11 年级数学 第 8 章：二项式定理的 NCERT 解决方案

练习 8.1

展开练习1到5中的每一个表达式。

1. (1 - 2x)⁵

解决方案

(1 - 2x)⁵ = ⁵C_o(1)⁵ - ⁵C₁(1)⁴ (2x) + ⁵C₂(1)³ (2x)² - ⁵C₃(1)² (2x)³ + ⁵C₄(1)¹ (2x)⁴ - ⁵C₅(2x)⁵

= 1 - 5 (2x) + 10 (4x²) - 10 (8x³) + 5 (16x⁴) - 32x⁵

= 1 - 10x + 40x² - 80x³ + 80x⁴ - 32x⁵

2. (2/x - x/2)⁵

解决方案

(2/x - x/2)⁵ =

⁵C_o(2/x)⁵ - ⁵C₁(2/x)⁴ (x/2) + ⁵C₂(2/x)³ (x/2)² - ⁵C₃(2/x)² (x/2)³ + ⁵C₄(2/x)¹ (x/2)⁴ - ⁵C₅(x/2)⁵

= 32/x⁵ - 5 (16/x⁴) (x/2) + 10 (8/x³) (x²/4) - 10 (4/x²) (x³/2³) + 5 (2/x)(x⁴/16) - x⁵/32

= 32/x⁵ - 40/x³ + 20/x - 5x + 5x³/8 - x⁵/32

3. (2x - 3)⁶

解决方案

(2x - 3)⁶

= ⁶C_o(2x)⁶ - ⁶C₁(2x)⁵ (3) + ⁶C₂(2x)⁴ (3)² - ⁶C₃(2x)³ (3)³ + ⁶C₄(2x)² (3)⁴ - ⁶C₅(2x) (3)⁵ + ⁶C₆ (3)⁶

= 64x⁶ - 6 (32x⁵) (3) + 15 (16x⁴) (9) - 20 (4x³) (27) + 15 (4x²) (81) - 6 (2x) (243) + 729

= 64x⁶ - 576x⁵ + 2160x⁴ - 4320x³ + 4860x² - 2916x + 729

4. (x/3 + 1/x)⁵

解决方案

(x/3 + 1/x)⁵

= ⁵C_o(x/3)⁵ + ⁵C₁(x/3)⁴ (1/x) + ⁵C₂(x/3)³ (1/x)² + ⁵C₃(x/3)² (1/x)³ + ⁵C₄(x/3)¹ (1/x)⁴ + ⁵C₅(1/x)⁵

= x⁵/243 + 5 (x⁴/81) (1/x) + 10 (x³/27) (1/x²) + 10 (x²/9) (1/x³) + 5 (x/3) (1/x⁴) + 1/x⁵

= x⁵/243 + 5x³/81 + 10x/27 + 10/9x + 5/3x³ + 1/x³

5. (x + 1/x)⁶

解决方案

(x + 1/x)⁶

= ⁶C_o(x)⁶ + ⁶C₁(x)⁵ (1/x) + ⁶C₂(x)⁴ (1/x)² + ⁶C₃(x)³ (1/x)³ + ⁶C₄(x)² (1/x)⁴ + ⁶C₅(x) (1/x)⁵ + ⁶C₆ (1/x)⁶

= x⁶ + 6 (x⁵) (1/x) + 15 (x⁴) (1/x²) + 20 (x³) (1/x³) + 15 (x²) (1/x⁴) + 6 (x) (1/x⁵) + (1/x⁶)

= x⁶ + 6x⁴ + 15x² + 20 + 15/x² + 6/x⁴ + 1/x⁶

使用二项式定理，计算下列各式的值

6. (96)³

解决方案

我们也可以将 (96)³ 写成 (100 - 4)³

(100 - 4)³ = ³C₀(100)³ - ³C₁ (100)² (4) + ³C₂ (100) (4)² - ³C₃ (4)³

= 1000000 - 3 (10000) (4) + 3 (100) (16) - 48

= 1000000 - 120000 + 4800 - 48

= 884736

7. (102)⁵

解决方案

我们也可以将 (102)⁵ 写成 (100 + 2)⁵

(100 + 2)⁵ = ⁵C_o(100)⁵ + ⁵C₁(100)⁴ (2) + ⁵C₂(100)³ (2)² + ⁵C₃(100)² (2)³ + ⁵C₄(100)¹ (2)⁴ + ⁵C₅(2)⁵

= 10000000000 + 5 (100000000) (2) + 10 (1000000) (4) + 10 (10000) (8) + 5 (100) (16) + 32

= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32

= 11040808032

8. (101)⁴

解决方案

我们也可以将 (101)⁴ 写成 (100 + 1)⁴

(100 + 1)⁴ = ⁴C₀ (100)⁴ + ⁴C₁ (100)³ (1) + ⁴C₂ (100)² (1)² + ⁴C₃ (100) (1)³ + ⁴C₄ (1)⁴

= 100000000 + 4 (1000000) + 6 (10000) + 4 (100) + 1

= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1

= 104060401

9. (99)⁵

解决方案

我们也可以将 (99)⁵ 写成 (100 - 1)⁵

(100 - 1)⁵ = ⁵C_o(100)⁵ - ⁵C₁(100)⁴ (1) + ⁵C₂(100)³ (1)² - ⁵C₃(100)² (1)³ + ⁵C₄(100)¹ (1)⁴ - ⁵C₅(1)⁵

= 10000000000 - 5 (100000000) + 10 (1000000) - 10 (10000) + 5 (100) - 1

= 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1

= 9509900499

10. 使用二项式定理，指出哪个数更大：(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ 还是 1000。

解决方案

我们可以将 (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ 写成 (1 + 0.1)¹⁰⁰⁰⁰

(1.1)¹⁰⁰⁰⁰ = (1 + 0.1)¹⁰⁰⁰⁰

= ¹⁰⁰⁰⁰C₀ (1)¹⁰⁰⁰⁰ + ¹⁰⁰⁰⁰C₁ (1)⁹⁹⁹⁹ (0.1) + ... 展开式中的其他正数项

= 1 (1)¹⁰⁰⁰⁰ + 10000 (1)⁹⁹⁹⁹ (0.1) + ... 展开式中的其他正数项

= 1 + 1000 + ... 展开式中的其他正数项

> 1000

因此, (1.1)¹⁰⁰⁰⁰ > 1000。

11. 求 (a + b)⁴ - (a - b)⁴。然后，计算 (√3 + √2)⁴ - (√3 - √2)⁴ 的值。

解决方案

(a + b)⁴ = ⁴C₀ (a)⁴ + ⁴C₁ (a)³ (b) + ⁴C₂ (a)² (b)² + ⁴C₃ (a) (b)³ + ⁴C₄ (b)⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a - b)⁴ = ⁴C₀ (a)⁴ - ⁴C₁ (a)³ (b) + ⁴C₂ (a)² (b)² - ⁴C₃ (a) (b)³ + ⁴C₄ (b)⁴

= a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴

(a + b)⁴ - (a - b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ - (a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴)

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ - a⁴ + 4a³b - 6a²b² + 4ab³ - b⁴

= 8a³b + 8ab³

= 8ab (a² + b²)

现在, (√3 + √2)⁴ - (√3 - √2)⁴ = 8(√3)(√2) ((√3)² + (√2)²)

= 8(√6) (3 + 2)

= 40√6

12. 求 (x + 1)⁶ + (x - 1)⁶。然后或其他方法计算 (√2 + 1)⁶ + (√2 - 1)⁶ 的值。

解决方案

(x + 1)⁶ = ⁶C_o(x)⁶ + ⁶C₁(x)⁵ (1) + ⁶C₂(x)⁴ (1)² + ⁶C₃(x)³ (1)³ + ⁶C₄(x)² (1)⁴ + ⁶C₅(x) (1)⁵ + ⁶C₆ (1)⁶

= x⁶ + 6x⁵ + 15x⁴ + 20x³ + 15x² + 6x+ 1

(x - 1)⁶ = ⁶C_o(x)⁶ - ⁶C₁(x)⁵ (1) + ⁶C₂(x)⁴ (1)² - ⁶C₃(x)³ (1)³ + ⁶C₄(x)² (1)⁴ - ⁶C₅(x) (1)⁵ + ⁶C₆ (1)⁶

= x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x² - 6x+ 1

(x + 1)⁶ + (x - 1)⁶

= x⁶ + 6x⁵ + 15x⁴ + 20x³ + 15x² + 6x+ 1 + x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ - 20x³ + 15x² - 6x+ 1

= 2x⁶ + 30x⁴ + 30x² + 2

= 2(x⁶ + 15x⁴ + 15x² + 1)

现在, (√2 + 1)⁶ + (√2 - 1)⁶

= 2((√2)⁶ + 15(√2)⁴ + 15(√2)² + 1)

= 2(8 + 15(4) + 15(2) + 1)

= 2(8 + 60 + 30 + 1)

= 198

13. 证明当n为正整数时，9ⁿ⁺¹ - 8n - 9 能被 64 整除。

解决方案

我们可以将 9^{n + 1} 重写为 (1 + 8)^{n + 1}，然后应用二项式定理

9^{n + 1} = (1 + 8)^{n + 1}

9^{n + 1} = ^{n + 1}C₀ (1)^{n + 1} + ^{n + 1}C₁ (1)ⁿ (8) + ^{n + 1}C₂ (1)^{n - 1} (8)² + ... + ^{n + 1}C_{n + 1} (8)^{n + 1}

