12 年级数学第 3 章：矩阵 的 NCERT 解决方案

练习3.1

1. 在矩阵 A = 中，写出

(i) 矩阵的阶，            (ii) 元素的个数，

(iii) 写出元素 a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃。

解决方案

(i) 给定矩阵的行数 = 3

给定矩阵的列数 = 4

因此，给定矩阵 A 的阶 = 3 × 4

(ii) 矩阵的阶 = 3 × 4

因此，矩阵 A 中的元素个数 = 12

(iii) 所需元素为

a₁₃ = 19

a₂₁ = 35

a₃₃ = -5

a₂₄ = 12

a₂₃ = 5/2

2. 如果一个矩阵有 24 个元素，那么它可能的阶是什么？如果它有 13 个元素呢？

解决方案

我们知道，阶为 n₁ × n₂ 的矩阵的元素个数是 n₁n₂。所以，所有乘积为 24 的自然数对将构成一个有 24 个元素的矩阵的所有可能阶。

乘积为 24 的自然数对是

(1, 24), (24, 1), (2, 12), (12, 2), (3, 8), (8, 3), (4, 6), (6, 4)

因此，一个有 24 个元素的矩阵的可能阶是

1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4

同样，如果一个矩阵有 13 个元素，那么它的可能阶将是乘积为 13 的自然数对，即 (1, 13) 和 (13, 1)。

因此，一个有 13 个元素的矩阵的可能阶是

1 × 13 和 13 × 1

3. 如果一个矩阵有 18 个元素，那么它可能的阶是什么？如果它有 5 个元素呢？

我们知道，阶为 n₁ × n₂ 的矩阵的元素个数是 n₁n₂。所以，所有乘积为 18 的自然数对将构成一个有 18 个元素的矩阵的所有可能阶。

乘积为 18 的自然数对是

(1, 18), (18, 1), (2, 9), (9, 2), (3, 6), (6, 3)

