NCERT 10年级数学第三章解答：二元一次方程组

练习3.1

1. 阿夫塔布对他的女儿说：“七年前，我的年龄是你当时的七倍。此外，三年后，我将是你的三倍！”（这很有趣吧？）用代数和图形方式表示这种情况。

解决方案

设阿夫塔布现在的年龄（岁）为x，女儿现在的年龄（岁）为y。

阿夫塔布七年前的年龄 = x - 7

他女儿七年前的年龄 = y - 7

已知七年前，阿夫塔布的年龄是他女儿年龄的7倍。因此，

x - 7 = 7(y - 7)

x - 7 = 7y - 49

x - 7y = 7 - 49

x - 7y = -42 ... 方程(I)

阿夫塔布三年后的年龄 = x + 3

他女儿三年后的年龄 = y + 3

已知三年后，阿夫塔布的年龄将是他女儿年龄的3倍。因此，

x + 3 = 3(y + 3)

x + 3 = 3y + 9

x - 3y = 9 - 3

x - 3y = 6 ... 方程(II)

现在我们有了两个所需方程。

接下来，我们需要为其中一个变量赋一个值，然后计算另一个变量，以找到绘制图形所需的坐标。我们将为x赋值并从方程中计算y。

注意：由于学生可以自由假设任何他们想要的值，因此建议选择那些使计算更容易的值。

对于方程(I):

对于方程(II):

绘制方程后将获得以下图形

2. 一个板球队的教练以3900卢比购买了3个球拍和6个球。后来，她以1300卢比购买了另一个同类球拍和3个球。用代数和几何方式表示这种情况。

解决方案

设1个球拍的成本（卢比）为x，1个球的成本（卢比）为y。

已知3个球拍和6个球的总成本（卢比）为3900。因此，

3x + 6y = 3900 ... 方程(I)

已知1个球拍和3个球的总成本（卢比）为1300。因此，

x + 3y = 1300 ... 方程(II)

接下来，我们需要为其中一个变量赋一个值，然后计算另一个变量，以找到绘制图形所需的坐标。我们将为x赋值并从方程中计算y。

注意：由于学生可以自由假设任何他们想要的值，因此建议选择那些使计算更容易的值。

对于方程(I):

对于方程(II):

绘制方程后将获得以下图形

3. 一天，2公斤苹果和1公斤葡萄的价格是160卢比。一个月后，4公斤苹果和2公斤葡萄的价格是300卢比。用代数和几何方式表示这种情况。

解决方案

设1公斤苹果的价格（卢比）为x，1公斤葡萄的价格（卢比）为y。

已知2公斤苹果和1公斤葡萄的价格是160卢比。因此，

2x + y = 160 ... 方程(I)

已知后来4公斤苹果和2公斤葡萄的价格是300卢比。因此，

4x + 2y = 300 ... 方程(II)

接下来，我们需要为其中一个变量赋一个值，然后计算另一个变量，以找到绘制图形所需的坐标。我们将为x赋值并从方程中计算y。

注意：由于学生可以自由假设任何他们想要的值，因此建议选择那些使计算更容易的值。

对于方程(I):

对于方程(II):

绘制方程后将获得以下图形

练习3.2

1. 在以下问题中，写出二元一次方程组，并用图形法求其解。

1. 10名10年级学生参加了数学测验。如果女生人数比男生人数多4人，求参加测验的男生和女生人数。
2. 5支铅笔和7支钢笔的总价是50卢比，而7支铅笔和5支钢笔的总价是46卢比。求一支铅笔和一支钢笔的价格。

解决方案

I. 设女生人数为x，男生人数为y。

只有10名学生参加了测验。因此，

x + y =10 ... 方程(I)

由于女生人数比男生人数多4人。因此，

x = y + 4 ... 方程(II)

接下来，我们需要为其中一个变量赋一个值，然后计算另一个变量，以找到绘制图形所需的坐标。我们将为x赋值并从方程中计算y。

注意：由于学生可以自由假设任何他们想要的值，因此建议选择那些使计算更容易的值。

对于方程(I)

对于方程(II):

绘制方程后将获得以下图形

图形将在(7, 3)处相交。因此，x = 7，y = 3。

因此，参加测验的女生人数为7，男生人数为3。

II. 设1支铅笔的价格为x（卢比），1支钢笔的价格为y（卢比）。

已知5支铅笔和7支钢笔的总价为50卢比。因此，

5x + 7y = 50 ... 方程(I)

还已知7支铅笔和5支钢笔的总价为46卢比。因此，

7x + 5y = 46 ... 方程(II)

接下来，我们需要为其中一个变量赋一个值，然后计算另一个变量，以找到绘制图形所需的坐标。我们将为x赋值并从方程中计算y。

注意：由于学生可以自由假设任何他们想要的值，因此建议选择那些使计算更容易的值。

对于方程(I):

对于方程(II):

绘制方程后将获得以下图形

图形将在(3, 5)处相交。因此，x = 3，y = 5。

因此，一支铅笔的价格（卢比）为3，一支钢笔的价格（卢比）为5。

2. 通过比较比率a₁/a₂、b₁/b₂、c₁/c₂，判断表示以下二元一次方程组的直线是相交于一点、平行还是重合

1. 5x - 4y + 8 = 0
   7x + 6y - 9 = 0
2. 9x + 3y + 12 = 0
   18x + 6y + 24 = 0
3. 6x - 3y + 10 = 0
   2x - y + 9 = 0

