12 年级数学第 11 章：三维几何 的 NCERT 解决方案

练习 11.1

1. 如果一条线与x、y、z轴分别成90°、135°、45°角，求它的方向余弦。

解决方案

设该线的方向余弦为l、m、n。

l = cos 90° = 0

m = cos 135° = -1/√2

m = cos 45° = 1/√2

因此，该线的方向余弦是

0, -1/√2, 和 1/√2

2. 找出与坐标轴成等角的线的方向余弦。

解决方案

设该线的方向余弦与每个坐标轴成角x。

l = cos x, m = cos x, n = cos x

现在，

l² + m² + n² = 1

cos² x + cos² x + cos² x = 1

3 cos² x = 1

cos² x = 1/3

cos x = √(1/3)

cos x = ± 1/√3

因此，与坐标轴等倾斜的线的方向余弦是 ± 1/√3、± 1/√3 和 ± 1/√3。

3. 如果一条线的方向比是-18、12、-4，那么它的方向余弦是什么？

解决方案

已知该线的方向比是-18、12和-4。因此，它的方向余弦是

-18/√((-18)² + 12² + (-4)²), 12/√((-18)² + 12² + (-4)²), -4/√((-18)² + 12² + (-4)²)

⇒ -18/√(324 + 144 + 16), 12/√(324 + 144 + 16), -4/√(324 + 144 + 16)

⇒ -18/√(484), 12/√(484), -4/√(484)

⇒ -18/22, 12/22, -4/22

⇒ -9/11, 6/11, -2/11

因此，如果一条线的方向比是-18、12和-4，则所需的方向余弦是

-9/11, 6/11, -2/11

4. 证明点(2, 3, 4)、(-1, -2, 1)、(5, 8, 7)是共线的。

解决方案

给定点是 A (2, 3, 4)、B (-1, -2, 1) 和 C (5, 8, 7)。

我们知道连接两点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线的方向比由以下公式给出

x₂ - x₁, y₂ - y₁, 和 z₂ - z₁。

因此，

连接点 A (2, 3, 4) 和 B (-1, -2, 1) 的线段 AB 的方向比是

(-1 - 2), (-2 - 3), (1 - 4)

⇒ -3, -5, -3

连接点 B (-1, -2, 1) 和 C (5, 8, 7) 的线段 BC 的方向比是

(5 - (-1)), (8 - (-2)), (7 - 1)

⇒ (5 + 1), (8 + 2), 6

⇒ 6, 10, 6

AB和BC的方向比之比是

x轴方向比 = -3/6 = -2

y轴方向比 = -5/10 = -2

z轴方向比 = -3/6 = -2

所以，BC 的方向比是 AB 的 (-2) 倍，即 AB 和 BC 有成比例的方向余弦。

因此，AB平行于BC。

但是，点B是线AB和线BC的共同点。

因此，点A、B和C是共线的。

5. 找出顶点为(3, 5, -4)、(-1, 1, 2)和(-5, -5, -2)的三角形各边的方向余弦。

解决方案

设三角形为∆ ABC，顶点为 A (3, 5, -4)、B (-1, 1, 2) 和 C (-5, -5, -2)。

我们知道连接两点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线的方向比由以下公式给出

x₂ - x₁, y₂ - y₁, 和 z₂ - z₁。

因此，

连接点 A (3, 5, -4) 和 B (-1, 1, 2) 的线段 AB 的方向比是

(-1 - 3), (1 - 5), (2 - (-4))

⇒ -4, -4, (2 + 4)

⇒ -4, -4, 6

连接点 B (-1, 1, 2) 和 C (-5, -5, -2) 的线段 BC 的方向比是

(-5 - (-1)), (-5 - 1), (-2 - 2)

⇒ (-5 + 1), -6, -4

⇒ -4, 6, -4

连接点 A (3, 5, -4) 和 C (-5, -5, -2) 的线段 AC 的方向比是

(-5 - 3), (-5 - 5), (-2 - (-4))

⇒ -8, -10, (-2 + 4)

⇒ -8, -10, 2

AB 的方向余弦

-4/√((-4)² + (-4)² + 6²), -4/√((-4)² + (-4)² + 6²), 6/√((-4)² + (-4)² + 6²)

⇒ -4/√(16 + 16 + 36), -4/√(16 + 16 + 36), 6/√(16 + 16 + 36)

⇒ -4/√(68), -4/√(68), 6/√(68)

