11 年级数学 第 15 章：统计学的 NCERT 解决方案

练习 15.1

求练习1和2中数据的平均差。

1. 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17

解决方案

给定数据的平均值 = x = 1/8 × ⁸∑_i=1 x_i = (4 + 7 + 8 + 9 + 10 + 12 + 13 + 17)/8

= 80/8 = 10

给定数据与平均值的相应偏差为

4 - 10 = -6

7 - 10 = -3

8 - 10 = -2

9 - 10 = -1

10 - 10 = 0

12 - 10 = 2

13 - 10 = 3

17 - 10 = 7

⇒ -6, -3, -2, -1, 0, 2, 3, 7

偏差的绝对值

6, 3, 2, 1, 0, 2, 3, 7

⁸∑_i=1 |x_i - x| = 6 + 3 + 2 + 1 + 0 + 2 + 3 + 7 = 24

给定数据的平均差 = 偏差之和/观察次数

= 24/8 = 3

2. 38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44

解决方案

给定数据的平均值 = x = 1/10 × ¹⁰∑_i=1 x_i = (38 + 70 + 48 + 40 + 42 + 55 + 63 + 46 + 54 + 44)/10

= 500/10 = 50

给定数据与平均值的相应偏差为

38 - 50 = -12

70 - 50 = 20

48 - 50 = -2

40 - 50 = -10

42 - 50 = -8

55 - 50 = 5

63 - 50 = 13

46 - 50 = -4

54 - 50 = 4

44 - 50 = -6

⇒ -12, 20, -2, -10, -8, 5, 13, -4, 4, -6

偏差的绝对值

12, 20, 2, 10, 8, 5, 13, 4, 4, 6

¹⁰∑_i=1 |x_i - x| = 12 + 20 + 2 + 10 + 8 + 5 + 13 + 4 + 4 + 6 = 84

给定数据的平均差 = 偏差之和/观察次数

= 84/10 = 8.4

求练习3和4中数据关于中位数的平均差。

3. 13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17

解决方案

将给定数据按升序排列。

10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18

观察次数 = n = 12

给定数据的中位数 = ((n/2)^th个观察值 + (n/2 + 1)^th个观察值)/2

(n/2)^th个观察值 = 12/2 = 第6个 = 13

(n/2 + 1)^th个观察值 = 12/2 + 1 = 第7个 = 14

中位数 = (13 + 14)/2 = 13.5

给定数据与中位数的相应偏差为

10 - 13.5 = -3.5

11 - 13.5 = -2.5

11 - 13.5 = -2.5

12 - 13.5 = -1.5

13 - 13.5 = -0.5

13 - 13.5 = -0.5

14 - 13.5 = 0.5

16 - 13.5 = 2.5

16 - 13.5 = 2.5

17 - 13.5 = 3.5

17 - 13.5 = 3.5

18 - 13.5 = 4.5

与中位数相应偏差的绝对值

3.5, 2.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 0.5, 2.5, 2.5, 3.5, 3.5, 4.5

¹²∑_i=1 |x_i - M| = 3.5 + 2.5 + 2.5 + 1.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 2.5 + 2.5 + 3.5 + 3.5 + 4.5 = 28

平均差 = MD = 1/12 × ¹²∑_i=1 |x_i - M|

= 28/12 = 2.333

4. 36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49

解决方案

将给定数据按升序排列。

36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72

观察次数 = n = 10

给定数据的中位数 = ((n/2)^th个观察值 + (n/2 + 1)^th个观察值)/2

(n/2)^th个观察值 = 10/2 = 第5个 = 46

(n/2 + 1)^th个观察值 = 10/2 + 1 = 第6个 = 49

中位数 = (46 + 49)/2 = 47.5

给定数据与中位数的相应偏差为

36 - 47.5 = -11.5

42 - 47.5 = -5.5

45 - 47.5 = -2.5

46 - 47.5 = -1.5

46 - 47.5 = -1.5

49 - 47.5 = -1.5

51 - 47.5 = 3.5

53 - 47.5 = 5.5

60 - 47.5 = 12.5

72 - 47.5 = 24.5

与中位数相应偏差的绝对值

11.5, 5.5, 2.5, 1.5, 1.5, 1.5, 3.5, 5.5, 12.5, 24.5

¹⁰∑_i=1 |x_i - M| = 11.5 + 5.5 + 2.5 + 1.5 + 1.5 + 1.5 + 3.5 + 5.5 + 12.5 + 24.5 = 70

平均差 = MD = 1/10 × ¹⁰∑_i=1 |x_i - M|

= 70/10 = 7

求练习5和6中数据关于平均值的平均差。

5.