因此，一个有 18 个元素的矩阵的可能阶是

1 × 18, 18 × 1, 2 × 9, 9 × 2, 3 × 6, 6 × 3

同样，如果一个矩阵有 5 个元素，那么它的可能阶将是乘积为 5 的自然数对，即 (1, 5) 和 (5, 1)。

因此，一个有 5 个元素的矩阵的可能阶是

1 × 5 和 5 × 1

4. 构建一个 2 × 2 矩阵，A = [a_ij]，其元素由下式给出

1. a_ij = (i + j)²/2
2. a_ij = i/j
3. a_ij = (i + 2 j)²/2

解决方案

(i) a_ij = (i + j)²/2

a₁₁ = (1 + 1)²/2 = 2²/2 = 2

a₁₂ = (1 + 2)²/2 = 3²/2 = 9/2

a₂₁ = (2 + 1)²/2 = 3²/2 = 9/2

a₂₂ = (2 + 2)²/2 = 4²/2 = 8

因此，所需的 2 × 2 矩阵 =

(ii) a_ij = i/j

a₁₁ = 1/1 = 1

a₁₂ = 1/2

a₂₁ = 2/1 = 2

a₂₂ = 2/2 = 1

因此，所需的 2 × 2 矩阵 =

(iii) a_ij = (i + 2j)²/2

a₁₁ = (1 + 2)²/2 = 3²/2 = 9/2

a₁₂ = (1 + 2(2))²/2 = (1 + 4)²/2 = 5²/2 = 25/2

a₂₁ = (2 + 2)²/2 = 4²/2 = 8

a₂₂ = (2 + 2(2))²/2 = (2 + 4)²/2 = 6²/2 = 18

因此，所需的 2 × 2 矩阵 =

5. 构建一个 3 × 4 矩阵，其元素由下式给出

1. a_ij = |-3i + j|/2
2. a_ij = 2i - j

解决方案

(i) a_ij = |-3i + j|/2

a₁₁ = |-3 + 1|/2 = |-2|/2 = 2/2 = 1

a₁₂ = |-3 + 2|/2 = |-1|/2 = 1/2

a₁₃ = |-3 + 3|/2 = 0

a₁₄ = |-3 + 4|/2 = 1/2

a₂₁ = |-6 + 1|/2 = |-5|/2 = 5/2

a₂₂ = |-6 + 2|/2 = |-4|/2 = 4/2 = 2

a₂₃ = |-6 + 3|/2 = |-3|/2 = 3/2

a₂₄ = |-6 + 4|/2 = |-2|/2 = 2/2 = 1

a₃₁ = |-9 + 1|/2 = |-8|/2 = 8/2 = 4

a₃₂ = |-9 + 2|/2 = |-7|/2 = 7/2

a₃₃ = |-9 + 3|/2 = |-6|/2 = 6/2 = 3

a₃₄ = |-9 + 4|/2 = |-5|/2 = 5/2

因此，所需的 3 × 4 矩阵 =

(ii) a_ij = 2i - j

a₁₁ = 2 - 1 = 1

a₁₂ = 2 - 2 = 0

a₁₃ = 2 - 3 = -1

a₁₄ = 2 - 4 = -2

a₂₁ = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3

a₂₂ = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2

a₂₃ = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1

a₂₄ = 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0

a₃₁ = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5

a₃₂ = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4

a₃₃ = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3

a₃₄ = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2

因此，所需的 3 × 4 矩阵 =

6. 从以下方程中求 x, y 和 z 的值

(i) =

(ii) =

(iii) =

解决方案

(i) 给定矩阵相等。因此，它们的对应元素也相等。

4 = y

3 = z

x = 1

(ii) 给定矩阵相等。因此，它们的对应元素也相等。

5 + z = 5

z = 0

x + y = 6

y = 6 - x

xy = 8

x(6 - x) = 8

6x - x² = 8

x² - 6x + 8 = 0

x² - 2x - 4x + 8 = 0

x(x - 2) - 4(x - 2) = 0

(x - 2)(x - 4) = 0

所以，

x - 2 = 0 ⇒ x = 2

y = 6 - 2 ⇒ y = 4

或

x - 4 = 0 ⇒ x = 4

y = 6 - 4 ⇒ y = 2

(iii) 给定矩阵相等。因此，它们的对应元素也相等。

x + y + z = 9

x + z = 5

y + z = 7

所以，

x + (y + z) = 9

x + 7 = 9

x = 2

x + z = 5

z = 5 - x

z = 5 - 2

z = 3

y + z = 7

y = 7 - z

y = 7 - 3

y = 4

7. 从方程中求 a, b, c 和 d 的值

=

解决方案

给定矩阵相等。因此，它们的对应元素也相等。

a - b = -1

2a + c = 5

2a - b = 0

3c + d = 13

现在，

2a - b = 0

a + a - b = 0

a + (-1) = 0

a = 1

a - b = -1

1 - b = -1

b = 2

2a + c = 5

2(1) + c = 5

c = 3

3c + d = 13

3(3) + d = 13

9 + d = 13

d = 4

因此，a = 1, b = 2, c = 3, 和 d = 4。

8. A = [a_ij]_{m × n} 是一个方阵，如果

(A) m < n             (B) m > n             (C) m = n             (D) 以上均不正确

解决方案

方阵的行数等于列数，即 m = n。

因此，(C) 是正确答案。

9. x 和 y 的哪些值使以下矩阵对相等

,

(A) x = -1/3, y = 7             (B) 无法找到

(C) y = 7, x = -2/3             (D) x = -1/3, y = -2/3

解决方案

假设 =

如果两个矩阵相等，则它们的对应元素也相等。因此，

3x + 7 = 0

3x = -7

x = -7/3

2 - 3x = 4

3x = -2

x = -2/3

但 x = -7/3 和 x = -2/3 不能同时成立。因此，给定的矩阵不相等。

因此，正确答案是 (B)。

10. 阶为 3 × 3 且每个元素为 0 或 1 的所有可能矩阵的个数是

(A) 27             (B) 18             (C) 81             (D) 512

解决方案

阶为 3 × 3 的矩阵的元素个数 = 9

矩阵中的每个元素必须是 0 或 1。所以，填充每个元素的个数 = 2

需要填充的元素个数 = 9

阶为 3 × 3 的矩阵的总排列数 = 2⁹ = 512

因此，正确答案是 (D)。

练习3.2

1. 令 A = , B = , C =

求以下各项：

1. A + B
2. A - B
3. 3A - C
4. AB
5. BA

解决方案

2. 计算以下各项：

解决方案

3. 计算指示的乘积。

解决方案

解决方案

现在，验证 A + (B - C) = (A + B) - C

左侧 = A + (B - C)

