不一定被视为矢量。例如，即使电流具有方向和幅度，它也是一个标量。在“矢量加法规则”方面，这是物理量符合矢量类别的一个基本要求。

它遵循“矢量加法规则”，这是成为矢量的基本要求，但绕轴的物体旋转不遵循，因此它不是矢量。虽然在某些情况下，绕轴小角度旋转的物体符合矢量加法定律，但仍称其为矢量。

问题 28

我们可以将一个矢量与以下事物关联起来吗？

1. a 球
2. 绕成环的导线的长度
3. 平面面积

对此进行澄清。

答案

(i) 否。我们可以将球的面积与矢量的面积关联起来。然而，球的体积不能与矢量关联。

(ii) 否。无法将导线的长度与矢量关联起来。

(iii) 是。平面面积可以与矢量关联。

问题 29

一枚子弹以 30° 与水平方向的角度发射，落在 3.0 公里外的地面上。通过调整其投射角度，能否希望击中 5.0 公里外的目标？假设枪口速度固定，并忽略空气阻力。

答案

子弹以角度 = 30° 发射

子弹落在 3 公里 = 3000 米的距离处

角度的正弦不能大于 1。因此，不可能击中 5 公里外的目标。

问题 30

一架战斗机在 1.5 公里高处以 720 公里/小时的速度水平飞行，直接从高射炮上方飞过。炮弹以 600 米/秒的枪口速度击中飞机，枪应从垂直方向以多大角度发射？飞行员需要以多小的最小高度飞行才能避免被击中？（取 g = 10 ms^-2）。

答案

问题 31

一名骑自行车者正以 27 公里/小时的速度骑行。当他接近一条半径为 80 米的道路上的圆形转弯时，他踩下刹车，并以每秒 0.50 米/秒的恒定速率减速。在圆形转弯处，骑自行车者净加速度的幅度和方向是多少？

答案

问题 32

(a) 证明对于抛射物，速度与 x 轴之间的夹角随时间变化的函数为

(b) 证明从原点发射的抛射物的投射角 θ₀ 为

其中符号具有它们的常用含义。

答案

(a) 令 θ 为抛射物相对于 x 轴的发射角度

θ 取决于 t

因此，

因为，