解决方案

观察次数 = N = ⁵∑_i=1 f_i = 25

⁵∑_i=1 f_ix_i = 350

平均值 = x = 1/N × ⁵∑_i=1 f_ix_i = 1/25 × 350 = 14

与平均值的绝对偏差之和 = ⁵∑_i=1 f_i|x_i - x| = 158

关于平均值的平均差 = 1/N × ⁵∑_i=1 f_i|x_i - x| = 1/25 × 158 = 6.32

6.

解决方案

观察次数 = N = ⁵∑_i=1 f_i = 80

⁵∑_i=1 f_ix_i = 4000

平均值 = x = 1/N × ⁵∑_i=1 f_ix_i = 1/80 × 4000 = 50

与平均值的绝对偏差之和 = ⁵∑_i=1 f_i|x_i - x| = 1280

关于平均值的平均差 = 1/N × ⁵∑_i=1 f_i|x_i - x| = 1/80 × 1280 = 16

求练习7和8中数据关于中位数的平均差。

7.

解决方案

观察次数 = N = 26 (偶数)

(N/2)^th个观察值 = (26/2)^th = 第13个 = 7

(N/2 + 1)^th个观察值 = 第14个 = 7

中位数 = ((N/2)^th个观察值 + (N/2 + 1)^th个观察值)/2

= (7 + 7)/2 = 14/2 = 7

与中位数的绝对偏差之和 = ⁶∑_i=1 f_i|x_i - M| = 84

关于中位数的平均差 = 1/N × ⁶∑_i=1 f_i|x_i - M| = 1/26 × 84 = 3.23

8.

解决方案

观察次数 = N = 29 (奇数)

大于N/2 = 14.5的累积频率是21，对应的观察值是30

第15个观察值 = 30

第16个观察值 = 30

中位数 = (第15个观察值 + 第16个观察值)/2

= (30 + 30)/2 = 60/2 = 30

与中位数的绝对偏差之和 = ⁵∑_i=1 f_i|x_i - M| = 148

关于中位数的平均差 = 1/N × ⁵∑_i=1 f_i|x_i - M| = 1/29 × 148 = 5.1

求练习9和10中数据关于平均值的平均差。

9.

解决方案

观察次数 = N = ⁸∑_i=1 f_i = 50

⁸∑_i=1 f_ix_i = 17900

平均值 = x = 1/N × ⁸∑_i=1 f_ix_i = 1/50 × 17900 = 358

与平均值的绝对偏差之和 = ⁸∑_i=1 f_i|x_i - x| = 7896

关于平均值的平均差 = 1/N × ⁸∑_i=1 f_i|x_i - x| = 1/50 × 7896 = 157.92

10.

解决方案

观察次数 = N = ⁶∑_i=1 f_i = 100

⁶∑_i=1 f_ix_i = 12530

平均值 = x = 1/N × ⁶∑_i=1 f_ix_i = 1/100 × 12530 = 125.3

与平均值的绝对偏差之和 = ⁶∑_i=1 f_i|x_i - x| = 1128.8

关于平均值的平均差 = 1/N × ⁶∑_i=1 f_i|x_i - x| = 1/100 × 1128.8 = 11.288

11. 求以下数据关于中位数的平均差

解决方案

观察次数 = N = 50

(N/2)^th项 = (50/2)^th = 第25项

包含第25项的类区间是20 - 30。因此，20 - 30是中位数类。

l = 20, h = 10

中位数 = l + h × (N/2 - c)/f

= 20 + 10 × (25 - 14)/14

= 20 + 10 × 11/14

= (280 + 110)/14

= 390/14

= 27.85

与中位数的绝对偏差之和 = ⁶∑_i=1 f_i|x_i - M| = 517.1

关于中位数的平均差 = 1/N × ⁶∑_i=1 f_i|x_i - M| = 1/50 × 517.1 = 10.34

12. 计算以下给出的100人年龄分布关于中位数的平均差

[提示：通过将每个类区间的下限减去0.5，上限加上0.5，将给定数据转换为连续频率分布]