⇒ -4/2√17, -4/2√17, 6/2√17

⇒ -2/√17, -2/√17, 3/√17

BC 的方向余弦

-4/√((-4)² + 6² + (-4)²), 6/√((-4)² + 6² + (-4)²), -4/√((-4)² + 6² + (-4)²)

⇒ -4/√(16 + 36 + 16), 6/√(16 + 36 + 16), -4/√(16 + 36 + 16)

⇒ -4/√(68), 6/√(68), -4/√(68)

⇒ -4/2√17, 6/2√17, -4/2√17

⇒ -2/√17, -3/√17, -2/√17

CA 的方向余弦

-8/√((-8)² + (-10)² + 2²), -10/√((-8)² + (-10)² + 2²), 2/√((-8)² + (-10)² + 2²)

⇒ -8/√(64 + 100 + 4), -10/√(64 + 100 + 2), 2/√(64 + 100 + 4)

⇒ -8/√(168), -10/√(168), 2/√(168)

⇒ -8/2√42, -10/2√42, 2/2√42

⇒ -4/√42, -5/√42, 1/√42

练习 11.2

1. 证明三条线的方向余弦分别为

12/13, -3/13, -4/13; 4/13, 12/13, 3/13; 3/13, -4/13, 12/13 相互垂直。

解决方案

我们知道，如果两条线的方向余弦分别为l₁, m₁, n₁和l₂, m₂, n₂ ，则它们相互垂直，当且仅当l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0。

考虑方向余弦为以下值的线：

12/13, -3/13, -4/13 和

4/13, 12/13, 3/13

检查是否满足 l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

左边 = (12/13) (4/13) + (-3/13) (12/13) + (-4/13) (3/13)

= 48/169 - 36/169 - 12/169

= 48/169 - 48/169

= 0

= RHS

因此，这两条线是垂直的。

考虑方向余弦为以下值的线：

4/13, 12/13, 3/13 和

3/13, -4/13, 12/13

检查是否满足 l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

左边 = (4/13) (3/13) + (12/13) (-4/13) + (3/13) (12/13)

= 12/169 - 48/169 + 36/169

= 48/169 - 48/169

= 0

= RHS

因此，这两条线是垂直的。

考虑方向余弦为以下值的线：

3/13, -4/13, 12/13 和

12/13, -3/13, -4/13

检查是否满足 l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0

左边 = (3/13) (12/13) + (-4/13) (-3/13) + (12/13) (-4/13)

= 36/169 + 12/169 - 48/169

= 48/169 - 48/169

= 0

= RHS

因此，这两条线是垂直的。

因此，所有三条给定的线都相互垂直。

2. 证明通过点(1, -1, 2)、(3, 4, -2)的线与通过点(0, 3, 2)和(3, 5, 6)的线垂直。

解决方案

设给定点为 A (1, -1, 2), B (3, 4, -2), C (0, 3, 2) 和 D (3, 5, 6)。

那么，连接点 A (1, -1, 2) 和 B (3, 4, -2) 的线是 AB，连接点 C (0, 3, 2) 和 D (3, 5, 6) 的线是 CD。

AB 的方向比

(3 - 1), (4 - (-1)), (-2 - 2)

⇒ 2, (4 + 1), -4

⇒ 2, 5, -4

CD 的方向比

(3 - 0), (5 - 3), (6 - 2)

⇒ 3, 2, 4

我们知道，如果两条线的方向比分别为 a₁, b₁, c₁ 和 a₂, b₂, c₂ ，则它们相互垂直，当且仅当 a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0。

检查 AB 和 CD 线是否满足 a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0。

左边 = 2 (3) + 5 (2) + (-4) 4

= 6 + 10 - 16

= 0

= RHS

因此，AB 和 CD 相互垂直。

3. 证明通过点(4, 7, 8)、(2, 3, 4)的线平行于通过点(-1, -2, 1)、(1, 2, 5)的线。

解决方案

设给定点为 A (4, 7, 8), B (2, 3, 4), C (-1, -2, 1) 和 D (1, 2, 5)。

那么，连接点 A (4, 7, 8) 和 B (2, 3, 4) 的线是 AB，连接点 C (-1, -2, 1) 和 D (1, 2, 5) 的线是 CD。

AB 的方向比

(2 - 4), (3 - 7), (4 - 8)

⇒ -2, -4, -4

CD 的方向比

(1 - (-1)), (2 - (-2)), (5 - 1)

