11 年级数学 第 9 章：序列和数列的 NCERT 解决方案2024年10月1日 | 阅读 76 分钟 练习 9.1写出练习 1 到 6 中每个数列的前五项，其中第 n 项为： 1. an = n (n + 2) 解决方案 给定数列的第 n 项 = n (n + 2) 第一项 = a1 = 1 (1 + 2) = 3 第二项 = a2 = 2 (2 + 2) = 8 第三项 = a3 = 3 (3 + 2) = 15 第四项 = a4 = 4 (4 + 2) = 24 第五项 = a5 = 5 (5 + 2) = 35 因此，给定数列的前五项为 3, 8, 15, 24, 35。 2. an = n/(n + 1) 解决方案 给定数列的第 n 项 = n/(n + 1) 第一项 = a1 = 1/(1 + 1) = 1/2 第二项 = a2 = 2/(2 + 1) = 2/3 第三项 = a3 = 3/(3 + 1) = 3/4 第四项 = a4 = 4/(4 + 1) = 4/5 第五项 = a5 = 5/(5 + 1) = 5/6 因此，给定数列的前五项为 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 和 5/6。 3. an = 2n 解决方案 给定数列的第 n 项 = 2n 第一项 = a1 = 21 = 2 第二项 = a2 = 22 = 4 第三项 = a3 = 23= 8 第四项 = a4 = 24 = 16 第五项 = a5 = 25 = 32 因此，给定数列的前五项为 2, 4, 8, 16, 32。 4. an = (2n - 3)/6 给定数列的第 n 项 = (2n - 3)/6 第一项 = a1 = (2(1) - 3)/6 = -1/6 第二项 = a2 = (2(2) - 3)/6 = 1/6 第三项 = a3 = (2(3) - 3)/6 = 1/2 第四项 = a4 = (2(4) - 3)/6 = 5/6 第五项 = a5 = (2(5) - 3)/6 = 7/6 因此，给定数列的前五项为 -1/6, 1/6, 1/2, 5/6 和 7/6。 5. an = (-1)n - 1 5n + 1 解决方案 给定数列的第 n 项 = (-1)n - 1 5n + 1 第一项 = a1 = (-1)1 - 1 51 + 1 = 25 第二项 = a2 = (-1)2 - 1 52 + 1 = -125 第三项 = a3 = (-1)3 - 1 53 + 1 = 625 第四项 = a4 = (-1)4 - 1 54 + 1 = -3125 第五项 = a5 = (-1)5 - 1 55 + 1 = 15625 因此，给定数列的前五项为 25, -125, 625, -3125, 和 15625。 6. an = n (n2 + 5)/4 解决方案 给定数列的第 n 项 = n (n2 + 5)/4 第一项 = a1 = 1 (12 + 5)/4 = 3/2 第二项 = a2 = 2 (22 + 5)/4 = 9/2 第三项 = a3 = 3 (32 + 5)/4 = 21/2 第四项 = a4 = 4 (42 + 5)/4 = 21 第五项 = a5 = 5 (52 + 5)/4 = 75/2 因此，给定数列的前五项为 3/2, 9/2, 21/2, 21 和 75/2。 在练习 7 到 10 中，找出每个数列中给定的项，其第 n 项为： 7. an = 4n - 3; a17, a24 解决方案 给定数列的第 n 项 = an = 4n - 3 数列的第 17 项 = a17 = 4(17) - 3 = 65 数列的第 24 项 = a24 = 4(24) - 3 = 93 8. an = n2/2n; a7 解决方案 给定数列的第 n 项 = an = n2/2n 数列的第 7 项 = a7 = 72/27 = 49/128 9. an = (-1)n - 1n3; a9 解决方案 给定数列的第 n 项 = an = (-1)n - 1n3 数列的第 9 项 = a9 = (-1)9 - 193 = 729 10. an = n(n - 2)/(n + 3); a20 解决方案 给定数列的第 n 项 = an = n(n - 2)/(n + 3) 数列的第 20 项 = a20 = 20(20 - 2)/(20 + 3) = 20(18)/23 = 360/23 写出练习 11 到 13 中每个数列的前五项，并得到相应的级数。 11. a1 = 3, an = 3an - 1 + 2 for all n > 1 解决方案 给定数列的第 n 项 = 3an - 1 + 2 第一项 = a1 = 3 第二项 = a2 = 3a1 + 2 = 3(3) + 2 = 11 第三项 = a3 = 3a2 + 2 = 3(11) + 2 = 35 第四项 = a4 = 3a3 + 2 = 3(35) + 2 = 107 第五项 = a5 = 3a4 + 2 = 3(107) + 2 = 323 因此，给定数列的前五项为 3, 11, 35, 107, 和 323。 因此，相应的级数为： 3 + 11 + 35 + 107 + 323 + … 12. a1 = - 1, an = an - 1/n, n ≥ 2 解决方案 给定数列的第 n 项 = an - 1/n 第一项 = a1 = -1 第二项 = a2 = a1/2 = -1/2 第三项 = a3 = a2/3 = -1/6 第四项 = a4 = a3/4 = -1/24 第五项 = a5 = a4/5 = -1/120 因此，给定数列的前五项为 -1, -1/2, -1/6, -1/24, 和 -1/120。 因此，相应的级数为： -1 + (-1/2) + (-1/6) + (-1/24) + (-1/120) + … 13. a1 = a2 = 2, an = an - 1 - 1, n > 2 解决方案 给定数列的第 n 项 = an - 1 - 1 第一项 = a1 = 2 第二项 = a2 = 2 第三项 = a3 = a2- 1 = 2 - 1 = 1 第四项 = a4 = a3 - 1 = 1 - 1 = 0 第五项 = a5 = a4 - 1 = 0 - 1 = -1 因此，给定数列的前五项为 2, 2, 1, 0, 和 -1。 因此，相应的级数为： 2 + 2 + 1 + 0 + (-1) + … 14. 斐波那契数列定义为： 1 = a1 = a2 且 an = an - 1 + an - 2, n > 2。 求 an + 1/an，对于 n = 1, 2, 3, 4, 5。 解决方案 a1 = a2 = 1 斐波那契数列的第 n 项 = an - 1 + an - 2 第三项 = a3 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2 第四项 = a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3 第五项 = a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5 第六项 = a6 = a5 + a4 = 5 + 3 = 8 an + 1/an 的值，当 n = 1 ⇒ a2/a1 = 1/1 = 1 n = 2 ⇒ a3/a2 = 2/1 = 2 n = 3 ⇒ a4/a3 = 3/2 n = 4 ⇒ a5/a4 = 5/3 n = 5 ⇒ a6/a5 = 8/5 练习 9.21. 求从 1 到 2001 的所有奇数之和。 解决方案 从 1 到 2001 的奇数数列为 1, 3, 5, 7, …, 1997, 1999, 2001。 该数列是等差数列（AP）的形式。 首项 = a = 1 公差 = d = 2 末项 = a + (n - 1)d = 2001 1 + (n - 1)2 = 2001 1 + 2n - 2 = 2001 2n - 2 = 2000 2n = 2002 n = 1001 因此，从 1 到 2001 的奇数数列共有 1001 项。 等差数列的和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] = 1001/2 × [2(1) + (1000)2] = 1001/2 × [2 + 2000] = 1001/2 × 2002 = 10012 = 1002001 因此，从 1 到 2001 的奇数之和为 1002001。 2. 求 100 到 1000 之间所有是 5 的倍数的自然数之和。 解决方案 100 到 1000 之间所有是 5 的倍数的自然数数列为 105, 110, 115, …, 990, 995。 该数列是等差数列（AP）的形式。 首项 = a = 105 公差 = d = 5 末项 = a + (n - 1)d = 995 105 + (n - 1)5 = 995 105 + 5n - 5 = 995 5n + 100 = 995 5n = 895 n = 179 因此，100 到 1000 之间所有是 5 的倍数的自然数数列共有 179 项。 等差数列的和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] = 179/2 × [2(105) + (178)5] = 179/2 × [210 + 890] = 179/2 × 1100 = 179 × 550 = 98450 因此，100 到 1000 之间所有是 5 的倍数的自然数之和为 98450。 3. 在一个等差数列中，首项为 2，前五项之和是后五项和的四分之一。证明第 20 项为 -112。 解决方案 等差数列的首项 = a = 2 设等差数列的公差为 d。 所以，该等差数列为： 2, 2 + d, 2 + 2d, …, 前五项之和 = S5 = 5/2 × [2(2) + (4)d] = 5/2 × [4 + 4d] = 5/2 × 2(2 + 2d) = 10 + 10d 后五项之和 = 前十项之和 - 前五项之和 = 10/2 × [2(2) + 9d] - (10 + 10d) = 5 × (4 + 9d) - 10 - 10d = 20 + 45d - 10 - 10d = 10 + 35d 已知给定等差数列的前五项之和是后五项和的四分之一。因此： 10 + 10d = 1/4 × (10 + 35d) 4(10 + 10d) = 10 + 35d 40 + 40d = 10 + 35d 30 + 5d = 0 5d = -30 d = -6 等差数列的第 20 项 = a20 = 2 + 19(-6) = 2 - 114 = -112 因此，证明了该等差数列的第 20 项为 -112。 4. 等差数列 - 6, -11/2, - 5, … 的多少项之和为 -25？ 解决方案 所需总和 = Sn = -25，其中 n 是给定等差数列的项数，其总和为 -25。 首项 = a = -6 公差 = -11/2 - (-6) = -11/2 + 6 = 1/2 Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] -25 = n/2 × [2(-6) + (n - 1)/2] -50 = n [-12 + (n - 1)/2] -50 = -12n + n(n - 1)/2 -50 = [-24n + n2 - n]/2 -100 = n2 - 25n n2 - 25n + 100 = 0 n2 - 5n - 20n + 100 = 0 n(n - 5) - 20(n - 5) = 0 (n - 5) (n - 20) = 0 因此， (n - 5) = 0 ⇒ n = 5 或 (n - 20) = 0 ⇒ n = 20 因此，需要 20 项或 5 项该等差数列才能得到总和 -25。 5. 在一个等差数列中，如果第 p 项为 1/q，第 q 项为 1/p，证明前 pq 项之和为 (pq + 1)/2，其中 p ≠ q。 解决方案 等差数列的通项公式 = an = a + (n - 1)d 等差数列的第 p 项 = ap = a + (p - 1)d = 1/q 等差数列的第 q 项 = aq = a + (q - 1)d = 1/p ap - aq = a + (p - 1)d - (a + (q - 1)d) 1/q - 1/p = a + (p - 1)d - a - (q - 1)d 1/q - 1/p = (p - 1 - q + 1)d (p - q)/pq = (p - q)d d = 1/pq 现在， ap = a + (p - 1)d 1/q = a + (p - 1)/pq 1 = q (a + (p - 1)/pq) 1 = aq + (p - 1)/p 1 = (apq + p - 1)/p p = apq + p - 1 1= apq a = 1/pq 现在，前 pq 项之和 Spq = pq/2 × [2(1/pq) + (pq - 1)/pq] = pq/2 × 1/pq × (2 + pq - 1) = 1/2 × (pq + 1) 因此，证明了该等差数列的前 pq 项之和为 1/2 (pq + 1)。 6. 如果一个等差数列 25, 22, 19, … 的某些项之和为 116。求末项。 解决方案 首项 = a = 25 公差 = d = 22 - 25 = -3 设该等差数列和为 116 的项数为 n。 Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] 116 = n/2 × [2(25) + (n - 1)(-3)] 232 = n × [50 - 3n + 3] 232 = 53n - 3n2 3n2 - 53n + 232 = 0 3n2 - 24n - 29n + 232 = 0 3n(n - 8) - 29(n - 8) = 0 (3n - 29) (n - 8) = 0 因此， (n - 8) = 0 ⇒ n = 8 或 (3n - 29) = 0 ⇒ n = 29/3 n 只能是整数值，因此 n = 29/8 被拒绝。 n = 8 因此，该等差数列需要 8 项才能得到总和 116。 末项 = a8 = a + 7d = 25 + 7(-3) = 25 - 21 = 4 因此，末项为 4。 7. 求其第 k 项为 5k + 1 的等差数列的 n 项之和。 解决方案 等差数列的第 k 项 = ak = 5k + 1 a + (k - 1)d = 5k + 1 a + dk - d = 5k + 1 通过比较 k 的系数，我们得到 d = 5。 