解决方案

I. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 5, b₁ = -4, c₁ = 8 和 a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9

II. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12 和 a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24

III. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10 和 a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9

3. 通过比较比率a₁/a₂、b₁/b₂、c₁/c₂，判断表示以下二元一次方程组的直线是一致的还是不一致的

1. 3x + 2y = 5
   2x - 3y = 7
2. 2x - 3y = 8
   4x - 6y = 9
3. 3x/2 - 5y/3 = 7
   9x - 10y = 14
4. 5x - 3y = 11
   -10x + 6y = -22
5. 4x/3 + 2y = 8
   2x + 3y = 12

解决方案

1. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = -5 和 a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = -7

2. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 2, b₁ = -3, c₁ = -8 和 a₂ = 4, b₂ = -6, c₂ = -9

3. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 3/2, b₁ = 5/3, c₁ = -7 和 a₂ = 9, b₂ = -10, c₂ = 14

4. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 5, b₁ = -3, c₁ = -11 和 a₂ = -10, b₂ = 6, c₂ = 22

5. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 4/3, b₁ = 2, c₁ = -8 和 a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = 12

4. 以下哪些二元一次方程组是一致的/不一致的？如果是一致的，请用图形法求解

1. x + y = 5, 2x + 2y = 10
2. x - y = 8, 3x - 3y = 16
3. 2x + y - 6 = 0, 4x - 2y - 4 = 0
4. 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0

解决方案

1.将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5 和 a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -10

x + y = 5 ... 方程(I)

2x + 2y = 10 ... 方程(II)

得到的图形是重合的。

2. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = -8 和 a₂ = 3, b₂ = -3, c₂ = -16

x - y = 8 ... 方程(I)

3x - 3y = 16 ... 方程(II)

得到的图形是平行的。

3. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = -6 和 a₂ = 4, b₂ = -2, c₂ = -4

2x + y - 6 = 0 ... 方程(I)

4x - 2y - 4 = 0 ... 方程(II)

得到的图形是重合的。解将是(2, 2)，如同从图中获得的。

4. 将给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 2, b₁ = -2, c₁ = -2 和 a₂ = 4, b₂ = -4, c₂ = -5

2x - 2y - 2 = 0 ... 方程(I)

4x - 4y - 5 = 0 ... 方程(II)

得到的图形是平行的。

5. 一个矩形花园的周长的一半是36米，其长度比宽度大4米。求花园的尺寸。

解决方案

设花园的长度（米）为x，

设花园的宽度（米）为y。

由于花园的长度比宽度大4米，因此

x = y + 4

x - y = 4 ... 方程(I)

题目中也给出矩形花园周长的一半是36米，这意味着周长是36米的双倍。我们知道周长等于2(l + b)。因此，

2 × (x + y) = 2 × 36

x + y = 36 ... 方程(II)

接下来，我们需要为其中一个变量赋一个值，然后计算另一个变量，以找到绘制图形所需的坐标。我们将为x赋值并从方程中计算y。

注意：由于学生可以自由假设任何他们想要的值，因此建议选择那些使计算更容易的值。

对于方程(I):

对于方程(II)

图形在(20, 16)处重合。因此，x = 20，y = 16是给定二元一次方程组的解。

因此，矩形花园的长度为20米，矩形花园的宽度为16米。

6. 给定线性方程2x + 3y - 8 = 0，写另一个二元线性方程，使得所形成的方程组的几何表示是

1. 相交线
2. 平行线
3. 重合线

解决方案

7. 绘制方程x - y + 1 = 0和3x + 2y - 12 = 0的图形。确定由这些直线和x轴形成的三角形的顶点坐标，并着色三角形区域。

解决方案

x - y + 1 = 0 ... 方程(I)

3x + 2y - 12 = 0 ... 方程(II)

接下来，我们需要为其中一个变量赋一个值，然后计算另一个变量，以找到绘制图形所需的坐标。我们将为x赋值并从方程中计算y。

（注意：由于学生可以自由假设任何他们想要的值，因此建议选择那些使计算更容易的值）

对于方程(I):

对于方程(II):

从图中可以看出，形成的三角形的顶点是(-1, 0)、(2, 3)和(4, 0)。

练习3.3

1. 用代入法解以下二元一次方程组。

1. x + y = 14
   x - y = 4
2. s - t = 3
   s/3 + t/2 = 6
3. 3x - y = 3
   9x - 3y = 9
4. 0.2x + 0.3y = 1.3
   0.4x + 0.5y = 2.3
5. √2x + √3y = 0
   √3x - √8y = 0
6. 3x/2 - 5y/2 = -2
   x/3 + y/2 = 13/6

解决方案

I.

x + y = 14

x = 14 - y

将x = 14 - y代入x - y = 4

(14 - y) - y = 4

(14 - y) - y = 4

14 - 4 = 2y

10 = 2y

⇒ y = 5

将y = 5代入x - y = 4

x - 5 = 4

⇒ x = 9

因此，x = 9且y = 5。

II.

s - t = 3

s - t = 3

将t = s - 3代入s/3+t/2 = 6

将s = 9代入s - t = 3

9 - t = 3

⇒ t = 6

因此，s = 9且t = 5。

III.