解决方案

数据需要转换为连续频率分布。因此，在每个类区间中，将下限减去0.5，上限加上0.5。

观察次数 = N = 100

(N/2)^th项 = (100/2)^th = 第50项

包含第50项的类区间是35.5 - 40.5。因此，35.5 - 40.5是中位数类。

l = 35.5, h = 5

中位数 = l + h × (N/2 - c)/f

= 35.5 + 5 × (50 - 37)/26

= 35.5 + 5 × 13/26

= 35.5 + 2.5

= 38

与中位数的绝对偏差之和 = ⁸∑_i=1 f_i|x_i - M| = 735

关于中位数的平均差 = 1/N × ⁸∑_i=1 f_i|x_i - M| = 1/100 × 735 = 7.35

练习 15.2

求练习1到5中每个数据的平均值和方差。

1. 6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12

解决方案

平均值 = x = (^a∑_i=1 x_i)/n

= (6 + 7 + 10 + 12 + 13 + 4 + 8 + 12)/8 = 72/8

= 9

方差 = σ² = 1/n × ^a∑_i=1 (x_i - x)²

= 1/8 × 74

= 9.4

因此，数据的平均值 = 9

数据的方差 = 9.4

2. 前n个自然数

解决方案

平均值 = x = (^a∑_i=1 x_i)/n

= (n(n + 1)/2)/n

= (n + 1)/2

方差 = σ² = 1/n × ^a∑_i=1 (x_i - x)²

= 1/n × ^a∑_i=1 (x_i - (n + 1)/2)²

= 1/n × [^a∑_i=1 x_i² + ^a∑_i=1 ((n + 1)/2)² - ^a∑_i=1 2x_i(n + 1)/2]

= 1/n × [n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)²/4 - n(n + 1)²/2]

= (n + 1)(2n + 1)/6 + (n + 1)²/4 - (n + 1)²/2

= [2(n + 1)(2n + 1) + 3(n + 1)² - 6(n + 1)²]/12

= [2(2n² + 2n + n + 1) - 3(n + 1)²]/12

= [2(2n² + 3n + 1) - 3(n² + 2n + 1)]/12

= [4n² + 6n + 2 - 3n² - 6n - 3]/12

= (n² - 1)/12

因此，数据的平均值 = (n + 1)/2

数据的方差 = (n² - 1)/12

3. 3的前10个倍数

解决方案

3的前10个倍数是

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

平均值 = x = (^a∑_i=1 x_i)/n

= (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30)/10

= 165/10 = 16.5

方差 = σ² = 1/n × ^a∑_i=1 (x_i - x)²

= 1/10 × 742.5

= 74.25

因此，数据的平均值 = 16.5

数据的方差 = 74.25

4.

解决方案

N = ⁷∑_i=1 f_i = 40

⁷∑_i=1 f_ix_i = 760

平均值 = x = 1/N × ⁷∑_i=1 f_ix_i = 1/40 × 760 = 19

方差 = σ² = 1/N × ^a∑_i=1 f_i(x_i - x)²

= 1/40 × 1736

= 43.4

因此，数据的平均值 = 19

数据的方差 = 43.4

5.

解决方案

N = ⁷∑_i=1 f_i = 22

⁷∑_i=1 f_ix_i = 2200/22

平均值 = x = 1/N × ⁷∑_i=1 f_ix_i = 1/22 × 2200 = 100

方差 = σ² = 1/N × ^a∑_i=1 f_i(x_i - x)²

= 1/22 × 640

= 29.09

因此，数据的平均值 = 100

数据的方差 = 29.09

6. 使用快捷方法求平均值和标准差。

解决方案

设假设平均值 = A = 64。

我们有 h = 1。

平均值 = x = A + h × (^a∑_i=1 f_iy_i)/N

= 64 + 1 × (0)/100

= 64

方差 = σ² = h²/N² × [N ∑ f_iy_i² - (∑ f_iy_i)²]

= (1²/100²) × [100(286) - 0]

= 28600/10000

= 2.86

因此，给定数据的标准差 = σ = √2.86 = 1.69

因此，数据的平均值 = 64

数据的标准差 = 1.69

求练习7和8中以下频率分布的平均值和方差。

7.

