NCERT 11年级数学第14章解题：数学推理

练习 14.1

1. 以下哪些句子是命题？请说明理由。

1. 一个月有35天。
2. 数学很难。
3. 5和7的和大于10。
4. 一个数的平方是偶数。
5. 四边形的边长相等。
6. 回答这个问题。
7. (-1)和8的乘积是8。
8. 三角形所有内角的和是180°。
9. 今天是刮风的一天。
10. 所有实数都是复数。

解决方案

(i) 一个月最多有31天。因此，这句话是错误的。所以，这个句子是一个命题。

(ii) 这个句子是主观的。如果一个人不喜欢数学，它就是真的；反之，它就是假的。因此，这个句子不是一个命题。

(iii) 5和7的和是12，大于10。因此，这句话普遍正确。所以，这个句子是一个命题。

(iv) 这个句子只对偶数的平方成立。对于奇数，这句话是错误的。因此，这个句子不是一个命题。

(v) 像正方形、菱形这样的四边形的边是相等的，但对于矩形、平行四边形、梯形等则不成立。因此，这个句子不是一个命题。

(vi) 这个句子是一个命令。因此，它不是一个命题。

(vii) (-1)和8的乘积是(-8)。因此，这句话总是假的。所以，这个句子是一个命题。

(viii) 众所周知，三角形内角的和总是180°。因此，这个句子是一个命题。

(ix) 这句话在刮风天可能是真的，但天气变化时就会变成假的。因此，这个句子不是一个命题。

(x) 所有实数都可以表示为复数（a × 1 + 0 × i）。因此，这个句子是一个命题。

2. 给出三个不是命题的句子示例。请说明理由。

解决方案

I. 三角形的所有边都相等。

如果三角形是等边三角形，这句话是真的；反之，则是假的。因此，它不是一个命题。

II. 蔬菜味道很差。

这个句子是主观的。有些人可能觉得蔬菜美味，有些人则不然。因此，它不是一个命题。

III. 外面正在下雨。

这句话的真假取决于天气。因此，它不是一个命题。

练习 14.2

1. 写出以下命题的否定

1. 钦奈是泰米尔纳德邦的首府。
2. 2不是复数。
3. 所有三角形都不是等边三角形。
4. 数字2大于7。
5. 每个自然数都是整数。

解决方案

1. 钦奈不是泰米尔纳德邦的首府。
2. 2是复数。
3. 所有三角形都是等边三角形。
4. 数字2不大于7。
5. 每个自然数都不是整数。

2. 以下语句对是彼此的否定吗？

1. 数字x不是有理数。
   数字x不是无理数。
2. 数字x是有理数。
   数字x是无理数。

解决方案

(i) 第一个命题的否定是

"数字x是有理数"，这与"数字x不是无理数"相同，因为一个数只有在不是无理数时才是有理数。

因此，这些命题是彼此的否定。

(ii) 第一个命题的否定是

"数字x不是有理数"，这与"数字x是无理数"相同，因为一个数只有在不是有理数时才是无理数。

因此，这些命题是彼此的否定。

3. 找出以下复合命题的组成命题，并检查它们的真假。

1. 数字3是素数或者是奇数。
2. 所有整数都是正数或负数。
3. 100能被3、11和5整除。

解决方案

(i) 给定命题的组成部分是

1. 数字3是素数
2. 数字3是奇数

两个组成命题都是真的。

(ii) 给定命题的组成部分是

1. 所有整数都是正数
2. 所有整数都是负数

两个组成命题都是假的。

(iii) 给定命题的组成部分是

1. 100能被3整除
2. 100能被11整除
3. 100能被5整除

组成命题A和B是假的，而C是真的。

练习 14.3

1. 对于以下每个复合命题，首先识别连接词，然后将其分解为组成命题。

1. 所有有理数都是实数，并且所有实数都不是复数。
2. 整数的平方是正数或负数。
3. 沙子在阳光下迅速升温，但在夜间不会迅速冷却。
4. x = 2和x = 3是方程3x² - x - 10 = 0的根。