3x - y = 3

3x - y = 3

将y = 3x - 3代入9x - 3y = 9

9x - 3(3x - 3) = 9

9x - 9x + 9 = 9

9 = 9

对于给定的二元一次方程组，没有唯一解。x和y都有无数个值。

IV.

将x = 2代入0.2x + 0.3y = 1.3

0.4 + 0.3y = 1.3

0.3y = 0.9

⇒ y = 3

因此，x = 2且y = 3。

V.

将x = 0代入√3x - √8y = 0

0 - √8y = 0

√8y = 0

⇒ y = 0

因此，x = 0且y = 0。

VI.

2. 解方程2x + 3y = 11 和 2x - 4y = -24，并求y = mx + 3中的m值。

解决方案

将x = -2代入2x - 4y = -24

2(-2) - 4y = -24

-4 - 4y = -24

4y = 20

⇒ y = 5

因此，x = -2且y = 5是给定方程组的解。

为了求m，我们将x和y的值代入y = mx + 3。

y = mx + 3

5 = m(-2) + 3

5 = -2m + 3

2 = -2m

⇒ m = -1

3. 为以下问题写出二元一次方程组，并用代入法求其解。

1. 两个数相差26，其中一个数是另一个数的3倍。求这两个数。
2. 两个互为补角的角中，大角比小角多18度。求这两个角。
3. 一个板球队的教练以3800卢比购买了7个球拍和6个球。后来她以1750卢比购买了3个球拍和5个球。求每个球拍和每个球的成本。
4. 一个城市的出租车收费包括固定费用和按距离收费。对于10公里的行程，费用为105卢比；对于15公里的行程，费用为155卢比。固定费用和每公里费用是多少？一个人乘坐25公里需要支付多少钱？
5. 如果分子和分母都加上2，一个分数变为9/11。如果分子和分母都加上3，它变为5/6。求这个分数。
6. 五年后，雅各布的年龄将是其儿子年龄的3倍。五年前，雅各布的年龄是其儿子年龄的7倍。他们现在的年龄是多少？

解决方案

I. 设较大的数为x，较小的数为y。

已知x和y的差为26，且x是y的3倍，因此

x - y = 26

x = 3y

将x = 3y代入x - y = 26，我们得到

3y - y = 26

2y = 26

⇒y = 13

将y = 13代入x = 3y，我们得到

x = 3 × 13

⇒x = 39

因此，较小的数是13，较大的数是39。

II. 设较大的角（度）为x，较小的角（度）为y。

已知x和y的和为180（因为它们互为补角），且x比y大18，因此

x + y = 180

x = y + 18

将x = y + 18代入x + y = 180，我们得到

y + 18 + y = 180

2y + 18 = 180

2y = 162

将y = 81代入x = y + 18，我们得到

x = 81+18

⇒x = 99

因此，较小的角是81度，较大的角是99度。

III. 设1个球拍的成本（卢比）为x，1个球的成本（卢比）为y。

已知7个球拍和6个球的总价为3800卢比，因此

7x + 6y = 3800 ... 方程(I)

还已知3个球拍和5个球的总价为1750卢比，因此

3x + 5y = 1750 ... 方程(II)

从方程(I):

将x = 500代入方程(I)，我们得到

7 × 500 + 6y = 3800

3500 + 6y = 3800

6y=300

因此，1个球拍的成本为500卢比，1个球的成本为50卢比。

IV. 设出租车的固定费用（卢比）为x，按每公里收费（卢比）为y。

已知出租车10公里行程的总费用为105卢比，因此

x + 10y = 105 ... 方程(I)

还已知出租车15公里行程的总费用为155卢比，因此

x + 15y = 155 ... 方程(II)

从方程(I)

x + 10y = 105

x = 105 - 10y

将x = 105 - 10y代入方程(II)，我们得到

105 - 10y + 15y = 155

5y = 50

⇒ y = 10

将y = 30代入方程(I)，我们得到

x + 10 × 10 = 105

x + 100 = 105

⇒ x = 5

因此，固定费用为5卢比，每公里费用为10卢比。

对于25公里的行程，费用将是

x + 25y = 5 + 25(10) = 5 + 250

= 255

因此，25公里行程的费用为255卢比。

V. 设分子为x，分母为y。

已知如果分子和分母都加上2，分数变为9/11，因此

(x + 2)/(y + 2) = 9/11 ... 方程(I)

还已知如果分子和分母都加上3，分数变为5/6，因此

(x + 3)/(y + 3) = 5/6 ... 方程(II)

从方程(I)

分子是7，分母是9。因此，分数是7/9。

VI. 设雅各布现在的年龄（岁）为x，他儿子现在的年龄（岁）为y。

已知五年后，雅各布的年龄将是其儿子年龄的3倍，因此

x + 5 = 3(y + 5) ... 方程(I)

还已知五年前，雅各布的年龄是其儿子年龄的7倍，因此

x - 5 = 7(y - 5) ... 方程(II)

从方程(I)

x + 5 = 3(y + 5)

x = 3(y + 5) - 5

将x = 3(y + 5) - 5代入方程(II)，我们得到

3(y + 5) - 5 - 5 = 7(y - 5)