右侧 = (A + B) - C

解决方案

解决方案

7. 如果有 X 和 Y，则求 X 和 Y，

解决方案

解决方案

解决方案

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

2 + y = 5

并且

2x + 2 = 8

求解 y

2 + y = 5

y = 3

求解 x

2x + 2 = 8

2x = 6

x = 3

解决方案

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

2x + 3 = 9,

2z - 3 = 15,

2y = 12

并且

2t + 6 = 18

求解 x

2x + 3 = 9

2x = 6

x = 3

求解 y

2y = 12

y = 6

求解 z

2z - 3 = 15

2z = 18

z = 9

求解 t

2t + 6 = 18

2t = 12

t = 6

因此，x = 3, y = 6, z = 9, 和 t = 6。

解决方案

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

2x - y = 10

并且

3x + y = 5

两方程相加

2x - y + 3x + y = 10 + 5

5x = 15

x = 3

求解 y

2x - y = 10

2(3) - y = 10

6 - y = 10

y = -4

因此，x = 3 且 y = -4。

解决方案

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

3x = 4 + x,

3y = x + y + 6,

3z = -1 + z + w,

并且

3w = 2w + 3

求解 x

3x = 4 + x

2x = 4

x = 2

求解 y

3y = x + y + 6

2y = x + 6

2y = 2 + 6

2y = 8

y = 4

求解 w

3w = 2w + 3

w = 3

求解 z

3z = -1 + z + w

2z = w - 1

2z = 3 - 1

2z = 2

z = 1

因此，x = 2, y = 4, z = 1 且 w = 3。

解决方案

左侧 = F (x) F (y)

= F (x + y) = 右侧

因此，证明完毕。

14. 证明

解决方案

LHS ≠ RHS

因此，证明完毕。

解决方案

A² = A A

解决方案

所以，

左侧 = A³ - 6A² + 7A + 2I

= 0 = 右侧

因此，证明完毕。

解决方案

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

3k = 3, -2 = -2k, 4 = 4k, -2 = -2k

k = 1

解决方案

左侧 = I + A

一家信托基金有 30,000 卢比，必须投资于两种不同类型的债券。第一种债券每年支付 5% 的利息，第二种债券每年支付 7% 的利息。使用矩阵乘法，确定如何将 30,000 卢比分配给这两种债券。如果信托基金必须获得年度总利息为

(a) 1800 卢比           nbsp;        (b) 2000 卢比

解决方案

设投资于第一种债券的金额（以卢比计）为 x。

那么，投资于第二种债券的金额（以卢比计）= 30,000 - x

(a) 年度总利息 = 1800 卢比

所以，

债券投资（以卢比计）          年度利率          利息（以卢比计）

根据矩阵乘法

x × 5% + (30000 - x) × 7% = 1800

x × 5/100 + (30000 - x) × 7/100 = 1800

5x/100 + (210000 - 7x)/100 = 1800

(5x + 210000 - 7x) = 1800 × 100

210000 - 2x = 180000

2x = 30000

x = 15,000

30,000 - x = 30,000 - 15,000 = 15,000

因此，投资于第一种债券的金额是 15,000 卢比，投资于第二种债券的金额是 15,000 卢比。

(b) 年度总利息 = 2000 卢比

所以，

债券投资（以卢比计）            年度利率            利息（以卢比计）

根据矩阵乘法

x × 5% + (30000 - x) × 7% = 2000

x × 5/100 + (30000 - x) × 7/100 = 2000

5x/100 + (210000 - 7x)/100 = 2000

(5x + 210000 - 7x) = 2000 × 100

210000 - 2x = 200000

2x = 10000

x = 5,000

30,000 - x = 30,000 - 5,000 = 25,000

因此，投资于第一种债券的金额是 5,000 卢比，投资于第二种债券的金额是 25,000 卢比。

一家学校的书店有 10 打化学书，8 打物理书，10 打经济学书。它们的售价分别为 80 卢比、60 卢比和 40 卢比。使用矩阵代数，计算书店出售所有书籍的总金额。

解决方案

设书店出售所有书籍的总金额（以卢比计）= x。

总金额（以卢比计）
[x]

根据矩阵乘法

120 × 80 + 96 × 60 + 120 × 40 = x

9600 + 5760 + 4800 = x

20160 = x

因此，书店出售所有书籍的总金额为 20160 卢比。

假设 X, Y, Z, W 和 P 分别是阶为 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 和 p × k 的矩阵。在练习 21 和 22 中选择正确的答案。

21. 使得 PY + WY 有定义的 n, k 和 p 的限制是

(A) k = 3, p = n             (B) k 为任意值, p = 2
(C) p 为任意值, k = 3             (D) k = 2, p = 3

