7 年级数学第 9 章：有理数 的 NCERT 解决方案

练习 9.1

1. 列出以下五个数之间的有理数

(i) -1 和 0

答案 -2/3, -1/2, -2/5, -1/3, -2/7

解释： 有理数是可以表示为 p/q 形式的数，

其中，

其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

我们可以使用任何分母大于分子的有理数值。如果分母的值大于分子，则其小数数值介于 0 和 1 之间。

所以，介于 -1 和 0 之间的有理数是

-2/3, -4/5, -6/7, -2/4, -1/3, -2/5, -2/7, -1/5, -1/2 等。

我们可以指定任何五个有理数。

(ii) -2 和 -1

答案 -5/3, -4/3, -6/4, -7/5, -3/2

解释： 有理数是可以表示为 p/q 形式的数，

其中，

其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

我们可以使用任何分子大于分母的有理数值。

所以，介于 -2 和 -1 之间的有理数是

-5/3, -4/3, -6/4, -7/5, -3/2, -8/6, -9/7

(iii) −4/5 和 -2/3

答案： -31/45, -32/45, -11/15, -34/45, 和 -7/9

解释： 有理数是可以表示为 p/q 形式的数，

其中，

其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

让我们将这两个有理数的分子和分母分别乘以 9 和 15。

(-4 × 9)/ (5 × 9) = -36/45

(-2 × 15)/ (3 × 15) = -30/45

介于 -30/45 和 -36/45 之间的五个有理数是

-31/45, -32/45, -33/45, -34/45, 和 -35/45

这些数化为最简形式可以表示为

-31/45, -32/45, -11/15, -34/45, 和 -7/9

(iv) -1/2 和 2/3

答案 -1/3, -1/4, 0, 1/3, 1/2

解释： 有理数是可以表示为 p/q 形式的数，

其中，

其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

介于 -1/2 和 2/3 之间的五个有理数是

-1/3, -1/4, 0, 1/3, 1/2

2. 写出以下每个模式的另外四个有理数

(i) −3/5, −6/10, −9/15, −12/20 …

答案： −15/25, −18/30, −21/35, −24/40

解释： 有理数是可以表示为 p/q 形式的数，

其中，

其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

在给定的有理数中，让我们将它们转换为最简形式。

−6/10 = (−3 × 2)/ (5 × 2) = −3/5

−9/15 = (−3 × 3)/ (5 × 3) = −3/5

−12/20 = (−3 × 4)/ (5 × 4) = −3/5

因此，另外四个有理数将是

(−3 × 5)/ (5 × 5) = −15/25

(−3 × 6)/ (5 × 6) = −18/30

(−3 × 7)/ (5 × 7) = −21/35

(−3 × 8)/ (5 × 8) = −24/40

(ii) −1/4, −2/8, −3/12 …

答案： −4/16, −5/20, −6/24, −7/28

解释： 有理数是可以表示为 p/q 形式的数，

其中，

其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

在给定的有理数中，让我们将它们转换为最简形式。

−2/8 = (−1 × 2)/ (4 × 2) = −1/4

−3/12 = (−1 × 3)/ (4 × 3) = −1/4

因此，另外四个有理数将是

(−1 × 4)/ (4 × 4) = −4/16

(−1 × 5)/ (4 × 5) = −5/20

(−1 × 6)/ (4 × 6) = −6/24

(−1 × 7)/ (4 × 7) = −7/28

(iii) −1/6, −2/12, −3/18, −4/24 …

答案： −5/30, −6/36, −7/42, −8/48

解释： 有理数是可以表示为 p/q 形式的数，

其中，

其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

在给定的有理数中，让我们将它们转换为最简形式。

−2/12 = (−1 × 2)/ (6 × 2) = −1/6

−3/18 = (−1 × 3)/ (6 × 3) = −1/6

−4/24 = (−1 × 4)/ (6 × 4) = −1/6

因此，另外四个有理数将是

(−1 × 5)/ (6 × 5) = −5/30

(−1 × 6)/ (6 × 6) = −6/36

(−1 × 7)/ (6 × 7) = −7/42

(−1 × 8)/ (6 × 8) = −8/48

(iv) −2/3, 2/−3, 4/−6, 6/−9 …

答案： 8/−12, 10/−15, 12/−18, 14/−21

解释： 有理数是可以表示为 p/q 形式的数，

其中，

其中 p 和 q 是整数，且 q 不等于 0。

给定的有理数系列显示分子加 2，分母加 3。

4/−6 = (2 + 2)/ − (3 + 3)