⇒ (1 + 1), (2 + 2), 4

⇒ 2, 4, 4

我们知道，如果两条线的方向比分别为 a₁, b₁, c₁ 和 a₂, b₂, c₂ ，则它们相互平行，当且仅当 a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂。

a₁/a₂ = -2/2 = -1

b₁/b₂ = -4/4 = -1

c₁/c₂ = -4/4 = -1

所以，a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

因此，AB 和 CD 线是平行的。

4. 找出通过点(1, 2, 3)并平行于向量 3î + 2ĵ - 2k̂ 的线的方程。

解决方案

设给定点为 A (1, 2, 3)。

点A的位置向量为

a⃗ = î + 2ĵ + 3k̂

设给定向量表示为 b⃗ = 3î + 2ĵ - 2k̂

我们知道通过点 a⃗ 并平行于向量 b⃗ 的线的方程由以下公式给出

r⃗ = a⃗ + λ b⃗

其中 λ 是一个常数。因此，

r⃗ = î + 2ĵ + 3k̂ + λ (3î + 2ĵ - 2k̂)

是所需线的方程。

5. 找出通过位置向量 2î - ĵ + 4k̂ 且方向为 î + 2ĵ - k̂ 的线的向量形式和笛卡尔形式的方程。

解决方案

线通过的给定位置向量是

a⃗ = 2î - ĵ + 4k̂

线平行的给定向量是

b⃗ = î + 2ĵ - k̂

我们知道通过点 a⃗ 并平行于向量 b⃗ 的线的方程由以下公式给出

r⃗ = a⃗ + λ b⃗

其中 λ 是一个常数。因此，

r⃗ = 2î - ĵ + 4k̂ + λ (î + 2ĵ - k̂)

是所需线的向量形式方程。

r⃗ = 2î - ĵ + 4k̂ + λ (î + 2ĵ - k̂)

r⃗ = 2î - ĵ + 4k̂ + λî + 2λĵ - λk̂

r⃗ = (2 + λ) î + (-1 + 2λ) ĵ + (4 - λ) k̂

设 r⃗ = xî + yĵ + zk̂

(2 + λ) î + (-1 + 2λ) ĵ + (4 - λ) k̂ = xî - yĵ + zk̂

比较系数，

2 + λ = x

λ = x - 2

-1 + 2λ = +y

y + 1 = 2λ

λ = (y + 1)/2

4 - λ = z

-λ = z - 4

λ = (z - 4)/-1

因此，所需方程的笛卡尔形式是

(x - 2)/1 = (y + 1)/2 = (z - 4)/-1

6. 找出通过点(-2, 4, -5)并平行于线 (x + 3)/3 = (y - 4)/5 = (z + 8)/6 的线的笛卡尔方程。

解决方案

所需线通过的点是 (-2, 4, -5)。

平行于所需线的笛卡尔方程是

(x + 3)/3 = (y - 4)/5 = (z + 8)/6

因此，该线的方向比是 3k、5k 和 6k，其中 k ≠ 0。

我们知道，通过点 (x₁, y₁, z₁) 且方向比为 a, b, c 的线的笛卡尔方程由以下公式给出

(x - x₁)/a = (y - y₁)/b = (z - z₁)/c

因此，

(x + 3)/3k = (y - 4)/5k = (z + 8)/6k

(x + 3)/3 = (y - 4)/5 = (z + 8)/6 = k

是所需线的方程。

7. 一条线的笛卡尔方程是 (x - 5)/3 = (y + 4)/7 = (z - 6)/2。写出它的向量形式。

解决方案

线的笛卡尔方程是

(x - 5)/3 = (y + 4)/7 = (z - 6)/2

这条线通过点 (5, -4, 6)。给定线通过的点的位置向量将是 a⃗ = 5î - 4ĵ + 6k̂。

给定线的方向比是 3、7 和 2。

因此，该线的方向是向量 b⃗ = 3î + 7ĵ + 2k̂。

我们知道通过点 a⃗ 并平行于向量 b⃗ 的线的方程由以下公式给出

r⃗ = a⃗ + λ b⃗ 其中 λ ∈ R

r⃗ = 5î - 4ĵ + 6k̂ + λ (3î + 7ĵ + 2k̂)

因此，这是所需线的向量形式方程。

8. 找出以下线对之间的角度

(i) r⃗ = 2î - 5ĵ + k̂ + λ (3î + 2ĵ + 6k̂) 和
r⃗ = 7î - 6k̂ + μ (î + 2ĵ + 2k̂)