9^{n + 1} = 1 + (n + 1)8 + ^{n + 1}C₂ (8²) + ^{n + 1}C₃ (8³) + ... + ^{n + 1}C_{n + 1} (8^{n + 1})

9^{n + 1} = 1 + 8n + 8 + 8² (^{n + 1}C₂ + ^{n + 1}C₃ (8) + ... + ^{n + 1}C_{n + 1} (8^{n - 1}))

9^{n + 1} = 9 + 8n + 64 (^{n + 1}C₂ + ^{n + 1}C₃ (8) + ... + ^{n + 1}C_{n + 1} (8^{n - 1}))

9^{n + 1} - 8n - 9 = 64k

其中 k = (^{n + 1}C₂ + ^{n + 1}C₃ (8) + ... + ^{n + 1}C_{n + 1} (8^{n - 1})), k ∈ N。

因此，证明了当n为正整数时，9^{n + 1} - 8n - 9 能被 64 整除，对于某个自然数 k。

14. 证明 ⁿ∑_{r = 0} 3^{r n}C_r = 4ⁿ。

解决方案

我们可以将 4ⁿ 重写为 (1 + 3)ⁿ。

根据二项式定理

ⁿ∑_{r = 0} ⁿC_r a^{n - r} b^r = (a + b)ⁿ

4ⁿ = (1 + 3)ⁿ = ⁿ∑_{r = 0} ⁿC_r 1^{n - r} 3^r

= ⁿ∑_{r = 0} ⁿC_r (1) 3^r

= ⁿ∑_{r = 0} 3^{r n}C_r

因此，证明完毕。

练习 8.2

求下列各项的系数

1. (x + 3)⁸ 中 x⁵ 的系数

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ⁿC_r a^{n - r} b^r

将 (a + b)ⁿ 与 (x + 3)⁸ 比较，我们得到 a = x, b = 3, n = 8。

T_{r + 1} = ⁸C_r x^{8 - r} 3^r

我们需要求 x⁵ 的系数，因此

x⁵ = x^{8 - r}

比较指数

5 = 8 - r

r = 3

T₄ = ⁸C₃ x^{8 - 3} 3³

= 56x⁵ (27)

= 1512x⁵

因此，x⁵ 的系数是 1512。

2. (a - 2b)¹² 中 a⁵b⁷ 的系数

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ⁿC_r A^{n - r} B^r

将 (A + 2B)¹² 与 (a - 2b)¹² 比较，我们得到 A = a, B = -2b, n = 12。

T_{r + 1} = ¹²C_r a^{12 - r} (-2b)^r

我们需要求 a⁵b⁷ 的系数，因此

a⁵ = a^{12 - r}

比较指数

5 = 12 - r

r = 7

T₈ = ¹²C₇ a^{12 - 7} (-2b)⁷

= 792a⁵ (-128)b⁷

= -101376a⁵b⁷

因此，a⁵b⁷ 的系数是 -101376。

写出下列展开式中的通项

3. (x² - y)⁶

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ⁿC_r a^{n - r} b^r

将 (a + b)ⁿ 与 (x² - y)⁶ 比较，我们得到 a = x², b = -y, n = 6。

T_{r + 1} = ⁶C_r (x²)^{6 - r} (-y)^r

= (-1)^{r 6}C_r (x^{12 - 2r}) y^r

4. (x² - yx)¹², x ≠ 0

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ⁿC_r a^{n - r} b^r

将 (a + b)ⁿ 与 (x² - yx)¹² 比较，我们得到 a = x², b = -yx, n = 12。

T_{r + 1} = ¹²C_r (x²)^{12 - r} (-yx)^r

= (-1)^{r 12}C_r (x^{24 - 2r}) x^ry^r

= (-1)^{r 12}C_r (x^{24 - r}) y^r

5. 求 (x - 2y)¹² 展开式中的第 4 项。

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ⁿC_r a^{n - r} b^r

将 (a + b)ⁿ 与 (x - 2y)¹² 比较，我们得到 a = x, b = -2y, n = 12。

我们需要求第 4 项，所以 r + 1 = 4

r = 3

T₄ = ¹²C₃ (x)^{12 - 3} (-2y)³

= 220 (x⁹) (-8y³)

= -1760x⁹y³

6. 求 (9x - 1/3√x)¹⁸ 展开式中的第 13 项，x ≠ 0。

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ⁿC_r a^{n - r} b^r

将 (a + b)ⁿ 与 (9x - 1/3√x)¹⁸ 比较，我们得到 a = 9x, b = -1/3√x, n = 18。

我们需要求第 13 项，所以 r + 1 = 13

r = 12

T₁₃ = ¹⁸C₁₂ (9x)^{18 - 12} (-1/3√x)¹²

= 18564 (9x)⁶ (1/(3√x)¹²)

= 18564 (3¹²x⁶) (1/3¹²x⁶)

