7 年级数学第 6 章：三角形及其性质 的 NCERT 解决方案

练习 6.1

1. 在Δ PQR中，D是QR的中点。

PM是高。

答案：高

解释：高是垂直于QR线的线。它形成一个直角。高的一端点是三角形的一个顶点，另一端点在包含对边的线上。

PD是中线。

答案：中线

解释：中线是从线段QR的中点连接到其对面的顶点P的线段。中线将线段QR分成两等份。

此处，

D是线段QR的中点，它将QR分成两等份。

QD = DR

QM = MR 吗？

答案： 否

解释：D是线段QR的中点，它将QR分成两等份。M不是中点。因此，QM不等于MR。

相反，我们可以说：

QD = DR

2. 为下列图形绘制草图

(a) 在ΔABC中，BE是中线。

答案

解释：中线是从线段AC的中点连接到其对面的顶点B的线段。

(b) 在ΔPQR中，PQ和PR是三角形的高。

答案

解释：高的一端点是三角形的一个顶点，另一端点在包含对边的线上。

(c) 在ΔXYZ中，YL是三角形外部的高。

答案

解释：高与相交线成直角。它的一端点连接到三角形的顶点(Y)，另一端点连接到对边。

3. 通过绘制图表验证等腰三角形的中线和高是否可以相同。

答案

解释：是的，等腰三角形的中线和高可以是相同的。

等腰三角形是两条边相等的三角形。这里，AD是中线，因为它将线段BC分成两等份。AD也是高，因为它与对边形成直角。

练习 6.2

1. 在下列图中，求未知外角x的值

(i)

答案：120°

解释：这里，x是外角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

外角 x = 50° + 70°

x = 50° + 70°

x = 120°

(ii)

答案：110°

解释：这里，x是外角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

外角 x = 65° + 45°

x = 65° + 45°

x = 110°

(iii)

答案：70°

解释：这里，x是外角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

外角 x = 30° + 40°

x = 30° + 40°

x = 70°

(iv)

答案：120°

解释：这里，x是外角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

外角 x = 60° + 60°

x = 60° + 60°

x = 120°

(v)

答案：100°

解释：这里，x是外角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

外角 x = 50° + 50°

x = 50° + 50°

x = 100°

(vi)

答案：90°

解释：这里，x是外角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

外角 x = 60° + 30°

x = 60° + 30°

x = 90°

2. 在下列图中，求未知内角x的值

(i)

答案：65°

解释：这里，x是内角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

内角和 = 外角

x + 50° = 115°

x = 115° - 50°

x = 65°

(ii)

答案：30°

解释：这里，x是内角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

内角和 = 外角

x + 70° = 100°

x = 100° - 70°

x = 30°

(iii)

答案：35°

解释：这里，x是内角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

内角和 = 外角

x + 90° = 125°

另一个角是直角。

x = 125° - 90°

x = 35°

(iv)

答案：60°

解释：这里，x是内角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

内角和 = 外角

x + 60° = 120°

x = 120° - 60°

x = 60°

(v)

答案：50°

解释：这里，x是内角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

内角和 = 外角

x + 30° = 80°

x = 80° - 30°

x = 50°

(vi)

答案：40°

解释：这里，x是内角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

内角和 = 外角

x + 35° = 75°

x = 75° - 35°

x = 40°

练习 6.3

1. 在下列图中，求未知x的值

(i)

答案：70°

解释：三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角为50°、60°和x。

所以，

50° + 60° + x = 180°

110° + x = 180°

x = 180° - 110°

x = 70°

(ii)

答案：60°

解释：三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角为30°、90°(直角)和x。

所以，

30° + 90° + x = 180°

120° + x = 180°

x = 180° - 120°

x = 60°

(iii)

答案：40°

解释：三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角为30°、110°和x。

所以，

30° + 110° + x = 180°

140° + x = 180°

x = 180° - 140°

x = 40°

(iv)

答案：65°

解释：三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角为50°、x和x。

所以，

50° + x + x = 180°

50° + 2x = 180°

2x = 180° - 50°

2x = 130°

x = 130/2°

x = 65°

(v)

答案：60°

解释：三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角为x、x和x。

所以，

x + x + x = 180°

3x = 180°

x = 130/3°

x = 60°

因此，三角形的每个角都等于60°。

(vi)