a + 5k - 5 = 5k + 1 a - 5 = 1 a = 6 等差数列的 n 项之和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] = n/2 × [2(6) + (n - 1)5] = n/2 × [12 + 5n - 5] = n/2 × [5n + 7] = (5n + 7)/2 8. 如果一个等差数列的 n 项之和为 (pn + qn2)，其中 p 和 q 是常数，求公差。 解决方案 等差数列的 n 项之和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] (pn + qn2) = n/2 × [2a + (n - 1)d] 2qn2 + 2pn = 2an + dn(n - 1) 2qn2 + 2pn = dn2 + 2an - dn 2qn2 + 2pn = dn2 + n(2a - d) 比较 n2 的系数 2q = d 因此，给定等差数列的公差为 2q。 9. 两个等差数列的 n 项之和之比为 5n + 4 : 9n + 6。求它们的第 18 项之比。 解决方案 设第一个等差数列的首项为 a，公差为 d。 设第二个等差数列的首项为 A，公差为 D。 第一个等差数列的 n 项之和 = n/2 × [2a + (n - 1)d] 第二个等差数列的 n 项之和 = n/2 × [2A + (n - 1)D] 已知第一个和第二个等差数列的 n 项之和之比为 5n + 4 : 9n + 6。因此： [n/2 × [2a + (n - 1)d]]/[n/2 × [2A + (n - 1)D]] = (5n + 4)/(9n + 6) [2a + (n - 1)d]/[2A + (n - 1)D] = (5n + 4)/(9n + 6) 令 n = 35 [2a + (35 - 1)d]/[2A + (35 - 1)D] = (5(35) + 4)/(9(35) + 6) [2a + 34d]/[2A + 34D] = (175 + 4)/(315 + 6) 2[a + 17d]/2[A + 17D] = 179/321 (a + 17d)/(A + 17D) = 179/321 a18/A18 = 179/321 因此，两个等差数列的第 18 项之比为 179 : 321。 10. 如果一个等差数列的前 p 项之和等于前 q 项之和，则求前 (p + q) 项之和。 解决方案 等差数列的前 p 项之和 = Sp = p/2 × [2a + (p - 1)d] 等差数列的前 q 项之和 = Sq = q/2 × [2a + (q - 1)d] 已知该等差数列的前 p 项之和等于前 q 项之和。因此： Sp = Sq p/2 × [2a + (p - 1)d] = q/2 × [2a + (q - 1)d] p [2a + (p - 1)d] = q [2a + (q - 1)d] 2ap + p(p - 1)d = 2aq + q(q - 1)d 2ap - 2aq + p(p - 1)d - q(q - 1)d = 0 2a (p - q) + d(p2 - p - q2 + q) = 0 2a (p - q) + d(p2 - q2 - p + q) = 0 2a (p - q) + d[(p + q) (p - q) - (p - q)] = 0 2a (p - q) + d(p - q)[(p + q) - 1] = 0 (p - q) [2a + (p + q - 1)d] = 0 2a + (p + q - 1)d = 0 两边乘以 (p + q - 1)/2 (p + q - 1)/2 × [2a + (p + q - 1)d] = 0 Sp + q = 0 因此，该等差数列的前 p + q 项之和为 0。 11. 一个等差数列的前 p, q, r 项之和分别为 a, b, c。证明 a(q - r)/p + b(r - p)/q + c(p - q)/r = 0。 解决方案 设该等差数列的首项为 A，公差为 d 等差数列的前 p 项之和 = Sp = p/2 × [2A + (p - 1)d] a = p/2 × [2A + (p - 1)d] 2a/p = 2A + (p - 1)d … 方程 I 等差数列的前 q 项之和 = Sq = q/2 × [2A + (q - 1)d] b = q/2 × [2A + (q - 1)d] 2b/q = 2A + (q - 1)d … 方程 II 等差数列的前 r 项之和 = Sr= r/2 × [2A + (r - 1)d] c = r/2 × [2A + (r - 1)d] 2c/r = 2A + (r - 1)d … 方程 III 方程 II 减去方程 I 2a/p - 2b/q = 2A + (p - 1)d - {2A + (q - 1)d} 2(a/p - b/q) = 2A + (p - 1)d - 2A - (q - 1)d 2(aq - bp)/pq = d(p - 1 - q + 1) 2(aq - bp)/pq = d(p - q) d = 2(aq - bp)/pq(p - q) 方程 III 减去方程 II 2b/q - 2c/r = 2A + (q - 1)d - {2A + (r - 1)d} 2(b/q - c/r) = 2A + (q - 1)d - 2A - (r - 1)d 2(br - cq)/qr = d(q - 1 - r + 1) 2(br - cq)/qr = d(q - r) d = 2(br - cq)/qr(q - r) 现在， 2(aq - bp)/pq(p - q) = 2(br - cq)/qr(q - r) (aq - bp)/p(p - q) = (br - cq)/r(q - r) r(q - r) (aq - bp) = p(p - q) (br - cq) (q - r) (aqr - bpr) = (p - q) (bpr - cpq) 两边同时除以 pqr (q - r) (aqr - bpr)/pqr = (p - q) (bpr - cpq)/pqr (q - r) (a/p - b/q) = (p - q) (b/q - c/r) a(q - r)/p - b(q - r)/q = b(p - q)/q - c(p - q)/r a(q - r)/p + c(p - q)/r - b(q - r)/q - b(p - q)/q = 0 a(q - r)/p - b(q - r + p - q)/q + c(p - q)/r = 0 a(q - r)/p - b(p - r)/q + c(p - q)/r = 0 因此，证明完毕。 12. 一个等差数列的 m 项和与 n 项和之比为 m2 : n2。证明其 mth 项与 nth 项之比为 (2m - 1) : (2n - 1)。 解决方案 设该等差数列的首项为 a，公差为 d m 项和 = Sm = m/2 × [2a + (m - 1)d] n 项和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] 已知该等差数列的 m 项和与 n 项和之比为 m2 : n2。因此： Sm/Sn = m/2 × [2a + (m - 1)d]/[n/2 × [2a + (n - 1)d]] m2/n2 = m {2a + (m - 1)d}/n {2a + (n - 1)d} 令 m = 2m - 1 且 n = 2n - 1 (2m - 1)/(2n - 1) = [2a + (2m - 1 - 1)d]/[2a + (2n - 1 - 1)d] (2m - 1)/(2n - 1) = [2a + (2m - 2)d]/[2a + (2n - 2)d] (2m - 1)/(2n - 1) = 2[a + (m - 1)d]/2[a + (n - 1)d] (2m - 1)/(2n - 1) = [a + (m - 1)d]/[a + (n - 1)d] (2m - 1)/(2n - 1) = am/an am: an = (2m - 1) : (2n - 1) 因此，证明完毕。 13. 如果一个等差数列的 n 项之和为 3n2 + 5n，且其第 m 项为 164，求 m 的值。 解决方案 设该等差数列的首项为 a，公差为 d 等差数列的 n 项之和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] 3n2 + 5n = n/2 × [2a + (n - 1)d] n(3n + 5) = n/2 × [2a + (n - 1)d] 2(3n + 5) = 2a + (n - 1)d 6n + 10 = 2a + dn - d 通过比较两边的 n 的系数，我们得到： 6 = d 2a - d = 10 2a - 6 = 10 2a = 16 a = 8 等差数列的第 m 项 = am = a + (m - 1)d 164 = 8 + (m - 1)6 156 = (m - 1)6 26 = m - 1 m = 27 因此，m 的值为 27。 14. 在 8 和 26 之间插入五个数，使得所得数列为等差数列。 解决方案 设 8 和 26 之间的五个数为 A1, A2, A3, A4 和 A5。 该等差数列为 8, A1, A2, A3, A4, A5, 26。 首项 = a = 8 a7 = 26 a + 6d = 26 8 + 6d = 26 6d = 18 d = 3 A1 = a2 = a + d = 8 + 3 = 11 A2 = a3= a + 2d = 8 + 2(3) = 14 A3 = a4 = a + 3d = 8 + 3(3) = 17 A4 = a5 = a + 4d = 8 + 4(3) = 20 A5 = a6 = a + 5d = 8 + 5(3) = 23 因此，要在 8 和 26 之间插入五个数以使所得数列为等差数列，这五个数为 11, 14, 17, 20, 和 23。 15. 如果 (an+ bn)/(an - 1 + bn - 1) 是 a 和 b 之间的算术平均数，则求 n 的值。 解决方案 a 和 b 之间的算术平均数 = (a + b)/2 已知 a 和 b 之间的算术平均数为 (an+ bn)/(an - 1 + bn - 1)。因此： (a + b)/2 = (an+ bn)/(an - 1 + bn - 1) (a + b) (an - 1 + bn - 1) = 2(an + bn) an + an - 1b + bn + abn - 1 = 2an + 2bn an - 1b + abn - 1 = an + bn abn - 1 - bn = an - an - 1b bn - 1 (a - b) = an - 1 (a - b) bn - 1 = an - 1 (a/b)n - 1 = 1 (a/b)n - 1 = (a/b)0 比较指数 n - 1 = 0 n = 1 因此，n 的值为 1。 16. 在 1 和 31 之间插入 m 个数，使得所得数列为等差数列，且第 7 项与第 (m - 1) 项之比为 5 : 9。求 m 的值。 解决方案 设 1 和 31 之间的 m 个数为 A1, A2, A3, …, Am。 该等差数列为 1, A1, A2, A3, …, Am, 31。 首项 = a = 1 an = 31 a + (n - 1)d = 31 1 + (m + 2 - 1)d = 31 (m + 1)d = 30 d = 30/(m + 1) A1 = a2 = a + d = 1 + 30/(m + 1) A2 = a3 = a + 2d = 1 + 60/(m + 1) … A7 = a8 = a + 7d = 1 + 210/(m + 1) Am - 1 = am = a + (m - 1)d = 1 + 30(m - 1)/(m + 1) 已知第 7 项与第 (m - 1) 项之比为 5 : 9。因此： a8/am = 5/9 [1 + 210/(m + 1)]/[1 + 30 (m - 1)/(m + 1)] = 5/9 9 [1 + 210/(m + 1)] = 5 [1 + 30 (m - 1)/(m + 1)] 9 (m + 1 + 210)/(m + 1) = 5 [(m + 1) + 30 (m - 1)]/(m + 1) 9 (m + 211) = 5 (m + 1 + 30m - 30) 9m + 1899 = 5 (31m - 29) 9m + 1899 = 155m - 145 2044 = 146m m = 14 因此，在 1 和 31 之间插入了 14 个数。 17. 一名男子开始偿还贷款，第一个月还款额为 100 卢比。如果他每月增加 5 卢比的还款额，那么他在第 30 个月将还款多少？ 解决方案 贷款的第一个月还款额 = 100 卢比 贷款的第二个月还款额 = 100 + 5 = 105 卢比 贷款的第三个月还款额 = 105 + 5 = 110 卢比 男子每月还款的金额构成一个等差数列：100, 105, 110, … 等差数列的首项 = a = 100 公差 = d = 5 第 30 个月的还款额 = 等差数列的第 30 项 = a30 = a + 29d = 100 + 29(5) = 100 + 145 = 245 因此，该男子将在第 30 个月还款 245 卢比。 18. 多边形任意两个连续内角之差为 5°。如果最小角为 120°，求多边形的边数。 解决方案 两个连续内角之差为 5°。因此，这些角的序列将构成一个等差数列。 120, 125, 130, ... 等差数列的首项 = 多边形的最小角 = a = 120 公差 = d = 5 我们知道多边形的所有内角之和为 180° (n - 2)，其中 n 是多边形的边数。 等差数列的和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] 180 (n - 2) = n/2 × [2(120) + (n - 1)5] 360 (n - 2) = n × [240 + 5n - 5] 360n - 720 = n × [5n + 235] 360n - 720 = 5n2 + 235n 5n2 - 125n + 720 = 0 5(n2 - 25n + 144) = 0 n2 - 25n + 144 = 0 n2 - 16n - 9n + 144 = 0 n (n - 16) - 9 (n - 16) = 0 (n - 16) (n - 9) = 0 (n - 16) = 0 ⇒ n = 16 或 (n - 9) = 0 ⇒ n = 9 因此，该多边形有 9 条边或 16 条边。 