= 18564

求下列展开式中的中间项

7. (3 - x³/6)⁷

解决方案

将 (a + b)ⁿ 与 (3 - x³/6)⁷ 比较，我们得到 a = 3, b = -x³/6, n = 7。

因为 n = 7，所以展开式中有两个中间项，分别是第 [(n + 1)/2] 项 = 第 4 项 和 第 [(n + 1)/2 + 1] 项 = 第 5 项。

对于第 4 项, r + 1 = 4 ⇒ r = 3

T₄ = ⁷C₃ (3)^{7 - 3} (-x³/6)³

= 35 (3⁴) (-x³/6)³

= 35 (81) (-x⁹/216)

= -105x⁹/8

对于第 5 项, r + 1 = 5 ⇒ r = 4

T₅ = ⁷C₄ (3)^{7 - 4} (-x³/6)⁴

= 35 (3³) (-x³/6)⁴

= 35 (27) (x¹²/1296)

= 35x¹²/48

8. (x/3 + 9y)¹⁰

解决方案

将 (a + b)ⁿ 与 (x/3 + 9y)¹⁰ 比较，我们得到 a = x/3, b = 9y, n = 10。

因为 n = 10，所以二项式展开的中间项是第 [(n + 1)/2] 项 = 第 6 项。所以 r + 1 = 6 ⇒ r = 5

T₆ = ¹⁰C₅ (x/3)^{10 - 5} (9y)⁵

= 252 (x/3)⁵ (9⁵y⁵)

= 252 (x⁵/3⁵) (3⁵)²y⁵

= 252x⁵ (243y⁵)

= 61236x⁵y⁵

9. 在 (1 + a)^{m + n} 的展开式中，证明 a^m 和 aⁿ 的系数相等。

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ^NC_r A^{N - r} B^r

将 (A + B)^N 与 (1 + a)^{m + n} 比较，我们得到 A = 1, B = a, N = m + n。

T_{r + 1} = ^{m + n}C_r (1)^{m + n - r} (a)^r

= ^{m + n}C_r a^r

因此，T_{r + 1} = ^{m + n}C_r a^r 是给定二项式展开的通项。

令 r = m

T_{m + 1} = ^{m + n}C_m a^m

因此, a^m 的系数是 ^{m + n}C_m。

令 r = n

T_{n + 1} = ^{m + n}C_n aⁿ

因此, aⁿ 的系数是 ^{m + n}C_n。

现在, ^{m + n}C_m = (m + n)!/m!(m + n - m)!

^{m + n}C_m = (m + n)!/m!n!

并且

^{m + n}C_n= (m + n)!/n!(m + n - n)!

^{m + n}C_n= (m + n)!/m!n!

因此, ^{m + n}C_m = ^{m + n}C_n。

由此证明，a^m 和 aⁿ 的系数相等。

10. (x + 1)ⁿ 展开式中第 (r - 1) 项、第 r 项和第 (r + 1) 项的系数之比为 1 : 3 : 5。求 n 和 r。

解决方案

二项式展开的通项是 T_{R + 1} = ^NC_R a^{N - R} b^R

将 (a + b)^N 与 (1 + x)ⁿ 比较，我们得到 a = 1, b = x, N = n。

第 (r + 1) 项是

T_{r + 1} = ⁿC_r (1)^{n - r} x^r

= ⁿC_r x^r

第 r 项是

T_r = ⁿC_{r - 1} (1)^{n - r + 1} x^{r - 1}

= ⁿC_{r - 1} x^{r - 1}

第 (r - 1) 项是

T_{r - 1} = ⁿC_{r - 2} (1)^{n - r + 2} x^{r - 2}

= ⁿC_{r - 2} x^{r - 2}

第 (r + 1) 项的系数 = ⁿC_r

第 r 项的系数 = ⁿC_{r - 1}

第 (r - 1) 项的系数 = ⁿC_{r - 2}

已知系数之比为 1 : 3 : 5。因此，

ⁿC_{r - 2} : ⁿC_{r - 1} : ⁿC_r = 1 : 3 : 5

ⁿC_{r - 2} : ⁿC_{r - 1} = 1 : 3

ⁿC_{r - 2}/ⁿC_{r - 1} = 1/3

3 ⁿC_{r - 2} = ⁿC_{r - 1}

3 × n!/(r - 2)!(n - r + 2)! = n!/(r - 1)!(n - r + 1)!

3/(r - 2)!(n - r + 2)! = 1/(r - 1)!(n - r + 1)!

3/(r - 2)!(n - r + 2)! × (r - 1)!(n - r + 1)! = 1

(r - 1)(r - 2)!/(n - r + 1)! × 3/(r - 2)!(n - r + 2)(n - r + 1)! = 1

3(r - 1)/(n - r + 2) = 1

3(r - 1) = n - r + 2

3r - 3 = n - r + 2

-5 = n - 4r

n = 4r - 5

并且

ⁿC_{r - 1} : ⁿC_r = 3 : 5

ⁿC_{r - 1}/ⁿC_r = 3/5

5 ⁿC_{r - 1} = 3 ⁿC_r

5 × n!/(r - 1)!(n - r + 1)! = 3 × n!/r!(n - r)!