(ii) r⃗ = 3î + ĵ - 2k̂ + λ (î - ĵ - 2k̂) 和
r⃗ = 2î - ĵ - 56k̂ + μ (3î - 5ĵ - 4k̂)

解决方案

(i) 设 x 为给定线对之间的角度。

设给定线平行的向量表示为

a⃗ = 3î + 2ĵ + 6k̂ 和

b⃗ = î + 2ĵ + 2k̂

我们知道

a⃗. b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos x

cos x = |a⃗. b⃗/|a⃗||b⃗||

|a⃗| = √(3² + 2² + 6²)

= √(9 + 4 + 36)

= √49

= 7

|b⃗| = √(1² + 2² + 2²)

= √(1 + 4 + 4)

= √9

= 3

a⃗. b⃗ = (3î + 2ĵ + 6k̂). (î + 2ĵ + 2k̂)

= 3 (1) + 2 (2) + 6 (2)

= 3 + 4 + 12

= 19

cos x = 19/7(3)

cos x = 19/21

x = cos^-1 (19/21)

(ii) 设 x 为给定线对之间的角度。

设给定线平行的向量表示为

a⃗ = î - ĵ - 2k̂ 和

b⃗ = 3î - 5ĵ - 4k̂

我们知道

a⃗. b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos x

cos x = |a⃗. b⃗/|a⃗||b⃗||

|a⃗| = √(1² + (-1)² + (-2)²)

= √(1 + 1 + 4)

= √6

|b⃗| = √(3² + (-5)² + (-4)²)

= √(9 + 25 + 16)

= √50

= 5√2

a⃗. b⃗ = (î - ĵ - 2k̂). (3î - 5ĵ - 4k̂)

= 1 (3) + 1 (5) + 2 (4)

= 3 + 5 + 8

= 16

cos x = 16/(5√2)(√6)

cos x = 16/5√12

cos x = 16/10√3

cos x = 8/5√3

x = cos^-1 (8/5√3)

9. 找出以下线对之间的角度

(i) (x - 2)/2 = (y - 1)/5 = (z + 3)/-3 和

(x + 2)/-1 = (y - 4)/8 = (z - 5)/4

(ii) x/2 = y/2 = z/1 和

(x - 5)/4 = (y - 2)/1 = (z - 3)/8

解决方案

(i) 设给定线对之间的角度为 x。

设给定线平行的向量为

a⃗ = 2î + 5ĵ - 3k̂ 和

b⃗ = -î + 8ĵ + 4k̂

我们知道

a⃗. b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos x

cos x = |a⃗. b⃗/|a⃗||b⃗||

|a⃗| = √(2² + 5² + (-3)²)

= √(4 + 25 + 9)

= √38

|b⃗| = √((-1)² + 8² + 4²)

= √(1 + 64 + 16)

= √81

= 9

a⃗. b⃗ = (2î + 5ĵ - 3k̂). (-î + 8ĵ + 4k̂)

= 2 (-1) + 5 (8) - 3 (4)

= -2 + 40 - 12

= 26

cos x = 26/9√38

x = cos^-1 (26/9√38)

(ii) 设给定线对之间的角度为 x。

设给定线平行的向量为

a⃗ = 2î + 2ĵ + k̂ 和

b⃗ = 4î + ĵ + 8k̂

我们知道

a⃗. b⃗ = |a⃗| |b⃗| cos x

cos x = |a⃗. b⃗/|a⃗||b⃗||

|a⃗| = √(2² + 2² + 1²)

= √(4 + 4 + 1)

= √9

= 3

|b⃗| = √(4² + 1² + 8²)

= √(16 + 1 + 64)

= √81

= 9

a⃗. b⃗ = (2î + 2ĵ + k̂). (4î + ĵ + 8k̂)

= 2 (4) + 2 (1) + 1 (8)

= 8 + 2 + 8

= 18

cos x = 18/3(9)

cos x = 2/3

x = cos^-1 (2/3)