解决方案

N = ⁷∑_i=1 f_i = 30

⁷∑_i=1 f_ix_i = 3210/30

平均值 = x = 1/N × ⁷∑_i=1 f_ix_i = 1/30 × 3210 = 107

方差 = σ² = 1/N × ^a∑_i=1 f_i(x_i - x)²

= 1/30 × 68280

= 2276

因此，数据的平均值 = 107

数据的方差 = 2276

8.

解决方案

N = ⁵∑_i=1 f_i = 50

⁵∑_i=1 f_ix_i = 1350/50

平均值 = x = 1/N × ⁵∑_i=1 f_ix_i = 1/50 × 1350 = 27

方差 = σ² = 1/N × ^a∑_i=1 f_i(x_i - x)²

= 1/50 × 6600

= 132

因此，数据的平均值 = 27

数据的方差 = 132

9. 使用快捷方法求平均值、方差和标准差

解决方案

设假设平均值 = A = (90 + 95)/2 = 92.5。

我们有 h = 5。

平均值 = x = A + h × (^a∑_i=1 f_iy_i)/N

= 92.5 + 5 × (6)/60

= 92.5 + 0.5

= 93

方差 = σ² = h²/N² × [N ∑ f_iy_i² - (∑ f_iy_i)²]

= (1²/60²) × [60(254) - 6²]

= (15240 - 36)/3600

= 15204/3600

= 105.583

因此，给定数据的标准差 = σ = √105.583 = 10.27

因此，数据的平均值 = 93

数据的方差 = 105.58

数据的标准差 = 10.27

10. 下面给出设计中绘制的圆的直径（毫米）

计算圆的标准差和平均直径。

[提示：首先将数据转换为连续分布，将类别设为32.5-36.5，36.5-40.5，40.5-44.5，44.5-48.5，48.5-52.5，然后继续进行。]

解决方案

数据需要转换为连续频率分布。因此，在每个类区间中，将下限减去0.5，上限加上0.5。

设假设平均值 = A = (40.5 + 44.5)/2 = 42.5。

我们有 h = 4。

平均值 = x = A + h × (^a∑_i=1 f_iy_i)/N

= 42.5 + 4 × (25)/100

= 42.5 + 1

= 43.5

方差 = σ² = h²/N² × [N ∑ f_iy_i² - (∑ f_iy_i)²]

= (4²/100²) × [100(199) - 25²]

= 16(19900 - 625)/10000

= 19275/625

= 30.84

因此，给定数据的标准差 = σ = √30.84 = 5.55

因此，数据的平均值 = 43.5

数据的标准差 = 5.55

练习 15.3

1. 根据以下数据，判断哪个组的变异性更大，A或B？

解决方案

A组

设假设平均值 = A = 45。

我们有 h = 10。

平均值 = x = A + h × (^a∑_i=1 f_iy_i)/N

= 45 + 10 × (-6)/150

= 45 - 0.4

= 44.6

方差 = σ² = h²/N² × [N ∑ f_iy_i² - (∑ f_iy_i)²]

= (10²/150²) × [150(342) - (-6)²]

= 100(51300 - 36)/22500

= 51264/225

= 227.84

标准差 = σ = √227.84 = 15.09

A组的变异系数 = σ/x × 100

= 15.09/44.6 × 100

= 33.83

B组

设假设平均值 = A = 45。

我们有 h = 10。

平均值 = x = A + h × (^a∑_i=1 f_iy_i)/N

= 45 + 10 × (-6)/150

= 45 - 0.4

= 44.6

方差 = σ² = h²/N² × [N ∑ f_iy_i² - (∑ f_iy_i)²]

= (10²/150²) × [150(366) - (-6)²]

