8 年级数学第 3 章：理解四边形 的 NCERT 解决方案

练习3.1

1. 这里给出了一些图形。

根据以下分类每个图形。

(a) 简单曲线

答案 1, 2, 5, 6, 7

解释： 简单曲线定义为在纸上不抬起铅笔连接多个点形成的曲线。简单曲线分为开曲线和闭曲线。开曲线没有被所有边围住，而闭曲线则完全封闭在一个区域内。

图形 1、2、5、6 和 7 被定义为简单曲线。

(b) 简单闭合曲线

答案 1, 2, 5, 6, 7

解释： 简单闭合曲线定义为在纸上不抬起铅笔连接多个点形成的曲线。闭合曲线没有端点。它完全封闭在一个区域内。

图形 1、2、5、6 和 7 被定义为简单闭合曲线。所有曲线都形成了封闭图形。

(c) 多边形

答案 1, 2

解释： 多边形是由三条或更多线段组成的闭合图形。

图形 1 是一个有五条线段的多边形，图形 2 是一个有四条线段的多边形。

(d) 凸多边形

答案 2

解释： 凸多边形的所有顶点都朝外，远离中心。这意味着其对角线的任何部分都不会在外部。

图形 2 是一种凸多边形，因为它的顶点都朝外，远离中心。

(e) 凹多边形

答案 1

解释： 凹多边形通常形状不规则。它与凸多边形相反。凹多边形的一些顶点朝内，即靠近中心。

图形 1 是一种凹多边形，因为它的顶点朝内，即靠近中心。

2. 什么是正多边形？说出具有以下边数的正多边形的名称：

答案： 正多边形是由三条或更多线段组成的闭合图形。正多边形的所有边和内角都相等。

(i) 3 条边

答案： 等边三角形

解释： 等边三角形是由三条线段组成的封闭图形。等边三角形的所有边和内角都相等。因此，我们可以将等边三角形定义为正多边形。

(ii) 4 条边

答案： 正方形

解释： 正方形是由四条线段组成的封闭图形。正方形的所有边和内角都相等。因此，我们可以将正方形定义为正多边形。

(iii) 6 条边

答案： 正六边形

解释： 正六边形是由六条线段组成的封闭图形。正六边形的所有边和内角都相等。因此，我们可以将正六边形定义为正多边形。

练习3.2

1. 求下列图形中 x 的值。

(a)

答案： 110°

解释： 125°、125° 和 x° 是给定图形的外角。任何多边形外角的度数之和为 360°。

125° + 125° + x° = 360°

250° + x° = 360°

x° = 360° - 250°

x° = 110°

因此，角 x 的值为 110°。

(b)