解决方案

矩阵 P 的阶 = p × k

矩阵 Y 的阶 = 3 × k

PY 有定义，如果 k = 3

矩阵 PY 的阶 = p × k

矩阵 W 的阶 = n × 3

矩阵 Y 的阶 = 3 × k

矩阵 WY 的阶 = n × k

PY + WY 仅当 PY 的阶等于 WY 的阶时才定义。

p × k = n × k

p = n

因此，(A) 是正确答案。

22. 如果 n = p，那么矩阵 7X - 5Z 的阶是

(A) p × 2             (B) 2 × n             (C) n × 3             (D) p × n

解决方案

矩阵的加法或减法运算不会改变它们的阶。因此，7X - 5Z 的阶等于矩阵 X 的阶和矩阵 Z 的阶，即 2 × n。

因此。(B) 是正确答案。

练习3.3

1. 求以下每个矩阵的转置

解决方案

1. (A + B)' = A' + B'
2. (A - B)' = A' - B'

解决方案

右侧 = A' + B'

现在，

= 左侧

因此，已验证 (A - B)' = A' - B'。

1. (A + B)' = A' + B'
2. (A - B)' = A' - B'

解决方案

= 左侧

因此，已验证 (A + B)' = A' + B'。

解决方案

5. 对于矩阵 A 和 B，验证 (AB)' = B' A'，其中

= 左侧

因此，已验证 (AB)' = B' A'。

6.

1. (A + A') 是对称矩阵
2. (A - A') 是斜对称矩阵

解决方案

10. 将以下矩阵表示为对称矩阵和斜对称矩阵的和

A = 1/2 × {(A + A') + (A - A')}

A = ½ (A + A') + ½ (A - A')

令 ½ (A + A') = P，½ (A - A') = Q。

因此，P 是对称矩阵。

Q' = -Q

因此，Q 是斜对称矩阵。

因此，给定矩阵可以表示为对称矩阵 P 和斜对称矩阵 Q 的和，即 A = P + Q。

Q' = -Q

因此，Q 是斜对称矩阵。

因此，给定矩阵可以表示为对称矩阵 P 和斜对称矩阵 Q 的和，即 A = P + Q。

Q' = -Q

因此，Q 是斜对称矩阵。

因此，给定矩阵可以表示为对称矩阵 P 和斜对称矩阵 Q 的和，即 A = P + Q。

11. 如果 A 和 B 是相同阶的对称矩阵，则 AB - BA 是一个

(A) 斜对称矩阵               (B) 对称矩阵

(C) 零矩阵               (D) 单位矩阵

解决方案

(AB - BA)' = (AB)' - (BA)'

(AB - BA)' = B'A' - A'B'

(AB - BA)' = BA - AB               因为 A = A' 且 B = B'，因为两个矩阵都是对称的

(AB - BA)' = -(AB - BA)

因此，(AB - BA) 是斜对称矩阵。

因此，(A) 是正确答案。

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

2 cos α = 1

cos α = 1/2

cos α = cos π/3

α = π/3

因此，(B) 是正确答案。

练习3.4

1. 矩阵 A 和 B 互为逆矩阵，当且仅当

(A) AB = BA         (B) AB = BA = 0

(C) AB = 0, BA = I         (D) AB = BA = I

解决方案

我们知道 A A^-1 = I。因此，为了使矩阵 A 和 B 互为逆矩阵

AB = I 必须成立，并且

BA = I 也必须成立。

因此，AB = BA = I。

因此，(D) 是正确答案。

杂项练习

1. 如果 A 和 B 是对称矩阵，证明 AB - BA 是斜对称矩阵。

解决方案

(AB - BA)' = (AB)' - (BA)'

(AB - BA)' = B'A' - A'B'

(AB - BA)' = BA - AB         因为 A = A' 且 B = B'，因为两个矩阵都是对称的

(AB - BA)' = -(AB - BA)

因此，(AB - BA) 是斜对称矩阵。

2. 证明矩阵 B′AB 是对称的还是斜对称的，取决于 A 是对称的还是斜对称的。

解决方案

情况 I：矩阵 A 是对称的。

A = A'

然后，

(B' AB)' = (AB)'(B')'

(B' AB)' = (AB)' B

(B' AB)' = B' A' B

(B' AB)' = B' A B

(B' AB)' = (B' A B)

因此，当 A 是对称矩阵时，(B' AB)' 是对称矩阵。

情况 II：矩阵 A 是斜对称的。

A' = -A

然后，

(B' AB)' = (AB)'(B')'