= 100(54900 - 36)/22500

= 54864/225

= 243.84

标准差 = σ = √243.84 = 15.61

A组的变异系数 = σ/x × 100

= 15.61/44.6 × 100

= 35

因此，B组的变异系数更高。

因此，B组的变异性更大。

2. 根据下面股票X和Y的价格，找出哪个价值更稳定

解决方案

项数 = n = 10

X的平均值 = x = ∑ x_i/n

= 510/10 = 51

X的方差 = 1/n² × [n ∑ x_i² - (∑ x_i)²]

= 1/10² × [10(26360) - 510²]

= 1/100 × [263600 - 260100]

= 3500/100

= 35

标准差 = σ = √35 = 5.91

变异系数 = σ/x × 100

= 5.91/51 × 100

= 11.58

Y的平均值 = y̅ = ∑ y_i/n

= 1050/10 = 105

Y的方差 = 1/n² × [n ∑ y_i² - (∑ y_i)²]

= 1/10² × [10(110290) - 1050²]

= 1/100 × [1102900 - 1102500]

= 400/100

= 4

标准差 = σ = √4 = 2

变异系数 = σ/y̅ × 100

= 2/105 × 100

= 1.904

X的变异系数更高。

因此，Y更稳定。

3. 对同一行业两家公司A和B的工人月工资分析结果如下

A公司 B公司

领工资人数 586 648

月平均工资 5253卢比 5253卢比

工资分布方差 100 121

• 哪家公司A或B支付的月工资更高？
• 哪家公司A或B，个人工资的变异性更大？

解决方案

(i) A公司月平均工资 = 5253卢比

A公司领工资人数 = 586

A公司月工资总额 = 5253 × 586 = 3078258卢比

B公司月平均工资 = 5253卢比

B公司领工资人数 = 648

B公司月工资总额 = 5253 × 648 = 3403944卢比

因此，B公司支付的月工资更高

(ii) A公司的方差 = 100

A公司的标准差 = √100 = 10

A公司的变异系数 = 10/5253 × 100 = 0.19

B公司的方差 = 121

B公司的标准差 = √121 = 11

B公司的变异系数 = 11/5253 × 100 = 0.20

B的变异系数更高。

因此，B公司个人工资的变异性更大。

4. 以下是A队在一个足球赛季的进球记录

B队每场比赛的平均进球数为2，标准差为1.25个进球。找出哪个队可以被认为更稳定？

解决方案

A队平均值 = x = ∑ f_ix_i/∑ f_i = 50/25 = 2

方差 = 1/n² × [n ∑ f_ix_i² - (∑ f_ix_i)²]

= 1/25² × [25(130) - 50²]

= [3250 - 2500]/625

= 750/625

= 1.2

A队标准差 = σ = √1.2 = 1.09

A队变异系数 = σ/x × 100

= 1.09/2 × 100 = 54.5

B队平均值 = 2

B队标准差 = 1.25

B队变异系数 = 1.25/2 × 100

= 62.5

B队的变异系数大于A队。

因此，A队更稳定。

5. 50种植物产品的长度x（厘米）和重量y（克）的总和及平方和如下

⁵⁰∑_i=1 x_i = 212 , ⁵⁰∑_i=1 x_i² = 902.8, ⁵⁰∑_i=1 y_i = 261, ⁵⁰∑_i=1 y_i² = 1457.6

哪个变异性更大，长度还是重量？

解决方案

长度的平均值 = x = ∑ x_i/n = 212/50 = 4.24

长度的方差 = 1/n² × [n ∑ f_ix_i² - (∑ f_ix_i)²]

= 1/50² × [50(902.8) - 212²]

= [45140 - 44944]/2500

= 196/2500

= 0.0784

长度的标准差 = σ = √0.0784 = 0.28

长度的变异系数 = σ/x × 100

= 0.28/4.24 × 100

= 6.60

重量的平均值 = y̅ = ∑ y_i/n = 261/50 = 5.22

重量的方差 = 1/n² × [n ∑ f_iy_i² - (∑ f_iy_i)²]

= 1/50² × [50(1457.6) - 261²]

