12 年级数学第 6 章：导数应用 的 NCERT 解决方案2025年2月13日 | 阅读时间 90 分钟 练习 6.11. 求圆的面积关于其半径 r 的变化率，当
解决方案 半径为 r 的圆的面积 A = πr2 所以，面积 A 关于 r 的变化率为 = dA/dr = 2πr (a) 当 r = 3 厘米时 dA/dr = 2π(3) = 6π 因此，圆面积的变化率为 6π 平方厘米/厘米。 (b) 当 r = 4 厘米时 dA/dr = 2π(4) = 8π 因此，圆面积的变化率为 8π 平方厘米/厘米。 2. 一个立方体的体积以 8 立方厘米/秒 的速率增加。当边长为 12 厘米时，其表面积增加的速度有多快？ 解决方案 设立方体的边长（单位：厘米） = x。 那么，立方体的体积将是 V = x3。 所以，体积 V 关于时间 t 的变化率为 = dV/dt = d/dt (x3) = 3x2 dx/dt 已知体积 V 的变化率为 8 立方厘米/秒。因此， dV/dt = 8 8 = 3x2 dx/dt dx/dt = 8/3x2 立方体的表面积为 S = 6x2 所以，表面积 S 关于时间 t 的变化率为 = dS/dt = d/dt (6x2) = 12x dx/dt 因此， dS/dt = 12x (8/3x2) dS/dt = 4 (8/x) dS/dt = 32/x 当边长为 12 厘米时。 dS/dt = 32/12 dS/dt = 8/3 因此，表面积以 8/3 平方厘米/秒 的速率增加。 3. 一个圆的半径以 3 厘米/秒 的速率匀速增加。当半径为 10 厘米时，求圆的面积增加的速率。 解决方案 设给定圆的半径（单位：厘米） = r。 那么，圆的面积将是 A = πr2 所以，面积 A 关于时间 t 的变化率为 = dA/dt = d/dt (πr2) = 2πr dr/dt 已知圆半径的增加速率为 3 厘米/秒。因此， dr/dt = 3 所以， dA/dt = 2πr (3) dA/dt = 6πr 当圆的半径为 3 厘米时。 dA/dt = 6π(10) dA/dt = 60π 因此，圆的面积以 60π 平方厘米/秒 的速率增加。 4. 一个可变立方体的边长以 3 厘米/秒 的速率增加。当边长为 10 厘米时，立方体的体积增加的速度有多快？ 解决方案 设立方体的边长 = x 厘米。 那么，立方体的体积将是 V = x3 所以，体积 V 关于时间 t 的变化率为 = dV/dt = d/dt (x3) = 3x2 dx/dt 已知边长 x 的变化率为 3 立方厘米/秒。因此， dx/dt = 3 所以， dV/dt = 3x2 (3) dV/dt = 9x2 当立方体的边长为 10 厘米时。 dV/dt = 9 (10)2 dV/dt = 9 (100) dV/dt = 900 因此，立方体的体积以 900 立方厘米/秒 的速率增加。 5. 一块石头被扔进一个平静的湖中，波浪以 5 厘米/秒 的速度呈圆形扩散。当圆形波浪的半径为 8 厘米时，其包围的面积增加的速度有多快？ 解决方案 设圆的半径（单位：厘米） = r 那么，圆的面积将是 A = πr2 所以，面积 A 关于时间 t 的变化率为 = dA/dt = d/dt (πr2) = 2πr dr/dt 已知圆半径的变化率为 5 厘米/秒。因此， dr/dt = 5 所以， dA/dt = 2πr (5) dA/dt = 10πr 当圆的半径为 8 厘米时。 dA/dt = 10π (8) dA/dt = 80π 因此，包围的面积以 80π 平方厘米/秒 的速率增加。 6. 一个圆的半径以 0.7 厘米/秒 的速率增加。其周长增加的速率是多少？ 解决方案 设圆的半径（单位：厘米） = r 那么，圆的周长将是 C = 2πr 所以，周长 C 关于时间 t 的变化率为 = dC/dt = d/dt (2πr) = 2π dr/dt 已知圆半径的变化率为 0.7 厘米/秒。因此， dr/dt = 0.7 所以， dC/dt = 2πr (0.7) dC/dt = 1.4π 当圆的半径为 4.9 厘米时。 dA/dt = 1.4π dc/dt = 1.4 × 22/7 dC/dt = 4.4 厘米/秒 因此，圆的周长以 4.4 厘米/秒 的速率增加。 7. 一个矩形的长 x 以 5 厘米/分钟 的速率减少，宽 y 以 4 厘米/分钟 的速率增加。当 x = 8 厘米，y = 6 厘米时，求 (a) 周长和 (b) 矩形面积的变化率。 解决方案 矩形的长（单位：厘米） = x 矩形的宽（单位：厘米） = y 长 x 的变化率 = -5 厘米/分钟 所以，dx/dt = -5 宽 y 的变化率 = 4 厘米/分钟 所以，dy/dt = 4 (a) 给定矩形的周长为 = 2 (x + y) 所以，周长 P 关于时间 t 的变化率为 = dP/dt = d/dt (2 (x + y)) = 2 (dx/dt + dy/dt) = 2 (-5 + 4) = 2 (-1) = -2 厘米/分钟 当 x = 8 厘米，y = 6 厘米时， dP/dt = -2 因此，矩形的周长以 2 厘米/分钟 的速率减少。 (b) 给定矩形的面积为 = xy 所以，面积 A 关于时间 t 的变化率为 = dA/dt = d/dt (xy) = x dy/dt + y dx/dt = x (4) + y (-5) = 4x - 5y 当 x = 8 厘米，y = 6 厘米时， dA/dt = 4(8) - 5(6) dA/dt = 32 - 30 dA/dt = 2 因此，矩形的面积以 2 平方厘米/分钟 的速率增加。 8. 一个充气时始终保持球形的气球，正以每秒 900 立方厘米的速度被充入气体。当半径为 15 厘米时，求气球半径增加的速率。 解决方案 设气球的半径（单位：厘米） = r 那么，气球的体积将是 V = (4/3) πr3 所以，体积 V 关于时间 t 的变化率为 = dV/dt = (4/3) d/dt (πr3) = (4/3) 3πr2 dr/dt = 4πr2 dr/dt 已知气球以 900 立方厘米/秒 的速率充气。因此， dV/dt = 900 4πr2 dr/dt = 900 dr/dt = 225/πr2 当气球的半径为 15 厘米时， dr/dt = 225/π × (1/152) dr/dt = 225/π × (1/225) dr/dt = 1/π 因此，气球的半径以 1/π 厘米/秒 的速率增加。 9. 一个始终保持球形的气球，其半径可变。当半径为 10 厘米时，求其体积随半径增加的速率。 解决方案 设气球的半径（单位：厘米） = r 那么，气球的体积将是 V = (4/3) πr3 所以，体积 V 关于 r 的变化率为 = dV/dr = (4π/3) d/dr (r3) = (4π/3) (3r2) = 4πr2 当气球的半径为 10 厘米时， dV/dt = 4π (102) dV/dt = 4π (100) dV/dt = 400π 因此，气球的体积以 400π 立方厘米/厘米 的速率增加。 10. 一架 5 米长的梯子斜靠在墙上。梯子的底部沿着地面以 2 厘米/秒 的速度被拉离墙壁。当梯脚离墙 4 米远时，它在墙上的高度下降的速度有多快？ 解决方案  画一个直角三角形 ABC，其中 AB 是墙，AC 是梯子。 设 BC 的长度 = x 米，AB 的长度 = y 米。 已知梯脚与墙之间的距离变化率为 2 厘米/秒。因此， 梯脚离墙的距离变化率为 2 厘米/秒。因此， dx/dt = 2 在 ∆ ABC 中使用勾股定理， AC2 = AB2 + BC2 52 = y2 + x2 25 = y2 + x2 当梯脚离墙 4 米远时， 25 = y2 + 42 25 = y2 + 16 9 = y2 y = 3 将 25 = x2 + y2 的两边对 t 求导 d/dt (25) = d/dt (x2) + d/dt (y2) 0 = 2x dx/dt + 2y dy/dt 0 = 2(4)(2) + 2(3) dy/dt 0 = 16 + 6 dy/dt 6 dy/dt = -16 dy/dt = -8/3 因此，梯子在墙上的高度以 8/3 厘米/秒 的速率下降。 11. 一个质点沿着曲线 6y = x3 + 2 移动。求曲线上 y 坐标变化速度是 x 坐标变化速度 8 倍的点。 解决方案 已知一个质点沿着曲线 6y = x3 + 2 移动。 两边对 t 求导 6 dy/dt = d/dt (x3) + d/dt (2) 6 dy/dt = 3x2 dx/dt + 0 2 dy/dt = x2 dx/dt 还已知 y 坐标的变化率是 x 坐标的 8 倍。因此， dy/dt = 8 dx/dt 所以， 2 dy/dt = x2 dx/dt 2 (8 dx/dt) = x2 dx/dt 16 dx/dt = x2 dx/dt 16 = x2 x = ±4 当 x = 4 时 6y = 43 + 2 6y = 64 + 2 6y = 66 y = 11 当 x = -4 时 6y = (-4)3 + 2 6y = -64 + 2 6y = -62 y = -31/3 因此，所求点为 (4, 11) 和 (-4, -31/3)。 12. 一个气泡的半径以 1/2 厘米/秒 的速率增加。当半径为 1 厘米时，气泡的体积增加的速率是多少？ 解决方案 设气泡的半径（单位：厘米） = r 那么气泡的体积将是 V = (4/3)πr3 所以，体积 V 关于时间 t 的变化率为 = dV/dt = (4π/3) d/dt (r3) = (4π/3) 3r2 dr/dt = 4πr2 dr/dt 已知气泡的半径以 1/2 厘米/秒 的速率增加。因此， dr/dt = 1/2 所以， dV/dt = 4πr2 (1/2) dV/dt = 2πr2 当气泡的半径为 1 厘米时， dV/dt = 2π(1)2 dV/dt = 2π 因此，气泡的体积以 2π 立方厘米/秒 的速率增加。 13. 一个始终保持球形的气球，其直径可变为 3/2 (2x + 1)。求其体积相对于 x 的变化率。 解决方案 气球的直径 = 3(2x + 1)/2 气球的半径 = 3(2x + 1)/4 那么，气球的体积将是 V = (4/3)π(3(2x + 1)/4)3 所以，体积 V 相对于 x 的变化率为 = dV/dx = d/dx [(4/3)π(3(2x + 1)/4)3] = (4π/3) (3/4)3 d/dx (2x + 1)3 = (9π/16) 3 (2x + 1)2 d/dx (2x + 1) = (9π/16) 3 (2x + 1)2 (2) = (9π/16) 6 (4x2 + 4x + 1) = (9π/8) 3 (4x2 + 4x + 1) = (27π/8) (4x2 + 4x + 1) 因此，体积相对于 x 的变化率为 (27π/8) (4x2 + 4x + 1) 立方厘米/秒。 14. 沙子从一根管道以 12 立方厘米/秒 的速度流出。落下的沙子在地面上形成一个圆锥体，其高度始终是底面半径的六分之一。当沙锥的高度为 4 厘米时，其高度增加的速度有多快？ 解决方案 设圆锥的半径（单位：厘米）= r，圆锥的高度（单位：厘米）= h 那么，圆锥的体积将是 V = (1/3) πr2h 已知体积 V 的变化率为 12 立方厘米/秒。因此， dV/dt = 12 (π/3) d/dt (r2h) = 12 还已知高度始终是半径的六分之一。因此， h = r/6 r = 6h 所以， (π/3) d/dt (62h3) = 12 (π/3) 36 d/dt (h3) = 12 (π/3) 36 (3h2) dh/dt = 12 36πh2 dh/dt = 12 πh2 dh/dt = 1/3 dh/dt = 1/3πh2 当圆锥的高度为 4 厘米时， dh/dt = 1/3π42 dh/dt = 1/3π(16) dh/dt = 1/48π 因此，沙锥的高度以 1/48π 厘米/秒 的速率增加。 15. 生产 x 个单位某物品的总成本 C (x)（单位：卢比）由下式给出 C (x) = 0.007x3 - 0.003x2 + 15x + 4000 求生产 17 个单位时的边际成本。 解决方案 已知总成本为 C (x) = 0.007x3 - 0.003x2 + 15x + 4000。因此，边际成本将是 dC/dx = d/dx (0.007x3 - 0.003x2 + 15x + 4000) dC/dx = 0.007 (3x2) - 0.003 (2x) + 15 + 0 dC/dx = 0.021x2 - 0.006x + 15 当生产 17 个单位的物品时， dC/dx = 0.021 (17)2 - 0.006 (17) + 15 dC/dx = 0.021 (289) - 0.102 + 15 dC/dx = 6.069 + 14.898 dC/dx = 20.967 因此，当生产 17 个单位的给定物品时，边际成本为 20.967 卢比。 16. 销售 x 个单位某产品的总收入 R (x)（单位：卢比）由下式给出 R (x) = 13x2 + 26x + 15 求 x = 7 时的边际收入。 解决方案 已知总收入为 R (x) = 13x2 + 26x + 15。因此，边际收入将是 dR/dx = d/dx (13x2 + 26x + 15) dR/dx = 13 (2x) + 26 + 0 dR/dx = 26x + 26 dR/dx = 26 (x + 1) 当 x = 7 时， dR/dx = 26 (7 + 1) dR/dx = 26 (8) dR/dx = 208 因此，当 x = 7 时，边际收入为 208 卢比。 在练习 17 和 18 中选择正确答案。17. 当半径 r = 6 厘米时，圆的面积相对于其半径 r 的变化率是
解决方案 圆的面积是 A = πr2 圆的面积相对于其半径的变化率 = dA/dr = d/dr (πr2) = 2πr 当圆的半径为 6 厘米时， dA/dr = 2π(6) dA/dr = 12π 因此，(B) 是正确答案。 18. 销售 x 个单位某产品的总收入 R (x)（单位：卢比）由下式给出 R (x) = 3x2 + 36x + 5 当 x = 15 时的边际收入是
解决方案 已知总收入为 R (x) = 3x2 + 36x + 5。因此，边际收入将是 dR/dx = d/dx (3x2 + 36x + 5) dR/dx = 3 (2x) + 36 + 0 dR/dx = 6x + 36 dR/dx = 6 (x + 6) 当 x = 15 时， dR/dx = 6 (15 + 6) dR/dx = 6 (21) dR/dx = 126 因此，(D) 是正确答案。 练习 6.21. 证明由 f (x) = 3x + 17 给出的函数在 R 上是严格递增的。 解决方案 f (x) = 3x + 17 f' (x) = d/dx (3x + 17) f' (x) = 3 所以，对于所有 x ∈ R，f' (x) > 0。 因此，函数 f (x) 在 R 上是严格递增的。 2. 证明由 f (x) = e2x 给出的函数在 R 上是严格递增的。 解决方案 f (x) = e2x f' (x) = d/dx (e2x) f' (x) = e2x d/dx (2x) f' (x) = 2e2x 所以，对于所有 x ∈ R，f' (x) > 0。 因此，函数 f (x) 在 R 上是严格递增的。 3. 证明由 f (x) = sin x 给出的函数