6/−9 = (4 + 2)/ − (6 + 3)

因此，另外四个有理数将是

(6 + 2)/ − (9 + 3) = 8/−12

(8 + 2)/ − (12 + 3) = 10/−15

(10 + 2)/ − (15 + 3) = 12/−18

(12 + 2)/ − (18 + 3) =14/−21

3. 给出四个与以下有理数等价的有理数

(i) −2/7

答案： −4/14, −6/21, −8/28, −10/35

解释： 要找到等价有理数，我们将该有理数分别乘以 2、3、4 和 5。

因此，四个等价有理数是

(−2 × 2)/ (7 × 2) = −4/14

(−2 × 3)/ (7 × 3) = −6/21

(−2 × 4)/ (7 × 4) = −8/28

(−2 × 5)/ (7 × 5) = −10/35

(ii) 5/−3

答案： 10/−6, 15/−9, 20/−12, 25/−15

解释： 要找到等价有理数，我们将该有理数分别乘以 2、3、4 和 5。

因此，四个等价有理数是

(5 × 2)/ (−3 × 2) = 10/−6

(5 × 3)/ (−3 × 3) = 15/−9

(5 × 4)/ (−3 × 4) = 20/−12

(5 × 5)/ (−3 × 5) = 25/−15

(iii) 4/9

答案 8/18, 12/27, 16/36, 20/45

解释： 要找到等价有理数，我们将该有理数分别乘以 2、3、4 和 5。

因此，四个等价有理数是

(4 × 2)/ (9 × 2) = 8/18

(4 × 3)/ (9 × 3) = 12/27

(4 × 4)/ (9 × 4) = 16/36

(4 × 5)/ (9 × 5) = 20/45

4. 画出数轴并表示以下有理数

(i) 3/4

答案

(ii) −5/8

答案

(iii) −7/4

答案

(iv) 7/8

答案

5. 数轴上的点 P、Q、R、S、T、U、A 和 B 使得 TR = RS = SU 且 AP = PQ = QB。写出 P、Q、R 和 S 表示的有理数。

答案： P = 7/3, Q = 8/3, R = -4/3, S = -5/3

说明

数轴上的给定数字分为三部分。

P = 2 + 1/3

P = 7/3

Q = 2 + 2/3

Q = 8/3

R = -2 + 2/3

R = -4/3

S = -2 + 1/3

S = -5/3

6. 以下哪组数表示相同的有理数？

(i) −7/21 和 3/9

答案： 否。

给定的这组数不表示相同的有理数。

解释： 3/9 可以表示为

(1 × 3)/ (3 × 3)

= 1/3

−7/21 可以表示为

(−1 × 7)/ (3 × 7)

= −1/3

1/3 不等于 −1/3

因此，这两个有理数不表示相同的数。

(ii) − 16/20 和 20/− 25

答案： 是

给定的这组数表示相同的有理数。

解释： − 16/20 可以表示为

(−4 × 4)/ (5 × 4)

= −4/5

20/− 25 可以表示为

(4 × 5)/ (−5 × 5)

= 4/−5

= −4/5

因此，两个有理数相等。

注意：有理数上的负号可以出现在分子或分母上。两种情况结果相同。

(iii) −2/− 3 和 2/3

答案： 是

给定的这组数表示相同的有理数。

解释： −2/− 3 可以表示为

2/3

分子和分母都带有负号时，结果是一个正有理数。

因此，两个有理数相等。

(iv) −3/5 和 - 12/20

答案： 是

给定的这组数表示相同的有理数。

解释： − 3/5 可以表示为

(−3 × 1)/ (5 × 1)

= − 3/5

- 12/20 可以表示为

(−3 × 4)/ (5 × 4)

= − 3/5

因此，两个有理数相等。

(v) 8/− 5 和 - 24/15

答案： 是

给定的这组数表示相同的有理数。

解释： 8/−5 可以表示为

(8 × 1)/ (−5 × 1)

= 8/−5

- 24/15 可以表示为

(8 × 3)/ (−5 × 3)

= 8/−5

因此，两个有理数相等。

(vi) 1/3 和 -1/9

答案： 否。

给定的这组数不表示相同的有理数。

解释： -1/9 可以表示为

(−1 × 1)/ (3 × 3)

= -1/9

两个有理数不相等。因此，它们不表示相同的对。

(vii) −5/−9 和 5/−9

答案： 否。

给定的这组数不表示相同的有理数。

解释： −5/−9 可以表示为

(5 × −1)/ (9 × −1)