练习 9.31. 求等比数列 5/2, 5/4, 5/8, … 的第 20 项和第 n 项。 解决方案 首项 = a = 5/2 公比 = r = (5/4)/(5/2) = 1/2 给定等比数列的第 20 项 = a20 = ar19 = 5/2 × (1/2)19 = 5/2(2)19 = 5/220 给定等比数列的第 n 项 = an = arn - 1 = 5/2 × (1/2)n - 1 = 5/2(2)n - 1 = 5/2n 2. 已知等比数列的第 8 项是 192，公比是 2，求它的第 12 项。 解决方案 等比数列的公比 = r = 2 首项 = a 等比数列的第 8 项 = a8 = ar7 192 = a(2)7 192 = 128a 3/2 = a 等比数列的第 12 项 = a12 = ar11 = 3/2 × (2)11 = 3 × 210 = 3072 因此，该等比数列的第 12 项是 3072。 3. 等比数列的第 5, 8, 11 项分别是 p, q, s。证明 q2 = ps。 解决方案 设等比数列的首项为 a，公比为 r 等比数列的第 5 项 = a5 = ar4 p = ar4 等比数列的第 8 项 = a8 = ar7 q = ar7 等比数列的第 11 项 = a11 = ar10 s = ar10 现在， a8/a5 = ar7/ar4 q/p = r3 并且 a11/a8 = ar10/ar7 s/q = r3 因此， q/p = s/q q2 = ps 因此，证明完毕。 4. 等比数列的第 4 项是其第 2 项的平方，首项是 - 3。确定其第 7 项。 解决方案 设等比数列的首项 = a = -3，公比 = r 已知等比数列的第 4 项是第 2 项的平方。因此： a4 = (a2)2 ar3 = (ar)2 ar3 = a2r2 -3r3 = 9r2 -3r = 9 r = -3 等比数列的第 7 项 = a7 = ar6 = (-3) (-3)6 = (-3)7 = -2187 因此，给定等比数列的第 7 项为 -2187。 5. 下列数列中的哪一项 (a) 2, 2√2, 4, … 是 128？ (b) √3, 3, 3√3, … 是 729？ (c) 1/3, 1/9, 1/27, … 是 1/19683？ 解决方案 (a) 首项 = a = 2 公比 = r = 2√2/2 = √2 an = 128 arn - 1 = 128 2 (√2)n - 1 = 128 (√2)2 (√2)n - 1 = ((√2)2)7 (√2)n - 1 + 2 = (√2)14 (√2)n + 1 = (√2)14 比较指数 n + 1 = 14 n = 13 因此，128 是给定等比数列的第 13 项。 (b) 首项 = a = √3 公比 = r = 3/√3 = √3 an = 729 arn - 1 = 729 √3 (√3)n - 1 = 729 (√3)n - 1 + 1 = ((√3)2)6 (√3)n = (√3)12 比较指数 n = 12 因此，729 是给定等比数列的第 12 项。 (c) 首项 = a = 1/3 公比 = r = 1/9 × 3/1 = 1/3 an = 1/19683 arn - 1 = 1/19683 1/3 × (1/3)n - 1 = 1/19683 1/(3)n - 1 + 1 = 1/(3)9 (3)n = (3)9 比较指数 n = 9 因此，1/19683 是给定等比数列的第 9 项。 6. 对于 x 的什么值，数字 -2/7, x, -7/2 是等比数列？ 解决方案 已知数字 -2/7, x, -7/2 成等比数列。因此： 公比 = r = x/(-2/7) = -7x/2 并且 r = (-7/2)/x = -7/2x 所以， -7x/2 = -7/2x x2 = 1 x = ± 1 因此，当 x = ± 1 时，给定的数字将成等比数列。 求练习 7 到 10 中每个等比数列的 n 项之和。 7. 0.15, 0.015, 0.0015, … 20 项。 解决方案 首项 = a = 0.15 公比 = r = 0.015/0.15 = 1/10 = 0.1 我们知道等比数列的 n 项之和 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) 给定等比数列的 20 项之和 = S20= 0.15(1 - (0.1)20)/(1 - 0.1) = 0.15(1 - (0.1)20)/(0.9) = 1/6 × {1 - (0.1)20} 8. √7, √21, 3√7, … n 项。 解决方案 首项 = a = √7 公比 = r = √21/√7 = √3 等比数列的 n 项之和 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) = √7(1 - (√3)n)/(1 - √3) 有理化 √7(1 - (√3)n)/(1 - √3) × (1 + √3)/(1 + √3) = √7(1 - (√3)n)(1 + √3)/(1 - 3) = √7(1 - (√3)n)(1 + √3)/(-2) = √7((√3)n - 1)(1 + √3)/2 9. 1, - a, a2, - a3, … n 项 (如果 a ≠ - 1)。 解决方案 首项 = 1 公比 = r = -a/1 = -a 等比数列的 n 项之和 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) = 1(1 - (-a)n)/(1 - (-a)) = (1 - (-a)n)/(1 + a) 10. x3, x5, x7, … n 项 (如果 x ≠ ± 1)。 解决方案 首项 = a = x3 公比 = r = x5/x3 = x2 等比数列的 n 项之和 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) = x3(1 - x2n)/(1 - x2) 11. 求 11∑k = 1 (2 + 3k) 的值。 解决方案 11∑k = 1 (2 + 3k) = 11∑k = 1 (2) + 11∑k = 1 (3k) 11∑k = 1 (2) = 2 + 2 + 2 + … 11 次 = 2 (11) = 22 11∑k = 1 (3k) = 31 + 32 + 33 + … + 311 11∑k = 1 (3k) 的展开式构成一个等比数列。 首项 = a = 31 = 3 公比 = r = 32/31 = 31 = 3 我们知道等比数列的 n 项之和 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) 该等比数列的 11 项之和 = S11 = 3(1 - 311)/(1 - 3) = 3(1 - 311)/(-2) = 3/2 × (311 - 1) 因此，11∑k = 1 (2 + 3k) = 11∑k = 1 (2) + 11∑k = 1 (3k) = 22 + 3/2 × (311 - 1) 12. 等比数列前三项之和为 39/10，它们的积为 1。求公比和各项。 解决方案 设等比数列的前三项为 a/r, a, 和 r。 前三项之和 = a/r + a + ar = 39/10 前三项之积 = a/r × a × ar = 1 ⇒ a3 = 1 ⇒ a = 1 因此， a/r + a + ar = 39/10 1/r + 1 + r = 39/10 (1 + r + r2)/r = 39/10 10 (1 + r + r2) = 39r 10r2 + 10r + 10 = 39r 10r2 - 29r + 10 = 0 10r2 - 25r - 4r + 10 = 0 5r (2r - 5) - 2 (2r - 5) = 0 (2r - 5) (5r - 2) = 0 (2r - 5) = 0 ⇒ 2r = 5 ⇒ r = 5/2 或 (5r - 2) = 0 ⇒ 5r = 2 ⇒ r = 2/5 因此，该等比数列的三项为 5/2, 1, 和 2/5 或 2/5, 1, 和 5/2。 13. 等比数列 3, 32, 33, … 的多少项之和为 120？ 解决方案 首项 = a = 3 公比 = r = 32/3 = 3 Sn = a(1 - rn)/(1 - r) 120 = 3 (1 - 3n)/(1 - 3) 40 = (1 - 3n)/(-2) -80 = 1 - 3n -81 = -3n 3n = 81 3n = 34 比较指数 n = 4 因此，需要 4 项该等比数列才能得到总和 120。 14. 等比数列前三项之和为 16，后三项之和为 128。确定该等比数列的首项、公比以及 n 项之和。 解决方案 设该等比数列为 a, ar, ar2, … 首项 = a 公比 = r 已知该等比数列前三项之和为 16。因此： a + ar + ar2 = 16 a(1 + r + r2) = 16 a = 16/(1 + r + r2) 已知该等比数列后三项之和为 128。因此： ar3 + ar4 + ar5 = 128 ar3 (1 + r + r2) = 128 代入 a = 16/(1 + r + r2) 16/(1 + r + r2) × r3 (1 + r + r2) = 128 16r3 = 128 r3 = 8 r3 = 23 比较指数 r = 2 现在，a = 16/(1 + r + r2) a = 16/(1 + 2 + 22) = 16/(3 + 4) a = 16/7 等比数列的 n 项之和 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) = 16(1 - 2n)/7(1 - 2) = -16(1 - 2n)/7 Sn = 16/7 × (2n - 1) 因此，该等比数列的首项为 16/7，公比为 2，n 项之和为 16/7 × (2n - 1)。 15. 给定一个等比数列，首项 a = 729，第 7 项为 64，求 S7。 解决方案 首项 = a = 729 第 7 项 = a7 = 64 ar6 = 64 729r6 = 64 r6 = 64/729 r6= (2/3)6 比较指数 r = 2/3 S7 = a(1 - r7)/(1 - r) = 729(1 - (2/3)7)/(1 - 2/3) = 729(1 - 128/2187)/(1/3) = 2187 (2187 - 128)/2187 = 2059 因此，S7 = 2059。 16. 求一个等比数列，使其前两项之和为 - 4，第五项是第三项的 4 倍。 解决方案 设等比数列的首项为 a，公比为 r。 已知该等比数列前两项之和为 -4。因此： S2 = a(1 - r2)/(1 - r) -4 = a (12 - r2)/(1 - r) -4 = a (1 - r)(1 + r)/(1 - r) -4 = a(1 + r) 已知第五项是第三项的 4 倍。因此： 4a3 = a5 4ar2 = ar4 4r2 = r4 4 = r2 r = ± 2 现在， -4 = a(1 + r) 当 r = 2 时， -4 = a(1 + 2) -4 = 3a a = -4/3 当 r = -2 时， -4 = a(1 - 2) -4 = -a a = 4 因此，该等比数列要么是 4, -8, 16, … 或 -4/3, -8/3, -16/3, … 17. 如果等比数列的第 4, 10, 16 项分别是 x, y, z。证明 x, y, z 成等比数列。 解决方案 设等比数列的首项为 a，公比为 r。 等比数列的第 4 项 = a4 = ar3 = x 等比数列的第 10 项 = a10 = ar9 = y 等比数列的第 16 项 = a16 = ar15 = z 现在， a10/a4 = ar9/ar3 y/x = r6 a16/a10 = ar15/ar9 z/y = r6 因此，y/x = z/y。 因此，x, y, z 以公比 r6 成等比数列。 18. 求数列 8, 88, 888, 8888… 的 n 项之和。 解决方案 Sn = 8 + 88 + 888 + 8888 + … n 项 这可以重写为 Sn = 8/9 × [9 + 99 + 999 + 9999 + … n 项] = 8/9 × [(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + (10000 - 1) + … n 项] = 8/9 × [(10 - 1) + (102 - 1) + (103 - 1) + (104 - 1) + … n 项] = 8/9 × [10 + 102 + 103 + 104 + … n 项 - (1 + 1 + 1 + … n 项)] = 8/9 × [10(1 - 10n)/(1 - 10) - n] = 8/9 × [10(1 - 10n)/(-9) - n] = 8/9 × [10(10n - 1)/9 - n] = 8/9 × [10(10n - 1) - 9n]/9 = 80(10n - 1)/81 - 8n/9 因此，给定数列的和为 80(10n - 1)/81 - 8n/9。 19. 求数列 2, 4, 8, 16, 32 和 128, 32, 8, 2, 1/2 的对应项之积的和。 解决方案 给定数列的对应项之积的和 = 2 × 128 + 4 × 32 + 8 × 8 + 16 × 2 + 32 × 1/2 = 64 [2 × 2 + 2 × 1 + 1 × 1 + 1/2 × 1 + 1/2 × 1/2] = 64 [4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4] 可以观察到 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 中的项构成一个等比数列。 首项 = a = 4 公比 = r = 2/4 = 1/2 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) S5 = 4(1 - (1/2)5)/(1 - 1/2) = 4(1 - 1/32)/(1/2) = 8 (32 - 1)/32 = 31/4 因此，给定数列的对应项之积的和为 64 × 31/4 = 496。 20. 证明数列 a, ar, ar2, …arn - 1 和 A, AR, AR2, … ARn - 1 的对应项之积构成一个等比数列，并求其公比。 