3y + 15 - 10 = 7y - 35

40 = 4y

⇒ y = 10

将y = 10代入x = 3(y + 5) - 5，我们得到

x = 3(10 + 5) - 5

x = 45 - 5

⇒ x = 40

因此，雅各布现在的年龄（岁）是40，而他儿子的年龄（岁）是10。

练习3.4

1. 用消元法和代入法解以下二元一次方程组

1. x + y = 5 和 2x - 3y = 4
2. 3x + 4y = 10 和 2x - 2y = 2
3. 3x - 5y - 4 = 0 和 9x = 2y + 7
4. x/2 + 2y/3 = -1 和 x - y/3 = 3

解决方案

I. x + y = 5 ... 方程(I)

2x - 3y = 4 ... 方程(II)

用消元法：-

将方程(I)乘以3并加到方程(II)上

用代入法：-

从方程(I)

x + y = 5

y = 5 - x

将y = 5 - x代入方程(II)，我们得到

II. 3x + 4y = 10 ... 方程(I)

2x - 2y = 2 ... 方程(II)

用消元法：-

将方程(II)乘以2并加到方程(I)上

将求得的x值代入方程(I)，我们得到

3(2) + 4y = 10

4y = 10 - 6

4y = 4

⇒ y = 1

用代入法：-

从方程(I)

将y代入方程(II)，我们得到

III. 3x - 5y = 4 ... 方程(I)

9x - 2y = 7 ... 方程(II)

用消元法：-

用代入法：-

从方程(II)我们有

IV. x/2 + 2y/3 = -1 ... 方程(I)

x - y/3 = 3 ... 方程(II)

用消元法：-

将方程(II)乘以2并加到方程(I)上

用代入法：-

从方程(II)我们有

2. 为以下问题写出二元一次方程组，并用消元法求解（如果存在）

1. 如果分子加1，分母减1，分数就变为1。如果只给分母加1，它就变为�。这个分数是多少？
2. 五年前，努里是苏努年龄的3倍。十年后，努里将是苏努年龄的2倍。努里和苏努现在多少岁？
3. 一个两位数的各位数字之和是9。此外，这个数的九倍是颠倒数字顺序后得到的数的两倍。求这个数。
4. 米娜去银行取了2000卢比。她让出纳员只给她50卢比和100卢比的钞票。米娜总共收到了25张钞票。求50卢比和100卢比的钞票各有多少张。
5. 一家出租图书馆对前三天有固定收费，之后每天收取额外费用。莎丽塔为一本借了七天的书支付了27卢比，而苏西为她借了五天的书支付了21卢比。求固定费用和每天的额外费用。

解决方案

I. 设分子为x，分母为y。

已知如果分子加1，分母减1，分数就变为1，因此

(x + 1)/(y - 1) = 1

x + 1 = y - 1

x - y = -2 ... 方程(I)

还已知如果给分母加1，分数就变为�，因此

x/(y + 1) = �

2x = y + 1

2x - y = 1 ... 方程(II)

从方程(II)减去方程(I)

将求得的x值代入方程(I)，我们得到

3 - y = -2

y = 5

因此，分子是3，分母是5。所求的分数是3/5。

II. 设努里的现年年龄（岁）为x，苏努的现年年龄（岁）为y。

已知五年前，努里的年龄是苏努年龄的3倍，因此

x - 5 = 3(y - 5)

x - 5 = 3y - 15

x - 3y = -10. ... 方程(I)

还已知十年后，努里的年龄将是苏努年龄的2倍，因此

x + 10 = 2(y + 10)

x + 10 = 2y + 20

x - 2y = 10. ... 方程(II)

从方程(II)减去方程(I)

将求得的y值代入方程(II)，我们得到

x-2(20)=10

x-40=10

x = 50

因此，努里的现年年龄（岁）是50，而苏努的现年年龄（岁）是20。

III. 设这个数的十位数是x，个位数是y。这个数是10x + y。

已知两个数字之和为9，因此

x + y = 9 ... 方程(I)

还已知这个数的九倍是颠倒数字顺序后得到的数的两倍（颠倒数字顺序后的数是10y + x），因此

9(10x + y) = 2(10y + x)

90x + 9y = 20y + 2x

88x - 11y = 0

11(8x - y) = 0

8x - y = 0 ... 方程(II)

将方程(I)和方程(II)相加

将求得的x值代入方程(I)，我们得到

1 + y = 9

y = 8

因此，这个数的十位数是1，个位数是8。所求的数是18。

IV. 设米娜收到的50卢比钞票数量为x，100卢比钞票数量为y。

已知50卢比和100卢比钞票的总金额为2000卢比，因此

50x + 100y = 2000

50(x + 2y) = 2000

x + 2y = 40 ... 方程(I)

还已知她收到的总钞票数量为25，因此

x + y = 25 ... 方程(II)

从方程(I)减去方程(II)

将求得的y值代入方程(II)，我们得到

x + 15 = 25

x = 10

因此，米娜收到了10张50卢比的钞票和15张100卢比的钞票。

V. 设出租书店的固定费用（卢比）为x，每天的费用（卢比）为y。

已知莎丽塔借书七天，支付了27卢比，因此

x + 7y = 27 ... 方程(I)

还已知苏西借书五天，支付了21卢比，因此

x + 5y = 21 ... 方程(II)

从方程(I)减去方程(II)