解决方案 f (x) = sin x f' (x) = d/dx (sin x) f' (x) = cos x (a) 对于所有 x ∈ (0, π/2)，f' (x) > 0。因此，函数 f (x) 在 (0, π/2) 上严格递增。 (b) 对于所有 x ∈ (π/2, π)，f' (x) < 0。因此，函数 f (x) 在 (π/2, π) 上严格递减。 (c) 对于所有 x ∈ (0, π/2)，f' (x) > 0，而对于所有 x ∈ (π/2, π)，f' (x) < 0。因此，函数 f (x) 在 (0, π) 上既不递增也不递减。 4. 求函数 f (x) = 2x2 - 3x 在哪些区间上
解决方案 f (x) = 2x2 - 3x f' (x) = d/dx (2x2 - 3x) f' (x) = 4x - 3 如果 f' (x) = 0, 4x - 3 = 0 4x = 3 x = 3/4 两个区间将是 (3/4, ∞) 和 (-∞, 3/4)。 (a) 对于区间 (3/4, ∞)，我们可以选择 x = 1。那么， f' (x) = 4x - 3 > 0，对于所有 x ∈ (3/4, ∞)，因此函数在 (3/4, ∞) 上严格递增。 (b) 对于区间 (-∞, 3/4)，我们可以选择 x = 1/2。那么， f' (x) = 4x - 3 < 0，对于所有 x ∈ (-∞, 3/4)，因此函数在 (-∞, 3/4) 上严格递减。 5. 求函数 f (x) = 2x3 - 3x2 - 36x + 7 在哪些区间上
解决方案 f (x) = 2x3 - 3x2 - 36x + 7 f' (x) = d/dx (2x3 - 3x2 - 36x + 7) f' (x) = 2 (3x2) - 3 (2x) - 36 + 0 f' (x) = 6x2 - 6x - 36 f' (x) = 6 (x2 - x - 6) f' (x) = 6 (x2 - 3x + 2x - 6) f' (x) = 6 (x2 - 3x + 2x - 6) f' (x) = 6 (x (x - 3) + 2 (x - 3)) f' (x) = 6 (x - 3)(x + 2) 如果 f' (x) = 0, 6 (x - 3)(x + 2) = 0 (x - 3) (x + 2) = 0 (x - 3) = 0 ⇒ x = 3 或 (x + 2) = 0 ⇒ x = -2 三个区间将是 (-∞, -2), (-2, 3) 和 (3, ∞)。 对于区间 (-∞, -2)，我们可以选择 x = -3。那么， f' (x) = 6 (x - 3) (x + 2) = 6 (-6) (-1) = 36 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (-∞, -2)，因此函数在 (-∞, -2) 上严格递增。 对于区间 (-2, 3)，我们可以选择 x = -1。那么， f' (x) = 6 (x - 3) (x + 2) = 6 (-4) (1) = -24 f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-2, 3)，因此函数在 (-2, 3) 上严格递减。 对于区间 (3, ∞)，我们可以选择 x = 4。那么， f' (x) = 6 (x - 3) (x + 2) = 6 (1) (6) = 36 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (3, ∞)，因此函数在 (3, ∞) 上严格递增。 (a) 函数 f 在 (-∞, -2) 和 (3, ∞) 上递增。 (b) 函数 f 在 (-2, 3) 上递减。 6. 求下列函数严格递增或递减的区间
解决方案 (a) 设 f (x) = x2 + 2x - 5 f' (x) = d/dx (x2 + 2x - 5) f' (x) = 2x + 2 如果 f' (x) = 0, 2x + 2 = 0 2x = -2 x = -1 两个区间将是 (-∞, -1) 和 (-1, ∞)。 对于区间 (-∞, -1)，我们可以选择 x = -2。那么， f' (x) = 2x + 2 = -4 + 2 = -2 f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-∞, -1)，因此函数在 (-∞, -1) 上严格递减。 对于区间 (-1, ∞)，我们可以选择 x = 0。那么， f' (x) = 2x + 2 = 0 + 2 = 2 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (-1, ∞)，因此函数在 (-1, ∞) 上严格递增。 (b) 设 f (x) = -2x2 - 6x + 10 f' (x) = d/dx (-2x2 - 6x + 10) f' (x) = -2 (2x) - 6 + 0 f' (x) = -4x - 6 + 0 如果 f' (x) = 0, -4x - 6 = 0 -4x = 6 x = -3/2 两个区间将是 (-∞, -3/2) 和 (-3/2, ∞)。 对于区间 (-∞, -3/2)，我们可以选择 x = -2。那么， f' (x) = -4x - 6 = 8 - 6 = 2 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (-∞, -3/2)，因此函数在 (-∞, -3/2) 上严格递增。 对于区间 (-3/2, ∞)，我们可以选择 x = -1。那么， f' (x) = -4x - 6 = 4 - 6 = -2 f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-3/2, ∞)，因此函数在 (-3/2, ∞) 上严格递减。 (c) 设 f (x) = -2x3 - 9x2 - 12x + 1 f' (x) = d/dx (-2x3 - 9x2 - 12x + 1) f' (x) = -2 (3x2) - 9 (2x) - 12 + 0 f' (x) = -6x2 - 18x - 12 如果 f' (x) = 0, -6x2 - 18x - 12 = 0 -6 (x2 + 3x + 2) = 0 x2 + 3x + 2 = 0 x2 + x + 2x + 2 = 0 x (x + 1) + 2 (x + 1) = 0 (x + 1) (x + 2) = 0 (x + 1) = 0 ⇒ x = -1 (x + 2) = 0 ⇒ x = -2 三个区间将是 (-∞, -2), (-2, -1) 和 (-1, ∞)。 或 对于区间 (-∞, -2)，我们可以选择 x = -3。那么， f' (x) = -6(x + 1) (x + 2) = -6(-2) (-1) = -12 对于区间 (-∞, -2)，我们可以选择 x = -3。那么， f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-∞, -2)，因此函数在 (-∞, -2) 上严格递减。 对于区间 (-2, -1)，我们可以选择 x = -3/2。那么， f' (x) = -6(x + 1) (x + 2) = -6(-1/2) (1/2) = 3/2 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (-2, -1)，因此函数在 (-2, -1) 上严格递增。 对于区间 (-1, ∞)，我们可以选择 x = 0。那么， 对于区间 (-1, ∞)，我们可以选择 x = 0。那么， f' (x) = -6(x + 1) (x + 2) = -6(1) (2) = -12 f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-1, ∞)，因此函数在 (-1, ∞) 上严格递减。 (d) 设 f (x) = 6 - 9x - x2 f' (x) = d/dx (6 - 9x - x2) f' (x) = -9 - 2x f' (x) = -2x - 9 如果 f' (x) = 0, -2x - 9 = 0 -2x = 9 x = -9/2 两个区间将是 (-∞, -9/2) 和 (-9/2, ∞)。 对于区间 (-∞, -9/2)，我们可以选择 x = -5。那么， f' (x) = -2x - 9 = 10 - 9 = 1 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (-∞, -9/2)，因此函数在 (-∞, -9/2) 上严格递增。 对于区间 (-9/2, ∞)，我们可以选择 x = -4。那么， f' (x) = -2x - 9 = 8 - 9 = -1 f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-9/2, ∞)，因此函数在 (-9/2, ∞) 上严格递减。 (e) 设 f (x) = (x + 1)3 (x - 3)3 f' (x) = d/dx (x + 1)3 (x - 3)3 f' (x) = (x + 1)3 d/dx (x - 3)3 + (x - 3)3 d/dx (x + 1)3 f' (x) = (x + 1)3 3 (x - 3)2 + (x - 3)3 3 (x + 1)2 f' (x) = 3 (x + 1)2 (x - 3)2 [ (x + 1) + (x - 3) ] f' (x) = 3 (x + 1)2 (x - 3)2 (2x - 2) f' (x) = 6 (x + 1)2 (x - 3)2 (x - 1) 令 f' (x) = 0 如果 f' (x) = 0, 6 (x + 1)2 (x - 3)2 (x - 1) = 0 所以临界点为 x = -1, x = 3, x = 1 (x + 1)2 = 0 ⇒ x = -1 或 (x - 3)2 = 0 ⇒ x = 3 或 (x - 1) = 0 ⇒ x = 1 四个区间将是 (-∞, -1), (-1, 1), (1, 3) 和 (3, ∞)。 对于区间 (-∞, -1)，我们可以选择 x = -2。那么， 对于区间 (-∞, -1)，选择 x = -2。f' (x) = 6 (-1)2 (-5)2 (-3) = -450 < 0。函数在此区间严格递减。 f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-∞, -1)，因此函数在 (-∞, -1) 上严格递减。 对于区间 (-1, 1)，我们可以选择 x = 0。那么， f' (x) = 6 (x + 1)2 (x - 3)2 (x - 1) = 6 (12) (-3)2 (-1) = -54 f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-1, 1)，因此函数在 (-1, 1) 上严格递减。 对于区间 (1, 3)，我们可以选择 x = 2。那么， f' (x) = 6 (x + 1)2 (x - 3)2 (x - 1) = 6 (32) (-1)2 (1) = 54 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (1, 3)，因此函数在 (1, 3) 上严格递增。 对于区间 (3, ∞)，我们可以选择 x = 4。那么， 对于区间 (3, ∞)，选择 x = 4。f' (x) = 6 (52) (1)2 (3) = 450 > 0。函数在此区间严格递增。 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (3, ∞)，因此函数在 (3, ∞) 上严格递增。 7. 证明 y = log (1 + x) - 2x/(x + 2)，x > -1，在其整个定义域内是 x 的增函数。 解决方案 y = log (1 + x) - 2x/(x + 2) dy/dx = d/dx (log (1 + x) - 2x/(x + 2)) y' = 1/(1 + x) - [2((x + 2) * 1 - x * 1)]/(x + 2)2 y' = 1/(1 + x) - 2(x + 2 - x)/(x + 2)2 y' = 1/(1 + x) - 4/(x + 2)2 y' = [(x + 2)2 - 4 (1 + x)] / [(x + 1)(x + 2)2] y' = [x2 + 4x + 4 - 4 - 4x] / [(x + 1)(x + 2)2] y' = x2 / [(x + 1)(x + 2)2] 这里，x2 ≥ 0，(x + 2)2 > 0 因为它们是完全平方。 (1 + x) > 0 因为 x > -1。 因此， y' = x2 / [(x + 1)(x + 2)2] ≥ 0 因此，函数 y 在其整个定义域内是增函数。 8. 求 y = [x(x - 2)]2 是增函数的 x 值。 解决方案 y = [x(x - 2)]2 y' = d/dx [x(x - 2)]2 y' = 2(x(x - 2)) * d/dx (x2 - 2x) y' = 2x(x - 2) * (2x - 2) y' = 4x(x - 2)(x - 1) y' = 4x(x - 1)(x - 2) 为使函数递增，需 y' > 0 y' = 4x (x - 1) (x - 2) 令 y' = 0， 4x = 0 ⇒ x = 0 或 (x - 1) = 0 ⇒ x = 1 或 (x - 2) = 0 ⇒ x = 2 四个区间将是 (-∞, 0), (0, 1), (1, 2) 和 (2, ∞)。 对于区间 (-∞, 0)，我们可以选择 x = -1。那么， y' = 4x (x - 1) (x - 2) = -4 (-2) (-3) = -24 y' < 0，对于所有 x ∈ (-∞, 0)，因此函数在 (-∞, 0) 上严格递减。 对于区间 (0, 1)，我们可以选择 x = 1/2。那么， y' = 4x (x - 1) (x - 2) = 2 (-1/2) (-3/2) = 3/2 y' > 0，对于所有 x ∈ (0, 1)，因此函数在 (0, 1) 上严格递增。 