答案： 50°

解释： 直角等于 90°。

60°、70°、90°、90° 和 x° 是给定图形的外角。任何多边形外角的度数之和为 360°。

60° + 70° + 90° + 90° + x° = 360°

310° + x° = 360°

x° = 360° - 310°

x° = 50°

因此，角 x 的值为 50°。

2. 求具有以下边数的正多边形的每个外角的度数。

(i) 9 条边

答案： 40°

解释： 正多边形是由三条或更多线段组成的闭合图形。正多边形的所有边和内角都相等。

一个有 9 条边的正多边形有九个角。任何多边形外角的度数之和为 360°。

设外角为 x。

9 × x = 360°

9x = 360°

x = 360°/9

x = 40°

因此，一个有 9 条边的多边形的每个外角度数等于 40°。

(ii) 15 条边

答案： 24°

解释： 正多边形是由三条或更多线段组成的闭合图形。正多边形的所有边和内角都相等。

一个有 15 条边的正多边形有十五个角。任何多边形外角的度数之和为 360°。

设外角为 x。

15 × x = 360°

15x = 360°

x = 360°/15

x = 24°

因此，一个有 15 条边的多边形的每个外角度数等于 24°。

3. 如果一个正多边形的每个外角为 24°，它有多少条边？

答案： 15 条边

解释： 任何多边形外角的度数之和为 360°。

多边形的边数 × 多边形的每个角 = 360°

每个角 = 24°

多边形的边数 × 24°= 360°

多边形的边数 = 360°/24°

多边形的边数 = 15

4. 如果一个正多边形的每个内角为 165°，它有多少条边？

答案 24

解释： 外角 = 180° - 内角

外角 = 180° - 165°

外角 = 15°

任何多边形外角的度数之和为 360°。

多边形的边数 × 多边形的每个角 = 360°

每个角 = 15°

多边形的边数 × 15°= 360°

多边形的边数 = 360°/15°

多边形的边数 = 24

(a) 是否可能存在每个外角为 22° 的正多边形？

答案： 否。不可能存在每个外角为 22° 的多边形。

解释： 任何多边形外角的度数之和为 360°。

多边形的边数 × 多边形的每个角 = 360°

每个角 = 22°

多边形的边数 × 22°= 360°

多边形的边数 = 360°/22°

360 不能被 22 整除。因此，不可能存在每个外角为 22° 的正多边形。

(b) 它能否是正多边形的内角？为什么？

答案： 否。360 也不能被 158° 的内角整除。因此，不可能。

解释： 内角 = 180° - 外角

内角 = 180° - 22°

内角 = 158°

360 不能被 158° 整除。因此，不可能存在每个内角为 158° 的正多边形。

(a) 正多边形可能的最小内角是多少？为什么？

答案： 60°

解释： 多边形由三条或更多线段组成。这意味着多边形的最小边数是三。一个三边正多边形被称为等边三角形。

等边三角形的每个角都等于 60 度。

因此，正多边形可能的最小内角是 60°。

(b) 正多边形可能的最大外角是多少？

答案： 120°

解释： 对于最大的外角，内角应该最小。

这是因为，

外角 = 180° - 内角

正多边形可能的最小内角是 60°。

外角 = 180° - 60°

外角 = 120°

因此，正多边形可能的最大外角是 120°。

练习3.3

1. 给定一个平行四边形 ABCD。完成每个陈述，并说明所使用的定义或性质。

(i) AD =......

答案： AD = BC

平行四边形的对边相等。

解释： 平行四边形的性质如下：

• 对边相等
• 对角线互相平分
• 对角相等
• 邻角互补

(ii) ∠ DCB =......

答案： ∠ DCB = ∠DAB

解释： 平行四边形的对角相等。

平行四边形的性质如下：

• 对边相等
• 对角线互相平分
• 对角相等
• 邻角互补

(iii) OC =......

答案： OC = OA

平行四边形的对角线互相平分。

解释： 平行四边形的性质如下：

• 对边相等
• 对角线互相平分
• 对角相等
• 邻角互补

(iv) m ∠ DAB + m ∠ CDA = ......

答案： m ∠DAB + m ∠CDA = 180°

解释： 相对内角之和等于 180°。

2. 考虑以下平行四边形。求未知数 x、y、z 的值。

(i)

答案： x = 80°

y = 100°

z = 80°

解释： ABCD 是一个平行四边形。

∠B 和 ∠C 是相对内角。相对内角之和等于 180°。

∠B + ∠C = 180°

100° + ∠C = 180°

∠C = 180° - 110°

∠C = 80°

x = 80°

∠B 和 ∠D 是对角。平行四边形的对角相等。

因此，

∠B = ∠D = 100°

y = 100°

∠C 和 ∠A 是对角。平行四边形的对角相等。

因此，

∠C = ∠A = 80°

Z = 80°

(ii)

答案： x = 130°

y = 130°

z = 130°

解释： y 和 50° 是相对内角。相对内角之和等于 180°。

y + 50° = 180°

y = 180° - 50°

y = 130°

y 和 x 是对角。平行四边形的对角相等。

因此，

y = x = 130°

z 和 50° 形成一个线性对。

z + 50° = 180°

z = 180° - 50°

z = 130°

(iii)