解决方案

(i) 在这个复合命题中，“and”是连接词。组成命题是

1. 所有有理数都是实数
2. 所有有理数都不是复数

(ii) 在这个复合命题中，“or”是连接词。组成命题是

1. 整数的平方是正数
2. 整数的平方是负数

(iii) 在这个复合命题中，“and”是连接词。组成命题是

1. 沙子在阳光下迅速升温
2. 沙子在夜间不会迅速冷却

(iv) 在这个复合命题中，“and”是连接词。组成命题是

1. x = 2是方程3x² - x - 10 = 0的根
2. x = 3是方程3x² - x - 10 = 0的根

2. 识别以下命题中的量词，并写出命题的否定。

1. 存在一个数等于其平方。
2. 对于每个实数x，x小于x + 1。
3. 印度的每个邦都有一个首都。

解决方案

(i) “存在”是给定命题中的量词。命题的否定是

不存在一个数等于其平方。

(ii) “对于每个”是给定命题中的量词。命题的否定是

对于至少一个实数x，x不小于x + 1。

(iii) “存在”是给定命题中的量词。命题的否定是

印度存在一个没有首都的邦。

3. 检查以下命题对是否彼此否定。请说明理由。

1. x + y = y + x对所有实数x和y都成立。
2. 存在实数x和y使得x + y = y + x。

解决方案

命题(i)的否定是

存在实数x和y使得x + y ≠ y + x。

这与命题(ii)不同。

因此，这对命题不是彼此的否定。

4. 说明以下命题中使用的“或”是“排他性”还是“包容性”。请说明理由。

1. 太阳升起或月亮落下。
2. 申请驾驶执照，你需要有配给卡或护照。
3. 所有整数都是正数或负数。

解决方案

(i) 我们知道太阳升起和月亮落下不可能同时发生。因此，此命题中“或”的使用是排他性的。

(ii) 我们知道申请驾驶执照时，配给卡和护照都可以接受。因此，此命题中“或”的使用是包容性的。

(iii) 我们知道所有整数不可能同时是正数和负数。因此，此命题中“或”的使用是排他性的。

练习 14.4

1. 将以下命题用“如果-那么”改写成五种不同的方式，表达相同的意思。

如果一个自然数是奇数，那么它的平方也是奇数。

解决方案

1. 一个自然数是奇数，这意味着它的平方也是奇数。
2. 一个自然数是奇数，仅当它的平方是奇数。
3. 为了使一个自然数是奇数，它的平方需要是奇数。
4. 为了使一个自然数的平方是奇数，这个自然数是奇数。
5. 一个自然数不是奇数，这意味着它的平方也不是奇数。

2. 写出以下命题的逆否命题和逆命题。

1. 如果x是素数，那么x是奇数。
2. 如果两条线是平行的，那么它们在同一平面上不相交。
3. 某物是冷的意味着它温度低。
4. 如果你不知道如何演绎推理，你就无法理解几何。
5. x是偶数意味着x能被4整除。

解决方案

(i) 给定命题的逆否命题将是

如果一个数x不是奇数，那么x不是素数。

给定命题的逆命题将是

如果一个数x是奇数，那么它是一个素数。

(ii) 给定命题的逆否命题将是

如果两条线在同一平面上相交，那么这两条线不平行。

给定命题的逆命题将是

如果两条线在同一平面上不相交，那么它们是平行的。

(iii) 给定命题的逆否命题将是

如果某物没有低温，那么它不是冷的。

给定命题的逆命题将是

如果某物处于低温，那么它是冷的。

(iv) 给定命题的逆否命题将是

如果你知道如何演绎推理，那么你就能理解几何。

给定命题的逆命题将是

如果你不知道如何演绎推理，那么你就无法理解几何。

(v) 这个命题可以改写为“如果x是偶数，那么x能被4整除”。

这个命题的逆否命题将是

如果x不能被4整除，那么x不是偶数。

这个命题的逆命题将是

如果x能被4整除，那么x是偶数。

3. 将以下每个命题写成“如果p，那么q”的形式。

1. 你得到一份工作意味着你的资历很好。
2. 如果保持温暖一个月，香蕉树就会开花。
3. 如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是一个平行四边形。
4. 要在班级中获得A⁺，你必须完成书中的所有练习。

解决方案

1. 如果你得到一份工作，那么你的资历很好。
2. 如果香蕉树保持温暖一个月，那么树就会开花。
3. 如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是一个平行四边形。
4. 如果你想在班级中获得A⁺，那么你就完成书中的所有练习。