= 5/9

5/9 不等于 5/−9

因此，它们不表示相同的对。

7. 将以下有理数改写为最简形式

(i) −8/6

答案： −4/3

解释： −8/6 可以表示为

(−4 × 2)/ (3 × 2)

= −4/3

(ii) 25/45

答案 5/9

解释： 25/45 可以表示为

= (5 × 5)/ (5 × 9)

= 5/9

(iii) - 44/72

答案： −11/18

解释： −44/72 可以表示为

(−11 × 4)/ (18 × 4)

= −11/18

(iv) −8/10

答案： −4/5

解释： −8/10 可以表示为

(−4 × 2)/ (5 × 2)

= −4/5

8. 在方框中填入正确的符号 >、< 或 =。

(i) −5/7 __ 2/3

答案 <

解释： 负有理数总是小于正有理数。

故，

−5/7 < 2/3

(ii) −4/5 __ −5/7

答案 <

解释： 比较两个负有理数时，可以忽略它们的负号，然后反转顺序。

我们先比较 4/5 和 5/7，通过将数字乘以 7 和 5 使它们的分母相等。

(4 × 7)/ (5 × 7) __ (5 × 5)/ (7 × 5)

28/35 __ 25/35

28/35 > 25/35

现在，用负号反转顺序，我们得到

−28/35 < −25/35

−4/5 < −5/7

(iii) −7/8 __ 14/−16

答案 =

解释： 14/−16 也可以表示为 −14/16

比较两个负有理数时，可以忽略它们的负号，然后反转顺序。

第一个有理数已经是它的最简形式。让我们将第二个有理数转换为最简形式。

−14/16

= (−7 × 2)/ (8 × 2)

= −7/8

两个有理数相等。

故，

−7/8 = 14/−16

(iv) −8/5 __ −7/4

答案 >

解释： 比较两个负有理数时，可以忽略它们的负号，然后反转顺序。

我们先比较 8/5 和 7/4，通过将数字乘以 4 和 5 使它们的分母相等。

(8 × 4)/ (5 × 4) __ (7 × 5)/ (4 × 5)

32/20 __ 35/20

32/20 < 35/20

现在，用负号反转顺序，我们得到

−32/20 > −35/20

−8/5 > −7/4

(v) 1/−3 __ −1/4

答案 <

解释： 1/−3 也可以表示为 −1/3。

比较两个负有理数时，可以忽略它们的负号，然后反转顺序。

我们先比较 1/3 和 1/4，通过将数字乘以 4 和 3 使它们的分母相等。

(1 × 4)/ (3 × 4) __ (1 × 3)/ (4 × 3)

4/12 __ 3/12

4/12 > 3/12

现在，用负号反转顺序，我们得到

−4/12 < −3/12

1/−3 < −1/4

(vi) 5/−11 __ −5/11

答案 =

解释： 5/−11 也可以表示为 −5/11。

因此，两个有理数相等。

5/−11 = −5/11

(vii) 0 __ −7/6

答案 >

解释： 负数总是小于 0。

故，

0 > −7/6

9. 以下每组中哪个更大？

(i) 2/3, 5/2

答案 5/2

解释： 具有不同分母的两个有理数可以通过使它们相等来比较。让我们将给定的有理数分别乘以 2 和 3。

(2 × 2)/ (3 × 2), (5 × 3), (2 × 3)

4/6, 15/6

4/6 < 15/6

因此，

15/6 或 5/2 更大。

(ii) −5/6, −4/3

答案： −5/6

解释： 具有不同分母的两个有理数可以通过使它们相等来比较。让我们将第二个有理数乘以 2。

−5/6, (−4 × 2) /(3 × 2)

−5/6, −8/6

在负有理数中，比较方法与正有理数相反。

5/6 < 8/6

−5/6 > −8/6

因此，

−5/6 更大

(iii) - 3/4, 2/− 3

答案： 2/− 3

解释： 具有不同分母的两个有理数可以通过使它们相等来比较。让我们将给定的有理数分别乘以 3 和 4。

2/− 3 也可以表示为 - 2/3

- (3 × 3)/ (4 × 3), − (2 × 4)/ (3 × 4)

- 9/12, -8/12

9/12 > 8/12

- 9/12 < -8/12

因此，

-8/12 或 2/− 3 更大

(iv) −1/4, 1/4

答案 1/4

解释： 正有理数总是大于负有理数。

因此，

1/4 更大

(v) − 3 2/7, − 3 4/5

答案： − 3 2/7

解释： 要比较混合有理数，让我们将它们转换为假分数。

− 3 2/7 = −23/7

− 3 4/5 = − 19/5

具有不同分母的两个有理数可以通过使它们相等来比较。让我们将给定的有理数分别乘以 5 和 7。

−23/7, −19/5

− (23 × 5)/ (7 × 5), − (19 × 7)/ (5 × 7)