10. 找出 p 的值，使这些线

(1 - x)/3 = (7y - 14)/2p = (z - 3)/2

并且

(7 - 7x)/3p = (y - 5)/1 = (6 - z)/5 相互垂直。

解决方案

给定方程可以写成

(1 - x)/3 = (7y - 14)/2p = (z - 3)/2

并且

(7 - 7x)/3p = (y - 5)/1 = (6 - z)/5

-(x - 1)/3 = 7 (y - 2)/2p = (z - 3)/2

并且

7 (1 - x)/3p = (y - 5)/1 = -(z - 6)/5

(x - 1)/-3 = (y - 2)/(2p/7) = (z - 3)/2

并且

(x - 1)/-(3p/7) = (y - 5)/1 = (z - 6)/-5

两条线的方向比分别是 -3, 2p/7, 2 和 -3p/7, 1, -5。

我们知道，如果两条线的方向比分别为 a₁, b₁, c₁ 和 a₂, b₂, c₂ ，则它们相互垂直，当且仅当

a₁. a₂ + b₁. b₂ + c₁. c₂ = 0

(-3) (-3p/7) + (2p/7) (1) + 2 (-5) = 0

9p/7 + 2p/7 - 10 = 0

9p/7 + 2p/7 = 10

(p/7) (9 + 2) = 10

(p/7) (11) = 10

p = 70/11

11. 证明直线 (x - 5)/7 = (y + 2)/-5 = z/1 和 x/1 = y/2 = z/3 相互垂直。

解决方案

给定线的方程是

(x - 5)/7 = (y + 2)/-5 = z/1 和 x/1 = y/2 = z/3

这些给定线的方向比分别是 7, -5, 1 和 1, 2, 3。

我们知道，如果两条线的方向比分别为 a₁, b₁, c₁ 和 a₂, b₂, c₂ ，则它们相互垂直，当且仅当

a₁. a₂ + b₁. b₂ + c₁. c₂ = 0

左边 = 7 (1) + (-5) 2 + 1 (3)

= 7 - 10 + 3

= 0

= RHS

因此，给定线相互垂直。

12. 找出线之间的最短距离

r⃗ = (î + 2î + k̂) + λ (î - ĵ + k̂) 和

r⃗ = (2î - î - k̂) + μ (2î + ĵ + 2k̂)

解决方案

给定线是

r⃗ = (î + 2î + k̂) + λ (î - ĵ + k̂) 和

r⃗ = (2î - î - k̂) + μ (2î + ĵ + 2k̂)

我们知道，两条线 r⃗ = a₁⃗ + λ b₁⃗ 和 r⃗ = a₂⃗ + μ b₂⃗ 之间的最短距离由以下公式给出

d = |(b₁⃗ × b₂⃗). (a₂⃗ - a₁⃗)/|b₁⃗ × b₂⃗||

分别将给定方程与 r⃗ = a₁⃗ + λ b₁⃗ 和 r⃗ = a₂⃗ + μ b₂⃗ 进行比较。

a₁⃗ = î + 2î + k̂

a₂⃗ = 2î - î - k̂

b₁⃗ = î - ĵ + k̂

b₂⃗ = 2î + ĵ + 2k̂

现在，

a₂⃗ - a₁⃗ = (2î - î - k̂) - (î + 2î + k̂)

= (2 - 1) î + (-1 - 2) ĵ + (-1 - 1) k̂

= î - 3ĵ - 2k̂

b₁⃗ × b₂⃗ =

= î ((-1) 2 - 1 (1)) - ĵ (1 (2) - 1 (2)) + k̂ (1 (1) - (-1) 2)

= î (-2 - 1) - ĵ (2 - 2) + k̂ (1 + 2)

= -3î - 0 + 3k̂

= -3î + 3k̂

| b₁⃗ × b₂⃗| = √((-3)² + 3²) = √(9 + 9)

= √18

= 3√2

因此，给定两条线之间的距离是

d = |(-3î + 0ĵ + 3k̂). (î - 3ĵ - 2k̂)/3√2|

= |((-3) 1 + 0 (-3) + 3 (-2))/3√2|

= |(-3 + 0 - 6)/3√2|

= |-9/3√2|

= |-3/√2|

= 3/√2

= 3/√2 × √2/√2

= 3√2/2

因此，线之间的最短距离是 3√2/2 个单位。

13. 找出线之间的最短距离

(x + 1)/7 = (y + 1)/-6 = (z + 1)/1 和 (x - 3)/1 = (y - 5)/-2 = (z - 7)/1

解决方案

给定线的方程是

(x + 1)/7 = (y + 1)/-6 = (z + 1)/1 和

(x - 3)/1 = (y - 5)/-2 = (z - 7)/1

我们知道，形式为以下公式的两条线之间的最短距离

(x - x₁)/a₁ = (y - y₁)/b₁ = (z - z₁)/c₁ 和

(x - x₂)/a₂ = (y - y₂)/b₂ = (z - z₂)/c₂

分别将给定方程与 (x + x₁)/a₁ = (y + y₁)/b₁ = (z + z₁)/c₁ 和 (x - x₂)/a₂ = (y - y₂)/b₂ = (z - z₂)/c₂ 进行比较。