对于区间 (1, 2)，我们可以选择 x = 3/2。那么， y' = 4x (x - 1) (x - 2) = 6 (1/2) (-1/2) = -3/2 y' < 0，对于所有 x ∈ (1, 2)，因此函数在 (1, 2) 上严格递减。 对于区间 (2, ∞)，我们可以选择 x = 3。那么， y' = 4x (x - 1) (x - 2) = 12 (2) (1) = 24 y' > 0，对于所有 x ∈ (2, ∞)，因此函数在 (2, ∞) 上严格递增。 因此，当 x ∈ (0, 1) ∪ (2, ∞) 时，函数 y 是递增的。 9. 证明 y = 4 sin θ/(2 + cos θ) - θ 在 [0, π/2] 上是 θ 的增函数。 解决方案 y = 4 sin θ/(2 + cos θ) - θ y' = d/dθ (4 sin θ/(2 + cos θ) - θ) y' = 4 * [ (cos θ)(2 + cos θ) - (sin θ)(-sin θ) ] / (2 + cos θ)2 - 1 y' = 4 [(2 + cos θ) d/dθ (sin θ) - (sin θ) d/dθ (2 + cos θ)]/(2 + cos θ)2 - 1 y' = 4 [(2 + cos θ) (cos θ) - (sin θ) (-sin θ)]/(2 + cos θ)2 - 1 y' = 4 [2 cos θ + cos2 θ + sin2 θ]/(2 + cos θ)2 - 1 y' = 4 [2 cos θ + 1]/(2 + cos θ)2 - 1 y' = [8 cos θ + 4 - (2 + cos θ)2]/(2 + cos θ)2 y' = [8 cos θ + 4 - (4 + cos2 θ + 4 cos θ)]/(2 + cos θ)2 y' = [8 cos θ + 4 - 4 - cos2 θ - 4 cos θ]/(2 + cos θ)2 y' = [4 cos θ - cos2 θ]/(2 + cos θ)2 y' = (cos θ) [4 - cos θ]/(2 + cos θ)2 这里，当 θ ∈ [0, π/2] 时，cos θ ≥ 0 当 θ ∈ [0, π/2] 时，0 ≤ cos θ ≤ 1，所以 (4 - cos θ) > 0 (2 + cos θ)2 > 0 因为它是一个完全平方。 因此，y' = (cos θ) [4 - cos θ]/(2 + cos θ)2 ≥ 0。 因此，y 是 θ 在 [0, π/2] 上的增函数。 10. 证明对数函数在 (0, ∞) 上是递增的。 解决方案 f (x) = log x f' (x) = d/dx (log x) f' (x) = 1/x 对于区间 (0, ∞)，我们可以选择 x = 1。那么， f' (x) = 1/x = 1 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (0, ∞)，因此函数在 (0, ∞) 上严格递增。 因此，对数函数在 (0, ∞) 上是递增的。 11. 证明函数 f(x) = x2 - x + 1 在 (-1, 1) 上既不是严格递增也不是严格递减。 解决方案 f (x) = x2 - x + 1 f' (x) = d/dx (x2 - x + 1) f' (x) = 2x - 1 如果 f' (x) = 0, 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2 两个区间将是 (-1, 1/2) 和 (1/2, 1)。 对于区间 (-1, 1/2)，我们可以选择 x = 0。那么， f' (x) = 2x - 1 = -1 f' (x) < 0，对于所有 x ∈ (-1, 1/2)，因此函数在 (-1, 1/2) 上严格递减。 对于区间 (1/2, 1)，我们可以选择 x = 3/4。那么， f' (x) = 2x - 1 = 3/2 - 1 = 1/2 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (1/2, 1)，因此函数在 (1/2, 1) 上严格递增。 因此，函数 f 在 (-1, 1) 上既不是严格递增也不是严格递减。 12. 下列哪个函数在 (0, π/2) 上是递减的？
解决方案 (A) f (x) = cos x f' (x) = d/dx (cos x) f' (x) = -sin x f' (x) = -sin x < 0，对于所有 x ∈ (0, π/2)。 因此，该函数在 (0, π/2) 上严格递减。 (B) f (x) = cos 2x f' (x) = d/dx (cos 2x) f' (x) = -2 sin 2x 现在，x ∈ (0, π/2)。因此，2x ∈ (0, π)。 当 2x ∈ (0, π) 时，sin 2x > 0 ⇒ 当 2x ∈ (0, π) 时，-2 sin 2x < 0 f' (x) = -2 sin 2x < 0，对于所有 x ∈ (0, π/2)。 因此，该函数在 (0, π/2) 上严格递减。 (C) f (x) = cos 3x f' (x) = d/dx (cos 3x) f' (x) = -3 sin 3x 现在，x ∈ (0, π/2)。因此，3x ∈ (0, 3π/2)。 当 3x ∈ (0, π) 时，sin 3x > 0 ⇒ 当 3x ∈ (0, π) 或 x ∈ (0, π/3) 时，-sin 3x < 0 f' (x) = -3 sin 3x < 0，对于所有 x ∈ (0, π/3)。 因此，该函数在 (0, π/3) 上严格递减。 当 3x ∈ (π, 3π/2) 时，sin 3x < 0 ⇒ 当 3x ∈ (π, 3π/2) 或 x ∈ (π/3, π/2) 时，-sin 3x > 0 f' (x) = -3 sin 3x > 0，对于所有 x ∈ (π/3, π/2)。 因此，该函数在 (0, π/2) 上既不递增也不递减。 (D) f (x) = tan x f' (x) = d/dx (tan x) f' (x) = sec2 x f' (x) = sec2 x > 0，对于所有 x ∈ (0, π/2)。 因此，该函数在 (0, π/2) 上严格递减。 因此，(A) cos x 和 (B) cos 2x 在 (0, π/2) 上是严格递减的。 13. 在下列哪个区间上，函数 f(x) = x100 + sin x - 1 是递减的？
解决方案 f (x) = x100 + sin x - 1 f' (x) = d/dx (x100 + sin x - 1) f' (x) = 100x99 + cos x (A) 对于所有 x ∈ (0, 1)，100x99 > 0 且 cos x > 0。 因此，该函数在 (0, 1) 上严格递增。 (B) 对于所有 x ∈ (π/2, π)，100x99 > 0 且 cos x < 0。 对于所有 x ∈ (π/2, π)，100x99 > |cos x|。 因此，该函数在 (π/2, π) 上严格递增。 (C) 对于所有 x ∈ (0, π/2)，100x99 > 0 且 cos x > 0。 因此，该函数在 (0, π/2) 上严格递增。 因此，函数 f 在任何给定区间内都不是严格递减的。 因此，(D) 是正确答案。 14. 对于什么样的 a 值，函数 f(x) = x2 + ax + 1 在 [1, 2] 上是递增的？ 解决方案 f (x) = x2 + ax + 1 f' (x) = d/dx (x2 + ax + 1) f' (x) = 2x + a 已知 f 在 [1, 2] 上是递增的。因此， f' (x) ≥ 0 2x + a ≥ 0 对于所有 x ∈ [1, 2]，2x + a ≥ 0 当 x = 1 时，2(1) + a ≥ 0，即 a ≥ -2。 因此，当 a ≥ -2 时，函数在 [1, 2] 上是递增的。 a ≥ -2 a 的最小值为 -2 a = -2 15. 设 I 是任何不与 [-1, 1] 相交的区间。证明函数 f (x) = x + 1/x 在 I 上是递增的。 解决方案 f (x) = x + 1/x f' (x) = d/dx (x + 1/x) f' (x) = 1 - 1/x2 f' (x) = (x2 - 1)/x2 f' (x) = (x + 1)(x - 1)/x2 如果 f' (x) = 0, 为使函数递增，需 f' (x) > 0 (x + 1)(x - 1) > 0 三个区间将是 (-∞, -2), (-2, -1) 和 (-1, ∞)。 或 (x - 1) = 0 ⇒ x = 1 这在区间 (-∞, -1) 和 (1, ∞) 上成立。 (-∞, -1) 和 (1, ∞) 与 (-1, 1) 不相交 对于区间 (-∞, -1)，我们可以选择 x = -2。那么， 在 (-∞, -1) 中取 x = -2，f' (x) = (-1)(-3)/4 = 3/4 > 0 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (-∞, -1)，因此函数在 (-∞, -1) 上严格递增。 对于区间 (1, ∞)，我们可以选择 x = 2。那么， f' (x) = (3)(1)/4 = 3/4 > 0 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (1, ∞)，因此函数在 (1, ∞) 上严格递增。 因此，函数 f 在 (-∞, -1) ∪ (1, ∞) 上严格递增。 因此，函数 f 在区间 I 上严格递增。 16. 证明函数 f(x) = log sin x 在 (0, π/2) 上递增，在 (π/2, π) 上递减。 解决方案 f (x) = log sin x f' (x) = d/dx (log sin x) f' (x) = (1/sin x) cos x f' (x) = cot x f' (x) = cot x > 0，对于所有 x ∈ (0, π/2)。因此，函数 f 在 (0, π/2) 上严格递增。 f' (x) = cot x < 0，对于所有 x ∈ (π/2, π)。因此，函数 f 在 (π/2, π) 上严格递减。 17. 证明函数 f (x) = log |cos x| 在 (0, π/2) 上递减，在 (π/2, π) 上递增。 解决方案 f (x) = log |cos x| 在 (0, π/2) 上，cos x > 0，所以 f(x) = log(cos x)。f' (x) = (1/cos x)(-sin x) = -tan x。 f' (x) = (1/cos x) (-sin x) f' (x) = -tan x 对于所有 x ∈ (0, π/2)，tan x > 0。 f' (x) = -tan x < 0，对于所有 x ∈ (0, π/2)。因此，函数 f 在 (0, π/2) 上严格递减。 在 (π/2, π) 上，cos x < 0，所以 f(x) = log(-cos x)。f' (x) = (1/(-cos x))(sin x) = -tan x。 f' (x) = -tan x > 0，对于所有 x ∈ (π/2, π)。因此，函数 f 在 (π/2, π) 上严格递增。 18. 证明函数 f (x) = x3 - 3x2 + 3x - 100 在 R 上是递增的。 解决方案 f (x) = x3 - 3x2 + 3x - 100 f' (x) = d/dx (x3 - 3x2 + 3x - 100) f' (x) = 3x2 - 6x + 3 f' (x) = 3(x2 - 2x + 1) f' (x) = 3(x - 1)2 f' (x) = (x - 1) (3x - 3) f' (x) = 3 (x - 1) (x - 1) f' (x) = 3 (x - 1)2 3 > 0，并且 (x - 1)2 ≥ 0 因为它是一个完全平方。 因此，函数 f 在 R 上是递增的。 19. 函数 y = x2 e-x 的递增区间是
解决方案 y = x2 e-x y' = d/dx (x2 e-x) y' = x2 e-x (-1) + e-x (2x) y' = 2x e-x - x2 e-x y' = x e-x (2 - x) 令 y' = 0， 令 y' = 0 (2 - x) = 0 ⇒ x = 2 或 x e-x = 0 ⇒ x = 0 三个区间将是 (-∞, 0), (0, 2) 和 (2, ∞)。 对于区间 (-∞, 0)，我们可以选择 x = -1。那么， 在 (-∞, 0) 中取 x = -1，y' = (-1)e1(3) = -3e < 0，递减。 y' < 0，对于所有 x ∈ (-∞, 0)，因此函数在 (-∞, 0) 上严格递减。 对于区间 (0, 2)，我们可以选择 x = 1。那么， y' = x e-x (2 - x) = 1 * e-1 (1) = e-1 y' > 0，对于所有 x ∈ (0, 2)，因此函数在 (0, 2) 上严格递增。 对于区间 (2, ∞)，我们可以选择 x = 3。那么， 在 (2, ∞) 中取 x = 3，y' = 3e-3(-1) = -3e-3 < 0，递减。 y' < 0，对于所有 x ∈ (2, ∞)，因此函数在 (2, ∞) 上严格递减。 因此，(D) 是正确答案。 练习 6.31. 求下列函数的最大值和最小值（如果存在）
解决方案 (i) f (x) = (2x - 1)2 + 3 可以观察到，对于所有 x ∈ R，(2x - 1)2 ≥ 0。 两边加 3 因此，对于所有 x ∈ R，(2x - 1)2 + 3 ≥ 3。 当 2x - 1 = 0，即 x = 1/2 时，f(x) 取得最小值。 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2 因此，f 的最小值为 f (1/2) = (2 (1/2) - 1)2 + 3 = 3 因此，函数 f 没有最大值。 (ii) f (x) = 9x2 + 12x + 2 f (x) = (9x2 + 12x + 4) - 2 f (x) = (3x + 2)2 - 2 可以观察到，对于所有 x ∈ R，(3x + 2)2 ≥ 0。 两边减 2， 因此，对于所有 x ∈ R，(3x + 2)2 - 2 ≥ -2。 当 2x - 1 = 0，即 x = 1/2 时，f(x) 取得最小值。 3x + 2 = 0 3x = -2 x = -2/3 因此，f 的最小值为 f (-2/3) = (3 (-2/3) + 2)2 - 2 = -2 因此，函数 f 没有最大值。 (iii) f (x) = -(x - 1)2 + 10 可以观察到，对于所有 x ∈ R，-(x - 1)2 ≤ 0。 两边加 10， 因此，对于所有 x ∈ R，-(x - 1)2 + 10 ≤ 10。 当 x - 1 = 0，即 x = 1 时，f(x) 取得最大值。 (x - 1) = 0 x = 1 因此，f 的最大值为 f (1) = -(1 - 1)2 + 10 = 10 因此，函数 f 没有最小值。 (iv) g (x) = x3 + 1 当 x → ∞ 时，g(x) → ∞；当 x → -∞ 时，g(x) → -∞。 并且 x3 < 0, 当 x < 0 时，x3 + 1 < 1。 因此，函数 g 既没有最大值也没有最小值。 2. 求下列函数的最大值和最小值（如果存在）