将求得的y值代入方程(I)，我们得到

x + 7(3) = 27

x + 21 = 27

x = 6

因此，出租书店的固定费用为6卢比，而每天的额外费用为3卢比。

练习3.5

以下二元一次方程组有唯一解、无解或无穷多解。如果有唯一解，请用交叉相乘法求解。

1. x - 3y- 3 = 0
   3x - 9y - 2 = 0
2. 2x + y = 5
   3x + 2y = 8
3. 3x - 5y = 20
   6x - 10y = 40
4. x - 3y - 7 = 0
   3x - 3y - 15 = 0

解决方案

I. 将两个给定方程分别与a ₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a ₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 1, b₁ = -3, 和 c₁ = -3

a₂ = 3, b₂ = -9, 和 c₂ = -2

II. 将两个给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 2, b₁ = 1, 和 c₁ = -5

a₂ = 3, b₂ = 2, 和 c₂ = -8

III. 将两个给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 3, b₁ = -5, 和 c₁ = -20

a₂ = 6, b₂ = -10, 和 c₂ = -40

IV. 将两个给定方程分别与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和 a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 1, b₁ = -3, 和 c₁ = -7

a₂ = 3, b₂ = -3, 和 c₂ = -15

2.

I. 对于a和b的哪些值，以下二元一次方程组有无穷多个解？

2x + 3y = 7

(a - b) x + (a + b) y = 3a + b - 2

II. 对于k的哪个值，以下二元一次方程组无解？

3x + y = 1

(2k - 1) x + (k - 1) y = 2k + 1

解决方案

我们可以用交叉相乘法解方程5b - a = 0 和 a - b = 3

3. 用代入法和交叉相乘法解以下二元一次方程组

8x + 5y = 9

3x + 2y = 4

解决方案

8x + 5y = 9 ... 方程(I)

3x + 2y = 4 ... 方程(II)

用代入法：-

从方程(I)我们有

将求得的y值代入方程(I)，我们得到

8x + 5 (5) = 9

8x + 25 = 9

8x = -16

⇒ x = -2

用交叉相乘法：-

将方程(I)与a ₁x + b₁y + c₁ = 0和方程(II)与a ₂x + b₂y + c₂ = 0进行比较，我们得到

a₁ = 8, b₁ = 5, 和 c₁ = -9

a₂ = 3, b₂ = 2, 和 c₂ = -4

4. 为以下问题写出二元一次方程组，并用任何代数方法求解（如果存在）

1. 一部分月 Hostel 费用是固定的，其余费用取决于一个人在餐厅用餐的天数。当学生A用餐20天时，她需要支付1000卢比的 Hostel 费用；而学生B用餐26天，支付1180卢比的 Hostel 费用。求固定费用和每餐的费用。
2. 当从分子中减去1时，一个分数变为1/3；当在其分母中加上8时，它变为1/4。求这个分数。
3. 亚什在一次测试中得了40分，每答对一题得3分，每答错一题扣1分。如果每答对一题得4分，每答错一题扣2分，那么亚什将得50分。测试中有多少道题？
4. A点和B点在高速公路上相距100公里。一辆车从A点出发，另一辆车从B点同时出发。如果两车沿同方向行驶，它们将在5小时后相遇。如果它们相向行驶，它们将在1小时后相遇。两车的速度是多少？
5. 如果长度减少5个单位，宽度增加3个单位，矩形的面积将减少9平方单位。如果我们增加长度3个单位，宽度增加2个单位，面积将增加67平方单位。求矩形的尺寸。

解决方案

I. 设 Hostel 的固定费用（卢比）为x，在餐厅用餐的每日费用（卢比）为y。

已知学生A住了20天支付了1000卢比，因此

x + 20y = 1000 ... 方程(I)

根据第二种情况，学生B住了26天支付了1180卢比，因此

x + 26y = 1180 ... 方程(II)

将方程(I)与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和方程(II)与a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 1, b₁ = 20, 和 c₁ = -1000

a₂ = 1, b₂ = 26, 和 c₂ = -1180

通过应用交叉相乘法

因此，Hostel 的固定费用为400卢比，而每日费用为30卢比。

II. 设分子为x，分母为y。

已知从分子中减去1后，分数变为1/3，因此

(x - 1)/y = 1/3

3(x - 1) = y

3x - 3 = y

3x - y = 3 ... 方程(I)

根据第二种情况，分母加上8后，分数变为1/4，因此

x/(y + 8) = ¼

4x = y + 8

4x - y = 8 ... 方程(II)

将方程(I)与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和方程(II)与a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 3, b₁ = -1, 和 c₁ = -3

a₂ = 4, b₂ = -1, 和 c₂ = -8

通过应用交叉相乘法

因此，分子是5，分母是12。所求的分数是5/12。

III. 设亚什正确回答的问题数为x，错误回答的问题数为y。

已知亚什在答对3分、答错扣1分的情况下得40分，因此

3x - y = 40 ... 方程(I)

还已知如果答对4分，答错扣2分，亚什将得50分，因此

4x - 2y = 50 ... 方程(II)

将方程(I)与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和方程(II)与a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 3, b₁ = -1, 和 c₁ = -40

a₂ = 4, b₂ = -2, 和 c₂ = -50

通过应用交叉相乘法

因此，亚什正确回答了15道题，错误回答了5道题。总题数为15 + 5 = 20。

IV. 设从A点出发的汽车速度为x km/h，从B点出发的汽车速度为y km/h。

已知A到B的距离是100公里。并且如果它们沿同方向行驶，它们将在5小时后相遇。

5小时内汽车行驶的距离可以用以下方法计算

距离 = 速度 × 时间

因此，

5x - 5y = 100

5(x - y) = 100

x - y = 20 ... 方程(I)