(B' AB)' = (AB)' B

(B' AB)' = B' A' B

(B' AB)' = -B' A B

(B' AB)' = -(B' A B)

因此，当 A 是斜对称矩阵时，(B' AB)' 是斜对称矩阵。

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

2x² = 1,

6y² = 1, 和

z² = 1/3

求解 x

2x² = 1

x² = 1/2

x = ± 1/√2

求解 y

6y² = 1

y² = 1/6

y = ± 1/√6

求解 z

3z² = 1

z² = 1/3

z = ± 1/√3

因此，x = ± 1/√2, y = ± 1/√6, 和 z = ± 1/√3。

[6 × 0 + 2 × 2 + 4 × x] = O

[0 + 4 + 4x] = [0]

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

4 + 4x = 0

4x = -4

x = -1

7. 一家制造商生产三种产品 x, y, z，他将其销售到两个市场。年销售额如下所示

(a) 如果 x, y 和 z 的单位售价分别为 2.50 卢比、1.50 卢比和 1.00 卢比，请使用矩阵代数计算每个市场的总收入。

(b) 如果上述三种商品的单位成本分别为 2.00 卢比、1.00 卢比和 50 戈壁。计算总利润。

解决方案

(a) 当产品 x, y 和 z 的单位售价分别为 2.50 卢比、1.50 卢比和 1.00 卢比时，总收入计算如下

可以形成一个矩阵来表示所有三种产品的年销售额

还可以形成一个矩阵来表示产品 x, y 和 z 的售价

然后，可以通过上述两个矩阵的乘积来计算市场 I 和市场 II 的总收入。

因此，市场 I 的收入是 46000 卢比，市场 II 的收入是 53000 卢比。

(b) 当产品 x, y 和 z 的单位成本分别为 2.00 卢比、1.00 卢比和 0.50 卢比时，总收入计算如下

可以形成一个矩阵来表示所有三种产品的年销售额

还可以形成一个矩阵来表示产品 x, y 和 z 的成本价

然后，可以通过上述两个矩阵的乘积来计算市场 I 和市场 II 的总成本。

因此，市场 I 的成本是 31000 卢比，市场 II 的成本是 36000 卢比。

市场的总利润 = 总收入 - 总成本

因此，市场 I 的总利润是 15000 卢比，市场 II 的总利润是 17000 卢比。

解决方案

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

a + 4b = -7,

2a + 5b = -8,

3a + 6b = -9,

c + 4d = 2,

2c + 5d = 4, 和

3c + 6d = 6

求解 b

(3a + 6b) - (2a + 5b) - (a + 4b) = -9 - (-8) - (-7)

3a + 6b - 2a - 5b - a - 4b = -9 + 8 + 7

3a - 3a + 6b - 9b = -1 + 7

-3b = 6

b = -2

求解 a

a + 4b = -7

a + 4(-2) = -7

a - 8 = -7

a = 1

求解 d

(3c + 6d) - (2c + 5d) - (c + 4d) = 6 - 4 - 2

3c + 6d - 2c - 5d - c - 4d = 6 - 6

3c - 3c + 6d - 9d = 0

-3d = 0

d = 0

求解 c

c + 4d = 2

c + 4(0) = 2

c = 2

在以下问题中选择正确的答案

(A) 1 + α² + βγ = 0              (B) 1 - α² + βγ = 0

(C) 1 - α² - βγ = 0              (D) 1 + α² - βγ = 0

解决方案

A² = I

当两个矩阵相等时，它们的对应元素也相等。因此，

α² + βγ = 1

1 - α² - βγ = 0

因此，(C) 是正确答案。

10. 如果矩阵 A 既是对称矩阵又是斜对称矩阵，则

(A) A 是对角矩阵            (B) A 是零矩阵

(C) A 是方阵              (D) 以上均不正确

解决方案

零矩阵既是对称矩阵又是斜对称矩阵。因此，(B) 是正确答案。

11. 如果 A 是满足 A² = A 的方阵，则 (I + A)³ - 7 A 等于

(A) A            (B) I - A            (C) I            (D) 3A

解决方案

(I + A)³ - 7 A = I³ + A³ + 3I² A + 3IA² - 7A

= I + A²A + 3IA + 3IA² - 7A

= I + AA + 3A + 3IA - 7A

= I + A + 3A + 3A - 7A

= I + 7A - 7A

= I

因此，(C) 是正确答案。