解决方案 (i) f (x) = |x + 2| - 1 可以观察到，对于所有 x ∈ R，|x + 2| ≥ 0。 两边减 1， 因此，对于所有 x ∈ R，|x + 2| - 1 ≥ -1。 当 2x - 1 = 0，即 x = 1/2 时，f(x) 取得最小值。 当 |x + 2| = 0，即 x = -2 时，取得最小值。 x = -2 因此，f 的最小值为 f (-2) = |-2 + 2| - 1 = -1 因此，函数 f 没有最大值。 (ii) g (x) = -|x + 1| + 3 可以观察到，对于所有 x ∈ R，-|x + 1| ≤ 0。 两边加 3， 因此，对于所有 x ∈ R，-|x + 1| + 3 ≤ 3。 当 |x + 1| = 0，即 x = -1 时，取得最大值。 |x + 1| = 0 x = -1 因此，g 的最大值为 g (-1) = -|-1 + 1| + 3 = 3 因此，函数 f 没有最小值。 (iii) h (x) = sin (2x) + 5 可以观察到，-1 ≤ sin (2x) ≤ 1 每边加 5， -1 + 5 ≤ sin (2x) + 5 ≤ 1 + 5 因此，4 ≤ h(x) ≤ 6 因此，函数 h 的最大值和最小值分别为 6 和 4。 (iv) f (x) = |sin 4x + 3| 可以观察到，-1 ≤ sin 4x ≤ 1 每边加 3， -1 + 3 ≤ sin 4x + 3 ≤ 1 + 3 因此，2 ≤ sin 4x + 3 ≤ 4 因此，函数 f 的最大值和最小值分别为 4 和 2。 (v) h (x) = x + 1, x ∈ (-1, 1) 当 x 趋近于 -1 时，h(x) 趋近于 0。当 x 趋近于 1 时，h(x) 趋近于 2。 由于区间是开区间，x 无法取到 -1 和 1。 对于任何点 x1，总可以找到一个更接近 1 的点 x2，使得 h(x1) < h(x2)。 同理，对于任何点 x1，总可以找到一个更接近 -1 的点 x2，使得 h(x1) > h(x2)。 因此，函数 h (x) 在 (-1, 1) 内既没有最大值也没有最小值。 3. 求下列函数的局部极大值和局部极小值（如果存在）。并求出局部极大值和局部极小值。
解决方案 (i) f (x) = x2 f' (x) = d/dx (x2) f' (x) = 2x 令 f' (x) = 0 2x = 0 ⇒ x = 0 x = 0 因此，x=0 是函数 f 唯一可能的局部极大值或极小值点。 f'' (x) = 2 > 0 所以，f 的局部极小值在 x = 0 点取得，为 f (0) = 02 = 0 因此，根据二阶导数检验，x = 0 是一个局部极小值点，局部极小值为 0。 (ii) g (x) = x3 - 3x g' (x) = d/dx (x3 - 3x) g' (x) = 3x2 - 3 令 g' (x) = 0 3x2 - 3 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1 临界点是 x = 1 和 x = -1 x2 = 1 x = ±1 g'' (x) = d/dx (3x2 - 3) g'' (x) = 6x g'' (1) = 6 > 0 and g'' (-1) = -6 < 0 g'' (1) > 0 且 g'' (-1) < 0。 所以，g 的局部极小值在 x = 1 点取得，为 g (1) = 13 - 3(1) = -2 g 的局部极大值在 x = -1 点取得，为 g (-1) = (-1)3 - 3(-1) = 2 因此，根据二阶导数检验，x = 1 是一个局部极小值点，局部极小值为 -2；而 x = -1 是一个局部极大值点，局部极大值为 2。 (iii) h (x) = sin x + cos x h' (x) = d/dx (sin x + cos x) h' (x) = cos x - sin x 令 h' (x) = 0 cos x - sin x = 0 sin x = cos x tan x = 1 因为 0 < x < π/2 x = π/4 x ∈ (0, π/2) h'' (x) = d/dx (cos x - sin x) h'' (x) = -sin x - cos x h'' (π/4) = -sin(π/4) - cos(π/4) h'' (π/4) = -1/√2 - 1/√2 h'' (π/4) = -2/√2 h'' (π/4) = -√2 h'' (π/4) < 0 所以，h 的局部极大值在 x = π/4 点取得，为 h (π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2 因此，根据二阶导数检验，x = π/4 是一个局部极大值点，局部极大值为 √2。 (iv) f (x) = sin x - cos x f' (x) = d/dx (sin x - cos x) f' (x) = cos x + sin x 令 f' (x) = 0 令 f' (x) = 0 sin x = -cos x tan x = -1 因为 0 < x < 2π tan x = tan(π - π/4) = tan(3π/4) x = 3π/4 x = 3π/4 或 tan x = tan(2π - π/4) = tan(7π/4) x = 7π/4 x = 7π/4 临界点是 x = 3π/4 和 x = 7π/4 f'' (x) = d/dx (cos x + sin x) f'' (x) = -sin x + cos x f'' (3π/4) = -sin(3π/4) + cos(3π/4) f'' (3π/4) = -1/√2 - 1/√2 f'' (3π/4) = -2/√2 f'' (3π/4) = -√2 f'' (3π/4) < 0 f'' (7π/4) = -sin(7π/4) + cos(7π/4) f'' (7π/4) = -(-1/√2) + 1/√2 f'' (7π/4) = 2/√2 f'' (7π/4) = √2 f'' (7π/4) > 0 所以，f 的局部极大值在 x = 3π/4 点取得，为 f (3π/4) = sin(3π/4) - cos(3π/4) = 1/√2 - (-1/√2) = √2 所以，f 的局部极小值在 x = 7π/4 点取得，为 f (7π/4) = sin(7π/4) - cos(7π/4) = -1/√2 - 1/√2 = -√2 因此，根据二阶导数检验，x = 3π/4 是一个局部极大值点，局部极大值为 √2；而 x = 7π/4 是一个局部极小值点，局部极小值为 -√2。 (v) f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 15 f' (x) = d/dx (x3 - 6x2 + 9x + 15) f' (x) = 3x2 - 12x + 9 令 f' (x) = 0 令 f' (x) = 0 3(x2 - 4x + 3) = 0 3(x - 1)(x - 3) = 0 临界点是 x = 1 和 x = 3 3 (x - 3) (x - 1) = 0 (x - 3) (x - 1) = 0 (x - 3) = 0 ⇒ x = 3 或 (x - 1) = 0 ⇒ x = 1 f'' (x) = d/dx (3x2 - 12x + 9) f'' (x) = 6x - 12 f'' (1) = 6(1) - 12 = -6 f'' (1) = -6 f'' (1) < 0 f'' (3) = 6 (3) - 12 = 6 f'' (3) = 6 f'' (3) > 0 所以，f 的局部极大值在 x = 1 点取得，为 f (1) = 13 - 6(1)2 + 9(1) + 15 = 1 - 6 + 9 + 15 = 19 所以，f 的局部极小值在 x = 3 点取得，为 f (3) = 33 - 6(32) + 9(3) + 15 = 27 - 54 + 27 + 15 = 15 因此，根据二阶导数检验，x = 1 是一个局部极大值点，局部极大值为 19；而 x = 3 是一个局部极小值点，局部极小值为 15。 (vi) g (x) = x/2 + 2/x g' (x) = d/dx (x/2 + 2/x) g' (x) = 1/2 - 2/x2 令 g' (x) = 0 令 g' (x) = 0 1/2 = 2/x2 x2 = 4 x = ±2 但 x > 0 ⇒ x = 2 g'' (x) = d/dx (1/2 - 2/x2) g'' (x) = 4/x3 g'' (2) = 4/23 g'' (2) = 1/2 g'' (2) > 0 所以，g 的局部极小值在 x = 2 点取得，为 g (2) = 2/2 + 2/2 = 1 + 1 = 2 因此，根据二阶导数检验，x = 2 是一个局部极小值点，局部极小值为 2。 (vii) g (x) = 1/(x2 + 2) g' (x) = d/dx (1/(x2 + 2)) g' (x) = -(x2 + 2)-2 * (2x) g' (x) = -2x/(x2 + 2)2 令 g' (x) = 0 令 g' (x) = 0 -2x = 0 ⇒ x = 0 x = 0 当 x 略小于 0 时，g' (x) > 0；当 x 略大于 0 时，g' (x) < 0。 因此，根据一阶导数检验，x = 0 是一个局部极大值点，局部极大值为 g (0) = 1/2。 (viii) f (x) = x√(1 - x) f' (x) = d/dx (x√(1 - x)) f' (x) = 1 * √(1 - x) + x * (1/2√(1 - x)) * (-1) f' (x) = [2(1 - x) - x] / 2√(1 - x) f' (x) = (2 - 3x) / 2√(1 - x) 令 f' (x) = 0 令 f' (x) = 0 2 - 3x = 0 -3x = -2 x = 2/3 f'' (x) = d/dx ((2 - 3x)/2√(1 - x)) f'' (x) = 1/2 * [ (-3)√(1-x) - (2-3x) * (1/2√(1-x)) * (-1) ] / (1-x) f'' (x) = 1/(2(1-x)) * [ -3√(1-x) + (2-3x)/(2√(1-x)) ] f'' (x) = [ -6(1-x) + (2-3x) ] / 4(1-x)3/2 f'' (x) = [ -6 + 6x + 2 - 3x ] / 4(1-x)3/2 f'' (x) = (3x - 4) / 4(1-x)3/2 f'' (2/3) = (3(2/3) - 4) / 4(1 - 2/3)3/2 f'' (2/3) = (-2) / 4(1/3)3/2 f'' (2/3) = -1 / 2(1/3)3/2 f'' (2/3) < 0 所以，f 的局部极大值在 x = 1 点取得，为 局部极大值为 f (2/3) = (2/3)√(1 - 2/3) = (2/3)√(1/3) = 2/(3√3) = 2√3/9 因此，根据二阶导数检验，x = 2/3 是一个局部极大值点，局部极大值为 2√3/9。 4. 证明下列函数没有极大值或极小值
解决方案 (i) f (x) = ex f' (x) = d/dx (ex) f' (x) = ex 令 f' (x) = 0 令 f'(x) = 0，即 ex = 0 但 f (x) = ex 是一个指数函数，对于任何 x 值，它永远不可能为 0。 不存在 x ∈ R 使得 f' (x) = 0。 因此，函数 f 没有极大值或极小值。 (ii) g (x) = log x g' (x) = d/dx (log x) g' (x) = 1/x g (x) = log x 的定义域为正数 x。所以， g' (x) > 0 对于所有 x > 0。 不存在 x ∈ R 使得 g' (x) = 0。 因此，函数 g 没有极大值或极小值。 (iii) h (x) = x3 + x2 + x + 1 h' (x) = d/dx (x3 + x2 + x + 1) h' (x) = 3x2 + 2x + 1 令 h' (x) = 0 令 h'(x) = 0，即 3x2 + 2x + 1 = 0 使用二次公式判别式 Δ = b2 - 4ac Δ = 22 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 由于判别式小于 0，方程没有实数根。 x = (-2 ± 2√2i)/6 x = (-1 ± √2i)/3 这不是实数。 它不是实数。 不存在 x ∈ R 使得 h' (x) = 0。 因此，函数 h 没有极大值或极小值。 5. 求下列函数在给定区间内的绝对最大值和绝对最小值