解决方案 由给定两个数列的对应项之积构成的数列 aA, arAR, ar2AR2, arn - 1ARn - 1, … 第二项/第一项 = arAR/aA = rR 第三项/第二项 = ar2AR2/arAR = rR 因此，得到的数列以公比 rR 构成一个等比数列。 21. 求四个数，它们构成一个等比数列，其中第三项比第一项大 9，第二项比第四项大 18。 解决方案 设等比数列的首项为 a，公比为 r。 已知第三项比第一项大 9。因此： a3 = a + 9 ar2 = a + 9 ar2 - a = 9 a(r2 - 1) = 9 a = 9/(r2 - 1) 已知第二项比第四项大 18。因此： ar2 = ar4 + 18 ar = ar3 + 18 -18 = ar3 - ar -18 = ar(r2 - 1) -18/r(r2 - 1) = a 现在， -18/r(r2 - 1) = a = 9/(r2 - 1) -18/r(r2 - 1) = 9/(r2 - 1) -18/r = 9 -18 = 9r r = -2 因此，a = 9/(r2 - 1) = 9/(4 - 1) = 9/3 ⇒ a = 3 这四个数将是： 3, 3(-2), 3(-2)2, 3(-2)3 3, -6, 12, -24 因此，给定等比数列的前四项为 3, -6, 12, -24。 22. 如果等比数列的第 p, q, r 项分别是 a, b, c。证明 aq - r br - p cp - q = 1 解决方案 设等比数列的首项为 A，公比为 R。 等比数列的第 p 项 = Ap = ARp - 1 = a 等比数列的第 q 项 = Aq = ARq - 1 = b 等比数列的第 r 项 = Ar = ARr - 1 = c 现在， aq - r br - p cp - q = (ARp - 1)q - r (ARq - 1)r - p (ARr - 1)p - q = Aq - r R(p - 1) (q - r) Ar - p R(q - 1) (r - p) Ap - q R(r - 1) (p - q) = Aq - r + r - p + p - q Rpq - q - pr + r + qr - r - pq + p + pq - p - qr + p = A0 R0 = 1 × 1 = 1 因此，证明了 aq - r br - p cp - q = 1。 23. 如果等比数列的首项和第 n 项分别是 a 和 b，且 P 是 n 项的乘积，证明 P2 = (ab)n。 解决方案 首项 = a 设公比 = r 等比数列的第 n 项 = an = arn - 1 = b n 项的乘积 = P = a × ar × ar2 × ar3 × … arn - 1 = an r1 + 2 + 3 + … n - 1 1 + 2 + 3 + ... (n - 1) 中的项构成一个首项为 1，公差为 1 的等差数列。 该等差数列的和 = 1 + 2 + 3 + ... (n - 1) = (n - 1)/2 × [2(1) + (n - 1 - 1)1] = (n - 1)/2 × [2 + n - 2] = n(n - 1)/2 因此， P = an rn(n - 1)/2 两边平方 P2 = a2n rn(n - 1) P2 = (a2rn - 1)n P2 = (a × arn - 1)n P2 = (a × b)n = (ab)n 因此，证明完毕。 24. 证明等比数列的前 n 项之和与第 (n + 1) 项到第 (2n) 项之和之比为 1/rn。 解决方案 设等比数列的首项为 a，公比为 r。 等比数列的前 n 项之和 = a(1 - rn)/(1 - r) 从第 (n + 1) 项到第 (2n) 项，或者说 (n + n) 项，总共有 n 项。 因此，从第 (n + 1) 项到第 (2n) 项之和 = an + 1(1 - rn)/(1 - r) 现在，an + 1 = arn 前 n 项之和与从第 (n + 1) 项到第 (2n) 项之和之比 = [a(1 - rn)/(1 - r)]/[an + 1(1 - rn)/(1 - r)] = a(1 - rn)/(1 - r) × (1 - r)/arn(1 - rn) = 1/rn 因此，证明完毕。 25. 如果 a, b, c, d 成等比数列，则证明 (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2。 解决方案 已知 a, b, c, d 成等比数列。因此： b/a = c/b = d/c b2 = ac bc = ad c2 = bd 在 RHS（右侧），我们有 (ab + bc + cd)2 = (ab + ad + cd)2 = (ab + d(a + c))2 = a2b2 + [d(a + c)]2 + 2abd(a + c) = a2b2 + [d2(a2 + c2 + 2ac)] + 2a2bd + 2abcd = a2b2 + a2d2 + c2d2 + 2acd2 + 2a2bd + 2acbd = a2b2+ 2a2c2 + 2b2c2 + a2d2 + c2d2 + 2b2d2 = a2b2 + a2c2 + a2c2 + b2c2 + b2c2 + a2d2 + c2d2 + b2d2 + b2d2 = a2b2 + a2c2 + a2d2 + a2c2 + b2c2 + b2d2 + b2c2 + b2d2 + c2d2 = a2(b2 + c2 + d2) + b4 + b2c2 + b2d2 + b2c2 + c4 + c2d2 = a2(b2 + c2 + d2) + b2(b2 + c2 + d2) + c2(b2 + c2 + d2) = (b2 + c2 + d2) (a2 + b2 + c2) = (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = LHS 因此，证明完毕。 26. 在 3 和 81 之间插入两个数，使得所得数列为等比数列。 解决方案 设 x 和 y 是 3 和 81 之间的两个数，使得所得数列为等比数列。 3, x, y, 81 首项 = a = 3 公比 = r 等比数列的第 4 项 = a4 81 = ar3 81 = 3r3 27 = r3 3 = r 等比数列的第 2 项 = x = a2 = ar = 3(3) = 9 等比数列的第 3 项 = y = a3 = ar2 = 3(3)2 = 27 因此，9 和 27 是要在 3 和 81 之间插入的两个数，以使所得数列为等比数列。 27. 求 n 的值，使得 (an + 1 + bn + 1)/(an + bn) 成为 a 和 b 之间的几何平均数。 解决方案 我们知道 a 和 b 之间的几何平均数为 √ab。因此： (an + 1 + bn + 1)/(an + bn) = √ab 两边平方 (an + 1 + bn + 1)2/(an + bn)2 = ab (an + 1 + bn + 1)2 = ab (an + bn)2 (an + 1)2 + (bn + 1)2 + 2an + 1bn + 1 = ab (a2n + b2n + 2anbn) a2n + 2 + b2n + 2 + 2an + 1bn + 1 = a2n + 1b + b2n + 1a + 2an + 1bn + 1 a2n + 2 + b2n + 2 = a2n + 1b + b2n + 1a a2n + 2 - a2n + 1b = b2n + 1a - b2n + 2 a2n + 1(a - b) = b2n + 1(a - b) a2n + 1 = b2n + 1 a2n + 1/b2n + 1 = 1 (a/b)2n + 1 = (a/b)0 比较指数 2n + 1 = 0 2n = -1 n = -1/2 因此，n 是 -1/2。 28. 两数之和是其几何平均数的 6 倍，证明两数之比为 (3 + 2√2) : (3 - 2√2)。 解决方案 设两数为 a 和 b。 已知两数之和是几何平均数的 6 倍。因此： a + b = 6√ab … 方程 (I) 两边平方 (a + b)2 = 62 (√ab)2 a2 + b2 + 2ab = 36ab 两边同时减去 4ab a2 + b2 - 4ab + 2ab = 36ab - 4ab a2 + b2 - 2ab - 2ab + 2ab = 32ab (a - b)2 = 32ab a - b = √(32ab) a - b = 4√2ab … 方程 (II) 方程 (I) 和 (II) 相加 a + b + (a - b) = 6√ab + 4√2ab 2a = (√ab) (6 + 4√2) a = (√ab) (3 + 2√2) 将 a = (√ab) (3 + 2√2) 代入方程 (I) (√ab) (3 + 2√2) + b = 6√ab b = 6√ab - 3√ab - 2√2ab b = 3√ab - 2√2ab b = (3 - 2√2) (√ab) 两数之比 = a/b = (√ab) (3 + 2√2)/(√ab) (3 - 2√2) = (3 + 2√2)/(3 - 2√2) 因此，证明了两数之比为 (3 + 2√2) : (3 - 2√2)。 29. 如果 A 和 G 分别是两个正数之间的算术平均数和几何平均数，则证明这两个数为 A ± √(A + G)(A - G)。 解决方案 设所需的两个正数为 a 和 b。 已知这两个数的算术平均数为 A，几何平均数为 G。因此： (a + b)/2 = A a + b = 2A 并且 √ab = G 两边平方 ab = G2 我们知道 (x - y)2 = (x + y)2 - 4xy。因此： (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab (a - b)2 = (2A)2 - 4(G2) (a - b)2 = 4A2 - 4G2 (a - b)2 = 4(A2 - G2) (a - b)2 = 4(A + G) (A - G) 双方取平方根 (a - b) = √4(A + G) (A - G) a - b = 2√(A + G) (A - G) a = 2√(A + G) (A - G) + b 现在， a + b = 2A 2√(A + G) (A - G) + b + b = 2A 2√(A + G) (A - G) + 2b = 2A 2(√(A + G)(A - G) + b) = 2A √(A + G)(A - G) + b = A b = A - √(A + G)(A - G) 因此， a = 2√(A + G) (A - G) + b a = 2√(A + G) (A - G) + A - √(A + G)(A - G) a = A + √(A + G)(A - G) 因此，证明了这两个数是 A ± √(A + G)(A - G)。 30. 某种培养物中的细菌数量每小时翻倍。如果最初培养物中有 30 个细菌，那么在第 2 小时末、第 4 小时末和第 n 小时末会有多少个细菌？ 解决方案 第一个小时的细菌数量 = 30 第二个小时的细菌数量 = 30 × 2 = 60 第三个小时的细菌数量 = 60 × 2 = 120 以此类推，直到第 n 个小时。 因此，可以观察到每小时结束时细菌数量的序列构成一个等比数列。 等比数列的首项 = a = 30 等比数列的公比 = r = 2 第 2 小时末的细菌数量 = a3 = ar2 = 30 × 22 = 30 × 4 = 120 第 4 小时末的细菌数量 = a5 = ar4 = 30 × 24 = 480 第 n 小时末的细菌数量 = an + 1 = arn = 30 × 2n = 30(2n) 31. 存入银行 10 年的 500 卢比，银行按年利率 10% 复利计息，到期是多少？ 解决方案 初始存款金额 = 500 卢比 每年的利率 = 10% 第 1 年末的金额 = 500 + 500 × 10/100 = 500 (1 + 0.1) = 500 (1.1) 第 2 年末的金额 = 500 (1.1)(1.1) = 500 (1.1)2 第 3 年末的金额 = 500 (1.1)2(1.1) = 500 (1.1)3 以此类推，直到第 10 年 因此，可以观察到每年结束时金额的序列构成一个等比数列。 等比数列的首项 = a = 500 等比数列的公比 = r = 1.1 等比数列的第 10 项 = a10 = ar10 = 500 × (1.1)10 因此，10 年后 500 卢比将增长到 500 × (1.1)10 卢比。 32. 如果一个二次方程的根的等差中项和等比中项分别是 8 和 5，则求出该二次方程。 解决方案 设二次方程的根为 a 和 b。 已知 a 和 b 的等差中项为 8，等比中项为 5。因此， (a + b)/2 = 8 a + b = 16 并且 √ab = 5 两边平方 ab = 25 我们可以用以下格式构建二次方程 x2 - (根的和)x + (根的积) = x2 - (a + b)x + ab = x2 - 16x + 25 因此，所需的二次方程是 x2 - 16x + 25。 练习 9.4求练习 1 到 7 中各级数的和。 1. 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + … 解决方案 该级数可以重写为 1 × (1 + 1) + 2 × (2 + 1) + 3 × (3 + 1) + 4 × (4 + 1) + … 因此，级数中的第 n 项将是 an = n (n + 1) 给定级数的和 = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 k(k + 1) = n∑k = 1 (k2 + k) = n∑k = 1k2+ n∑k = 1k = n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)/2 = n(n + 1)/2 × [(2n + 1)/3 + 1] = n(n + 1)/2 × [2n + 4]/3 = n(n + 1)/2 × 2(n + 2)/3 = n(n + 1)(n + 2)/3 2. 