x₁ = -1 y₁ = -1 z₁ = -1

a₁ = 7 b₁ = -6 c₁ = 1

x₂ = 3 y₂ = 5 z₂ = 7

a₂ = 1 b₂ = -2 c₂ = 1

因此，

= 4 ((-6) 1 - 1 (-2)) - 6 (7 (1) - 1 (1)) + 8 (7 (-2) - (-6) 1)

= 4 (-6 + 2) - 6 (7 - 1) + 8 (-14 + 6)

= 4 (-4) - 6 (6) + 8 (-8)

= -16 - 36 - 64

= -116

并且

√((b₁c₂ - b₂c₁)² + (c₁a₂ - c₂a₁)² + (a₁b₂ - a₂b₁)²)

= √(((-6) 1 - 1 (-2))² + (1 (1) - 1 (7))² + (7 (-2) - (-6) 1)²)

= √((-6 + 2)² + (1 - 7)² + (-14 + 6)²)

= √((-4)² + (-6)² + (-8)²)

= √(16 + 36 + 64)

= √(116)

= 2√29

= -116/2√29

= -58/√29

= -2 (√29)²/√29

= -2√29

距离总是非负的。

因此，给定线之间的最短距离是 2√29 个单位。

14. 找出向量方程如下的线之间的最短距离

r⃗ = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ (î - 3ĵ + 2k̂)

和 r⃗ = (4î + 5ĵ + 6k̂) + μ (2î + 3ĵ + k̂)

解决方案

给定线对是

r⃗ = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ (î - 3ĵ + 2k̂)

和 r⃗ = (4î + 5ĵ + 6k̂) + μ (2î + 3ĵ + k̂)

我们知道，两条线 r⃗ = a₁⃗ + λ b₁⃗ 和 r⃗ = a₂⃗ + μ b₂⃗ 之间的最短距离由以下公式给出

d = |(b₁⃗ × b₂⃗). (a₂⃗ - a₁⃗)/|b₁⃗ × b₂⃗||

分别将给定方程与 r⃗ = a₁⃗ + λ b₁⃗ 和 r⃗ = a₂⃗ + μ b₂⃗ 进行比较。

a₁⃗ = î + 2î + 3k̂

a₂⃗ = 4î + 5î + 6k̂

b₁⃗ = î - 3ĵ + 2k̂

b₂⃗ = 2î + 3ĵ + k̂

现在，

a₂⃗ - a₁⃗ = (4î + 5î + 6k̂) - (î + 2î + 3k̂)

= (4 - 1) î + (5 - 2) ĵ + (6 - 3) k̂

= 3î + 3ĵ + 3k̂

= î ((-3) 1 - 2 (3)) - ĵ (1 (1) - 2 (2)) + k̂ (1 (3) - (-3) 2)

= î (-3 - 6) - ĵ (1 - 4) + k̂ (3 + 6)

= -9î - 3ĵ + 9k̂

| b₁⃗ × b₂⃗| = √((-9)² + (-3)² + 9²) = √(81 + 9 + 81)

= √(171)

= 3√19

因此，给定两条线之间的距离是

d = |(3î + 3ĵ + 3k̂). (-9î - 3ĵ + 9k̂)/3√19|

= |((3) (-9) + 3 (-3) + 3 (9))/3√19|

= |(-27 - 9 + 27)/3√19|

= |-9/3√19|

= |-3/√19|

= 3/√19

= 3/√19 × √19/√19

= 3√19/19

因此，线之间的最短距离是 3√19/19 个单位。

15. 找出向量方程如下的线之间的最短距离

r⃗ = (1 - t) î + (t - 2) ĵ + (3 - 2t) k̂

和 r⃗ = (s + 1) î + (2s - 1) ĵ - (2s + 1) k̂

解决方案

给定线的方程是

r⃗ = (1 - t) î + (t - 2) ĵ + (3 - 2t) k̂

和 r⃗ = (s + 1) î + (2s - 1) ĵ - (2s + 1) k̂

它们可以简化为

r⃗ = î - tî + tĵ - 2ĵ + 3k̂ - 2tk̂

和 r⃗ = sî + î + 2sĵ - ĵ - 2sk̂ - k̂

r⃗ = (î - 2ĵ + 3k̂) + t (-î + ĵ - 2k̂)