答案：30°

解释：三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角为2x、90°(直角)和x。

所以，

2x + 90° + x = 180°

90° + 3x = 180°

3x = 180° - 90°

3x = 90°

x = 90/3°

x = 30°

2. 在下列图中，求未知数x和y的值

(i)

答案：x = 70°，y = 60°

说明

120°是三角形的外角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

内角和 = 外角

x + 50° = 120°

x = 120° - 50°

x = 70°

三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角是x、50°(直角)和y。

所以，

70° + 50° + y = 180°

120° + y = 180°

y = 180° - 120°

y = 60°

或

y和外角120°构成一个线性对。

所以，

y + 120° = 180°

y = 180° - 120°

y = 60°

(ii)

答案：x = 50°，y = 80°

解释：y是与80°相对的顶角。对顶角相等。

所以，

y = 80°

三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角是x、50°(直角)和y。

所以，

80° + 50° + x = 180°

130° + x = 180°

x = 180° - 130°

x = 50°

(iii)

答案：x = 110°，y = 70°

解释：50°和60°是三角形的内角。X是外角。

外角等于与其不相邻的两个内角的和。

外角 = 内角和

外角 = 60° + 50°

外角 = 110°

x = 110°

三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角是60°、50°(直角)和y。

所以，

60° + 50° + y = 180°

110° + y = 180°

y = 180° - 110°

y = 70°

或

y和外角110°构成一个线性对。

所以，

y + 110° = 180°

y = 180° - 110°

y = 70°

(iv)

答案：x = 60°，y = 90°

解释：x是与60°相对的顶角。对顶角相等。

所以，

x = 60°

三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角是x、30°(直角)和y。

所以，

60° + 30° + y = 180°

90° + y = 180°

y = 180° - 90°

y =90°

(v)

答案：x = 45°，y = 90°

解释：y是与90°相对的顶角。对顶角相等。

所以，

y = 90°

三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角是x、x(直角)和y。

所以，

x + 90° + x = 180°

90° + 2x = 180°

2x = 180° - 90°

2x = 90°

x = 90°/2

x = 45°

(vi)

答案：x = 60°，y = 60°

解释：y是与x相对的顶角，对顶角相等。

所以，

y = x

与对顶角相对的另外两个角也变成x。

三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个内角是x、x(直角)和y。

(y = x)

所以，

x + x + x = 180°

3x = 180°

x = 180°/3

x = 60°

y = x

所以，

y = 60°

练习6.4

1. 能否构成具有以下边长的三角形？

(i) 2厘米，3厘米，5厘米

答案：不可能

解释：要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

我们来检查一下。

2 + 3 > 5

不能

3 + 5 > 2

是的

2 + 5 > 3

是的

因此，具有上述尺寸的三角形是不可能的。这是因为两边之和(2厘米和3厘米)不大于第三边(5厘米)。

(ii) 3厘米，6厘米，7厘米

答案：可能

解释：要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

我们来检查一下。

6 + 3 > 5

是的

3 + 7 > 6

是的

6 + 7 > 3

是的

因此，具有上述尺寸的三角形是可能的。

(iii) 6厘米，3厘米，2厘米

答案：不可能

解释：要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

我们来检查一下。

6 + 3 > 2

是的

3 + 2 > 6

不能

2 + 6 > 3

是的

因此，具有上述尺寸的三角形是不可能的。这是因为两边之和(2厘米和3厘米)不大于第三边(6厘米)。

2. 在三角形PQR的内部取任意一点O。是不是

(i) OP + OQ > PQ？

答案： 是

解释：让我们将点0连接到三角形的三个顶点。

POQ构成一个三角形。

要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

这意味着：

OP + OQ > PQ

因此，上述条件是可能的。

(ii) OQ + OR > QR？

答案： 是

解释：让我们将点0连接到三角形的三个顶点。

ROQ构成一个三角形。

要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

这意味着：

OQ + OR > QR

因此，上述条件是可能的。

(iii) OR + OP > RP？

答案： 是

解释：让我们将点0连接到三角形的三个顶点。

POR构成一个三角形。

要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

这意味着：

OR + OP > RP

因此，上述条件是可能的。

3. AM是三角形ABC的中线。

AB + BC + CA > 2 AM？(考虑三角形ΔABM和ΔAMC的边)