−115/35, −133/35

−115/35 > −133/35

因此，

−115/35 或 − 3 2/7 更大

10. 将以下有理数按升序排列

(i) −3/5, −2/5, −1/5

答案： −3/5 < −2/5 < −1/5

解释： 给定有理数的分母已经相同。负数情况下的比较方式与正数相反。

所以，

−3/5 < −2/5 < −1/5

这意味着 −3/5 最小，−1/5 最大。

(ii) −1/3, −2/9, −4/3

答案： −4/3 < −1/3 < −2/9

解释： 让我们将第一个和第三个有理数的分母转换为 9，以便于比较。

−1/3 = (−1 × 3)/ (3 × 3) = −3/9

−4/3 = (−4 × 3)/ (3 × 3) = −12/9

这些数字现在可以表示为

−3/9, −2/9, −12/9

−12/9 < −3/9 < −2/9

或

−4/3 < −1/3 < −2/9

这意味着 −4/3 最小，−2/9 最大。

(iii) −3/7, −3/2, −3/4

答案： −3/2 < −3/4 < −3/7

解释： 让我们将给定有理数的分母转换为 28，以便于比较。

−3/7 = − (3 × 4)/ (7 × 4) = −12/28

−3/2 = − (3 × 14)/ (2 × 14) = −42/28

−3/4 = − (3 × 7)/ (4 × 7) = −21/28

这些数字现在可以表示为

−12/28, −42/28, −21/28

−42/28 < −21/28 < −12/28

或

−3/2 < −3/4 < −3/7

这意味着 −3/2 最小，−3/7 最大。

练习 9.2

1. 求和

(i) 5/4 + (−11/4)

答案 -3/2

解释： 5/4 + (−11/4)

= (5 + (−11))/4

= (5 - 11)/4

= -6/4

= -3/2

(ii) 5/3 + 3/5

答案 34/15

说明 5/3 + 3/5

要加两个有理数，分母应该相同。

让我们将给定的有理数分别乘以 5 和 3。

(5 × 5)/ (3 × 5) + (3 × 3)/ (5 × 3)

= 25/15 + 9/15

= (25 + 9)/15

= 34/15

(iii) - 9/10 + 22/15

答案 17/30

解释： 要加两个有理数，分母应该相同。

让我们将给定的有理数分别乘以 3 和 2。

- 9/10 + 22/15

= - (9 × 3)/ (10 × 3) + (22 × 2)/ (15 × 2)

= - 27/30 + 44/30

= (-27 + 44)/30

= (44 - 27)/30

= 17/30

(iv) - 3/-11 + 5/9

答案 82/99

解释： - 3/-11 也可以表示为 3/11。这是因为分子和分母都带有负号。

要加两个有理数，分母应该相同。

让我们将给定的有理数分别乘以 9 和 11。

3/11 + 5/9

= (3 × 9)/ (11 × 9) + (5 × 11)/ (9 × 11)

= 27/99 + 55/99

= (27 + 55)/99

= 82/99

(v) - 8/19 + (- 2)/57

答案 -26/57

解释： 要加两个有理数，分母应该相同。

19 × 3 = 57

让我们将第一个有理数乘以 3，使分母相等。

= - (8 × 3)/(19 × 3) + (- 2)/57

= -24/57 + (- 2)/57

= (-24 - 2)/ 57

= -26/57

(vi) −2/3 + 0

答案： −2/3

解释： 任何数加上 0 结果仍是该数。

故，

−2/3 + 0 = −2/3

(vii) −2 1/3 + 4 3/5

答案 34/15

解释： 要比较混合有理数，让我们将它们转换为假分数。

−2 1/3 = −7/3

4 3/5 = 23/5

要加两个有理数，分母应该相同。

让我们将给定的有理数分别乘以 5 和 3。

= −7/3 + 23/5

= − (7 × 5)/ (3 × 5) + (23 × 3)/ (5 × 3)

= − 35/15 + 69/15

= (−35 + 69)/15

= (69 - 35)/15

= 34/15

2. 求

(i) 7/24 - 17/36

答案 -13/72

解释： 要减去两个有理数，分母应该相同。

让我们将给定的有理数分别乘以 3 和 2。

7/24 - 17/36

= (7 × 3)/ (24 × 3) - (17 × 2)/ (36 × 2)