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + … 解决方案 该级数可以重写为 1 × (1 + 1) × (1 + 2) + 2 × (2 + 1) × (2 + 2) + 3 × (3 + 1) × (3 + 2) + … 因此，级数中的第 n 项将是 an = n(n + 1)(n + 2) = (n2 + n)(n + 2) = n3 + 2n2 + n2 + 2n = n3 + 3n2 + 2n 给定级数的和 = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (k3 + 3k2 + 2k) = n∑k = 1 k3 + 3 n∑k = 1 k2 + 2 n∑k = 1 k = [n(n + 1)/2]2 + 3n(n + 1)(2n + 1)/6 + 2n(n + 1)2 = [n(n + 1)/2]2 + n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1) = n(n + 1)/2 × [n(n + 1)/2 + (2n + 1) + 2] = n(n + 1)/2 × [n2 + n + 4n + 2 + 4]/2 = n(n + 1)/4 × [n2 + 5n + 6] = n(n + 1)/4 × [n2 + 2n + 3n + 6] = n(n + 1)/4 × [n(n + 2) + 3(n + 2)] = n(n + 1)/4 × (n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4 3. 3 × 12 + 5 × 22 + 7 × 32 + … 解决方案 该级数可以重写为 (2(1) + 1) × 12 + (2(2) + 1) × 22 + (2(3) + 1) × 32 + … 因此，级数中的第 n 项将是 an = (2n + 1)n2 = 2n3 + n2 给定级数的和 = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (2k3 + k2) = 2 n∑k = 1 k3 + n∑k = 1 k2 = 2 × [n(n + 1)/2]2 + n(n + 1)(2n + 1)/6 = n2(n + 1)2/2 + n(n + 1)(2n + 1)/6 = n(n + 1)/2 × [n(n + 1) + (2n + 1)/3] = n(n + 1)/2 × [(3n2 + 3n + 2n + 1)/3] = n(n + 1)/2 × (3n2 + 5n + 1)/3 = n(n + 1)(3n2 + 5n + 1)/6 4. 1/(1 × 2) + 1/(2 × 3) + 1/(3 × 4) + … 解决方案 该级数可以重写为 1/(1 × (1 + 1)) + 1/(2 × (2 + 1)) + 1/(3 × (3 + 1)) + … 因此，级数中的第 n 项将是 an = 1/n(n + 1) = 1/n - 1/(n + 1) 给定级数的和 = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (1/k - 1/(k + 1)) = n∑k = 1 1/k - n∑k = 1 1/(k + 1) = [1/1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n] - [1/2 + 1/3 + … + 1/(n + 1)] = 1 - 1/(n + 1) = (n + 1 - 1)/(n + 1) = n/(n + 1) 5. 52 + 62 + 72 + … + 202 解决方案 该级数可以重写为 (1 + 4)2 + (2 + 4)2 + (3 + 4)2 + … + (16 + 4)2 因此，级数中的第 n 项将是 an = (n + 4)2 = n2 + 8n + 16 给定级数的和 = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (k2 + 8k + 16) = n∑k = 1 k2 + 8 n∑k = 1 k + n∑k = 116 = n(n + 1)(2n + 1)/6 + 8 × n(n + 1)/2 + 16n 现在，级数的最后一项 = 202 = (16 + 4)2 所以，n = 16 给定级数的和 = S16 = 16(16 + 1)(2 × 16 + 1)/6 + 8 × 16(16 + 1)/2 + 16 × 16 = 16(17)(33)/6 + 4 × 16(17) + 256 = 8(17)(11) + 1088 + 256 = 1496 + 1344 = 2840 6. 3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 + … 解决方案 该级数可以重写为 1 × 3 × (1 × 3 + 5) + 2 × 3 × (2 × 3 + 5) + 3 × 3 × (3 × 3 + 5) + … 因此，级数中的第 n 项将是 an = 3n(3n + 5) = 9n2 + 15n 给定级数的和 = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (9k2 + 15k) = 9 n∑k = 1 k2 + 15 n∑k = 1 k = 9 × n(n + 1)(2n + 1)/6 + 15 × n(n + 1)/2 = 3n(n + 1)(2n + 1)/2 + 15n(n + 1)/2 = 3n(n + 1)/2 × [(2n + 1) + 5] = 3n(n + 1)/2 × [2n + 6] = 3n(n + 1)/2 × 2(n + 3) = 3n(n + 1)(n + 3) 7. 12 + (12 + 22) + (12 + 22 + 32) + … 解决方案 级数的首项 = 12 级数的第二项 = 12 + 22 级数的第三项 = 12 + 22 + 32 因此，级数中的第 n 项将是 an = 12 + 22 + 32 + … n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 = n(2n2 + 2n + n + 1)/6 = n(2n2 + 3n + 1)/6 = (2n3 + 3n2 + n)/6 = n3/3 + n2/2 + n/6 给定级数的和 = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (k3/3 + k2/2 + k/6) = 1/3 × n∑k = 1 k3 + 1/2 × n∑k = 1 k2 + 1/6 × n∑k = 1 k = 1/3 × [n(n + 1)/2]2 + 1/2 × n(n + 1)(2n + 1)/6 + 1/6 × n(n + 1)/2 = n2(n + 1)/12 + n(n + 1)(2n + 1)/12 + n(n + 1)/12 = n(n + 1)/12 × [n(n + 1) + (2n + 1) + 1] = n(n + 1)/12 × [n(n + 1) + 2n + 2] = n(n + 1)/12 × [n(n + 1) + 2(n + 1)] = n(n + 1)/12 × (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)2(n + 2)/12 求练习 8 到 10 中，其第 n 项为给定的级数的和。 8. n (n + 1) (n + 4)。 解决方案 级数的第 n 项 = an = n(n + 1)(n + 4) = n(n2 + 4n + n + 4) = n(n2 + 5n + 4) = n3 + 5n2 + 4n 级数的和 = Sn = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (k3 + 5k2 + 4k) = n∑k = 1 k3 + 5 × n∑k = 1 k2 + 4 × n∑k = 1 k = [n(n + 1)/2]2 + 5 × n(n + 1)(2n + 1)/6 + 4 × n(n + 1)/2 = n2(n + 1)2/4 + 5n(n + 1)(2n + 1)/6 + 4n(n + 1)/2 = n(n + 1)/2 × [n(n + 1)/2 + 5(2n + 1)/3 + 4] = n(n + 1)/2 × [3n(n + 1) + 10(2n + 1) + 24]/6 = n(n + 1)/2 × [3n2 + 3n + 20n + 10 + 24]/6 = n(n + 1)/2 × [3n2 + 23n + 34]/6 = n(n + 1)(3n2 + 23n + 34)/12 9. n2 + 2n 解决方案 级数的第 n 项 = an = n2 + 2n 级数的和 = Sn = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (k2 + 2k) = n∑k = 1 k2+ n∑k = 1 2k 现在， n∑k = 1 k2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 n∑k = 1 2k = 21 + 22 + 23 + … + 2n 21 + 22 + 23 + … + 2n 的项构成一个等比数列。 等比数列的首项 = a = 2 公比 = r = 22/2 = 2 等比数列的 n 项和 = a(1 - rn)/(1 - r) = 2(1 - 2n)/(1 - 2) = 2(1 - 2n)/(-1) = 2(2n - 1) 因此，给定级数的和 = n∑k = 1 k2+ n∑k = 1 2k = n(n + 1)(2n + 1)/6 + 2(2n - 1) 10. (2n - 1)2 解决方案 级数的第 n 项 = an = (2n - 1)2 = 4n2 - 4n + 1 级数的和 = Sn = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (4k2 - 4k + 1) = 4 n∑k = 1 k2 - 4 n∑k = 1 k + n∑k = 1 1 = 4 × n(n + 1)(2n + 1)/6 - 4 × n(n + 1)/2 + n = 2n(n + 1)(2n + 1)/3 - 2n(n + 1) + n = n × [2(n + 1)(2n + 1)/3 - 2(n + 1) + 1] = n × [2(2n2 + 2n + n + 1)/3 - 2n - 2 + 1] = n × [2(2n2 + 3n + 1)/3 - 2n - 1] = n × [4n2 + 6n + 2 - 6n - 3]/3 = n/3 × (4n2 - 1) = n/3 × [(2n)2 - 12] = n/3 × (2n + 1)(2n - 1) = n(2n + 1)(2n - 1)/3 杂项练习1. 证明等差数列的 (m + n) 项与 (m - n) 项的和等于第 m 项的两倍。 解决方案 设一个等差数列的首项为 a，公差为 d。 等差数列的 (m + n) 项 = am + n = a + (m + n - 1)d 等差数列的 (m - n) 项 = am - n = a + (m - n - 1)d 等差数列的第 m 项 = am= a + (m - 1)d 等差数列的 (m + n) 项与 (m - n) 项的和 = am + n + am - n = a + (m + n - 1)d + a + (m - n - 1)d = 2a + d(m + n - 1 + m - n - 1) = 2a + d(2m - 2) = 2a + 2d(m - 1) = 2 × [a + (m - 1)d] = 2 × am 因此，证明了等差数列的 (m + n) 项与 (m - n) 项的和等于第 m 项的两倍。 2. 如果等差数列中三个数的和为 24，积为 440，则求出这些数。 解决方案 设等差数列中的三个数为 a - d, a, a + d。 已知这三个数的和为 24，积为 440。因此， a - d + a + a + d = 24 3a = 24 a = 8 并且 (a - d) × a × (a + d) = 440 a (a2 - d2) = 440 8 (64 - d2) = 440 64 - d2 = 55 d2 = 9 d = ± 3 当 d = 3 时，这三个数是 8 - 3, 8, 8 + 3 ⇒ 5, 8, 11 当 d = -3 时，这三个数是 8 - (-3), 8, 8 + (-3) ⇒ 11, 8, 5。 因此，这三个数是 5, 8, 11 或 11, 8, 5。 3. 设等差数列的前 n 项、2n 项、3n 项的和分别为 S1, S2 和 S3，证明 S3 = 3(S2 - S1)。 解决方案 设一个等差数列的首项为 a，公差为 d。 等差数列前 n 项的和 = S1 = n/2 × [2a + (n - 1)d] 等差数列前 2n 项的和 = S2 = 2n/2 × [2a + (2n - 1)d] = n [2a + (2n - 1)d] 等差数列前 3n 项的和 = S3 = 3n/2 × [2a + (3n - 1)d] 现在，S2 - S1 = n [2a + (2n - 1)d] - n/2 × [2a + (n - 1)d] S2 - S1 = n × [2a + (2n - 1)d - 1/2 × {2a + (n - 1)d}] S2 - S1 = n × [4a + (2n - 1)2d - 2a - (n - 1)d]/2 S2 - S1 = n/2 × [2a + (4n - 2)d - (n - 1)d] S2 - S1 = n/2 × [2a + d(4n - 2 - n + 1)] S2 - S1 = n/2 × [2a + (3n - 1)d] 两边乘以 3 3(S2 - S1) = 3n/2 × [2a + (3n - 1)d] 3(S2 - S1) = S3 因此，证明完毕。 4. 求 200 到 400 之间所有能被 7 整除的数的和。 解决方案 200 到 400 之间能被 7 整除的数是 203, 210, 217, … , 399 这个数列构成一个等差数列，其中 首项 = a = 203 公差 = d = 7 末项 = an = a + (n - 1)d 399 = 203 + (n - 1)7 196 = (n - 1)7 28 = n - 1 n = 29 因此，200 到 400 之间有 29 个能被 7 整除的数。 等差数列的和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] S29 = 29/2 × [2(203) + 28(7)] = 29/2 × [406 + 196] = 29/2 × 602 = 29 × 301 = 8729 因此，200 到 400 之间所有能被 7 整除的数的和是 8729。 