答案： x = 90°

y = 60°

z = 60°

解释： x 和直角 (90°) 是对顶角。平行四边形中的对顶角相等。

x = 90°

三角形内角之和等于 180°。

x + y + 30° = 180°

90° + y + 30° = 180°

y + 120° = 180°

y = 180° - 120°

y = 60°

z 和 y 是对角线上的对角。平行四边形中对角线上的对角相等。

因此，

z = y = 60°

y = 60°

(iv)

答案： x = 100°

y = 80°

z = 80°

解释： x 和 80° 是相对内角。相对内角之和等于 180°。

x + 80° = 180°

x = 180° - 80°

x = 100°

y 和 80° 是对角。平行四边形的对角相等。

因此，

y = 80°

z 和 100° 形成一个线性对。

z + 100° = 180°

z = 180° - 100°

z = 80°

(v)

答案： x = 28°

y = 112°

z = 28°

解释： y 和 112° 是对角。平行四边形的对角相等。

因此，

y = 112°

三角形内角之和等于 180°。

40° + y + x = 180°

40° + 112° + x = 180°

152° + x = 180°

x = 180° - 152°

x = 28°

z 和 x 是对角线上的对角。平行四边形中对角线上的对角相等。

因此，

z = x = 28°

3. 四边形 ABCD 能否是平行四边形，如果

(i) ∠ D + ∠ B = 180°？

答案： 可能；但不一定

解释： 下面是一个平行四边形

它具有以下性质

• 对边相等
• 对角线互相平分
• 对角相等
• 邻角互补

∠D 和 ∠B 是对角。平行四边形的对角相等。因此，如果每个角都是 90°，那么 ∠D + ∠B = 180° 可以成立。但是，这个条件对于平行四边形来说不一定是真的。值可能会有所不同。