4. 给定语句(a)和(b)。将以下语句识别为彼此的逆否命题或逆命题。

a) 如果你住在德里，那么你有冬衣。

1. 如果你没有冬衣，那么你不住在德里。
2. 如果你有冬衣，那么你住在德里。

b) 如果一个四边形是平行四边形，那么它的对角线互相平分。

1. 如果一个四边形的对角线不互相平分，那么这个四边形不是平行四边形。
2. 如果一个四边形的对角线互相平分，那么它是一个平行四边形。

解决方案

(a) (i) 这个语句是语句(a)的逆否命题。

(ii) 这个语句是语句(a)的逆命题。

(b) (i) 这个语句是语句(b)的逆否命题。

(ii) 这个语句是语句(b)的逆命题。

练习 14.5

1. 证明命题

p：“如果x是一个实数，使得x³ + 4x = 0，那么x是0”是真的，通过
(i) 直接法，(ii) 反证法，(iii) 逆否命题法

解决方案

让我们假设

q: x是一个实数，使得x³ + 4x = 0

r: x是0

(i) 假设命题q为真

因此，

x³ + 4x = 0

x(x² + 4) = 0

x = 0 或 x² + 4 = 0

x = 0

或

x² = -4 ⇒ x = √-4

因为x是实数。因此，x² + 4 ≠ 0。

x = 0

所以，命题r为真。

(ii) 假设命题p为假。那么，x是一个实数，使得x³ + 4x = 0 且 x ≠ 0。因此，

x³ + 4x = 0

x(x² + 4) = 0

x = 0 或 x² + 4 = 0

x = 0

或

x² = -4 ⇒ x = √-4

但是，x是实数。所以，x = 0，这与我们假设的x ≠ 0相矛盾，并且命题q是假的。

因此，命题p为真。

(iii) 假设命题r为假。那么，

x ≠ 0

x² + 4是正数

一个正项与x的乘积不可能为零，因为x ≠ 0。

那么，x和x² + 4的乘积将是

x(x² + 4) ≠ 0

x³ + 4x ≠ 0

因此，命题q是假的。

∼r ⇒ ∼q

所以，给定命题p为真。

2. 举一个反例，证明命题“对于任意实数a和b，a² = b²意味着a = b”不成立。

解决方案

给定命题可以改写为

如果a和b是实数，使得a² = b²，那么a = b。

设p: a和b是实数，使得a² = b²

q: a = b

让我们考虑a = 1和b = -1。那么，

a² = 1² = 1

并且

b² = (-1)² = 1

所以，a² = b²。

但是a ≠ b

因此，给定陈述为假。

3. 用逆否命题法证明以下命题为真。

p: 如果x是整数且x²是偶数，那么x也是偶数。

解决方案

设q: x是整数且x²是偶数

r: x是偶数

设命题r为假。那么，

x不是偶数

所以，x²也不是偶数。

因此，命题q是假的。

因此，给定命题p为真。

4. 举一个反例，证明以下命题不成立。

(i) p: 如果一个三角形的所有角都相等，那么这个三角形是钝角三角形。

(ii) q: 方程x² - 1 = 0在0和2之间没有根。

解决方案

(i) 设q: 一个三角形的所有角都相等

r: 这个三角形是钝角三角形

我们知道三角形所有内角的和是180°。

如果三角形所有内角都相等，那么每个角必须是60°，这不是一个钝角。

所以，当所有角都相等时，这个三角形不是钝角三角形。

因此，给定命题p是假的。

(ii) 考虑给定方程

x² - 1 = 0

x² = 1

x = ±1

x = 1 和 x = -1

根x = 1在0和2之间。

因此，给定命题q是假的。

5. 以下命题哪些是真的，哪些是假的？在每种情况下，给出充分的理由。

1. p: 圆的每条半径都是圆的弦。
2. q: 圆心平分圆的每条弦。
3. r: 圆是椭圆的一种特殊情况。
4. s: 如果x和y是整数，使得x > y，那么-x < -y。
5. t: √11是一个有理数。

解决方案

(i) 给定命题p是假的。

弦必须与圆上两个不同的点相交。半径只与一个点相交。

(ii) 给定命题q是假的。

弦不需要经过圆心，因此不被圆心平分。圆的直径是唯一被圆心平分的弦。

(iii) 椭圆的方程是

x²/a² + y²/b² = 1

让我们考虑a = 1和b = 1

x²/1² + y²/1² = 1

x² + y² = 1，这是一个圆的方程。

因此，圆是椭圆的一种特殊情况。

所以，给定命题r是真的。

(iv) 考虑x > y。

x - y > 0

-y > -x

或 -x < -y

所以，给定命题s是真的。

(v) 给定命题t是假的。

素数的平方根是无理数。我们知道数字11是一个素数。因此，√11将是无理数。

杂项练习

1. 写出以下命题的否定

1. p: 对于每一个正实数x，数x - 1也是正数。
2. q: 所有的猫都会抓挠。
3. r: 对于每一个实数x，要么x > 1，要么x < 1。
4. s: 存在一个数x使得0 < x < 1。