5. 求 1 到 100 之间能被 2 或 5 整除的整数的和。 解决方案 1 到 100 之间能被 2 整除的整数是 2, 4, 6, …, 100 这个数列构成一个等差数列，其中 首项 = a = 2 公差 = d = 2 末项 = an = a + (n - 1)d 100 = 2 + (n - 1)2 98 = (n - 1)2 49 = n - 1 n = 50 因此，1 到 100 之间有 50 个能被 2 整除的数。 等差数列的和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] S50 = 50/2 × [2(2) + 49(2)] = 50/2 × [4 + 198] = 25 × 102 = 2550 1 到 100 之间能被 5 整除的整数是 5, 10, 15, …, 100 这个数列构成一个等差数列，其中 首项 = a = 5 公差 = d = 5 末项 = an = a + (n - 1)d 100 = 5 + (n - 1)5 95 = (n - 1)5 19 = n - 1 n = 20 因此，1 到 100 之间有 20 个能被 5 整除的数。 等差数列的和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] S20 = 20/2 × [2(5) + 19(5)] = 10 × [10 + 95] = 10 × 105 = 1050 1 到 100 之间能被 2 和 5 整除的整数是 10, 20, 30, …, 100 这个数列构成一个等差数列，其中 首项 = a = 10 公差 = d = 10 末项 = an = a + (n - 1)d 100 = 10 + (n - 1)10 90 = (n - 1)10 9 = n - 1 n = 10 因此，1 到 100 之间有 10 个能被 2 和 5 整除的数。 等差数列的和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] S10 = 10/2 × [2(10) + 9(10)] = 5 × [20 + 90] = 5 × 110 = 550 所需总和 = 2550 + 1050 - 550 = 3050 因此，1 到 100 之间能被 2 或 5 整除的整数的和是 3050。 6. 求所有被 4 除余 1 的两位数的和。 解决方案 被 4 除余 1 的两位数是 13, 17, 21, …, 97 这个数列构成一个等差数列，其中 首项 = a = 13 公差 = d = 4 末项 = an = a + (n - 1)d 97 = 13 + (n - 1)4 84 = (n - 1)4 21 = n - 1 n = 22 因此，有 22 个两位数被 4 除余 1。 等差数列的和 = Sn = n/2 × [2a + (n - 1)d] S22 = 22/2 × [2(13) + 21(4)] = 11 × [26 + 84] = 11 × 110 = 1210 因此，所有被 4 除余 1 的两位数的和是 1210。 7. 如果函数 f 满足 f (x + y) = f(x) f(y) 对于所有 x, y ∈ N 成立，且 f(1) = 3，n∑x = 1 f(x) = 120，求 n 的值。 解决方案 f (x + y) = f(x) f(y) (已知) f(1) = 3 (已知) 在 f (x + y) = f(x) f(y) 中代入 x = 1 和 y = 1 f (1 + 1) = f(1) f(1) f (2) = 3 × 3 f (2) = 9 类似地， f (1 + 1 + 1) = f (3) = f (1 + 2) = f(1) f(2) = 3 × 9 = 27 f (1 + 1 + 1 + 1) = f(4) = f(1 + 3) = f(1) f(3) = 3 × 27 = 81 现在，序列 f(1), f(2), f(3), … 或 3, 9, 27, … 构成一个等比数列，其中 首项 = a = 3 公比 = r = 9/3 = 3 等比数列的和 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) 已知 n∑x = 1 f(x) = 120。因此， 120 = 3(1 - 3n)/(1 - 3) 40 = (1 - 3n)/(-2) 80 = 3n - 1 3n = 81 3n = 34 比较指数 n = 4 8. 等比数列的某些项之和为 315，其首项和公比分别为 5 和 2。求末项和项数。 解决方案 首项 = a = 5 公比 = r = 2 设构成总和 315 的项数为 n。 等比数列的 n 项和 = a(1 - rn)/(1 - r) 315 = 5(1 - 2n)/(1 - 2) 63 = (1 - 2n)/(-1) 63 = 2n - 1 2n = 64 2n = 26 比较指数 n = 6 等比数列的末项 = a6 = ar5 = 5 × 25 = 160 因此，项数为 6，等比数列的末项是 160。 9. 等比数列的首项为 1。第三项与第五项的和为 90。求等比数列的公比。 解决方案 首项 = a = 1 设等比数列的公比为 r。 等比数列的第三项 = a3 = ar2 = (1)r2 = r2 等比数列的第五项 = a5 = ar4 = r4 已知等比数列的第五项与第三项的和为 90。因此， a3 + a5 = 90 r2 + r4 = 90 r4+ r2 - 90 = 0 使用二次公式 r2 = [-1 ± √(1 + 4(1)(90))]/2(1) = [-1 ± √361]2 = (-1 ± 19)/2 当 r2 = (-1 + 19)/2 时 r2 = 18/2 r2 = 9 r = ± 3 当 r2 = (-1 - 19)/2 时 r2 = -20/2 r2 = -10 根不是实数。因此，r2 = (-1 + 19)/2，这意味着 r = ± 3。 因此，等比数列的公比是 ± 3。 10. 等比数列中三个数的和为 56。如果我们分别从这些数中减去 1, 7, 21，我们会得到一个等差数列。求这些数。 解决方案 设等比数列中的三个数为 a, ar, 和 ar2。 已知这些数的和为 56。因此， a + ar + ar2 = 56 a(1 + r + r2) = 56 a = 56/(1 + r + r2) 还已知从三个数中分别减去 1, 7 和 21 后，形成了一个等差数列。因此， a - 1, ar - 7, ar2 - 21 是等差数列 等差数列的公差 = ar - 7 - (a - 1) = ar2 - 21 - (ar - 7) ar - 7 - a + 1 = ar2 - 21 - ar + 7 ar - a - 6 = ar2 - ar - 14 ar2 - ar - ar + a = 8 ar2 - 2ar + a = 8 a(r2 - 2r + 1) = 8 56/(1 + r + r2) × (r2 - 2r + 1) = 8 7 (r2 - 2r + 1) = 1 + r + r2 7r2 - 14r + 7 = 1 + r + r2 6r2 - 15r + 6 = 0 3(2r2 - 5r + 2) = 0 2r2 - 5r + 2 = 0 2r2 - 4r - r + 2 = 0 2r(r - 2) - 1(r - 2) = 0 (r - 2) (2r - 1) = 0 (r - 2) = 0 ⇒ r = 2 (2r - 1) = 0 ⇒ 2r = 1 ⇒ r = 1/2 因此， 当 r = 2 时 a = 56/(1 + 2 + 22) = 56/(3 + 4) = 56/7 a = 8 这三个数是 8, 8(2), 8(2)2 ⇒ 8, 16, 32 当 r = 1/2 时 a = 56/(1 + 1/2 + 1/4) = 56/[(4 + 2 + 1)/4] = 56 (4)/7 a = 32 这三个数是 32, 32(1/2), 32(1/2)2 ⇒ 32, 16, 8 因此，所需的三个数是 8, 16, 32 或 32, 16, 8。 11. 一个等比数列有偶数项。如果所有项的和是奇数项和的 5 倍，则求其公比。 解决方案 设等比数列的项为 T1, T2, T3, …, T2n。 已知所有项的和是奇数项和的 5 倍。因此， T1 + T2 + T3 + … + T2n = 5 × [T1 + T3 + T5 + … + T2n - 1] [T1 + T2 + T3 + … + T2n] - 5 [T1 + T3 + T5 + … + T2n - 1] = 0 [T2 + T4 + T6 + … + T2n] + [T1 + T3 + T5 + … + T2n - 1] - 5 [T1 + T3 + T5 + … + T2n - 1] = 0 [T2 + T4 + T6 + … + T2n] - 4 [T1 + T3 + T5 + … + T2n - 1] = 0 [T2 + T4 + T6 + … + T2n] = 4 [T1 + T3 + T5 + … + T2n - 1] ar(rn - 1)/(r - 1) = 4ar(rn - 1)/(1 - r) r = 4 因此，等比数列的公比是 4。 12. 等差数列前四项的和是 56。末四项的和是 112。如果其首项是 11，则求项数。 解决方案 设等差数列为 a, a + d, a + 2d, …, a + (n - 2)d, a + (n - 1)d。 首项 = a = 11 公差 = d 前四项的和 = S4 = 4/2 × [2a + 3d] 56 = 2 × [2a + 3d] 28 = 2a + 3d 3d = 28 - 2a d = (28 - 2(11))/3 d = (28 - 22)/3 d = 2 末四项的和 = a + (n - 4)d + a + (n - 3)d + a + (n - 2)d + a + (n - 1)d 112 = 4a + (n - 4 + n - 3 + n - 2 + n - 1)d 112 = 4a + (4n - 10)d 112 = 4(11) + 2(2n - 5)(2) 112 = 4 × [11 + (2n - 5)] 28 = 11 + 2n - 5 28 = 6 + 2n 2n = 22 n = 11 因此，等差数列的项数为 11。 13. 如果 (a + bx)/(a - bx) = (b + cx)/(b - cx) = (c + dx)/(c - dx) (x ≠ 0)，则证明 a, b, c, d 成等比数列。 解决方案 (a + bx)/(a - bx) = (b + cx)/(b - cx) (a + bx) (b - cx) = (b + cx) (a - bx) ab + b2x - acx - bcx2 = ab + acx - b2x - bcx2 2b2x - 2acx = 0 2b2x = 2acx b2x = acx b2 = ac b/a = c/b (b + cx)/(b - cx) = (c + dx)/(c - dx) (b + cx) (c - dx) = (c + dx) (b - cx) bc + c2x - bdx - cdx2 = bc + bdx - c2x - cdx2 2c2x - 2bdx = 0 2c2x = 2bdx c2 = bd c/b = d/c 因此， b/a = c/b = d/c 因此，a, b, c, d 成等比数列。 14. 设 S 是等比数列 n 项的和，P 是积，R 是倒数和。证明 P2Rn = Sn。 解决方案 设等比数列中的项为 a, ar, ar2, …, arn - 1。 首项 = a 公比 = r 等比数列的 n 项和 = Sn = a(1 - rn)/(1 - r) S = a(1 - rn)/1(1 - r) 等比数列的 n 项积 = a × ar × ar2 × … × arn - 1 P = an × r1 + 2 + 3 + … + (n - 1) = an × rn(n - 1)/2 等比数列 n 项的倒数和 = 1/a + 1/ar + 1/ar2 + … + 1/arn - 1 R = 1/a × [1 + 1/r + 1/r2 + 1/r3 + … + 1/rn - 1] = 1/a × (rn - 1 + rn - 2 + rn - 3 + … + 1)/rn - 1 rn - 1 + rn - 2 + rn - 3 + … + 1 中的项构成一个等比数列。因此， rn - 1 + rn - 2 + rn - 3 + … + 1 = 1(1 - rn)/(1 - r) 因此， R = 1/arn - 1 × 1(1 - rn)/(1 - r) = (1 - rn)/arn - 1(1 - r) 现在， P2Rn = (an × rn(n - 1)/2)2 × [(1 - rn)/arn - 1(1 - r)]n = a2n rn(n - 1) × (1 - rn)n/anrn(n - 1)(1 - r)n = an(1 - rn)n/(1 - r)n = [a(1 - rn)/(1 - r)]n = Sn 因此，证明完毕。 15. 等差数列的 p、q、r 项分别是 a、b、c。证明 (q - r )a + (r - p )b + (p - q )c = 0。 解决方案 设等差数列的首项为 A，公差为 D。 等差数列的 p 项 Ap= A + (p - 1)D a = A + (p - 1)D 等差数列的 q 项 Aq= A + (q - 1)D b = A + (q - 1)D 等差数列的 r 项 Ar= A + (r - 1)D c = A + (r - 1)D Aq - Ar = A + (q - 1)D - [A + (r - 1)D] b - c = A + (q - 1)D - A - (r - 1)D b - c = D(q - 1 - r + 1) b - c = D(q - r) D = (b - c)/(q - r) Ap - Aq = A + (p - 1)D - [A + (q - 1)D] a - b = A + (p - 1)D - A - (q - 1)D a - b = D(p - 1 - q + 1) a - b = D(p - q) D = (a - b)/(p - q) 因此， (b - c)/(q - r) = (a - b)/(p - q) (p - q) (b - c) = (a - b) (q - r) bp - bq - cp + cq = aq - bq - ar + br bp - cp + cq - aq + ar - br = 0 -aq + ar + bp - br - cp + cq = 0 -a(q - r) - b(r - p) - c(p - q) = 0 a(q - r) + b(r - p) + c(p - q) = 0 因此，证明完毕。 