答案： 是

解释：AM将三角形ABC分成两个三角形。

要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

这意味着：

AB + BM > AM ...(1)

AC + CM > AM ...(2)

将方程1和2相加，我们得到：

AB + BC + BM + CM > 2 AM

CA = BM + CM

代入CM的值，

AB + BC + CA > 2 AM

因此，上述条件得到满足。

4. ABCD是四边形。AB + BC + CD + DA > AC + BD？

答案： 是

解释：两条对角线将四边形分成四个三角形。

要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

设交点为O。

对于Δ ABC，

AB + BC > AC ...(1)

对于Δ BCD，

BC + CD > BD ...(2)

对于Δ CAD，

CD + AD > AC ...(3)

对于Δ ABD，

AB + AD > BD ...(4)

将方程1、2、3和4相加，我们得到：

2 (AB + BC + CD + AD) > 2 (AC + BD)

AB + BC + CD + AD > AC + BD

因此，上述条件得到满足。

5. ABCD是四边形。AB + BC + CD + DA < 2 (AC + BD)？

答案： 是

解释：两条对角线将四边形分成四个三角形。

要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

设交点为O。

对于Δ AOB，

AO + OB > AB ...(1)

对于Δ BOC，

BO + OC > BC ...(2)

对于Δ COD，

CO + OD > CD ...(3)

对于Δ AOD，

AO + OD > AD ...(4)

将方程1、2、3和4相加，我们得到：

AO + OB + BO + OC + CO + OD + AO + OD > AB + BC + CD + AD

(AO + OC = AC)

(OB + OD = AD)

= 2 (AC + AD) > AB + BC + CD + AD

或

AB + BC + CD + AD < 2 (AC + AD)

因此，上述条件得到满足。

6. 三角形的两边长分别为12厘米和15厘米。第三边的长度应该在哪个范围内？

答案：3和7

解释：要使三角形存在，任意两条边的和都必须大于第三边。

三角形第三边的取值范围在两边之和与两边之差之间。

和 = 12厘米 + 15厘米 = 27厘米

差 = 15厘米 - 12厘米 = 3厘米

因此，三角形第三边的长度在3厘米到27厘米之间。

练习6.5

1. PQR是直角三角形，直角在P。如果PQ = 10厘米，PR = 24厘米，求QR。

答案：26厘米

解释：根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

此处，

QR = 斜边

所以，

(QR)² = (PQ)² + (PR)²

(QR)² = (10)² + (24)²

(QR)² = 100 + 576

(QR)² = 676

QR = 26

因此，QR的长度为26厘米。

2. ABC是直角三角形，直角在C。如果AB = 25厘米，AC = 7厘米，求BC。

答案：24厘米

解释：直角三角形如下所示。

根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

此处，

AB = 斜边

所以，

(AB)² = (AC)² + (BC)²

(25)² = (7)² + (BC)²

(BC)² = (25)² - (7)²

(BC)² = 625 - 49

(BC)² = 576

BC = 24

因此，BC的长度为24厘米。

3. 一根15米长的梯子靠在墙上，够到一个12米高的窗户，梯子脚距离墙壁a米。求梯子脚到墙壁的距离。

答案：9米

解释：给出的图形是一个直角三角形。

根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

此处，

15米 = 斜边

所以，

(15)² = (12)² + (a)²

(a)² = (15)² - (12)²

(a)² = 225 - 144

(a)² = 81

a = 9

因此，边“a”的长度是9米。

4. 下列哪组边长可以构成直角三角形？

(i) 2.5厘米，6.5厘米，6厘米。

答案：是的，这些可以构成直角三角形的边。

解释：根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

或

最大边的平方 = 较小两边平方和

此处，

6.5厘米 = 斜边(最大边)

2.5厘米和6厘米是较小的边。

所以，

(6.5)² = (6)² + (2.5)²

42.25 = 36 + 6.25

42.25 = 42.25

LHS = RHS

因此，给定的三角形是直角三角形。

(ii) 2厘米，2厘米，5厘米。

答案：否，这些不能构成直角三角形的边。

解释：根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

或

最大边的平方 = 较小两边平方和

此处，

5厘米 = 斜边(最大边)