还已知两车相向行驶（即相向行驶）时，1小时后相遇，因此

x + y = 100 ... 方程(II)

将方程(I)与a₁x + b₁y + c₁ = 0 和方程(II)与a₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 1, b₁ = -1, 和 c₁ = -20

a₂ = 1, b₂ = 1, 和 c₂ = -100

通过应用交叉相乘法

因此，从A点出发的汽车速度是60公里/小时，从B点出发的汽车速度是40公里/小时。

V. 设矩形的长度（单位）为x，矩形的宽度（单位）为y。

我们知道

矩形面积 = 长 × 宽

因此，面积 = xy

已知如果长度减少5个单位，宽度增加3个单位，矩形面积将减少9平方单位，因此

(x - 5) (y + 3) = xy - 9

xy - 5y + 3x - 15 = xy - 9

3x - 5y - 15 = -9

3x - 5y = 6 ... 方程(I)

还已知如果长度增加3个单位，宽度增加2个单位，矩形面积将增加67平方单位，因此

(x + 3) (y + 2) = xy + 67

xy + 3y + 2x + 6 = xy + 67

2x + 3y + 6 = 67

2x + 3y = 61 ... 方程(II)

将方程(I)与a�₁x + b₁y + c₁ = 0 和方程(II)与a�₂x + b₂y + c₂ = 0 进行比较，我们得到

a₁ = 3, b₁ = -5, 和 c₁ = -6

a₂ = 2, b₂ = 3, 和 c₂ = -61

通过应用交叉相乘法

因此，矩形的长度是17个单位，矩形的宽度是9个单位。

练习3.6

1. 将以下方程组化为二元一次方程组进行求解

1. 1/2x + 1/3y = 2
   1/3x + 1/2y = 13/6
2. 2/√x + 3/√y = 2
   4/√x - 9/√y = -1
3. 4/x + 3y = 14
   3/x - 4y = 23
4. 5/(x - 1) + 1/(y - 2) = 2
   6/(x - 1) - 3/(y - 2) = 1
5. (7x - 2y)/xy = 5
   (8x + 7y)/xy = 15
6. 6x + 3y = 6xy
   2x + 4y = 5xy
7. 10/(x + y) + 2/(x - y) = 4
   15/(x + y) - 5/(x - y) = -2
8. 1/(3x + y) + 1/(3x - y) = 3/4
   1/2(3x + y) - 1/2(3x - y) = -1/8

解决方案

I. 设 1/x = u 和 1/y = v。

u/2 + v/3 = 2 ... 方程(I)

u/3 + v/2 = 13/6 ... 方程(II)

将方程(I)乘以2，将方程(II)乘以3，然后从方程(II)减去方程(I)

因此，给定方程组的解是x = 1/2 和 y = 1/3。

II. 设 1/√x = u 和 1/√y = v

2u + 3v = 2 ... 方程(I)

4u - 9v = -1 ... 方程(II)

将方程(I)乘以2，然后从方程(I)减去方程(II)

因此，给定方程组的解是x = 4 和 y = 9。

III. 设 1/x = u。

4u + 3y = 14 ... 方程(I)

3u - 4y = 23 ... 方程(II)

从方程(I)，我们有

因此，给定方程组的解是x = 1/5 和 y = -2。

IV. 设 1/(x - 1) = u 和 1/(y - 2) = v。

5u + v = 2 ... 方程(I)

6u - 3v = 1 ... 方程(II)

从方程(I)，我们有

因此，给定方程组的解是x = 4 和 y = 5。

V.

设 1/x = u 和 1/y = v。

-2u + 7v = 5 ... 方程(I)

7u + 8v = 15 ... 方程(II)

从方程(I)我们有

因此，给定方程组的解是x = 1 和 y = 1。

VI.

设 1/x = u 和 1/y = v。

u + 2v = 2 ... 方程(I)

4u + 2v = 5 ... 方程(II)

从方程(I)我们有

u = 2 - 2v

将u的求得值代入方程(II)，我们得到

因此，给定方程组的解是x = 1 和 y = 2。

VII. 设 1/(x + y) = u 和 1/(x - y) = v。

10u + 2v = 4 ... 方程(I)

15u - 5v = -2 ... 方程(II)

从方程(I)我们有

将v的求得值代入方程(I)，我们得到

将x = 3代入方程(III)，我们得到

3 - y = 1

y = 2

因此，给定方程组的解是x = 3 和 y = 2。

VII. 设 1/(3x + y) = u 和 1/(3x - y) = v。

u + v = 3/4

4u + 4v = 3 ... 方程(I)

u/2 - v/2 = -1/8

4u - 4v = -1 ... 方程(II)

将方程(I)和方程(II)相加

因此，给定方程组的解是x = 1 和 y = 1。

2. 将以下问题列成方程组，并求出其解

1. 丽图顺流划20公里需要2小时，逆流划4公里需要2小时。求她静水划行速度和水流速度。
2. 2名妇女和5名男子合作可以在4天内完成一项刺绣工作，而3名妇女和6名男子可以在3天内完成。求1名妇女单独完成工作所需的时间，以及1名男子单独完成工作所需的时间。
3. 露西乘火车和巴士的组合部分到家，总距离为300公里。如果她乘火车60公里，其余乘巴士，需要4小时。如果她乘火车100公里，其余乘巴士，她需要多花10分钟。分别求火车和巴士的速度。