16. 如果 a(1/b + 1/c), b(1/c + 1/a), c(1/a + 1/b) 成等差数列，则证明 a, b, c 成等差数列。 解决方案 a(1/b + 1/c), b(1/c + 1/a), c(1/a + 1/b) 成等差数列。因此， 公差 = b(1/c + 1/a) - a(1/b + 1/c) = c(1/a + 1/b) - b(1/c + 1/a) b(a + c)/ac - a(c + b)/bc = c(b + a)/ab - b(a + c)/ac [(ab + bc)b - a(ac + ab)]/abc = [c(bc + ac) - b(ab + bc)]/abc ab2 + b2c - a2c - a2b = bc2 + ac2 - ab2 - b2c ab2 - a2b + b2c - a2c = ac2 - ab2 + bc2 - b2c ab(b - a) + c(b2 - a2) = a(c2 - b2) + bc(c - b) ab(b - a) + c(b - a) (b + a) = a(c - b) (c + b) + bc(c - b) (b - a) [ab + c(b + a)] = (c - b) [a(c + b) + bc] (b - a) [ab + bc + ac] = (c - b) [ac + ab + bc] b - a = c - b 因此，a, b, c 成等差数列。 17. 如果 a, b, c, d 成等比数列，则证明 (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) 成等比数列。 解决方案 已知，a, b, c, d 成等比数列 b2 = ac … (i) c2 = bd … (ii) ad = bc … (iii) 需要证明 (an + bn), (bn + cn), (cn + dn) 成等比数列，即 (bn + cn)2 = (an + bn) (cn + dn) 取左侧 (bn + cn)2 = b2n2 + 2bncn + c2n2 = (b2)n2+ 2bncn + (c2) n = (ac)n2 + 2bncn + (bd)n2 [根据 (i) 和 (ii)] = ancn + bncn + bncn + bndn = ancn + bncn + andn + bndn [根据 (iii)] = cn (an + bn) + dn (an + bn) = (an + bn) (cn + dn) = RHS 因此，(an + bn), (bn + cn), 和 (cn + dn) 成等比数列。 证毕。 18. 如果 a 和 b 是 x2 - 3x + p = 0 的根，c 和 d 是 x2 - 12x + q = 0 的根，其中 a, b, c, d 成等比数列。证明 (q + p): (q - p) = 17:15。 解决方案 已知，a 和 b 是 x2 - 3x + p = 0 的根 所以，我们有 a + b = 3 和 ab = p … (i) 同样，c 和 d 是 x2 - 12x + q = 0 的根 所以，c + d = 12 和 cd = q … (ii) 并且已知 a, b, c, d 成等比数列。 我们取 a = x, b = xr, c = xr2, d = xr3 从 (i) 和 (ii) 可得 x + xr = 3 x (1 + r) = 3 并且， xr2 + xr3 =12 xr2 (1 + r) = 12 两式相除，可得 xr2(1 + r)/x(1 + r) = 12/3 r2 = 4 r = ± 2 当 r = 2 时，x = 3/(1 + 2) = 3/3 = 1 当 r = -2 时，x = 3/(1 - 2) = 3/-1 = -3 情况 I 当 r = 2 且 x = 1 时， ab = x2r = 2 cd = x2r5 = 32 (q + p)/(q - p) = (32 + 2)/(32 - 2) = 34/30 = 17/15 (q + p) : (q - p) = 17 : 15 情况 II 当 r = -2, x = -3 时， ab = x2r = -18 cd = x2r5 = -288 (q + p)/(q - p) = (-288 - 18)/(-288 + 18) = -306/-270 = 17/15 (q + p) : (q - p) = 17 : 15 因此，证明完毕。 19. 两个正数 a 和 b 的等差中项与等比中项之比为 m: n。证明 a : b = (m + √(m2 - n2)) : (m - √(m2 - n2))。 解决方案 a 和 b 的等差中项 = (a + b)/ 2，等比中项 = √ab 已知 a 和 b 的等差中项与等比中项之比为 m : n。因此， (a + b)/2√ab = m/n 两边平方 (a + b)2/4ab = m2/n2 (a + b)2 = 4abm2/n2 a + b = 2m√ab/n … (i) 我们知道 (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab (a - b)2 = 4abm2/n2 - 4ab (a - b)2 = 4abm2/n2 - 4abn2/n2 (a - b)2 = 4ab × (m2 - n2)/n2 双方取平方根 a - b = 2√ab × √(m2 - n2)/n … (ii) 将 (i) 和 (ii) 相加 a + b + a - b = 2m√ab/n + 2√ab × √(m2 - n2)/n 2a = [2m√ab + 2√ab√(m2- n2)]/n 2an = 2√ab (m + √(m2 - n2)) a = √ab [m + √(m2 - n2)]/n 将 a 的值代入 (i) a + b = 2m√ab/n b = 2m√ab/n - a b = 2m√ab/n - √ab [m + √(m2 - n2)]/n b = √ab × [2m - m - √(m2 - n2)]/n b = √ab [m - √(m2 - n2)]/n 现在， a/b = [√ab [m + √(m2 - n2)]/n]/[√ab [m - √(m2 - n2)]/n] a/b = [m + √(m2 - n2)]/[m - √(m2 - n2)] a : b = [m + √(m2 - n2)] : [m - √(m2 - n2)] 因此，证明完毕。 20. 如果 a, b, c 成等差数列；b, c, d 成等比数列；1/c, 1/d, 1/e 成等差数列。证明 a, c, e 成等比数列。 解决方案 已知 a, b, c 成等差数列。因此， 公差 = b - a = c - b 2b = a + c b = (a + c)/2 还已知 b, c, d 成等比数列。因此， 公比 = c/b = d/c d = c2/b 另外，1/c, 1/d, 1/e 成等差数列。因此， 公差 = 1/d - 1/c = 1/e - 1/d 2/d = 1/e + 1/c 2/(c2/b) = 1/e + 1/c 2b/c2 = 1/e + 1/c 2(a + c)/2c2= 1/e + 1/c (a + c)/c2 = (e + c)/ec (a + c)/c = (e + c)/e (a + c)e = (e + c)c ae + ce = ec + c2 ae = c2 因此，a, c, e 成等比数列。 21. 求下列级数的前 n 项和 (i) 5 + 55 +555 + … (ii) .6 +. 66 +. 666 + … 解决方案 (i) 给定级数的和 = S = 5 + 55 + 555 + … 至 n 项 S = 5/9 × [9 + 99 + 999 + … 至 n 项] = 5/9 × [(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + … 至 n 项] = 5/9 × [(101 - 1) + (102 - 1) + (103 - 1) + … 至 n 项] = 5/9 × [(101 + 102 + 103 + … + 10n) - (1 + 1 + 1 + … n 次)] 101 + 102 + 103 + … + 10n 中的项构成一个等比数列，其中首项 = a = 10，公比 = r = 10。 等比数列的 n 项和 = 101 + 102 + 103 + … + 10n = a(1 - rn)/(1 - r) = 10(1 - 10n)/(1 - 10) 因此， S = 5/9 × [10(1 - 10n)/(1 - 10) - n × 1] = 5/9 × [10(1 - 10n)/(-9) - n] = 5/9 × [10(10n - 1)/9 - n] = 50(10n - 1)/81 - 5n/9 (ii) 给定级数的和 = S = 0.6 + 0.66 + 0.666 + … 至 n 项 S = 6 × [0.1 + 0.11 + 0.111 + … 至 n 项] = 6/9 × [0.9 + 0.99 + 0.999 + … 至 n 项] = 6/9 × [(1 - 1/10) + (1 - 1/100) + (1 - 1/1000) + … 至 n 项] = 6/9 × [(1 - 1/101) + (1 - 1/102) + (1 - 1/103) + … 至 n 项] = 6/9 × [(1 + 1 + 1 + … 至 n 项) - (1/101 + 1/102 + 1/103+ … 1/10n)] 1/101 + 1/102 + 1/103 + … + 1/10n 中的项构成一个等比数列，其中首项 = a = 1/10，公比 = r = 1/10。 等比数列的 n 项和 = 1/101 + 1/102 + 1/103 + … + 1/10n = a(1 - rn)/(1 - r) = 1/10 × (1 - 1/10n)/(1 - 1/10) 因此， S = 6/9 × [n × 1 - 1/10 × (1 - 1/10n)/(1 - 1/10)] = 6/9 × [n - 1/10 × (1 - 1/10n)/(0.9)] = 6/9 × [n - (1 - 1/10n)/9] = 2n/3 - 2(1 - 1/10n)/27 22. 求级数 2 × 4 + 4 × 6 + 6 × 8 + ... 前 n 项的第 20 项。 解决方案 该级数可以重写为 2(1) × (2(1) + 2) + 2(2) × (2(2) + 2) + 2(3) × (2(3) + 2) + … + 至 n 项 因此，级数中的第 n 项将是 an = 2n × (2n + 2) = 4n2 + 4n 级数的第 20 项 = a20 = 4(202) + 4(20) = 4(400) + 80 = 1600 + 80 = 1680 因此，给定级数的第 20 项是 1680。 23. 求级数：3 + 7 + 13 + 21 + 31 + … 的前 n 项和。 解决方案 给定级数的和 = S = 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + … + an - 1 + an S = 3 + 7 + 13 + 21 + … + an - 1 + an 两式相减 S - S = [3 + 7 + 13 + 21 + 31 + … + an - 1 + an] - [3 + 7 + 13 + 21 + … + an - 2 + an - 1 + an] 0 = [3 + (7 + 13 + 21 + 31 + … + an - 1 )] - [3 + 7 + 13 + 21 + … + an - 1 + an] 0 = 3 + [(7 - 3) + (13 - 7) + (21 - 13) + (31 - 21) + … + (an - an - 1)] - an an = 3 + [(4) + (6) + (8) + (10) + … + 至 (n - 1) 项] 4 + 6 + 8 + 10 + … + 至 (n - 1) 项 的项构成一个等差数列。因此， an = 3 + [(n - 1)/2 × {2(4) + (n - 2)2}] an = 3 + [(n - 1)/2 × 2{4 + n - 2}] an = 3 + [(n - 1) × (n + 2)] an = 3 + (n2 - n + 2n - 2) an = 3 + (n2 + n - 2) an = n2 + n + 1 现在， 级数的和 = S = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (k2 + k + 1) = n∑k = 1 k2 + n∑k = 1 k + n∑k = 1 1 = n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)/2 + n = n × [(n + 1)(2n + 1)/6 + (n + 1)/2 + 1] = n × [(2n2+ 2n + n + 1) + 3(n + 1) + 6]/6 = n/6 × [2n2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 6] = n/6 × [2n2 + 6n + 10] = n/6 × 2[n2 + 3n + 5] = n(n2 + 3n + 5)/3 24. 如果 S1, S2, S3 分别是前 n 个自然数、它们的平方和它们的立方和，则证明 9 S22 = S3 (1 + 8S1)。 解决方案 根据题意，已知 S1 = 前 n 个自然数的和 = n(n + 1)/2 S2 = 前 n 个自然数的平方和 = n(n + 1)(2n + 1)/6 S3 = 前 n 个自然数的立方和 = [n(n + 1)/2]2 我们需要证明 9 S22 = S3 (1 + 8S1)。 