5/(r - 1)!(n - r + 1)! = 3/r!(n - r)!

5/(r - 1)!(n - r + 1)(n - r)! = 3/r(r - 1)!(n - r)!

5/(n - r + 1) = 3/r

5r = 3n - 3r + 3

8r - 3 = 3n

将 n = 4r - 5 代入上式，得

8r - 3 = 3(4r - 5)

8r - 3 = 12r - 15

12 = 4r

r = 3

现在, n = 4(3) - 5 = 12 - 5

⇒ n = 7

因此，n = 7, r = 3。

11. 证明 (1 + x)²ⁿ 展开式中 xⁿ 的系数是 (1 + x)^{2n - 1} 展开式中 xⁿ 系数的两倍。

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ^NC_r a^{N - r} b^r

将 (a + b)^N 与 (1 + x)²ⁿ 比较，我们得到 a = 1, b = x, N = 2n。

T_{r + 1} = ²ⁿC_r (1)^{2n - r} x^r

= ²ⁿC_r x^r

当二项式展开中出现 xⁿ 时，由于 xⁿ = x^r，所以 r = n。

T_{n + 1} = ²ⁿC_n (1)^{2n - n} xⁿ

= ²ⁿC_n xⁿ

(1 + x)²ⁿ 二项式展开中 xⁿ 的系数 = ²ⁿC_n。

将 (a + b)^N 与 (1 + x)^{2n - 1} 比较，我们得到 a = 1, b = x, N = 2n - 1。

T_{r + 1} = ^{2n - 1}C_r (1)^{2n - 1 - r} x^r

= ^{2n - 1}C_r x^r

当二项式展开中出现 xⁿ 时，由于 xⁿ = x^r，所以 r = n。

T_{n + 1} = ^{2n - 1}C_n (1)^{2n - 1 - n} xⁿ

= ^{2n - 1}C_n xⁿ

(1 + x)^{2n - 1} 二项式展开中 xⁿ 的系数 = ^{2n - 1}C_n。

现在，

(1 + x)²ⁿ 展开式中 xⁿ 的系数 / (1 + x)^{2n - 1} 展开式中 xⁿ 的系数

= ²ⁿC_n/^{2n - 1}C_n

= [(2n)!/n!(2n - n)!] / [(2n - 1)!/n!(2n - 1 - n)!]

= [(2n)!/n!n!] × n!(n - 1)!/(2n - 1)!

= [(2n)(2n - 1)!/n!n(n - 1)!] × n!(n - 1)!/(2n - 1)!