= 21/72 - 34/72

= (21 - 34)/72

= -13/72

(ii) 5/63 - (−6)/21

答案 23/63

解释： 要减去两个有理数，分母应该相同。

21 × 3 = 63

让我们将第二个有理数乘以 3。

= 5/63 - (−6)/21

= 5/63 - (−6 × 3)/ (21 × 3)

= 5/63 - (−18)/63

= (5 - (−18)/63

= (5 + 18)/ 63

= 23/63

(iii) −6/13 - (−7/15)

答案 1/195

解释： 要减去两个有理数，分母应该相同。

让我们将给定的有理数分别乘以 15 和 13。

= −6/13 - (−7/15)

= (−6 × 15)/ (13 × 15) - (−7 × 13)/ (15 × 13)

= −90/195 - (−91)/195

= (−90 - (−91))/195

= (−90 + 91)/195

= 1/195

(iv) −3/8 - 7/11

答案： −89/88

解释： 要减去两个有理数，分母应该相同。

让我们将给定的有理数分别乘以 11 和 8。

−3/8 - 7/11

= (−3 × 11)/ (8 × 11) - (7 × 8)/ (11 × 8)

= (−33)/88 - (56)/88

= (−33 - 56)/88

= −89/88

(v) −2 1/9 - 6

答案 - 73/9

解释： 让我们将混合有理数转换为假分数。

−2 1/9 = - 19/9

要减去两个有理数，分母应该相同。

让我们将第二个有理数乘以 9。

- 19/9 - (6 × 9)/ (1 × 9)

= - 19/9 - 54/9

= (- 19 - 54)/9

= - 73/9

3. 求积

(i) 9/2 × (−7/4)

答案： −63/8

解释： 9/2 × (−7/4)

= (9 × −7)/ (2 × 4)

= −63/8

(ii) 3/10 × (−9)

答案： −27/10

解释： 3/10 × (−9)

= (3 × (−9))/10

= −27/10

(iii) - 6/5 × 9/11

答案 - 54/55

解释： - 6/5 × 9/11

= (- 6 × 9)/ (5 × 11)

= - 54/55

(iv) 3/7 × (-2/5)

答案 -6/35

解释： 3/7 × (-2/5)

= (3 × (-2))/ (7 × 5)

= -6/35

(v) 3/11 × 2/5

答案 6/55

解释： 3/11 × 2/5

= (3 × 2)/ (11 × 5)

= 6/55

(vi) 3/−5 × −5 /3

答案 1

解释： 3/−5 × −5 /3

= (3 × −5)/ (−5 × 3)

= (−15)/ (−15)

= 15/15

= 1

4. 求值

(i) (−4) ÷ 2/3

答案： −6

解释： (−4) ÷ 2/3

= (−4) × (2/3 的倒数)

= (−4) × 3/2

= ((−4) × 3)/2

= −6

(ii) - 3/5 ÷ 2

答案 - 3/10

解释： - 3/5 ÷ 2

= - 3/5 × (2 的倒数)

= - 3/5 × 1/2

= (- 3 × 1)/ (5 × 2)

= (- 3)/10

= - 3/10

(iii) −4/5 ÷ − (3)

答案 4/15

解释： −4/5 ÷ − (3)

= −4/5 × (− (3) 的倒数)

= −4/5 × −1/3

= (−4 × −1)/ (5 × 3)

= 4/15

(iv) - 1/8 ÷ 3/4

答案 -1/6

解释： - 1/8 ÷ 3/4

= - 1/8 × (3/4 的倒数)

= - 1/8 × 4/3

= (-1 × 4)/ (8 × 3)

= -1/6

(v) −2/13 ÷ 1/7

答案： −14/13

解释： −2/13 ÷ 1/7

= −2/13 × (1/7 的倒数)

= −2/13 × 7/1

= (−2 × 7)/ (13 × 1)

= −14/13

(vi) −7/12 ÷ (−2/13)

答案 91/24

解释： −7/12 ÷ (−2/13)

= −7/12 × ((−2/13) 的倒数)

= −7/12 × −13/2

= (−7 × −13)/ (12 × 2)

= 91/24

(vii) 3/13 ÷ (−4/65)

答案： −15/4

解释： 3/13 ÷ (−4/65)

= 3/13 × ((−4/65) 的倒数)

= 3/13 × −65/4

= (3 × −65)/ (13 × 4)

(13 × 5 = 65)

= (3 × −5)/ (1 × 4)

= −15/4