解决方案 (i) f (x) = x3 f' (x) = d/dx (x3) f' (x) = 3x2 令 f' (x) = 0 令 f'(x) = 0，即 3x2 = 0 x = 0 x = 0 所以，x = 0 是一个临界点，x = -2, 2 是端点。 f (0) = 03 = 0 f (-2) = (-2)3 = -8 f (2) = (2)3 = 8 因此，f 在 [-2, 2] 上的绝对最大值是 8（在 x = 2 处），绝对最小值是 -8（在 x = -2 处）。 (ii) f (x) = sin x + cos x f' (x) = d/dx (sin x + cos x) f' (x) = cos x - sin x 令 f' (x) = 0 cos x - sin x = 0 令 f'(x) = 0，即 cos x = sin x，tan x = 1 tan x = 1 因为 0 < x < π/2 x = π/4 所以，x = π/4 是一个临界点，x = 0, π 是端点。 f (π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) = 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2 ≈ 1.414 f (0) = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1 f (π) = sin π + cos π = 0 - 1 = -1 因此，f 在 [0, π] 上的绝对最大值是 √2（在 x = π/4 处），绝对最小值是 -1（在 x = π 处）。 (iii) f (x) = 4x - x2/2 f' (x) = d/dx (4x - x2/2) f' (x) = 4 - x 令 f' (x) = 0 令 f'(x) = 0，即 4 - x = 0 x = 4 所以，x = 4 是一个临界点，x = -2, 9/2 是端点。 f (4) = 4(4) - 42/2 = 16 - 16/2 = 8 f (-2) = 4(-2) - (-2)2/2 = -8 - 2 = -10 f (9/2) = 4(9/2) - (9/2)2/2 = 18 - 81/8 = (144 - 81)/8 = 63/8 = 7.875 因此，f 在 [-2, 9/2] 上的绝对最大值是 8（在 x = 4 处），绝对最小值是 -10（在 x = -2 处）。 (iv) f (x) = (x - 1)2 + 3 f' (x) = d/dx ((x - 1)2 + 3) f' (x) = 2 (x - 1) 令 f' (x) = 0 令 f'(x) = 0，即 2(x - 1) = 0 x - 1 = 0 x = 1 所以，x = 1 是一个临界点，x = -3, 1 是端点。 f (1) = (1 - 1)2 + 3 = 3 f (-3) = (-3 - 1)2 + 3 = 16 + 3 = 19 因此，f 在 [-3, 1] 上的绝对最大值是 19（在 x = -3 处），绝对最小值是 3（在 x = 1 处）。 6. 如果利润函数由下式给出，求一个公司可以获得的最大利润 p (x) = 41 - 72x - 18x2 解决方案 利润函数给出为 p (x) = 41 - 72x - 18x2 p' (x) = d/dx (41 - 72x - 18x2) p' (x) = -72 - 36x p'' (x) = d/dx (-72 - 36x) p'' (x) = -36 当 p' (x) = 0 时 -72 - 36x = 0 36x = -72 x = -2 现在， p'' (-2) = -36 p'' (-2) < 0 所以，p 的局部最大值将在 x = -2 点给出，为： p (-2) = 41 - 72 (-2) - 18 (-2)2 p (-2) = 41 + 144 - 72 p (-2) = 113 因此，根据二阶导数检验，x = 0 是局部最大值点，函数 p 的局部最大值为 0。 因此，公司可以获得 113 个单位的最大利润。 7. 求以下函数的最大值和最小值 在区间 [0, 3] 上的 3x4 - 8x3 + 12x2 - 48x + 25。 解决方案 设 f (x) = 3x4 - 8x3 + 12x2 - 48x + 25 f' (x) = d/dx (3x4 - 8x3 + 12x2 - 48x + 25) f' (x) = 12x3 - 24x2 + 24x - 48 f' (x) = 12 (x3 - 2x2 + 2x - 4) f' (x) = 12 (x2 (x - 2) + 2 (x - 2)) f' (x) = 12 (x2 + 2) (x - 2) 令 f' (x) = 0 12 (x2 + 2) (x - 2) = 0 (x2 + 2) (x - 2) = 0 x - 2 = 0 ⇒ x = 2 或 x2 + 2 = 0 ⇒ x2 = -2 当 x2 + 2 = 0 时，根不是实数。所以， x = 2 ∈ [0, 3] 所以，x = 2 是一个临界点，x = 0, 3 是端点。 f (2) = 3 (2)4 - 8 (2)3 + 12 (2)2 - 48 (2) + 25 = 48 - 64 + 48 - 96 + 25 = -39 f (0) = 3 (0)4 - 8 (0)3 + 12 (0)2 - 48 (0) + 25 = 25 f (3) = 3 (3)4 - 8 (3)3 + 12 (3)2 - 48 (3) + 25 = 243 - 216 + 108 - 144 + 25 = 16 因此，f 在 [0, 3] 上的绝对最大值是 25（在 x = 0 时），绝对最小值是 -39（在 x = 2 时）。 8. 在区间 [0, 2π] 的哪些点上，函数 sin 2x 达到其最大值？ 解决方案 设 f (x) = sin 2x f' (x) = d/dx (sin 2x) f' (x) = 2 cos 2x 令 f' (x) = 0 2 cos 2x = 0 cos 2x = 0 cos 2x = cos y 其中 y = π/2, 3π/2, 5π/2, 和 7π/2。 2x = π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2 x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 所以，x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 是临界点，x = 0, 2π 是端点。 f (π/4) = sin π/2 = 1 f (3π/4) = sin 3π/2 = -1 f (5π/4) = sin 5π/2 = 1 f (7π/4) = sin 7π/2 = -1 f (0) = sin 0 = 0 f (2π) = sin 2π = 0 因此，函数 sin 2x 在 [0, 2π] 上的绝对最大值是 1（在 x = π/2 和 x = 5π/2 时）。 9. 函数 sin x + cos x 的最大值是多少？ 解决方案 设 f (x) = sin x + cos x f' (x) = d/dx (sin x + cos x) f' (x) = cos x - sin x 令 f' (x) = 0 cos x - sin x = 0 sin x = cos x tan x = 1 tan x = tan y 其中 y = π/4, 5π/4, 7π/4, … x = π/4, 5π/4, 7π/4, … f'' (x) = d/dx (cos x - sin x) f'' (x) = -sin x - cos x f'' (x) = -(sin x + cos x) 如果 (sin x + cos x) 为正，即当 sin x 和 cos x 均为正时，f'' (x) 将为负。 (sin x + cos x) 在第一象限为正，即当 x = π/4 时。 f'' (π/4) = -(sin π/4 + cos π/4) f'' (π/4) = -(1/√2 + 1/√2) f'' (π/4) = -2/√2 f'' (π/4) = -√2 因此，根据二阶导数检验，函数 f 的值在 x = π/4 时达到最大值。 f (π/4) = sin π/4 + cos π/4 = 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2 因此，函数 sin x + cos x 的最大值为 √2。 10. 求 2x3 - 24x + 107 在区间 [1, 3] 内的最大值。求同一函数在 [-3, -1] 内的最大值。 解决方案 设 f (x) = 2x3 - 24x + 107 f' (x) = d/dx (2x3 - 24x + 107) f' (x) = 6x2 - 24 f' (x) = 6 (x2 - 4) 令 f' (x) = 0 6 (x2 - 4) = 0 x2 - 4 = 0 x2 = 4 x = ±2 对于区间 [1, 3] 现在，x = 2 是一个临界点，x = 1, 3 是端点。 f (2) = 2 (2)3 - 24 (2) + 107 = 16 - 48 + 107 = 75 f (1) = 2 (1)3 - 24 (1) + 107 = 2 - 24 + 107 = 85 f (3) = 2 (3)3 - 24 (3) + 107 = 54 - 72 + 107 = 89 因此，f 在 [1, 3] 上的绝对最大值是 89（在 x = 3 时）。 对于区间 [-3, -1] 现在，x = -2 是一个临界点，x = -3, -1 是端点。 f (-2) = 2 (-2)3 - 24 (-2) + 107 = -16 + 48 + 107 = 139 f (-1) = 2 (-1)3 - 24 (-1) + 107 = -2 + 24 + 107 = 129 f (-3) = 2 (-3)3 - 24 (-3) + 107 = -54 + 72 + 107 = 125 因此，f 在 [-3, -1] 上的绝对最大值是 139（在 x = -2 时）。 11. 已知在 x = 1 时，函数 x4 - 62x2 + ax + 9 在区间 [0, 2] 上达到其最大值。求 a 的值。 解决方案 设 f (x) = x4 - 62x2 + ax + 9 f' (x) = d/dx (x4 - 62x2 + ax + 9) f' (x) = 4x3 - 134x + a 已知该函数在区间 [0, 2] 上于 x = 1 处达到其最大值。因此， f' (1) = 0 4 (1)3 - 134 (1) + a = 0 4 - 134 + a = 0 -130 + a = 0 a = 130 12. 求 x + sin 2x 在 [0, 2π] 上的最大值和最小值。 解决方案 设 f (x) = x + sin 2x f' (x) = d/dx (x + sin 2x) f' (x) = 1 + 2 cos 2x 令 f' (x) = 0 1 + 2 cos 2x = 0 2 cos 2x = -1 cos 2x = -1/2 cos 2x = -cos π/3 cos 2x = cos (π - π/3) cos 2x = cos 2π/3 2x = 2nπ ± 2π/3, n ∈ Z x = 2π ± π/3, n ∈ Z x = π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 x ∈ [0, 2π] 所以，x = π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 是临界点，x = 0, 2π 是端点。 f (π/3) = π/3 + sin 2π/3 = π/3 + √3/2 f (2π/3) = 2π/3 + sin 4π/3 = 2π/3 - √3/2 f (4π/3) = 4π/3 + sin 8π/3 = 4π/3 + √3/2 f (5π/3) = 5π/3 + sin 10π/3 = 5π/3 - √3/2 f (0) = 0 + sin 0 = 0 f (2π) = 2π + sin 4π = 2π + 0 = 2π 因此，给定函数在 [0, 2π] 上的绝对最大值是 2π（在 x = 2π 时），绝对最小值是 0（在 x = 0 时）。 13. 找出两个数，它们的和是 24，并且它们的乘积尽可能大。 解决方案 设一个数是 x。那么，另一个数是 (24 - x)。 设这两个数的乘积用 p (x) 表示。因此， p (x) = x (24 - x) p (x) = 24x - x2 p' (x) = d/dx (24x - x2) p' (x) = 24 - 2x p'' (x) = d/dx (24 - 2x) p'' (x) = -2 p'' (x) < 0 当 p' (x) = 0 时 24 - 2x = 0 2x = 24 x = 12 所以，p 的局部最大值将在 x = 12 点给出，为： p (12) = 12 (24 - 12) = 122 = 144 因此，当这两个数是 12 和 (24 - 12) = 12 时，它们的乘积最大。 14. 找出两个正数 x 和 y，使得 x + y = 60 且 xy3 最大。 解决方案 已知 x 和 y 是两个正数，且 x + y = 60。 x + y = 60 y = 60 - x 设 f (x) = xy3。 f' (x) = d/dx (xy3) f' (x) = d/dx (x (60 - x)3) f' (x) = -3x (60 - x)2 + (60 - x)3 f' (x) = (60 - x)2 (60 - x - 3x) f' (x) = (60 - x)2 (60 - 4x) 令 f' (x) = 0 (60 - x)2 (60 - 4x) = 0 60 - 4x = 0 4x = 60 ⇒ x = 15 或 (60 - x)2 = 0 60 - x = 0 ⇒ x = 60 f'' (x) = d/dx ((60 - x)2 (60 - 4x)) f'' (x) = -4 (60 - x)2 - 2 (60 - 4x) (60 - x) f'' (x) = -2 (60 - x) (2 (60 - x) + 60 - 4x) f'' (x) = -2 (60 - x) (120 - 2x + 60 - 4x) f'' (x) = -2 (60 - x) (180 - 6x) f'' (x) = -12 (60 - x) (30 - x) f'' (15) = -12 (60 - 15) (30 - 15) f'' (15) = -12 (45) (15) f'' (15) < 0 f'' (60) = -12 (60 - 60) (30 - 60) f'' (60) = 0 所以，f 的局部最大值将在 x = 15 点给出，为： f (15) = 15 (60 - 15)3 = 15 (45)3 因此，根据二阶导数检验，当这两个数是 15 和 (60 - 15) = 45 时，函数 xy3 最大。 15. 找出两个正数 x 和 y，使得它们的和为 35，且乘积 x2 y5 为最大值。 解决方案 x 和 y 的和应为 35。