= 2n/n = 2

²ⁿC_n/^{2n - 1}C_n= 2

²ⁿC_n = 2 × ^{2n - 1}C_n

由此证明，(1 + x)²ⁿ 二项式展开中 xⁿ 的系数是 (1 + x)^{2n - 1} 二项式展开中 xⁿ 系数的两倍。

12. 求 m 的一个正值，使得 (1 + x)^m 展开式中 x² 的系数为 6。

解决方案

二项式展开的通项是 T_{r + 1} = ⁿC_r a^{n - r} b^r

将 (a + b)ⁿ 与 (1 + x)^m 比较，我们得到 a = 1, b = x, n = m。

T_{r + 1} = ^mC_r (1)^{m - r} x^r

= ^mC_r x^r

我们需要求 x² 的系数，因此

x² = x^r

⇒ r = 2

T_{2 + 1} = T₃ = ^mC₂ x²

(1 + x)^m 二项式展开中 x² 的系数 = ^mC₂

已知 x² 的系数是 6。因此，

^mC₂ = 6

m!/2!(m - 2)! = 6

m(m - 1)(m - 2)!/(2 × (m - 2))! = 6

m(m - 1)/2 = 6

m(m - 1) = 12

m² - m = 12

m² - m - 12 = 0

m² - 4m + 3m - 12 = 0

m(m - 4) + 3(m - 4) = 0

(m - 4) (m + 3) = 0

m - 4 = 0 ⇒ m = 4

或

m + 3 = 0 ⇒ m = -3

但 m 不能为负数，所以舍弃 m = -3。

因此，m = 4

杂项练习

1. 在 (a + b)ⁿ 的展开式中，如果前三项分别为 729、7290 和 30375，求 a、b 和 n。

解决方案

二项式展开的第一项 = T₁ = ⁿC₀ a^{n - 0} b⁰= ⁿC₀ aⁿ

二项式展开的第二项 = T₂ = ⁿC₁ a^{n - 1} b¹ = ⁿC₁ a^{n - 1} b

二项式展开的第三项 = T₃ = ⁿC₂ a^{n - 2} b² = ⁿC₂ a^{n - 2} b²

T₁ = ⁿC₀ aⁿ = 729

T₂ = ⁿC₁ a^{n - 1} b = 7290

T₃ = ⁿC₂ a^{n - 2} b² = 30375

T₂ 除以 T₁

(ⁿC₁ a^{n - 1} b)/(ⁿC₀ aⁿ) = 7290/729

(ⁿC₁ a^{n - 1} b)/(ⁿC₀ aⁿ) = 10

ⁿC₁ a^{n - 1} b = 10 × ⁿC₀ aⁿ

n × aⁿ/a × b = 10 × aⁿ

bn = 10a

n = 10a/b

T₃ 除以 T₂

(ⁿC₂ a^{n - 2} b²)/(ⁿC₁ a^{n - 1} b) = 30375/7290

(ⁿC₂ a^{n - 2} b²)/(ⁿC₁ a^{n - 1} b) = 25/6

6 × ⁿC₂ a^{n - 2} b² = 25 × ⁿC₁ a^{n - 1} b

6 × n!/2!(n - 2)! × aⁿ/a² × b² = 25 × n × aⁿ/a × b

6 × n(n - 1)(n - 2)!/2(n - 2)! × 1/a × b = 25 × n

6 × (n - 1)/2 × b/a = 25

(n - 1)/2 = 25a/6b

代入 n = 10a/b

10a/b - 1 = 25a/3b

10a/b - 25a/3b = 1

5a/3b = 1

a/b = 3/5

现在, n = 10a/b = 10(3/5)

⇒ n = 6

T₁ = aⁿ = 729

a⁶ = 729

a⁶ = 3⁶

⇒ a = 3

a/b = 3/5

3/b = 3/5

⇒ b = 5

因此，a = 3, b = 5, n = 6。

2. 如果 (3 + ax)⁹ 展开式中 x² 和 x³ 的系数相等，求 a。

解决方案

(3 + ax)⁹ 二项式展开的通项 = T_{r + 1} = ⁹C_r (3)^{9 - r} (ax)^r

= ⁹C_r (3)^{9 - r} a^r x^r

首先，我们需要求 x² 的系数，因此

x² = x^r

⇒ r = 2

T_{2 + 1} = T₃ = ⁹C₂ 3^{9 - 2} a² x²

= 9!/2!(9 - 2)! × 3⁷ a² x²

= 9 × 8 × 7!/2(7!) × 3⁷ a²x²

= 36 × 3⁷ a²x²

(3 + ax)⁹ 二项式展开中 x² 的系数 = 36 × 3⁷ a²

其次，我们需要求 x³ 的系数，因此

x³ = x^r

⇒ r = 3

T_{3 + 1} = T₄ = ⁹C₃ 3^{9 - 3} a³ x³

= 9!/3!(9 - 3)! × 3⁶ a³ x³

= 9 × 8 × 7 × 6!/(3)(2)(6!) × 3⁶ a³x³

= 84 × 3⁶ a³x³

(3 + ax)⁹ 二项式展开中 x³ 的系数 = 84 × 3⁶ a³

已知 x² 和 x³ 的系数相等。因此，

36 × 3⁷ a² = 84 × 3⁶ a³

36 × 3 = 84a

9/7 = a

因此，a = 9/7。

3. 使用二项式定理，求乘积 (1 + 2x)⁶ (1 - x)⁷ 中 x⁵ 的系数。

解决方案

(1 + 2x)⁶ = ⁶C₀+ ⁶C₁ (2x) + ⁶C₂ (2x)² + ⁶C₃ (2x)³ + ⁶C₄ (2x)⁴ + ⁶C₅ (2x)⁵ + ⁶C₆ (2x)⁶

= 1 + 6 (2x) + 15 (2x)² + 20 (2x)³ + 15 (2x)⁴ + 6 (2x)⁵ + (2x)⁶

= 1 + 12 x + 60x² + 160x³ + 240x⁴ + 192x⁵ + 64x⁶

(1 + 2x)⁶ 二项式展开中 x⁵ 的系数 = 192

(1 - x)⁷ = ⁷C₀ - ⁷C₁ (x) + ⁷C₂(x)² - ⁷C₃(x)³ + ⁷C₄(x)⁴ - ⁷C₅(x)⁵ + ⁷C₆(x)⁶ - ⁷C₇(x)⁷

= 1 - 7x + 21x² - 35x³ + 35x⁴ - 21x⁵ + 7x⁶ - x⁷

(1 - x)⁷ 二项式展开中 x⁵ 的系数 = -21

(1 + 2x)⁶ (1 - x)⁷

= (1 + 12 x + 60x² + 160x³ + 240x⁴ + 192x⁵ + 64x⁶) (1 - 7x + 21x² - 35x³ + 35x⁴ - 21x⁵ + 7x⁶ - x⁷)