取左侧 = 9 S22 = 9 × [n(n + 1)(2n + 1)/6]2 = 9 × [n(n + 1)(2n + 1)]2/36 = [n(n + 1)(2n + 1)]2/4 = [n(n + 1)(2n + 1)/2]2 取右侧 = S3 (1 + 8S1) = [n(n + 1)/2]2 × [1 + 8 × n(n + 1)/2] = [n(n + 1)/2]2 × [1 + 4n(n + 1)] = [n(n + 1)/2]2 × [1 + 4n2 + 4n] = [n(n + 1)/2]2 × [(2n)2 + 2(2n)(1) + 12] = [n(n + 1)/2]2 × (2n + 1)2 = [n(n + 1)(2n + 1)/2]2 = 左侧 因为，左侧 = 右侧。 因此，证明了 9 S22 = S3 (1 + 8S1)。 25. 求下列级数的前 n 项和 13/1 + (13 + 23)/(1 + 3) + (13 + 23 + 33)/(1 + 3 + 5) + … 解决方案 级数中的第 n 项将是 an = (13 + 23 + 33 + … + n3)/(1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)) = [n(n + 1)/2]2/(1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)) 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) 中的项构成一个等差数列。 等差数列的和 = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n/2 × [2(1) + (n - 1)2] = n/2 × 2[1 + n - 1] = n(n) = n2 所以， an = [n(n + 1)/2]2/n2 = n2(n + 1)2/4n2 = (n + 1)2/4 = (n2 + 2n + 1)/4 给定级数的和 = S = n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (k2 + 2k + 1)/4 = 1/4 n∑k = 1 k2 + 2/4 n∑k = 1 k + 1/4 n∑k = 1 1 = 1/4 × n(n + 1)(2n + 1)/6 + 1/2 × n(n + 1)/2 + n/4 = n(n + 1)(2n + 1)/24 + n(n + 1)/4 + n/4 = n/4 × [(n + 1)(2n + 1)/6 + (n + 1) + 1] = n/4 × [(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1) + 6(1)]/6 = n/24 × [2n2 + 2n + n + 1 + 6n + 6 + 6] = n/24 × [2n2 + 9n + 13] = n(2n2 + 9n + 13)/24 26. 证明 [1 × 22 + 2 × 32 + … + n × (n + 1)2]/[12 × 2 + 22 × 3 + … + n2 × (n + 1)] = (3n + 5)/(3n + 1) 解决方案 分子中的第 n 项 = n × (n + 1)2 = n × (n2 + 2n + 1) = n3 + 2n2 + n 分母中的第 n 项 = n2 × (n + 1) = n3+ n2 左侧 = [1 × 22 + 2 × 32 + … + n × (n + 1)2]/[12 × 2 + 22 × 3 + … + n2 × (n + 1)] = n∑k = 1 ak/n∑k = 1 ak = n∑k = 1 (k3 + 2k2 + 1)/n∑k = 1 (k3 + 2k2) = [n∑k = 1 k3 + 2 n∑k = 1 k2 + n∑k = 1 k]/[n∑k = 1 k3 + n∑k = 1 k2] 分子 = n∑k = 1 k3 + 2 n∑k = 1 k2 + n∑k = 1 k = [n(n + 1)/2]2 + 2 × n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)/2 = n(n + 1)/2 × [n(n + 1)/2 + 2(2n + 1)/3 + 1] = n(n + 1)/2 × [3n(n + 1) + 4(2n + 1) + 6]/6 = n(n + 1)/2 × [3n2 + 3n + 8n + 4 + 6]/6 = n(n + 1)/12 × [3n2 + 11n + 10] = n(n + 1)/12 × [3n2 + 6n + 5n + 10] = n(n + 1)/12 × [3n(n + 2) + 5(n + 2)] = n(n + 1)/12 × (n + 2)(3n + 5) = n(n + 1)(n + 2)(3n + 5)/12 分母 = n∑k = 1 k3 + n∑k = 1 k2 = [n(n + 1)/2]2 + n(n + 1)(2n + 1)/6 = n(n + 1)/2 × [n(n + 1)/2 + (2n + 1)/3] = n(n + 1)/2 × [3n(n + 1) + 2(2n + 1)]/6 = n(n + 1)/12 × [3n2 + 3n + 4n + 2] = n(n + 1)/12 × [3n2 + 7n + 2] = n(n + 1)/12 × [3n2 + 6n + n + 2] = n(n + 1)/12 × [3n(n + 2) + (n + 2)] = n(n + 1)/12 × (n + 2)(3n + 1) = n(n + 1)(n + 2)(3n + 1)/12 因此， 左侧 = [1 × 22 + 2 × 32 + … + n × (n + 1)2]/[12 × 2 + 22 × 3 + … + n2 × (n + 1)] = [n(n + 1)(n + 2)(3n + 5)/12]/[n(n + 1)(n + 2)(3n + 1)/12] = (3n + 5)/(3n + 1) = RHS 因为，左侧 = 右侧。 因此，证明完毕。 27. 一位农民以 12000 卢比的价格购买了一台二手拖拉机。他支付了 6000 卢比现金，并同意以每年 500 卢比的等额本息偿还余额，外加未偿还金额的 12% 的利息。这台拖拉机最终会花他多少钱？ 解决方案 拖拉机的原始成本 = 12000 卢比 农民支付的现金金额 = 6000 卢比 待支付的余额 = 12000 卢比 - 6000 卢比 = 6000 卢比 农民同意每年支付 500 卢比加上剩余金额的 12% 的利息。因此，每年支付的利息将是 6000 的 12%，5500 的 12%，5000 的 12%，…，500 的 12% 因此，总共需要支付的利息 = 6000 的 12% + 5500 的 12% + 5000 的 12% + … + 500 的 12% = (6000 + 5500 + 5000 + … + 500) 的 12% = (500 + 1000 + 1500 + … + 6000) 的 12% 500 + 1000 + 1500 + … + 6000 中的项构成一个等差数列，其中 首项 = a = 500 且公差 = d = 500 等差数列的末项 = an = a + (n - 1)d 6000 = 500 + (n - 1)500 5500 = (n - 1)500 11 = n - 1 n = 12 等差数列的和 = Sn = 500 + 1000 + 1500 + … + 6000 = n/2 × [2a + (n - 1)d] = 12/2 × [2(500) + 11(500)] = 6 × [1000 + 5500] = 6 × 6500 = 39000 因此，总共需要支付的利息 = 39000 的 12% = 12/100 × 39000 = 4680 卢比 拖拉机的总成本 = 成本 + 利息 = 12000 卢比 + 4680 卢比 = 16680 卢比 因此，这台拖拉机将花费农民 16680 卢比。 28. Shamshad Ali 以 22000 卢比的价格购买了一辆踏板车。他支付了 4000 卢比现金，并同意每年支付 1000 卢比的本金，外加未偿还金额的 10% 的利息。这辆踏板车将花他多少钱？ 解决方案 踏板车的原始成本 = 22000 卢比 Shamshad Ali 支付的现金金额 = 4000 卢比 待支付的余额 = 22000 卢比 - 4000 卢比 = 18000 卢比 Shamshad Ali 已同意支付 1000 卢比加上剩余金额的 10% 的利息。因此，每年支付的利息将是 18000 的 10%，17000 的 10%，16000 的 10%，…，1000 的 10% 因此，总共需要支付的利息 = 18000 的 10% + 17000 的 10% + 16000 的 10% + … + 1000 的 10% = (18000 + 17000 + 16000 + … + 1000) 的 10% = (1000 + 2000 + 3000 + … + 18000) 的 10% 1000 + 2000 + 3000 + … + 18000 中的项构成一个等差数列，其中 首项 = a = 1000 且公差 = d = 1000 等差数列的末项 = an = a + (n - 1)d 18000 = 1000 + (n - 1)1000 17000 = (n - 1)1000 17 = n - 1 n = 18 等差数列的和 = Sn = 1000 + 2000 + 3000 + … + 18000 = n/2 × [2a + (n - 1)d] = 18/2 × [2(1000) + 17(1000)] = 9 × [2000 + 17000] = 9 × 19000 = 171000 因此，总共需要支付的利息 = 171000 的 10% = 10/100 × 171000 = 17100 卢比 踏板车的总成本 = 成本 + 利息 = 22000 卢比 + 17100 卢比 = 39100 卢比 因此，这辆踏板车将花费 Shamshad 39100 卢比。 29. 一位人士给他的四个朋友写信。他要求他们每个人复制这封信，并寄给四个不同的人，并指示他们以同样的方式传递下去。假设这条链条没有中断，并且寄一封信需要 50 皮塞。在发送第 8 组信件时，计算邮资花费。 解决方案 最初由该人士发送的信件数量 = 4 由该人士的朋友发送的信件数量 = 4 × 4 = 42 由下一批收件人发送的信件数量 = 4 × 42 = 43 …以此类推。 每一步链条中发送的信件数量构成一个等比数列 4, 42, 43, … 首项 = a = 4 公比 = r = 4 发送到第 8 组的信件 = 等比数列首项的和 = S8 = 4(1 - 48)/(1 - 4) = 4(1 - 65536)/(-3) = 4(-65535)/(-3) = 4(21845) = 87380 寄一封信的成本 = 50 皮塞 = 0.5 卢比 寄送 87380 封信的成本 = 0.5 卢比 × 87380 = 43690 卢比 因此，在发送第 8 组信件时，邮资花费是 43690 卢比。 30. 一人将 10000 卢比存入银行，年利率为 5% 的单利。计算他存款后第 15 年的金额，并计算 20 年后的总金额。 解决方案 该人士存入的金额 = 10000 卢比 每年的利息 = 10000 的 5% = 5/100 × 10000 = 500 卢比 每年后的金额序列 10000, 10500, 11000, … 这个序列是一个等差数列。 首项 = a = 10000 公差 = d = 500 第 15 年的金额 = a15 = a + 14d = 10000 + 14(500) = 10000 + 7000 = 17000 卢比 20 年后的总金额 = a21 = a + 20d = 10000 + 20(500) = 10000 + 10000 = 20000 因此，第 15 年的金额是 17000 卢比，20 年后的总金额是 20000 卢比。 31. 一位制造商估计，一台价值 15625 卢比的机器，其价值每年将折旧 20%。计算 5 年结束时的估计价值。 解决方案 机器的原始成本 = 15625 卢比 机器的价值每年将折旧 20%。因此，其价值将在每年后是成本的 80%。 5 年末的价值 = 15625 × 80/100 × 80/100 × 80/10 × … 5 次 = 15625 × 4/5 × 4/5 × 4/5 × … 5 次 = 15625 × 45/55 = 56 × 1024/ 55 = 5 × 1024 = 5120 卢比 因此，机器在第 5 年末的价值将是 5120 卢比。 32. 雇佣了 150 名工人，在一定天数内完成一项工作。第二天有 4 名工人退出，第三天又有 4 名工人退出，以此类推。 完成了工作需要多花 8 天。求工作完成的天数。 解决方案 最初雇佣的工人数量 = 150 设 150 名工人完成工作的天数为 x。 已知每天有 4 名工人退出。因此， 150x = 150 + 146 + 142 + … + (x + 8) 项 150 + 146 + 142 + … + 至 (x + 8) 项构成一个等差数列。 首项 = a = 150，公差 = d = -4 等差数列的项数 = (x + 8) 等差数列的和 = 150 + 146 + 142 + … + 至 (x + 8) 项 = (x + 8)/2 × [2(150) + (x + 7)(-4)] 因此， 150x = (x + 8)/2 × [2(150) + (x + 7)(-4)] 300x = (x + 8) × [300 - 4x - 28] 300x = (x + 8) × [272 - 4x] 300x = (x + 8) × 4(68 - x) 75x = (x + 8) (68 - x) 75x = 68x - x2 + 544 - 8x x2 + 75x = 60x + 544 x2 + 15x - 544 = 0 x2 + 32x - 17x - 544 = 0 x(x + 32) - 17(x + 32) = 0 (x + 32) (x - 17) = 0 (x + 32) = 0 ⇒ x = -32 或 (x - 17) = 0 ⇒ x = 17 x 代表天数，不可能是负数，因此 x = -32 被拒绝。所以，x = 17。 因此，由于工人流失而完成工作的天数 = 17 + 8 = 25 天。 下一个主题NCERT 11年级数学第10章解决方案 |
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