解决方案

I. 设丽图在静水中的划行速度为x km/h，水流速度为y km/h。

她顺流划行的速度 = (x + y) km/h

她逆流划行的速度 = (x - y) km/h

我们知道

将求得的x值代入方程(II)，我们得到

6 - y = 2

y = 4

因此，静水划行速度为6公里/小时，水流速度为4公里/小时。

II. 设1名妇女完成刺绣工作所需的时间（天）为x。

设1名男子完成刺绣工作所需的时间（天）为y。

2名妇女和5名男子合作需要4天完成工作，因此

2/x + 5/y = 1/4 ... 方程(I)

还已知3名妇女和6名男子可以在3天内完成工作，因此

3/x + 6/y = 1/3

3(3/x + 6/y) = 1

9/x + 18/y = 1 ... 方程(II)

设 1/x = u，1/y = v。

2u + 5v = ¼ ... 方程(III)

9u + 18v = 1 ... 方程(IV)

从方程(IV)，我们有

因此，1名妇女完成刺绣工作所需的时间是18天，而1名男子完成刺绣工作所需的时间是36天。

III. 设火车的速度（公里/小时）为x，巴士的速度（公里/小时）为y。

我们知道

由于露西乘火车60公里，其余乘巴士，在4小时内行驶了300公里，因此

60/x + (300 - 60)/y = 4

60/x + 240/y = 4

4(15/x + 60/y) = 4

15/x + 60/y = 1 ... 方程(I)

还已知如果她乘火车100公里，其余乘巴士，需要4 + 10/60 = 25/6 小时，因此

100/x + (300 - 100)/y = 25/6

100/x + 200/y = 25/6

25(4/x + 8/y) = 25/6

24/x + 48/y = 1 ... 方程(II)

设 1/x = u 和 1/y = v。

15u + 60v = 1 ... 方程(III)

24u + 48v = 1 ... 方程(IV)

从方程(III)，我们有

因此，火车的速度是60公里/小时，巴士的速度是80公里/小时。

练习3.7 (可选)

1. 两个朋友 Ani 和 Biju 的年龄相差3年。 Ani 的父亲 Dharam 的年龄是 Ani 的两倍，Biju 的年龄是他的妹妹 Cathy 的两倍。 Cathy 和 Dharam 的年龄相差30年。求 Ani 和 Biju 的年龄。

解决方案

设 Ani 的年龄（岁）为x，Biju 的年龄（岁）为y。

由于 Ani 和 Biju 的年龄差是3年，因此

x - y = 3 假设 Ani 年长

或

y - x = 3 假设 Biju 年长

x - y = -3 ... 方程(I)

Dharam 的年龄 = 2x

Cathy 的年龄 = y/2

由于 Dharam 和 Cathy 的年龄差是30年，因此

2x - y/2 = 30

(4x - y)/2 = 30

4x - y = 60 ... 方程(II)

从方程(II)我们有

将y的值代入方程(II)，我们得到

i)

x - 16 = 60

4x = 76

x = 19

或

ii)

4x - 24 = 60

4x = 84

x = 21

因此，Ani 和 Biju 的年龄分别是19岁和16岁，或者21岁和24岁。

2. 一人说：“朋友，给我一百！我将变得比你富有两倍。” 另一个人回答：“如果你给我十块，我将比你富有六倍。” 告诉我他们各自的资本是多少？ [出自 Bhaskara II 的 Bijaganita]

[提示：x + 100 = 2(y - 100), y + 10 = 6(x - 10)]。

解决方案

设一个朋友携带x卢比，另一个携带y卢比。

如果第一个朋友从另一个朋友那里收到一百卢比，他们的资本将分别是（x + 100）卢比和（y - 100）卢比。第一个朋友收到对方100卢比后，拥有的钱是对方的两倍，因此

x + 100 = 2(y - 100)

x + 100 = 2y - 200

x - 2y = -300 ... 方程(I)

如果第二个朋友从第一个朋友那里收到十块钱，他们的资本将分别是（y + 10）卢比和（x - 10）卢比。第二个朋友收到第一个朋友的10卢比后，拥有的钱是对方的六倍，因此

y + 10 = 6(x - 10)

y + 10 = 6x - 60

6x - y = 70 ... 方程(II)

从方程(II)我们有

因此，第一个朋友有40卢比，第二个朋友有170卢比。

3. 一列火车以匀速行驶了一段确定的距离。如果火车速度提高10公里/小时，它将比预定时间少用2小时。如果火车速度慢10公里/小时，它将比预定时间多用3小时。求火车行驶的距离。

解决方案

设火车的原始速度（公里/小时）为x，旅程完成所需时间（小时）为y。

我们知道：

距离 = 速度 × 所用时间

因此，火车行驶的距离（公里）= xy

已知如果速度提高10公里/小时，旅程将少用2小时，因此

xy = (x + 10) (y - 2)

xy = xy - 2x + 10y - 20

20 = -2x + 10y

20 = -2(x - 5y)

x - 5y = -10 ... 方程(I)