(ii) AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm 且 BC = 4.4 cm？

答案： 否，AD 不等于 BC。

解释： 下面是一个平行四边形

它具有以下性质

• 对边相等
• 对角线互相平分
• 对角相等
• 邻角互补

AB 和 DC 是对边。平行四边形的对边相等。AD 和 BC 也是对边，它们应该相等。但是，陈述中给出的 AD 和 BC 不相等。

因此，上述陈述表明给定四边形不能是平行四边形。

(iii) ∠ A = 70° 且 ∠ C = 65°？

答案： 否，∠A 不等于 ∠C

解释： 下面是一个平行四边形

它具有以下性质

• 对边相等
• 对角线互相平分
• 对角相等
• 邻角互补

∠A 和 ∠C 是对角。平行四边形的对角相等。但是，陈述中给出的角度不符合条件。

因此，上述陈述表明给定四边形不能是平行四边形。

4. 画一个不是平行四边形但恰好有两个对角相等的四边形的草图。

答案： 图形如下

PQRS 是一个四边形，但不是平行四边形。Q 和 S 是两个相等的对角。

5. 平行四边形的两个邻角的度数比为 3:2。求平行四边形每个角的度数。

答案： 108°，72°

解释： 平行四边形邻角之和等于 180°。

设角为 x。

3x + 2x = 180°

5x = 180°

x = 180/5

x = 36°

平行四边形的两个邻角为

3x = 3 × 36 = 108°

2x = 2 × 36 = 72°

6. 平行四边形的两个邻角相等。求平行四边形每个角的度数。

答案： 如果每个都是直角

解释： 平行四边形邻角之和等于 180°。

设角为 x。

x + x = 180°

2x = 180°

x = 180/2

x = 90°

如果每个角都是 90°，即一个直角，那么和 = 180° 可以成立。

7. 邻图 HOPE 是一个平行四边形。求角 x、y 和 z 的度数。说明你用于求解它们的性质。

答案： x = 110°

y = 40°

z = 30°

解释： 70° 和 ∠HOP 是线性对。

∠HOP + 70° = 180°

∠HOP = 180° - 70°

∠HOP = 110°

x 和 ∠HOP 是对角。平行四边形的对角相等。

x = ∠HOP = 110°

x = 110°

在三角形 EHP 中，角之和为 180°。

∠EHP + ∠HEP + ∠EPH = 180°

40° + x + ∠EPH = 180°

40° + 110° + ∠EPH = 180°

150° + ∠EPH = 180°

∠EPH = 180° - 150°

∠EPH = 30°

∠EHO 和 ∠EPO 是对角。平行四边形的对角相等。

∠EHO = ∠EPO

z + 40° = y + ∠EPH

z + 40° = y + 30°

或者，

y = 40°

z = 30°

平行四边形的对角线是角平分线。

8. 下列图形 GUNS 和 RUNS 是平行四边形。求 x 和 y。(长度单位为厘米)

(i)

答案： x = 6 厘米

y = 9 厘米

解释： 平行四边形的对角相等。

GU = SN

3y - 1 = 36

3y = 26 + 1

3y = 27

y = 27/3

y = 9 厘米

SG = NU

3x = 18

x = 18/3

x = 6 厘米

(ii)

答案： x = 3

y = 13

解释： 平行四边形的对角线互相平分。

设平行四边形的中心点为 O。

y + 7 = 20 … (1)

x + y = 16 … (2)

x 和 y 的值可以从上述两个方程中计算出来。

y + 7 = 20

y = 20 - 7

y = 13

x + y = 16

代入 y 的值，我们得到

x + 13 = 16

x = 16 - 13

x = 3

9. 在上图中，RISK 和 CLUE 都是平行四边形。求 x 的值。

答案： x = 50°

解释： 设中心点为 O。

∠K 和 ∠SIR 是对角。平行四边形的对角相等。

∠K = ∠SIR

∠K = ∠SIR = 120°

∠SIR 和 ∠SIL 形成线性对。

∠SIR + ∠SIL = 180°

120° + ∠SIL = 180°

∠SIL = 180° - 120°

∠SIL = 60°

∠L 和 ∠ECL 之和等于 180°。

∠L + ∠ECL = 180°

70° + ∠ECL = 180°

∠ECL = 180° - 70°

∠ECL = 110°

∠ECR 和 ∠ECL 形成线性对。

∠ECR + ∠ECL = 180°

∠ECR + 110°= 180°

∠ECR = 180° - 110°

∠ECR = 70°

在三角形 IOC 中，角之和等于 180°。

∠ECR + ∠SIL + ∠IOC = 180°

70° + 60° + ∠IOC = 180°

130° + ∠IOC = 180°

∠IOC = 180° - 130°

∠IOC = 50°

x 和 ∠IOC 是对顶角。对顶角相等。

x = ∠IOC = 50°

x = 50°

10. 解释为什么这个图形是梯形。它的哪两条边平行？(图 3.26)

答案： NM 平行于 KL。因为平行四边形对角之和等于 180°。

解释： ∠M 和 ∠L 是梯形的对角。如果对角之和等于 180°，那么给定的两条边是平行的。

∠M + ∠L = 180°

100° + 80° = 180°

180° = 180°

左侧 = 右侧

因此，NM 和 KL 两条边平行。这表明给定图形是梯形。

11. 如果 AB|| DC，求图 3.27 中 m ∠ C 的值。

答案： ∠C = 60°

解释： 给定图形是梯形。DC 和 AB 两条边平行。梯形对角之和等于 180°。

因此，

∠B + ∠C = 180°

120° + ∠C = 180°

∠C = 180° - 120°

∠C = 60°

角 C 的度数为 60°。

12. 如果图 3.28 中 SP|| RQ，求 ∠P 和 ∠S 的度数。(如果你找到 m∠R，是否有不止一种方法来找到 m∠P？)