因此，乘积 (1 + 2x)⁶ (1 - x)⁷ 中 x⁵ 的系数 = 1(-21) + 12(35) + 60(-35) + 160(21) + 240(-7) + 192(1) = -21 + 420 - 2100 + 3360 - 1680 + 192 = 171

4. 如果 a 和 b 是不同的整数，证明当 n 是正整数时，a - b 是 aⁿ - bⁿ 的一个因子。

[提示: 将 aⁿ 写成 (a - b + b)ⁿ 并展开]

解决方案

我们可以将 a 重写为 (a - b + b)。

aⁿ = (a - b + b)ⁿ = ((a - b) + b)ⁿ

aⁿ = ⁿC₀ (a - b)ⁿ + ⁿC₁ (a - b)^{n - 1} b + ... + ⁿC_n bⁿ

aⁿ = (a - b)ⁿ + ⁿC₁ (a - b)^{n - 1} b + ... + bⁿ

aⁿ - bⁿ = (a - b)ⁿ + ⁿC₁ (a - b)^{n - 1} b + ... + ⁿC_{n - 1} (a - b) (b)^{n - 1}

aⁿ - bⁿ = (a - b) × [(a - b)^{n - 1} + ⁿC₁ (a - b)^{n - 2} b + ... + ⁿC_{n - 1} (b)^{n - 1}]

aⁿ - bⁿ = (a - b) × k

其中 k = [(a - b)^{n - 1} + ⁿC₁ (a - b)^{n - 2} b + ... + ⁿC_{n - 1} (b)^{n - 1}] 是一个自然数。

由此证明，当 n 是正整数时，(a - b) 是 aⁿ - bⁿ 的一个因子。

5. 计算 (√3 + √2)⁶ - (√3 - √2)⁶。

解决方案

(a + b)⁶ = ⁶C₀ a⁶ + ⁶C₁ a⁵ b + ⁶C₂ a⁴ b² + ⁶C₃ a³ b³ + ⁶C₄ a² b⁴ + ⁶C₅ a b⁵ + ⁶C₆ b⁶

= a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶

(a - b)⁶ = ⁶C₀ a⁶ - ⁶C₁ a⁵ b + ⁶C₂ a⁴ b² - ⁶C₃ a³ b³ + ⁶C₄ a² b⁴ - ⁶C₅ a b⁵ + ⁶C₆ b⁶

= a⁶ - 6a⁵b + 15a⁴b² - 20a³b³ + 15a²b⁴ - 6ab⁵ + b⁶

(a + b)⁶ - (a - b)⁶

= (a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶) - (a⁶ - 6a⁵b + 15a⁴b² - 20a³b³ + 15a²b⁴ - 6ab⁵ + b⁶)

= a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶ - a⁶ + 6a⁵b - 15a⁴b² + 20a³b³ - 15a²b⁴ + 6ab⁵ - b⁶

= 12a⁵b + 40a³b³ + 12ab⁵

= 4ab (3a⁴ + 10a²b² + 3b⁴)

现在，代入 a = √3 和 b = √2

(√3 + √2)⁶ - (√3 - √2)⁶ = 4(√3)(√2) (3(√3)⁴ + 10(√3)²(√2)² + 3(√2)⁴)

= 4(√6) (3 × 9 + 10 × 6 + 3 × 4)

= 4√6 (27 + 60 + 12)

= 4√6 (99)

= 396√6

6. 求 (a² + √(a² - 1))⁴ + (a² - √(a² - 1))⁴ 的值。

解决方案

(A + B)⁴ = ⁴C₀ (A)⁴ + ⁴C₁ (A)³ (B) + ⁴C₂ (A)² (B)² + ⁴C₃ (A) (B)³ + ⁴C₄ (B)⁴

= A⁴ + 4A³B + 6A²B² + 4AB³ + B⁴

(A - B)⁴ = ⁴C₀ (A)⁴ - ⁴C₁ (A)³ (B) + ⁴C₂ (A)² (B)² - ⁴C₃ (A) (B)³ + ⁴C₄ (B)⁴

= A⁴ - 4A³B + 6A²B² - 4AB³ + B⁴

(A + B)⁴ + (A - B)⁴ = A⁴ + 4A³B + 6A²B² + 4AB³ + B⁴ + (A⁴ - 4A³B + 6A²B² - 4AB³ + B⁴)

= 2A⁴ + 12A²B² + 2B⁴

= 2 (A⁴ + 6A²B² + B⁴)

现在，代入 A = a² 和 B = √(a² - 1)

(a² + √(a² - 1))⁴ + (a² - √(a² - 1))⁴ = 2 ((a²)⁴ + 6(a²)²(√(a² - 1))² + (√(a² - 1))⁴)

= 2 (a⁸ + 6a⁴ (a² - 1) + (a² - 1)²)

= 2 (a⁸ + 6a⁶ - 6a⁴ + a⁴ - 2a² + 1)