和 r⃗ = (î - ĵ - k̂) + s (î + 2ĵ - 2k̂)

我们知道，两条线 r⃗ = a₁⃗ + λ b₁⃗ 和 r⃗ = a₂⃗ + μ b₂⃗ 之间的最短距离由以下公式给出

d = |(b₁⃗ × b₂⃗). (a₂⃗ - a₁⃗)/|b₁⃗ × b₂⃗||

分别将给定方程与 r⃗ = a₁⃗ + λ b₁⃗ 和 r⃗ = a₂⃗ + μ b₂⃗ 进行比较。

a₁⃗ = î - 2ĵ + 3k̂

a₂⃗ = î - ĵ - k̂

b₁⃗ = -î + ĵ - 2k̂

b₂⃗ = î + 2ĵ - 2k̂

现在，

a₂⃗ - a₁⃗ = (î - ĵ - k̂) - (î - 2ĵ + 3k̂)

= (1 - 1) î + (-1 + 2) ĵ + (-1 - 3) k̂

= 0î + ĵ - 4k̂

= ĵ - 4k̂

= î (1 (-2) - (-2) (2)) - ĵ ((-1) (-2) - (-2) (1)) + k̂ ((-1) 2 - (1) 1)

= î (-2 + 4) - ĵ (2 + 2) + k̂ (-2 - 1)

= î (2) - ĵ (4) + k̂ (-3)

= 2î - 4ĵ - 3k̂

| b₁⃗ × b₂⃗| = √(2² + (-4)² + (-3)²) = √(4 + 16 + 9)

= √29

因此，给定两条线之间的距离是

d = |(2î - 4ĵ - 3k̂). (ĵ - 4k̂)/√29|

= |(2 (0) + (-4) (1) + (-3) (-4))/√29|

= |(0 - 4 + 12)/√29|

= |8/√29|

= 8/√29

= 8/√29 × √29/√29

= 8√29/29

因此，线之间的最短距离是 8√29/29 个单位。

杂项练习

1. 找出方向比为 a, b, c 和 b - c, c - a, a - b 的线之间的角度。

解决方案

设所需线之间的角度为 q。

线的方向比分别是 a, b, c 和 b - c, c - a, a - b。

因此，

cos q = |(a (b - c) + b (c - a) + c (a - b))/(√(a² + b² + c²) + √((b - c)² + (c - a)² + (a - b)²))|

cos q = |(ab - ac + bc - ab + ac - bc))/(√(a² + b² + c²) + √(b² + c² + c² + a² + a² + b² - 2bc - 2ac - 2ab))|

cos q = |0/(√(a² + b² + c²) + √(2a² + 2b² + 2c² - 2bc - 2ac - 2ab))|

cos q = 0

cos q = cos 90°

q = 90°。

因此，线之间的角度是 90°。

2. 找出平行于 x 轴并穿过原点的线的方程。

解决方案

唯一一条平行于 x 轴同时穿过原点的线就是 x 轴本身，或者说是与 x 轴重合的线。

由于线上的每个点都位于 x 轴上，所以其 y 轴坐标和 z 轴坐标都等于 0。

设给定线上有一个点 A，坐标为 (a, 0, 0)，其中 a ∈ R。

设原点表示为 O (0, 0, 0)。

现在，线段 OA 的方向比是

(a - 0), 0, 0

⇒ a, 0, 0

我们知道，通过点 (x₁, y₁, z₁) 且方向比为 l, m, n 的线的笛卡尔方程由以下公式给出

(x - x₁)/l = (y - y₁)/m = (z - z₁)/n

因此，

(x - 0)/a = (y - 0)/0 = (z - 0)/0

x/a = y/0 = z/0

⇒ x/1 = y/0 = z/0

因此，x/1 = y/0 = z/0 是通过原点并平行于 x 轴的所需线的方程。

3. 如果直线 (x - 1)/-3 = (y - 2)/2k = (z - 3)/2 和 (x - 1)/3k = (y - 1)/1 = (z - 6)/-5 相互垂直，求 k 的值。