2厘米和2厘米是较小的边。

所以，

(5)² = (2)² + (2)²

25 = 4 + 4

25 = 8

左边不等于右边

因此，给定的三角形不是直角三角形。

(iii) 1.5厘米，2厘米，2.5厘米。

答案：是的，这些可以构成直角三角形的边。

解释：根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

或

最大边的平方 = 较小两边平方和

此处，

2.5厘米 = 斜边(最大边)

1.5厘米和2厘米是较小的边。

所以，

(2.5)² = (2)² + (1.5)²

6.25 = 4 + 2.25

6.25 = 6.25

LHS = RHS

因此，给定的三角形是直角三角形。

5. 一棵树在离地面5米高处折断，树梢距离树的根部12米。求树的原高度。

答案：18米

解释：上述问题的图示可以表示为：

树的总高度 = 5米 + 折断的树

折断的树 = 三角形的斜边

这个三角形是直角三角形。

根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

(斜边)² = (5)² + (12)²

(斜边)² = 25 + 144

(斜边)² = 169

斜边 = 13

折断的树的长度 = 13米

树的总高度 = 5米 + 折断的树

树的总高度 = 5米 + 13米

树的总高度 = 18米

6. ΔPQR的角Q和R为25º和65º。写出下列哪个是正确的

(i) PQ² + QR² = RP²

答案：假

解释：PQR是三角形。

三角形的三个内角之和为180°。

给定三角形的三个角是25°、65°和P。

所以，

25° + 65° + P = 180°

90° + P = 180°

P = 180° - 90°

P = 90°

这意味着上述三角形是直角三角形，直角在P。

根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

斜边 = 直角P的对边

斜边 = QR

(QR)² = (PQ)² + (PR)²

所以，上述陈述是错误的。

(ii) PQ² + RP² = QR²

答案：真

解释：给定三角形的三个角是25°、65°和P。

所以，

25° + 65° + P = 180°

90° + P = 180°

P = 180° - 90°

P = 90°

这意味着上述三角形是直角三角形，直角在P。

根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

斜边 = 直角P的对边

斜边 = QR

(QR)² = (PQ)² + (PR)²

(PR也可以写成RP。两者相同)。

所以，上述陈述是正确的。

(iii) RP² + QR² = PQ²

答案：假

解释：给定三角形的三个角是25°、65°和P。

所以，

25° + 65° + P = 180°

90° + P = 180°

P = 180° - 90°

P = 90°

这意味着上述三角形是直角三角形，直角在P。

根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

斜边 = 直角P的对边

斜边 = QR

(QR)² = (PQ)² + (PR)²

(PR也可以写成RP。两者相同)。

所以，上述陈述是错误的。

7. 求长为40厘米，对角线长为41厘米的矩形的周长。

答案：98厘米

解释：设ABCD为矩形，BD为对角线。

矩形周长 = 2 × (长 + 宽)

矩形的长 = 40厘米

宽 =？

BCD构成一个直角三角形，BD为斜边。

根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

(BD)² = (BC)² + (CD)²

(41)² = (BC)² + (40)²

1681 = (BC)² + 1600

(BC)² = 1681 - 1600

(BC)² = 81

BC = 9

因此，矩形的宽是9厘米。

矩形周长 = 2 × (长 + 宽)

矩形周长 = 2 × (40 + 9)

矩形周长 = 2 × 49

矩形周长 = 98厘米

8. 菱形的对角线长分别为16厘米和30厘米。求其周长。

答案：68厘米

解释：菱形的所有边都相等。

设ABCD为菱形。

菱形周长 = 4 × 边长

BOC构成一个直角三角形，BC为斜边。

BC = 菱形的边长

根据勾股定理，

斜边平方 = 直角三角形两边平方和

(BC)² = (BO)² + (OC)²

O将对角线分成两等份。

BO = 16/2 = 8厘米

OC = 30/2 = 15厘米

(BC)² = (8)² + (15)²

(BC)² = 64 + 225

(BC)² = 289

BC = 17

因此，菱形的边长是17厘米。

菱形周长 = 4 × 边长

菱形周长 = 4 × 17

菱形周长 = 68厘米