= 2 (a⁸ + 6a⁶ - 5a⁴ - 2a² + 1)

= 2a⁸ + 12a⁶ - 10a⁴ - 4a² + 2

7. 使用展开式的前三项求 (0.99)⁵ 的近似值。

解决方案

我们可以将 0.99 重写为 (1 - 0.01)。

应用二项式定理至前3项

(0.99)⁵ = (1 - 0.01)⁵

= ⁵C₀ (1)⁵ - ⁵C₁ (1)⁴ (0.01) + ⁵C₂ (1)³ (0.01)²

= 1 - 5 (0.01) + 10 (0.0001)

= 1 - 0.05 + 0.001

= 0.951

8. 如果 展开式中从头数第五项与从末尾数第五项之比为 √6 : 1，求 n。

解决方案

9. 使用二项式定理展开 (1 + x/2 - 2/x)⁴, x ≠ 0。

解决方案

((1 + x/2) - 2/x)⁴

= ⁴C₀ (1 + x/2)⁴ - ⁴C₁ (1 + x/2)³ (2/x) + ⁴C₂ (1 + x/2)² (2/x)² - ⁴C₃ (1 + x/2) (2/x)³ + ⁴C₄ (2/x)⁴

= (1 + x/2)⁴ - 4 (1 + x/2)³ (2/x) + 6 (1 + x/2)² (4/x²) - 4 (1 + x/2) (8/x³) + (16/x⁴)

= (1 + x/2)⁴ - 8 (1 + x/2)³/x + 24 (1 + x + x²/4)/x² - 32(1+x/2)/x³ + 16/x⁴

= (1 + x/2)⁴ - 8 (1 + x/2)³/x + 24/x² + 24/x + 6 - 32/x³ - 16/x² + 16/x⁴

= (1 + x/2)⁴ - 8 (1 + x/2)³/x + 8/x² + 24/x + 6 - 32/x³ + 16/x⁴

现在，

(1 + x/2)⁴

= ⁴C₀ (1)⁴ + ⁴C₁ (1)³ (x/2) + ⁴C₂ (1)² (x/2)² + ⁴C₃ (1) (x/2)³ + ⁴C₄ (x/2)⁴

= 1 + 4 (x/2) + 6 (x²/4) + 4 (x³/8) + x⁴/16

= 1 + 2x + 3x²/2 + x³/2 + x⁴/16

并且

(1 + x/2)³

= ³C₀ (1)³ + ³C₁ (1)² (x/2) + ³C₂ (1) (x/2)² + ³C₃ (x/2)³

= 1 + 3 (x/2) + 3 (x²/4) + x³/8

= 1 + 3x/2 + 3x²/4 + x³/8

因此，

((1 + x/2) - 2/x)⁴

= 1 + 2x + 3x²/2 + x³/2 + x⁴/16 - 8(1 + 3x/2 + 3x²/4 + x³/8)/x + 8/x² + 24/x + 6 - 32/x³ + 16/x⁴

= 1 + 2x + 3x²/2 + x³/2 + x⁴/16 - 8/x - 12 - 6x - x² + 8/x² + 24/x + 6 - 32/x³ + 16/x⁴

= 16/x + 8/x² - 32/x³ + 16/x⁴ - 4x + x²/2 + x³/2 + x⁴/16 - 5

10. 使用二项式定理求 (3x² - 2ax + 3a²)³ 的展开式。

解决方案

((3x² - 2ax) + 3a²)³

= ³C₀ (3x² - 2ax)³ + ³C₁ (3x² - 2ax)² (3a²) + ³C₂ (3x² - 2ax) (3a²)² + ³C₃ (3a²)³

= (3x² - 2ax)³ + 3 (9x⁴ - 12ax³ + 4a²x²) (3a²) + 3 (3x² - 2ax) (9a⁴) + 27a⁶

= (3x² - 2ax)³ + 81a²x⁴ - 108a³x³ + 36a⁴x² + 81a⁴x² - 54a⁵x + 27a⁶

现在，

(3x² - 2ax)³

= ³C₀ (3x²)³ - ³C₁ (3x²)² (2ax) + ³C₂ (3x²) (2ax)² - ³C₃ (2ax)³

= 27x⁶ - 3 (9x⁴) (2ax) + 3 (3x²) (4a²x²) - 8a³x³

= 27x⁶ - 54ax⁵ + 36a²x⁴ - 8a³x³

因此，

((3x² - 2ax) + 3a²)³

= 27x⁶ - 54ax⁵ + 36a²x⁴ - 8a³x³ + 81a²x⁴ - 108a³x³ + 36a⁴x² + 81a⁴x² - 54a⁵x + 27a⁶

= 27x⁶ - 54ax⁵ + 117a²x⁴ - 116a³x³ + 117a⁴x² - 54a⁵x + 27a⁶