答案： ∠Q = 50°

∠S = 90°

说明

∠R 是一个直角。直角的度数等于 90°。

SP 平行于 RQ。如果两条边平行，则对角之和等于 180°。

这意味着：

∠P + ∠Q = 180°

130 + ∠Q = 180°

∠Q = 180° - 130°

∠Q = 50°

∠S + ∠R = 180°

∠S + 90° = 180°

∠S = 180° - 90°

∠S = 90°

练习3.4

1. 判断正误。

(a) 所有矩形都是正方形

答案：假

解释： 正方形的所有边都相等。对于矩形，对边相等。正方形可以被称为边相等的矩形。但是，矩形不能总是被称为正方形。

因此，所有矩形都不是正方形。

(b) 所有菱形都是平行四边形

答案：真

解释： 菱形、矩形和正方形都是平行四边形的类型。

(c) 所有正方形都是菱形，也是矩形

答案：真

解释： 正方形的所有边都相等。对于矩形，对边相等。正方形可以被称为边相等的矩形。

菱形的所有边都相等。菱形可以被称为边相等或对边相等的矩形。

因此，所有正方形都是菱形，也是矩形。

(d) 所有正方形都不是平行四边形。

答案：假

解释： 菱形、矩形和正方形都是平行四边形的类型。

(e) 所有风筝都是菱形。

答案：假

解释： 菱形的所有边都相等。菱形可以是风筝，但风筝不一定总是菱形。这是因为风筝的所有边不相等。菱形是风筝的一种特殊情况。

因此，所有风筝都不是菱形。

(f) 所有菱形都是风筝。

答案：真

解释： 菱形的所有边都相等。菱形可以是风筝，但风筝不一定总是菱形。

菱形可以是边相等的风筝。因此，所有菱形都是风筝。

(g) 所有平行四边形都是梯形。

答案：真

解释： 梯形只有一对对边相等。对于平行四边形，两对对边都相等。

平行四边形可以是梯形，但梯形不能是平行四边形。

因此，所有平行四边形都可以是梯形。

(h) 所有正方形都是梯形。

答案：真

解释： 正方形的所有边都相等，而梯形只有一对对边相等。正方形可以是梯形，但梯形不能是正方形。

因此，所有正方形都可以是梯形。

2. 识别所有具有以下特征的四边形。

(a) 四条边长度相等

答案： 正方形或菱形

解释： 正方形是四条边长度都相等的四边形。菱形也是四条边长度都相等的四边形。

(b) 四个直角

答案： 正方形或矩形

解释： 正方形是四条边长度都相等且每条边都与其他边成直角的四边形。矩形也是四条边长度都相等且每条边都与其他边成直角的四边形。

3. 解释正方形是如何。

(i) 一个四边形

答案： 四边形是四边封闭图形。正方形是四条边长度都相等的四边形。

因此，正方形被称为四边形。

(ii) 一个平行四边形

答案： 平行四边形的对边相等。正方形也是一个具有相对平行边的平行四边形。

(iii) 一个菱形

答案： 菱形的所有边都相等。同样，正方形的所有边也相等。因此，正方形是一个菱形。

(iv) 一个矩形

答案： 矩形的对边相等。同样，正方形的对边也相等。

4. 说出对角线具有以下特征的四边形。

(i) 互相平分

答案： 平行四边形；正方形、菱形、矩形

解释： 平行四边形、正方形、菱形和矩形的对角线互相平分。

(ii) 互相垂直平分

答案： 菱形、正方形

解释： 菱形和正方形的对角线互相垂直平分。

(iii) 相等

答案： 正方形、矩形

解释： 正方形和矩形的对角线相等。

5. 解释为什么矩形是凸四边形。

答案： 它的两条对角线都位于其内部。

解释： 凸四边形的所有顶点都朝外，远离中心。这意味着其对角线的任何部分都不会在外部。

矩形的对角线也位于其内部。因此，我们可以将矩形定义为凸四边形。

6. ABC 是一个直角三角形，O 是直角对边中点。解释为什么 O 到 A、B 和 C 的距离相等。(虚线是额外绘制以帮助你的)。

答案

ABCD 是一个矩形。

其中，

AB 平行于 DC

AD 平行于 BC

对角线 AC 和 BD 相等并互相交叉

因此，在这种情况下，O 是对角线的中点。