因此， x + y = 35 y = 35 - x 设 f (x) = x2y5 f' (x) = d/dx (x2y5) f' (x) = d/dx (x2 (35 - x)5) f' (x) = -5x2 (35 - x)4 + 2x (35 - x)5 f' (x) = -x (35 - x)4 (5x - 2 (35 - x)) f' (x) = -x (35 - x)4 (5x - 70 + 2x) f' (x) = -x (35 - x)4 (7x - 70) f' (x) = -7x (35 - x)4 (x - 10) 令 f' (x) = 0 -7x (35 - x)4 (x - 10) = 0 (35 - x)4 (x - 10) = 0 7x = 0 ⇒ x = 0 或 x - 10 = 0 ⇒ x = 10 或 (35 - x)4 = 0 35 - x = 0 ⇒ x = -35 f'' (x) = d/dx (-7x (35 - x)4 (x - 10)) f'' (x) = -7 [x (35 - x)4 d/dx (x - 10) + (x - 10) d/dx (x (35 - x)4)] f'' (x) = -7 [x (35 - x)4 + (x - 10) (-4x (35 - x)3 + (35 - x)4)] f'' (x) = -7 [x (35 - x)4 + (x - 10) (35 - x)3 (-4x + 35 - x)] f'' (x) = -7 [(35 - x)3 (x (35 - x) + (x - 10) (-5x + 35)] f'' (x) = -7 (35 - x)3 (35x - x2 - 5x2 + 35x + 50x - 350) f'' (x) = -7 (35 - x)3 (-6x2 + 120x - 350) f'' (x) = 7 (35 - x)3 (6x2 - 120x + 350) 当 x = 0 时 y = 35 - 0 = 35 f (x) = x2y5 = 0 (35)5 = 0 当 x = 35 时 y = 35 - 35 = 0 f (x) = (35)2 0 = 0 因此，x = 0 和 x = 35 不是 x 的可能值。 f'' (10) = 7 (35 - 10)3 (6 (10)2 - 120 (10) + 350) f'' (10) = 7 (25)3 (600 - 1200 + 350) f'' (10) = 7 (25)3 (-250) f'' (10) < 0 所以，f 的局部最大值将在 x = 10 点给出，为： f (10) = (10)2 (35 - 10)5 = (10)2 (25)5 因此，根据二阶导数检验，当这两个数是 10 和 35 - 10 = 25 时，函数 x2y5 最大。 16. 找出两个正数，它们的和为 16，且它们的立方和为最小。 解决方案 设这两个数中的一个 = x。那么，另一个数 = 16 - x。 立方和 = x3 + (16 - x)3 设 f (x) = x3 + (16 - x)3 f' (x) = d/dx (x3 + (16 - x)3) f' (x) = 3x2 - 3 (16 - x)2 f' (x) = 3 (x2 - (16 - x)2) f'' (x) = 3 d/dx (x2 - (16 - x)2) f'' (x) = 3 (2x + 2 (16 - x)) f'' (x) = 3 (2x + 32 - 2x) f'' (x) = 3 (32) f'' (x) = 96 令 f' (x) = 0 3 (x2 - (16 - x)2) = 0 x2 - (16 - x)2 = 0 x2 - 256 - x2 + 32x = 0 32x = 256 x = 8 f'' (8) = 96 f'' (8) > 0 所以，f 的局部最小值将在 x = 8 点给出，为： f (8) = 83 + (16 - 8)3 = 83 + 83 因此，根据二阶导数检验，当这两个数是 8 和 16 - 8 = 8 时，它们的立方和最小。 17. 一块边长为 18 厘米的方形锡片，要通过从每个角剪下一个正方形并折起翻边来制成一个无顶的盒子。剪下的正方形边长应为多少，才能使盒子的体积达到最大可能。 解决方案 设剪下的正方形边长（单位：厘米）= x 那么，盒子的长度和宽度 = (18 - 2x) 盒子的高度 = x 设盒子的体积为 V (x) V (x) = x (18 - 2x)2 V' (x) = d/dx (x (18 - 2x)2) V' (x) = -4x (18 - 2x) + (18 - 2x)2 V' (x) = (18 - 2x) (18 - 2x - 4x) V' (x) = (18 - 2x) (18 - 6x) V' (x) = 12 (9 - x) (3 - x) V'' (x) = d/dx (12 (9 - x) (3 - x)) V'' (x) = 12 [-(9 - x) - (3 - x)] V'' (x) = -12 (9 - x + 3 - x) V'' (x) = -12 (12 - 2x) V'' (x) = -24 (6 - x) 当 V' (x) = 0 时 12 (9 - x) (3 - x) = 0 (9 - x) (3 - x) = 0 9 - x = 0 ⇒ x = 9 或 3 - x = 0 ⇒ x = 3 如果 x = 9，那么长度和宽度 = 18 - 2 (9) = 0。因此，x = 3。 V'' (3) = -24 (6 - 3) V'' (3) = -72 V'' (3) < 0 所以，V 的局部最大值将在 x = 3 点给出，为： V (3) = 3 (18 - 2 (3))2 = 3 (12)2 因此，根据二阶导数检验，当 x = 3 时，函数 x (18 - 2x)2 最大。 因此，应从正方形的边长上剪下 3 厘米，以使盒子的体积达到最大可能。 18. 一张 45 厘米 × 24 厘米的矩形锡片，要通过从每个角剪下正方形并折起翻边来制成一个无顶的盒子。剪下的正方形边长应为多少，才能使盒子的体积最大？ 解决方案 设剪下的正方形边长（单位：厘米）= x 那么，盒子的长度 = 45 - 2x，盒子的宽度 = 24 - 2x 盒子的高度 = x 设盒子的体积为 V (x) V (x) = x (45 - 2x) (24 - 2x) V (x) = x (1080 - 90x - 48x + 4x2) V (x) = x (4x2 - 138x + 1080) V (x) = 4x3 - 138x2 + 1080x V' (x) = d/dx (4x3 - 138x2 + 1080x) V' (x) = 12x2 - 276x + 1080 V' (x) = 12 (x2 - 23x + 90) V' (x) = 12 (x2 - 18x - 5x + 90) V' (x) = 12 (x (x - 18) - 5 (x - 18)) V' (x) = 12 (x - 18) (x - 5) V'' (x) = d/dx (12 (x - 18) (x - 5)) V'' (x) = 12 [(x - 18) + (x - 5)] V'' (x) = 12 (2x - 23) 当 V' (x) = 0 时 12 (x - 18) (x - 5) = 0 (x - 18) (x - 5) = 0 x - 18 = 0 ⇒ x = 18 或 x - 5 = 0 ⇒ x = 5 如果 x = 18，那么宽度 = 24 - 2 (18) = -12，这是不可能的。因此，x = 5。 V'' (5) = 12 (2 (5) - 23) V'' (5) = 12 (-13) V'' (5) < 0 所以，V 的局部最大值将在 x = 5 点给出，为： V (5) = 5 (45 - 2 (5)) (24 - 2 (5)) = 5 (35) (14) 因此，根据二阶导数检验，当 x = 5 时，函数 x (45 - 2x) (24 - 2x) 最大。 因此，应从正方形的边长上剪下 5 厘米，以使盒子的体积达到最大可能。 19. 证明在所有内接于一个给定固定圆的矩形中，正方形的面积最大。 解决方案 设有一个长为 l、宽为 b 的矩形内接于半径为 r 的给定圆中。那么，对角线将通过圆心，长度为 2r 厘米。 利用勾股定理， (2r)2 = l2 + b2 l2 + b2 = 4r2 b2 = 4r2 - l2 b = √(4r2 - l2) 设矩形的面积为 A (l) A (l) = l√(4r2 - l2) A' (l) = -l2/√(4r2 - l2) + √(4r2 - l2) A' (l) = (-l2 + 4r2 - l2)/√(4r2 - l2) A' (l) = (4r2 - 2l2)/√(4r2 - l2) A'' (l) = d/dl ((4r2 - 2l2)/√(4r2 - l2)) A'' (l) = [-4l√(4r2 - l2) + l(4r2 - 2l2)/√(4r2 - l2)]/(4r2 - l2) A'' (l) = [-4l (4r2 - l2) + l (4r2 - 2l2)]/(4r2 - l2)3/2 A'' (I) = [-16lr2 + 4l3 + 4lr2 - 2l3]/(4r2 - l2)3/2 A'' (I) = [-12lr2 + 2l3]/(4r2 - l2)3/2 A'' (I) = -2l[6r2 - l2]/(4r2 - l2)3/2 当 A' (l) = 0 时 (4r2 - 2l2)/√(4r2 - l2) = 0 4r2 - 2l2 = 0 4r2 = 2l2 2r2 = l2 l = r√2 那么，b = √(4r2 - l2) = √(4r2 - 2r2) = r√2 A'' (r√2) = -2(r√2)[6r2 - 2r2]/(4r2 - 2r2)3/2 A'' (r√2) = -(8r3√2)/(2r2)3/2 A'' (r√2) = -(8r3√2)/2r3√2 A'' (r√2) = -4 A'' (r√2) < 0 所以，A 的局部最大值将在 l = r√2 点给出，为： A (r√2) = (r√2)√(4r2 - 2r2) = 2r2 因此，根据二阶导数检验，当 l = r√2 时，矩形的面积最大。 l = b = r√2，这意味着矩形是一个正方形。 因此，在所有内接于一个给定固定圆的矩形中，正方形的面积最大。 20. 证明给定表面积且体积最大的直立圆柱体，其高等于底面直径。 解决方案 设圆柱体的半径为 r，高为 h。 那么，圆柱体的表面积将是 S = 2πr2 + 2πrh S = 2πr (r + h) S/2πr = r + h h = S/2πr - r 圆柱体的体积将是 V = πr2h V = πr2 (S/2πr - r) V = Sr/2 - πr3 dV/dr = d/dr (Sr/2 - πr3) dV/dr = S/2 - 3πr2 当 dV/dr = 0 时 S/2 - 3πr2 = 0 S/2 = 3πr2 r2 = S/6π r = √(S/6π) d2V/dr2 = d/dr (S/2 - 3πr2) d2V/dr2 = -6πr d2V/dr2 = -6π √(S/6π) d2V/dr2 < 0 所以，V 的局部最大值将在 r = √(S/6π) 点给出。 r = √(S/6π) r2 = S/6π S = 6πr2 h = 6πr2/2πr - r h = 3r - r h = 2r 因此，根据二阶导数检验，当高是半径的两倍，即高等于直径时，圆柱体的体积最大。 因此，给定表面积且体积最大的直立圆柱体，其高等于底面直径。 21. 在所有体积为 100 立方厘米的封闭圆柱形罐（直立圆）中，找出表面积最小的罐的尺寸？ 解决方案 设圆柱体的半径为 r，高为 h。 那么，圆柱体的体积将是 V = πr2h 100 = πr2h h = 100/πr2 圆柱体的表面积将是 S = 2πr2 + 2πrh S = 2πr2 + 2πr (100/πr2) S = 2πr2 + 200/r dS/dr = d/dr (2πr2 + 200/r) dS/dr = 4πr - 200/r2 当 dS/dr = 0 时 4πr - 200/r2 = 0 4πr = 200/r2 πr3 = 50 r3 = 50/π r = ∛(50/π) d2S/dr2 = d/dr (4πr - 200/r2) d2S/dr2 = 4π + 400/r3 d2S/dr2 = 4π + 400/r3 d2S/dr2 = 4π + 400/(50/π)3 d2S/dr2 > 0 所以，S 的局部最小值将在 r = ∛(50/π) 点给出。 h = 100/πr2 h = 100/π(50/π)2/3 h = 100/π(50/π)2/3 h = 100/π × (π/50)2/3 h = 2 (50/π)1/3 因此，根据二阶导数检验，当圆柱体的半径为 因此，使得罐子表面积最小所需的半径和高度是 r = ∛(50/π) 和 h = 2 ∛(50/π)。 22. 一根长 28 米的金属丝要被切成两段。其中一段用来做一个正方形，另一段用来做一个圆形。这两段的长度应为多少，才能使正方形和圆形的组合面积最小？ 解决方案 设从金属丝上切下用于制作正方形的一段长度为 l（单位：米）。 那么，另一段金属丝的长度将是 (28 - l)。 正方形的一边长 = l/4 设圆的半径为 r。 2πr = 28 - l r = (28 - l)/2π 正方形和圆的总面积将是 A = (l/4)2 + πr2 A = l2/16 + π (28 - l)2/4π2 A = l2/16 + (28 - l)2/4π dA/dl = d/dl (l2/16 + (28 - l)2/4π dA/dl = l/8 - (28 - l)/2π 当 dA/dl = 0 时 l/8 - (28 - l)/2π = 0 l/8 = (28 - l)/2π πl = 4 (28 - l) πl = 112 - 4l l (π + 4) = 112 l = 112/(π + 4) d2A/dl2 = d/dl (l/8 - (28 - l)/2π) d2A/dl2 = 1/8 + 1/2π d2A/dl2 > 0 所以，A 的局部最小值将在 l = 112/(π + 4) 点给出。 另一段金属丝的长度 = 28 - l = 28 - 112/(π + 4) = (28 (π + 4) - 112)/(π + 4) = (28π + 112 - 112)/(π + 4) = 28π/(π + 4) 因此，根据二阶导数检验，当金属丝的长度分别为 112/(π + 4) 米和 28π/(π + 4) 米时，总面积 A 最小。 因此，为使正方形和圆形的组合面积最小，所需的金属丝段长度分别为 112/(π + 4) 米和 28π/(π + 4) 米。 23. 证明可以内接于半径为 R 的球体中的最大圆锥体的体积是球体体积的 8/27。 解决方案 设圆锥的半径为 r，高为 h。 设内接圆锥的球体半径为 R。 