解决方案

(i) 存在一个正实数x，使得x - 1不是正数。

(ii) 存在一只猫不会抓挠。

(iii) 存在一个实数x，使得x既不大于1也不小于1。

(iv) 不存在一个数x，使得0 < x < 1。

2. 写出以下每个命题的逆命题和逆否命题。

1. p: 一个正整数是素数，仅当它除了1和它本身之外没有其他约数。
2. q: 每当天气晴朗时，我都会去海滩。
3. r: 如果外面很热，那么你会感到口渴。

解决方案

(i) 命题p可以改写为

如果一个正整数是素数，那么它除了1和它本身之外没有其他约数。

逆命题: 如果一个正整数除了1和它本身之外没有其他约数，那么它是素数。

逆否命题: 如果一个正整数除了1和它本身之外有其他约数，那么它不是素数。

(ii) 命题q可以改写为

如果天气晴朗，那么我就会去海滩。

逆命题: 如果我去海滩，那么天气晴朗。

逆否命题: 如果我不去海滩，那么天气不晴朗。

(iii) 逆命题: 如果你感到口渴，那么外面很热。

逆否命题: 如果你不感到口渴，那么外面不热。

3. 将每个命题写成“如果p，那么q”的形式。

1. p: 登录服务器需要密码。
2. q: 每逢下雨就会交通堵塞。
3. r: 你只有支付订阅费才能访问网站。

解决方案

(i) 如果你登录服务器，那么你需要有密码。

(ii) 如果下雨，那么就会交通堵塞。

(iii) 如果你能访问网站，那么你需要支付订阅费。

4. 将以下每个命题改写成“p当且仅当q”的形式。

1. p: 如果你看电视，那么你的头脑是自由的；如果你的头脑是自由的，那么你看电视。
2. q: 你获得A级成绩的必要和充分条件是定期完成所有家庭作业。
3. r: 如果一个四边形是等角的，那么它是一个矩形；如果一个四边形是矩形，那么它是等角的。

解决方案

(i) 你看电视当且仅当你的头脑是自由的。

(ii) 你获得A级成绩当且仅当你定期完成所有家庭作业。

(iii) 一个四边形是等角的当且仅当它是一个矩形。

5. 下面是两个命题

p: 25是5的倍数。
q: 25是8的倍数。

用“并且”和“或者”连接这两个命题，写出复合命题。在这两种情况下，检查复合命题的有效性。

解决方案

使用“并且”的复合命题

25是5和8的倍数。

这个复合命题是假的，因为25不是8的倍数。

使用“或者”的复合命题

25是5和8的倍数。

这个复合命题是真的，因为25不是8的倍数，但它是5的倍数。

6. 用所给方法检查以下命题的有效性。

1. p: 无理数与有理数的和是无理数（反证法）。
2. q: 如果n是实数且n > 3，那么n² > 9（反证法）。

解决方案

(i) 假设命题p为假。那么，

√a + b/c = d/e，其中√a是无理数，b、c、d、e是整数

d/e - b/c = √a

但这不可能，因为d/e - b/c是一个有理数，而√a是无理数。

因此，我们的假设是错误的，命题p是真的。

(ii) 让我们假设n是一个实数，n > 3，但n² > 9是假的。那么，

n² ≤ 9

我们有n > 3。

两边平方

n² > 9

这与我们假设的n² > 9是假相矛盾。

因此，命题q是真的。

7. 将以下命题用五种不同的方式改写，表达相同的意思。

p: 如果一个三角形是等角的，那么它是一个钝角三角形。

解决方案

1. 一个三角形是等角的，这意味着它是一个钝角三角形。
2. 一个三角形是等角的，仅当它是一个钝角三角形。
3. 对于一个三角形是钝角三角形，三角形是等角的就足够了。
4. 如果一个三角形不是钝角三角形，那么这个三角形不是等角的。
5. 对于一个三角形是等角的，它必须是一个钝角三角形。