解决方案

给定线是

(x - 1)/-3 = (y - 2)/2k = (z - 3)/2 和

(x - 1)/3k = (y - 1)/1 = (z - 6)/-5

给定线的方向比分别是 -3, 2k, 2 和 3k, 1, -5。

我们知道，如果两条线的方向比分别为 a₁, b₁, c₁ 和 a₂, b₂, c₂ ，则它们相互垂直，当且仅当 a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0。因此，

(-3) (3k) + (2k) (1) + (2) (-5) = 0

-9k + 2k - 10 = 0

-7k - 10 = 0

7k = -10

k = -10/7

4. 找出线 r⃗ = (6î + 2ĵ + 2k̂) + λ (î - 2ĵ + 2k̂) 和 r⃗ = (-4î - k̂) + μ (3î - 2ĵ - 2k̂) 之间的最短距离。

解决方案

给定线是

r⃗ = (6î + 2ĵ + 2k̂) + λ (î - 2ĵ + 2k̂) 和

r⃗ = (-4î - k̂) + μ (3î - 2ĵ - 2k̂)

我们知道，两条线 r⃗ = a₁⃗ + λ b₁⃗ 和 r⃗ = a₂⃗ + μ b₂⃗ 之间的最短距离由以下公式给出

d = |(b₁⃗ × b₂⃗). (a₂⃗ - a₁⃗)/|b₁⃗ × b₂⃗||

分别将给定方程与 r⃗ = a₁⃗ + λ b₁⃗ 和 r⃗ = a₂⃗ + μ b₂⃗ 进行比较。

a₁⃗ = 6î + 2ĵ + 2k̂

a₂⃗ = -4î - k̂

b₁⃗ = î - 2ĵ + 2k̂

b₂⃗ = 3î - 2ĵ - 2k̂

现在，

a₂⃗ - a₁⃗ = (-4î - k̂) - (6î + 2ĵ + 2k̂)

= (-4 - 6) î + (0 - 2) ĵ + (-1 - 2) k̂

= -10î - 2ĵ - 3k̂

= î ((-2) (-2) - (2) (-2)) - ĵ ((1) (-2) - (2) (3)) + k̂ ((1) (-2) - (-2) 3)

= î (4 + 4) - ĵ (-2 - 6) + k̂ (-2 + 6)

= î (8) - ĵ (-8) + k̂ (4)

= 8î + 8ĵ + 4k̂

| b₁⃗ × b₂⃗| = √(8² + 8² + 4²) = √(64 + 64 + 16)

= √144

= 12

因此，给定两条线之间的距离是

d = |(8î + 8ĵ + 4k̂). (-10î - 2ĵ - 3k̂)/12|

= |(8 (-10) + (8) (-2) + 4 (-3))/12|

= |(-80 - 16 - 12)/12|

= |-108/12|

= 108/12

= 9

因此，线之间的最短距离是 9 个单位。

5. 找出通过点 (1, 2, -4) 且垂直于两条线

(x - 8)/3 = (y + 19)/-16 = (z - 10)/7 和

(x - 15)/3 = (y - 29)/8 = (z - 5)/-5 的线的向量方程。

解决方案

设所需线平行于向量 b⃗ = b₁î + b₂ĵ + b₃k̂

给定点的位置向量是 a⃗ = î + 2ĵ - 4k̂

我们知道通过点 a⃗ 并平行于向量 b⃗ 的线的方程由以下公式给出

r⃗ = a⃗ + λ b⃗

其中 λ 是一个常数。因此，

r⃗ = î + 2ĵ - 4k̂ + λ (b₁î + b₂ĵ + b₃k̂)

给定线的方向比分别是 3, -16, 7 和 3, 8, -5。由于 r⃗ 垂直于给定线，因此，

3b₁ - 16b₂ + 7b₃ = 0 和

3b₁ + 8b₂ - 5b₃ = 0

现在，

b₁/((-16) (-5) - 8 (7)) = b₂/((7) 3 - 3 (-5)) = b₃/((3) 8 - 3 (-16))

b₁/(80 - 56) = b₂/(21 + 15) = b₃/(24 + 48)

b₁/(24) = b₂/(36) = b₃/(72)

b₁/2 = b₂/3 = b₃/6

因此，b⃗ = 2î + 3ĵ + 6k̂。

r⃗ = î + 2ĵ - 4k̂ + λ (2î + 3ĵ + 6k̂)

是所需的方程。