那么，圆锥的体积将是 V = πr2h/3 利用勾股定理， (h - R)2 + r2 = R2 (h - R)2 = R2 - r2 h - R = √(R2 - r2) h = R + √(R2 - r2) V = πr2 (R + √(R2 - r2))/3 V = πr2R/3 + πr2√(R2 - r2)/3 dV/dr = d/dr (πr2R/3 + πr2√(R2 - r2)/3) dV/dr = 2πrR/3 + 2πr√(R2 - r2)/3 - πr3/3√(R2 - r2) dV/dr = 2πrR/3 + (2πr (R2 - r2) - πr3)/3√(R2 - r2) dV/dr = 2πrR/3 + (2πrR2 - 2πr3 - πr3)/3√(R2 - r2) dV/dr = 2πrR/3 + (2πrR2 - 3πr3)/3√(R2 - r2) 当 dV/dr = 0 时 2πrR/3 + (2πrR2 - 3πr3)/3√(R2 - r2) = 0 2πrR/3 = (3πr3 - 2πrR2)/3√(R2 - r2) 2πrR = πr(3r2 - 2R2)/√(R2 - r2) 2R = (3r2 - 2R2)/√(R2 - r2) 2R √(R2 - r2) = 3r2 - 2R2 两边平方 4R2 (R2 - r2) = 9r4 + 4R4 - 12r2R2 4R4 - 4r2R2 = 9r4 + 4R4 - 12r2R2 8r2R2 = 9r4 8R2/9 = r2 dV2/dr2 = d/dr (2πrR/3 + (2πrR2 - 3πr3)/3√(R2 - r2)) dV2/dr2 = 2πR/3 + [3√(R2 - r2) (2πR2 - 9πr2) - (2πrR2 - 3πr3)(-2r)/6√(R2 - r2)]/9(R2 - r2) dV2/dr2 = 2πR/3 + [3√(R2 - r2) (2πR2 - 9πr2) + r(2πrR2 - 3πr3)/3√(R2 - r2)]/9(R2 - r2) dV2/dr2 = 2πR/3 + [(9 (R2 - r2) (2πR2 - 9πr2) + r(2πrR2 - 3πr3))/3√(R2 - r2)]/9(R2 - r2) dV2/dr2 = 2πR/3 + [9 (R2 - r2) (2πR2 - 9πr2) + 2πr2R2 - 3πr4]/27(R2 - r2)3/2 dV2/dr2 = 2πR/3 + [9 (R2 - 8R2/9) (2πR2 - 8πR2) + 16πR4/9 - 64πR4/27]/27(R2 - r2)3/2 dV2/dr2 = 2πR/3 + [9 (R2/9) (-6πR2) - 16πR4/27]/27(R2 - r2)3/2 dV2/dr2 = 2πR/3 + [-6πR4 - 16πR4/27]/27(R2 - r2)3/2 dV2/dr2 = 2πR/3 + [-162πR4 - 16πR4]/729(R2 - r2)3/2 dV2/dr2 = 2πR/3 - 178πR4/729(R2 - r2)3/2 dV2/dr2 < 0 所以，V 的局部最大值将在 r2 = 8R2/9 点给出。 h = R + √(R2 - r2) h = R + √(R2 - 8R2/9) h = R + R/3 h = 4R/3 因此，根据二阶导数检验，当半径为 4R/3，高为 2R√2/3 时，圆锥的体积最大。 圆锥体积 = π(8R2/9) (4R/3)/3 = 8 (4πR3)/27(3) = (8/27) 4πr3/3 = 8/27 × 球体体积 因此，可以内接于半径为 R 的球体中的最大圆锥体的体积是球体体积的 8/27。 24. 证明给定体积且曲面面积最小的直立圆锥体，其高是底面半径的 √2 倍。 解决方案 设圆锥的半径为 r，高为 h。 那么，圆锥的体积将是 V = πr2h/3 3V = πr2h h = 3V/πr2 斜高 = l = √(r2 + h2) = √(r2 + 9V2/π2r4) 圆锥的表面积将是 S = πrl S = πr√(r2 + 9V2/π2r4) S = πr√((π2r6 + 9V2)/π2r4) S = √(π2r6 + 9V2)/r dS/dr = d/dr [√(π2r6 + 9V2)/r] dS/dr = [6π2r6/2√(π2r6 + 9V2) - √(π2r6 + 9V2)]/r2 dS/dr = [3π2r6/√(π2r6 + 9V2) - √(π2r6 + 9V2)]/r2 dS/dr = [(3π2r6 - (π2r6 + 9V2))/√(π2r6 + 9V2)]/r2 dS/dr = [3π2r6 - π2r6 - 9V2]/r2√(π2r6 + 9V2) dS/dr = [2π2r6 - 9V2]/r2√(π2r6 + 9V2) 当 dS/dr = 0 时 [2π2r6 - 9V2]/r2√(π2r6 + 9V2) = 0 2π2r6 - 9V2 = 0 2π2r6 = 9V2 r6 = 9V2/2π2 d2S/dr2 = d/dr ([2π2r6 - 9V2]/r2√(π2r6 + 9V2)) d2S/dr2 = [r2√(π2r6 + 9V2) (12π2r5) - (2π2r6 - 9V2) (6π2r7/2√(π2r6 + 9V2) + 2r (π2r6 + 9V2))]/r4(π2r6 + 9V2) d2S/dr2 = [r2√(π2 (9V2/2π2) + 9V2) (12π2r5) - (2π2 (9V2/2π2) - 9V2) (6π2r7/2√(π2 (9V2/2π2) + 9V2) + 2r (π2 (9V2/2π2) + 9V2))]/r4(π2 (9V2/2π2) + 9V2) d2S/dr2 = [r2√(27V2/2) (12π2r5) - 0]/r4(27V2/2) d2S/dr2 = [12π2r7√(27V2/2)]/r4(27V2/2) d2S/dr2 = 12π2r3 d2S/dr2 > 0 所以，S 的局部最小值将在 r6 = 9V2/2π2 点给出。 V2 = 2π2r6/9 h = 3V/πr2 h = 3/πr2 × √(2π2r6/9) h = 3/πr2 × πr3√2/3 h = r√2 因此，根据二阶导数检验，当 r6 = 9V2/2π2 且 h = r√2 时，表面积 S 最小。 因此，给定体积且曲面面积最小的直立圆锥体，其高是底面半径的 √2 倍。 25. 证明给定斜高且体积最大的圆锥体的半顶角为 tan-1 √2。 解决方案 设圆锥的半顶角为 x。显然，x ∈ [0, π/2]。 设圆锥的半径、高和斜高分别为 r、h 和 l。 现在，sin x = r/l r = l sin x 并且 cos x = h/l h = l cos x 那么，圆锥的体积将是 V = πr2h/3 V = π (l2 sin2 x) (l cos x)/3 V = (πl3 sin2 x cos x)/3 dV/dx = d/dx ((πl3 sin2 x cos x)/3) dV/dx = πl3/3 × [sin2 x (-sin x) + cos x (2 sin x) (cos x)] dV/dx = πl3/3 × [-sin3 x + 2 sin x cos2 x] dV/dx = πl3[-sin3 x + 2 sin x cos2 x]/3 当 dV/dx = 0 时 πl3[-sin3 x + 2 sin x cos2 x]/3 = 0 -sin3 x + 2 sin x cos2 x = 0 2 sin x cos2 x = sin3 x 2 cos2 x = sin2 x 2 = tan2 x tan x = √2 x = tan-1 √2 d2V/dx2 = d/dx (πl3[-sin3 x + 2 sin x cos2 x]/3) d2V/dx2 = πl3/3 × [-3 sin2 x (cos x) + 2 (sin x (2 cos x) (-sin x) + cos2 x (cos x))] d2V/dx2 = πl3/3 × [-3 sin2 x cos x - 4 sin2 x cos x + 2 cos3 x] d2V/dx2 = πl3/3 × [-7 sin2 x cos x + 2 cos3 x] d2V/dx2 = πl3/3 × [-7 (2 cos2 x) cos x + 2 cos3 x] d2V/dx2 = πl3/3 × [-14 cos3 x + 2 cos3 x] d2V/dx2 = πl3/3 × [-12 cos3 x] d2V/dx2 = -4 πl3 cos3 x d2V/dx2 < 0 所以，V 的局部最大值将在 x = tan-1 √2 点给出 因此，当半顶角为 tan-1 √2 时，圆锥的体积最大。 因此，给定斜高且体积最大的圆锥体的半顶角为 tan-1 √2。 26. 证明给定表面积且体积最大的直立圆锥体的半顶角是 sin1 (1/3)。 解决方案 设圆锥的半顶角为 x。显然，x ∈ [0, π/2]。 设圆锥的半径、高和斜高分别为 r、h 和 l。 那么，圆锥的表面积将是 S = πrl + πr2 S = πr√(r2 + h2) + πr2 S - πr2 = πr√(r2 + h2) (S - πr2)/πr = √(r2 + h2) r2 + h2 = (S2 + π2r4 - 2Sπr2)/π2r2 h2 = (S2 + π2r4 - 2Sπr2)/π2r2 - r2 h2 = (S2 + π2r4 - 2Sπr2 - π2r4)/π2r2 h2 = (S2 - 2Sπr2)/π2r2 圆锥的体积将是 V = πr2h/3 V2 = π2r4h2/9 V2 = π2r4/9 × (S2 - 2Sπr2)/π2r2 V2 = r2/9 × (S2 - 2Sπr2) V2 = S (Sr2 - 2πr4)/9 设 f (r) = S (Sr2 - 2πr4)/9 f' (r) = d/dr (S (Sr2 - 2πr4)/9) f' (r) = S/9 × [2Sr - 8πr3] 当 f' (r) = 0 时 S (2Sr - 8πr3)/9 = 0 2Sr (S - 4πr2) = 0 r (S - 4πr2) = 0 r = 0 或 S - 4πr2 = 0 4πr2 = S r2 = S/4π ⇒ r = √(S/4π) 但是 r 是圆锥的半径，所以 r = 0 是不可能的。 f'' (r) = d/dr (S (2Sr - 8πr3)/9) f'' (r) = S/9 × (2S - 24πr2) f'' (√(S/4π)) = S/9 × (2S - 24π (S/4π)) f'' (√(S/4π)) = S/9 × (2S - 6S) f'' (√(S/4π)) = -4S2/9 f'' (√(S/4π)) < 0 所以，f (x) 的局部最大值将在 r = √(S/4π) 点给出。 r2 = S/4π S = 4πr2 4πr2 = πrl + πr2 3πr2 = πrl 3r = l r/l = 1/3 sin x = r/l sin x = 1/3 x = sin-1 (1/3) 因此，当半顶角为 sin-1 (1/3) 时，圆锥的体积最大。 因此，给定表面积且体积最大的圆锥体的半顶角是 sin-1 (1/3)。 在问题 27 和 29 中选择正确答案。27. 曲线上 x2 = 2y 上离点 (0, 5) 最近的点是
解决方案 x2 = 2y y = x2/2 该点的位置将是 (x, x2/2)。 点 (x, x2/2) 和 (0, 5) 之间的距离是 f (x) = √[(x - 0)2 + (x2/2 - 5)2] f (x) = √[x2 + x4/4 + 25 - 5x2] f (x) = √[x4/4 - 4x2 + 25] f (x) = √[(x4 - 16x2 + 100)/4] f (x) = √(x4 - 16x2 + 100)/2 f' (x) = (1/2) d/dx (√(x4 - 16x2 + 100)) f' (x) = (1/2) (1/2√(x4 - 16x2 + 100) × (4x3 - 32x)) f' (x) = (4x3 - 32x)/4√(x4 - 16x2 + 100) f' (x) = 4 (x3 - 8x)/4√(x4 - 16x2 + 100) f' (x) = (x3 - 8x)/√(x4 - 16x2 + 100) 令 f' (x) = 0 (x3 - 8x)/√(x4 - 16x2 + 100) = 0 x3 - 8x = 0 x (x2 - 8) = 0 x = 0 或 x2 - 8 = 0 x2 = 8 ⇒ x = ±2√2 f'' (x) = d/dx [(x3 - 8x)/√(x4 - 16x2 + 100)] f'' (x) = [(3x2 - 8)√(x4 - 16x2 + 100) + (x3 - 8x) (4x3 - 32x)/2√(x4 - 16x2 + 100)]/(x4 - 16x2 + 100) f'' (x) = [(3x2 - 8)√(x4 - 16x2 + 100) + (x3 - 8x) (2x3 - 16x)/√(x4 - 16x2 + 100)]/(x4 - 16x2 + 100) f'' (x) = [((3x2 - 8) (x4 - 16x2 + 100) + (x3 - 8x) (2x3 - 16x))/√(x4 - 16x2 + 100)]/(x4 - 16x2 + 100) f'' (x) = [(3x2 - 8) (x4 - 16x2 + 100) + (x3 - 8x) (2x3 - 16x)]/(x4 - 16x2 + 100)3/2 f'' (0) = [(0 - 8) (0 - 0 + 100) + (0) (0)]/(0 - 0 + 100)3/2 f'' (0) = [-800]/(100)3/2 f'' (0) < 0 f'' (2√2) = [(3 (8) - 8) (64 - 16 (8) + 100) + (16√2 - 16√2) (32√2 - 32√2)]/(64 - 16 (8) + 100)3/2 f'' (2√2) = [(16) (36)]/(36)3/2 f'' (2√2) = [(16)]/(36)1/2 f'' (2√2) > 0 f'' (-2√2) = [(3 (8) - 8) (64 - 16 (8) + 100) + (-16√2 + 16√2) (-32√2 + 32√2)]/(64 - 16 (8) + 100)3/2 f'' (-2√2) = [(16) (36)]/(36)3/2 f'' (-2√2) = [(16) (36)]/(36)1/2 f'' (2√2) > 0 所以，f (x) 的局部最大值将在 x = 0 点给出，局部最小值将在 x = ±2√2 点给出。 x = ±2√2 y = (±2√2)2/2 y = 4 因此，曲线上 x2 = 2y 上离点 (0, 5) 最近的点是 (±2√2, 4)。 因此，(A) 是正确答案。 28. 对于 x 的所有实数值，(1 - x + x2)/(1 + x + x2) 的最小值是