还已知如果速度慢10公里/小时，旅程将多用3小时，因此

xy = (x - 10) (y + 3)

xy = xy + 3x - 10y - 30

30 = 3x - 10y

3x - 10y = 30 ... 方程(II)

从方程(I)，我们有

x = -10 + 5y

将x = -10 + 5y代入方程(II)

3(-10 + 5y) - 10y = 30

-30 + 15y - 10y = 30

5y = 60

y = 12

将求得的y值代入方程(I)，我们得到

x - 5(12) = -10

x - 60 = -10

x = 50

因此，火车的原始速度是50公里/小时，它行驶这段距离的原始时间是12小时。

因此，火车行驶的距离 = xy = 50 × 12 = 600公里。

4. 将班里的学生排成队列。如果每排多站3名学生，则会少1排。如果每排少站3名学生，则会多2排。求班里的学生人数。

解决方案

设队列数为x，每排站的学生数为y。

学生总数 = x × y

已知如果每排多站3名学生，队列数会减少1，因此

xy = (x - 1) (y + 3)

xy = xy +3x - y - 3

3x - y = 3 ... 方程(I)

还已知如果每排减少3名学生，队列数会增加2，因此

xy = (x + 2) (y - 3)

xy = xy - 3x + 2y - 6

6 = 2y - 3x

3x - 2y = -6 ... 方程(II)

从方程(I)，我们有

因此，队列数=4，每排学生数=9。

班级学生总数 = xy = 4 × 9 = 36。

5. 在?ABC中，∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B)。求这三个角。

解决方案

设∠A = x（度），∠B = y（度）。

现在，∠C = 3y = 2(x + y)

3y = 2x + 2y

y = 2x

2x - y = 0 ... 方程(I)

根据三角形的内角和定理，

∠A + ∠B + ∠C = 180

x + y + 3y = 180

x + 4y = 180 ... 方程(II)

从方程(I)，我们有

2x = y

将y = 2x代入方程(II)

x + 4(2x) = 180

x + 8x = 180

9x = 180

x = 20

将x的求得值代入方程(I)，我们得到

2(20) - y = 0

40 = y

因此，∠A = 20°，∠B = 40°，∠C = 3(40) ° = 120°

6. 绘制方程5x - y = 5和3x - y = 3的图形。确定由这些直线和y轴形成的三角形的顶点坐标。

解决方案

5x - y = 5 ... 方程(I)

3x - y = 3 ... 方程(II)

接下来，我们需要为其中一个变量赋一个值，然后计算另一个变量，以找到绘制图形所需的坐标。我们将为x赋值并从方程中计算y。

注意：由于学生可以自由假设任何他们想要的值，因此建议选择那些使计算更容易的值。

对于方程(I):

对于方程(II):

绘制方程后将获得以下图形

三角形由顶点(0, -5)、(0, -3)、(1, 0)形成。

7. 解以下二元一次方程组

1. px + qy = p - q
   qx - py = p + q
2. ax + by = c
   bx + ay = 1 + c
3. x/a - y/b = 0
   ax + by = a² + b²
4. (a - b)x + (a + b) y = a² - 2ab - b²
   (a + b)(x + y) = a² + b²
5. 152x - 378y = - 74
   -378x + 152y = - 604

解决方案

I. px + qy = p - q ... 方程(I)

qx - py = p + q ... 方程(II)

将方程(I)乘以p，方程(II)乘以q，然后将得到的方程相加

II. ax + by = c ... 方程(I)

bx + ay = 1 + c ... 方程(II)

将方程(I)乘以b，方程(II)乘以a

从方程(IV)减去方程(III)

III. x/a -y/b = 0

(bx - ay)/ab = 0

bx - ay = 0 ... 方程(I)

ax + by = a² + b² ... 方程(II)

IV. (a - b)x + (a + b) y = a² - 2ab - b² ... 方程(I)

(a + b)(x + y) = a² + b²

(a+b)x + (a+b)y = a² + b² ... 方程(II)

从方程(I)减去方程(II)

V. 152x - 378y = - 74

2(76x - 189y) = -74

76x - 189y = -37 ... 方程(I)

-378x + 152y = -604

2(-189x + 76y) = -604

-189x + 76y = -302 ... 方程(II)

方程(I)乘以76，方程(II)乘以189

8. ABCD是圆内接四边形（见图）。求圆内接四边形的各个角。

解决方案

由于ABCD是圆内接四边形，对角之和为180°。

利用这个知识，我们可以得出

3y - 5 - 7x + 5 = 180

7x - 3y = -180 ... 方程(I)

并且

4y + 20 - 4x = 180

-4(x - y - 5) = 180

x - y - 5 = -45

x - y = -40 ... 方程(II)

从方程(II)我们有

x = y - 40

将x = y - 40代入方程(I)

7(y - 40) - 3y = -180

7y - 280 - 3y = -180

4y = 100

y = 25

将y = 25代入方程(II)，我们得到

x - 25 = -40

x = -15

故，

∠A = 4y + 20 = 4(25) + 20 = 100 + 20 = 120°

∠B = 3y - 5 = 3(25) - 5 = 75 - 5 = 70°

∠C = -4x = -4(-15) = 60°

∠D = -7x + 5 = -7(-15) + 5 = 105 + 5 = 110°