= [72880 - 68121]/2500

= 4759/2500

= 1.9036

重量的标准差 = σ = √1.9036 = 1.37

重量的变异系数 = σ/x × 100

= 1.37/5.22 × 100

= 26.24

重量的变异系数大于高度的变异系数。

因此，重量的变异性更大。

杂项练习

1. 八个观测值的平均值和方差分别为9和9.25。如果其中六个观测值是6、7、10、12、12和13，求其余两个观测值。

解决方案

设其余两个观测值分别为x和y。那么，观测值是

6, 7, 10, 12, 12, 13, x, y

平均值 = x = (6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + x + y)/8

9 = (60 + x + y)/8

72 = 60 + x + y

12 = x + y

方差 = 1/n × ⁸∑_i=1 (x_i - x)²

9.25 = 1/8 × [(6 - 9)² + (7 - 9)² + (10 - 9)² + (12 - 9)² + (12 - 9²) + (13 - 9)² + (x - 9)² + (y - 9)²]

74 = (-3)² + (-2)² + 1² + 3² + 3² + 4² + x² + 9² - 18x + y² + 9² - 18y

74 = 9 + 4 + 1 + 9 + 9 + 16 + 81 + 81 + x² + y² - 18x - 18y

74 = 210 + x² + y² - 18(x + y)

74 = 210 + x² + y² - 18(12)

x² + y² = -210 + 216 + 74

x² + y² = 80

现在，将 x + y = 12 两边平方

x² + y² + 2xy = 144

80 + 2xy = 144

2xy = 64

从 x² + y² = 80 中减去 2xy = 64

x² + y² - 2xy = 80 - 64

(x - y)² = 16

x - y = ±4

情况I：x - y = 4

x = 4 + y

x + y = 12

4 + 2y = 12

2y = 8

y = 4

所以，x = 4 + 4

x = 8

情况II：x - y = -4

x = -4 + y

x + y = 12

-4 + 2y = 12

2y = 16

y = 8

所以，x = -4 + 8

x = 4

因此，其余两个观测值是4和8。

3. 六个观测值的平均值和标准差分别为8和4。如果每个观测值乘以3，求新观测值的新的平均值和新的标准差。

解决方案

设观测值为x₁, x₂, x₃, x₄, x₅和x₆。

平均值 = x = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆)/6

8 = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆)/6

设每个观测值乘以3后得到的新观测值为

y₁, y₂, y₃, y₄, y₅和y₆

新的平均值 = y̅ = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄ + y₅ + y₆)/6

= (3x₁ + 3x₂ + 3x₃ + 3x₄ + 3x₅ + 3x₆)/6

= 3(x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆)/6

= 3(x)

= 3(8)

= 24

原始标准差 = σ = √(1/n × ⁶∑_i=1 (x_i - x)²)

4 = √(1/6 × ⁶∑_i=1 (x_i - x)²)

两边平方

16 = 1/6 × ⁶∑_i=1 (x_i - x)²

现在，x_i = y_i/3 且 x = y̅/3

16 = 1/6 × ⁶∑_i=1 (y_i/3 - y̅/3)²

16 = 1/6 × 1/3² × ⁶∑_i=1 (y_i - y̅)²

16 × 9 = 1/6 × ⁶∑_i=1 (y_i - y̅)²

144 = 1/6 × ⁶∑_i=1 (y_i - y̅)²

新的标准差 = √(1/6 × ⁶∑_i=1 (y_i - y̅)²) = √144 = 12

因此，新的平均值是24，新的标准差是12。

4. 已知x是n个观测值x₁, x₂, …, x_n的平均值，σ²是它们的方差。证明观测值ax₁, ax₂, ax₃, …, ax_n的平均值和方差分别为ax和a²σ² (a ≠ 0)。

解决方案

平均值 = x = (x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n)/n

x = (x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n)/n

设每个新的观测值表示为y_i。那么，

y_i = ax_i

x_i = y_i/a

新的平均值 = y̅ = (ax₁ + ax₂ + ax₃ + … + ax_n)/n

= a(x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n)/n

= ax

方差 = σ² = 1/n ⁿ∑_i=1 (x_i - x)²

σ² = 1/n ⁿ∑_i=1 (y_i/a - y̅/a)²

σ² = 1/a² × 1/n ⁿ∑_i=1 (y_i - y̅)²

a²σ² = 1/n ⁿ∑_i=1 (y_i - y̅)²

新的方差 = 1/n ⁿ∑_i=1 (y_i - y̅)² = a²σ²

因此，证明完毕。

5. 20个观测值的平均值和标准差分别为10和2。经重新检查，发现观测值8不正确。在以下每种情况下计算正确的平均值和标准差

(i) 如果删除错误项。(ii) 如果替换为12。

解决方案

(i) 观察次数 = 20

不正确的平均值 = 1/n × ²⁰∑_i=1 x_i

10 = 1/20 × ²⁰∑_i=1 x_i

200 = ²⁰∑_i=1 x_i

不正确的观测值之和 = 200

正确的观测值之和 = 200 - 8 = 192

删除8后的观测次数 = N = 20 - 1 = 19

正确的平均值 = 1/19 × 192

= 10.11

不正确的标准差 = √(1/n × ⁿ∑_i=1 x_i² - 1/n² × (ⁿ∑_i=1 x_i)²)

2 = √(1/n × ⁿ∑_i=1 x_i² - (x)²)

两边平方

4 = 1/20 × ²⁰∑_i=1 x_i² - 10²

104 = 1/20 × ²⁰∑_i=1 x_i²

2080 = ²⁰∑_i=1 x_i²

不正确的观测值平方和 = 2080

正确的观测值平方和 = 2080 - 8² = 2016

正确的标准差 = √(1/N × ^N∑_i=1 x_i² - (10.1)²)

= √(1/19 × 2016 - 102.1)

= √(106.1 - 102.01)

= √4.09

= 2.02

(ii) 不正确的观测值之和 = 200

正确的观测值之和 = 200 - 8 + 12 = 204

观察次数 = N = 20

正确的平均值 = 1/20 × 204

= 10.2

不正确的观测值平方和 = 2080

正确的观测值平方和 = 2080 - 8² + 12² = 2160

正确的标准差 = √(1/N × ^N∑_i=1 x_i² - (10.2)²)

= √(1/20 × 2160 - 104.04)

= √(108 - 104.04)

= √3.96

= 1.98

6. 某班50名学生在数学、物理和化学三科中获得的分数平均值和标准差如下

科目 数学 物理 化学

平均值 42 32 40.9

标准版
偏差 12 15 20

这三门科目中哪门的分数变异性最高，哪门最低？

解决方案

数学的变异系数 = 标准差/平均值 × 100

= 12/42 × 100 = 28.57

物理的变异系数 = 15/32 × 100

= 46.87

化学的变异系数 = 20/40.9 × 100

= 48.89

化学分数的变异系数最高，而数学分数的变异系数最低

因此，化学分数的变异性最高，而数学分数的变异性最低。

7. 100个观测值组的平均值和标准差分别为20和3。后来发现三个观测值不正确，记录为21、21和18。如果删除不正确的观测值，求平均值和标准差。

解决方案

观察次数 = 100

不正确的平均值 = 1/n × ¹⁰⁰∑_i=1 x_i

20 = 1/100 × ²⁰∑_i=1 x_i

2000 = ²⁰∑_i=1 x_i

不正确的观测值之和 = 2000

正确的观测值之和 = 2000 - 21 - 21 - 18 = 1940

删除不正确观测值后的观测次数 = N = 100 - 3 = 97

正确的平均值 = 1/97 × 1940

= 20

不正确的标准差 = √(1/n × ⁿ∑_i=1 x_i² - 1/n² × (ⁿ∑_i=1 x_i)²)

3 = √(1/n × ⁿ∑_i=1 x_i² - (x)²)

两边平方

9 = 1/100 × ¹⁰⁰∑_i=1 x_i² - 20²

409 = 1/100 × ¹⁰⁰∑_i=1 x_i²

40900 = ¹⁰⁰∑_i=1 x_i²

不正确的观测值平方和 = 40900

正确的观测值平方和 = 40900 - 21² - 21² - 18² = 40900 - 1206 = 39694

正确的标准差 = √(1/N × ^N∑_i=1 x_i² - (20)²)

= √(1/97 × 39694 - 400)

= √(409.21 - 400)

= √9.21

= 3.036