解决方案 设 f (x) = (1 - x + x2)/(1 + x + x2) f' (x) = d/dx [(1 - x + x2)/(1 + x + x2)] f' (x) = [(1 + x + x2) (-1 + 2x) - (1 - x + x2) (1 + 2x)]/(1 + x + x2)2 f' (x) = [-1 + 2x - x + 2x2 - x2 + 2x3 - 1 - 2x + x + 2x2 - x2 - 2x3]/(1 + x + x2)2 f' (x) = [-2 + 2x2]/(1 + x + x2)2 f' (x) = 2 (x2 - 1)/(1 + x + x2)2 令 f' (x) = 0 2 (x2 - 1)/(1 + x + x2)2 = 0 2 (x2 - 1) = 0 x2 - 1 = 0 x2 = 1 x = ±1 f'' (x) = 2 d/dx [(x2 - 1)/(1 + x + x2)2] f'' (x) = 2 [(1 + x + x2)2 (2x) - 2 (x2 - 1) (1 + x + x2) (1 + 2x)]/(1 + x + x2)4 f'' (1) = 2 [(1 + 1 + 1)2 (2) - 2 (1 - 1) (1 + 1 + 1) (1 + 2)]/(1 + 1 + 1)4 f'' (1) = 2 [18]/81 f'' (1) = 4/9 f'' (1) > 0 f'' (-1) = 2 [(1 - 1 + 1)2 (-2) - 2 (1 - 1) (1 - 1 + 1) (1 - 2)]/(1 - 1 + 1)4 f'' (-1) = 2 [-2]/1 f'' (-1) = -4 f'' (x) < -1 所以，f (x) 的局部最大值将在 x = -1 点给出，局部最小值将在 x = 1 点给出。 f (1) = (1 - 1 + 12)/(1 + 1 + 12) = 1/3 因此，(1 - x + x2)/(1 + x + x2) 的最大值为 1/3。 因此，(D) 是正确答案。 29. [x (x - 1) + 1]1/3, 0 ≤ x ≤ 1 的最大值是
解决方案 设 f (x) = [x (x - 1) + 1]1/3 f' (x) = d/dx [x (x - 1) + 1]1/3 f' (x) = 1/3[x (x - 1) + 1]2/3 × (x + (x - 1)) f' (x) = (2x - 1)/3[x (x - 1) + 1]2/3 令 f' (x) = 0 (2x - 1)/3[x (x - 1) + 1]2/3 = 0 2x - 1 = 0 2x = 1 x = 1/2 ∈ [0, 1] 所以，x = 1/2 是一个临界点，x = 0, 1 是端点。 f (0) = [0 + 1]1/3 = 1 f (1) = [1 (1 - 1) + 1]1/3 = 1 f (1/2) = [(1/2 - 1)/2 + 1]1/3 = (3/4)1/3 因此，f 在 [0, 1] 上的绝对最大值是 1（在 x = 0, 1 时）。 因此，(C) 是正确答案。 杂项练习1. 证明函数 f (x) = log x/x 在 x = e 时有最大值。 解决方案 f (x) = log x/x f' (x) = d/dx (log x/x) f' (x) = [x (1/x) - (log x)]/x2 f' (x) = [1 - log x]/x2 令 f' (x) = 0 [1 - log x]/x2 = 0 1 - log x = 0 log x = 1 log x = log e x = e f'' (x) = d/dx ([1 - log x]/x2) f'' (x) = [x2 (-1/x) - (1 - log x) (2x)]/x4 f'' (x) = [-x - 2x (1 - log x)]/x4 f'' (e) = [-e - 2e (1 - log e)]/e4 f'' (e) = [-e - 2e (1 - 1)]/e4 f'' (e) = [-e]/e4 f'' (e) = -1/e3 f'' (e) < 0 因此，根据二阶导数检验，函数 f 在 x = e 时最大。 2. 一个底边 b 固定的等腰三角形的两条相等边以每秒 3 厘米的速度减小。当两条相等边等于底边时，面积减小的速度有多快？ 解决方案  设有一个等腰三角形 ABC，其中底边是 BC，从点 A 向其作垂线 AD。 设相等的边 AB 和 AC 的长度为 a 厘米，BC 的长度为 b 厘米。 在 ∆ ADC 中应用勾股定理， AD2 + DC2 = AC2 AD2 = AC2 - DC2 AD2 = a2 - (b/2)2 AD2 = a2 - b2/4 两边取平方根 AD = √(a2 - b2/4) 三角形 ABC 的面积将是 A = 1/2 × BC × AD = b/2 × √(a2 - b2/4) 面积 A 相对于时间 t 的变化率将是 dA/dt = d/dt [b√(a2 - b2/4)/2] dA/dt = b [1/2√(a2 - b2/4) × (2a da/dt) + √(a2 - b2/4) db/dt]/2 dA/dt = b [(a da/dt)/√((4a2 - b2)/4)]/2 dA/dt = ab/√(4a2 - b2) da/dt 已知三角形的两条相等边以 3 厘米/秒 的速率减小。因此， da/dt = -3 dA/dt = ab/√(4a2 - b2) da/dt dA/dt = -3ab/√(4a2 - b2) 因此，面积以 3ab/√(4a2 - b2) cm2/s 的速率减小。 当等腰三角形的相等边等于底边时， a = b 面积的变化率 = dA/dt = -3a(a)/√(4a2 - a2) dA/dt = -3a2/a√3 dA/dt = -a√3 或 dA/dt = -b√3 因此，如果等腰三角形的两条相等边等于底边，那么三角形的面积以 -a√3 cm2/s 或 -b√3 cm2/s 的速率减小。 3. 求函数 f 在以下区间内的情况： f (x) = (4 sin x - 2x - x cos x)/(2 + cos x) (i) 递增 (ii) 递减。 解决方案 f (x) = (4 sin x - 2x - x cos x)/(2 + cos x) f' (x) = d/dx [(4 sin x - 2x - x cos x)/(2 + cos x)] f' (x) = [(2 + cos x) (4 cos x - 2 - (-x sin x + cos x)) - (4 sin x - 2x - x cos x) (-sin x)]/(2 + cos x)2 f' (x) = [(2 + cos x) (4 cos x - 2 + x sin x - cos x) + 4 sin2 x - 2x sin x - x sin x cos x]/(2 + cos x)2 f' (x) = [(2 + cos x) (3 cos x - 2 + x sin x) + 4 sin2 x - 2x sin x - x sin x cos x]/(2 + cos x)2 f' (x) = [6 cos x - 4 + 2x sin x + 3 cos2 x - 2 cos x + x sin x cos x + 4 sin2 x - 2x sin x - x sin x cos x]/(2 + cos x)2 f' (x) = [4 cos x - 4 + 3 cos2 x + 4 sin2 x]/(2 + cos x)2 f' (x) = [4 cos x - 4 + 3 cos2 x + 4 (1 - cos2 x)]/(2 + cos x)2 f' (x) = [4 cos x - 4 + 3 cos2 x + 4 - 4 cos2 x]/(2 + cos x)2 f' (x) = [4 cos x - cos2 x]/(2 + cos x)2 f' (x) = cos x (4 - cos x)/(2 + cos x)2 令 f' (x) = 0 cos x (4 - cos x)/(2 + cos x)2 = 0 cos x (4 - cos x) = 0 4 - cos x = 0 cos x = 4 但是 cos x = 4 是不可能的。 所以, cos x = 0 x = π/2, 3π/2 三个区间将是 (0, π/2), (π/2, 3π/2), 和 (3π/2, 2π)。 对于区间 (0, π/2)，我们可以选择 x = π/4。那么， f' (x) = cos π/4 (4 - cos π/4)/(2 + cos π/4)2 = (4 - 1/√2)/(2 + 1/√2)2√2 f' (x) = (4√2 - 1)/(2√2 + 1)2 对于所有 x ∈ (0, π/2)，f' (x) > 0，因此函数在 (0, π/2) 上严格递增。 类似地， 对于区间 (π/2, 3π/2)， 对于所有 x ∈ (π/2, 3π/2)，f' (x) > 0，因此函数在 (π/2, 3π/2) 上严格递增。 对于区间 (3π/2, 0)， 对于所有 x ∈ (3π/2, 0)，f' (x) < 0，因此函数在 (3π/2, 0) 上严格递减。 因此，函数 f (x) 在 x ∈ (0, π/2), (π/2, 3π/2) 上递增，在 x ∈ (3π/2, 0) 上递减。 4. 求函数 f (x) = x3 + 1/x3, x ≠ 0 在以下区间内的情况： (i) 递增 (ii) 递减 解决方案 f (x) = x3 + 1/x3 f' (x) = d/dx (x3 + 1/x3) f' (x) = 3x2 - 3/x4 f' (x) = (3x6 - 3)/x4 f' (x) = 3 (x6 - 1)/x4 令 f' (x) = 0 3 (x6 - 1)/x4 = 0 x6 - 1 = 0 x6 = 1 x = ±1 这在区间 (-∞, -1) 和 (1, ∞) 上成立。 对于区间 (-∞, -1)，我们可以选择 x = -2。那么， f' (x) = 3 ((-2)6 - 1)/(-2)4 = 3 (63)/16 f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (-∞, -1)，因此函数在 (-∞, -1) 上严格递增。 类似地， 对于区间 (-1, 1)， 对于所有 x ∈ (-1, 1)，f' (x) < 0，因此函数在 (-1, 1) 上严格递减。 对于区间 (1, ∞)， f' (x) > 0，对于所有 x ∈ (1, ∞)，因此函数在 (1, ∞) 上严格递增。 因此，函数 f (x) 在 x ∈ (-∞, -1), (1, ∞) 上递增，在 x ∈ (-1, 1) 上递减。 5. 求内接于椭圆 x2/a2 + y2/b2 = 1 且顶点在长轴一端的等腰三角形的最大面积。 解决方案 给定的椭圆是 x2/a2 + y2/b2 = 1。所以，长轴是沿 x 轴。 设有一个三角形 ABC 内接于椭圆，其中顶点 C 是 (a, 0)。 我们知道椭圆相对于 x 轴和 y 轴是对称的。因此，设顶点 A 和 B 的坐标分别为 (-x1, y1) 和 (-x1, -y1)。 x2/a2 + y2/b2 = 1 y2/b2 = 1 - x2/a2 y2 = b2 (a2 - x2)/a2 两边取平方根 y = ±b√(a2 - x2)/a 那么，顶点 A 的坐标将是 (-x1, b√(a2 - x12)/a)，顶点 B 的坐标将是 ∆ ABC 的面积将由以下公式给出 A = 1/2 × |a (2b√(a2 - x12)/a) + (-x1) (-b√(a2 - x12)/a) + (-x1) (-b√(a2 - x12)/a)| A = 1/2 × |a (2b√(a2 - x12)/a) + 2x1b√(a2 - x12)/a)| A = 1/2 × 2 |b√(a2 - x12) + x1b√(a2 - x12)/a)| A = b√(a2 - x12) + x1b√(a2 - x12)/a dA/dx1 = d/dx1 [b√(a2 - x12) + x1b√(a2 - x12)/a] dA/dx1 = [-2bx1/2√(a2 - x12) + b (-2x12/2√(a2 - x12) + √(a2 - x12))/a] dA/dx1 = [-bx1/√(a2 - x12) + b (-x12/√(a2 - x12) + √(a2 - x12))/a] dA/dx1 = [-bx1/√(a2 - x12) + b (-x12 + (a2 - x12))/a√(a2 - x12)] dA/dx1 = b/√(a2 - x12) × [-x1 + (-2x12 + a2)/a] dA/dx1 = b/a√(a2 - x12) × [-ax1 - 2x12 + a2] 当 dA/dx1 = 0 时 b/a√(a2 - x12) × [-ax1 - 2x12 + a2] = 0 -2x12 -ax1 + a2 = 0 使用二次公式判别式 Δ = b2 - 4ac x1 = [a ± √(a2 + 8a2)]/-4 x1 = [a ± √(9a2)]/-4 x1 = [a ± 3a]/-4 x1 = (a + 3a)/-4 x1 = (a - 3a)/-4 x1 = 4a/-4 x1 = (-2a)/-4 x1 = -a x1 = a/2 但是 x1 = -a 是不可能的。 x1 = a/2 y1 = b√(a2 - (a/2)2)/a y1 = b√(a2 - a2/4)/a y1 = b√(3a2/4)/a y1 = b√3/2 d2A/dx12 = d/dx1 [b/a√(a2 - x12) × (-ax1 - 2x12 + a2)] d2A/dx12 = b/a × [√(a2 - x12) × (-a - 4x1) - (-2x1) (-ax1 - 2x12 + a2)/2√(a2 - x12)]/(a2 - x12) d2A/dx12 = b/a × [√(a2 - x12) × (-a - 4x1) + x1 (-ax1 - 2x12 + a2)/√(a2 - x12)]/(a2 - x12) d2A/dx12 = b/a × [(a2 - x12) × (-a - 4x1) + x1 (-ax1 - 2x12 + a2)]/(a2 - x12)3/2 d2A/dx12 = b/a × [-a3 - 4a2x1 + ax12 + 4x13 - ax12 - 2x13 + a2x1]/(a2 - x12)3/2 d2A/dx12 = b/a × [-a3 - 3a2x1 + 2x13]/(a2 - x12)3/2 d2A/dx12 = b/a × [-a3 - 3a2 (a/2) + 2 (a/2)3]/(a2 - (a/2)2)3/2 d2A/dx12 = b/a × [-a3 - 3a3/2 + a3/4]/(a2 - a2/4)3/2 d2A/dx12 = b/a × [(-4a3 - 6a3 + a3)/4]/(3a2/4)3/2 d2A/dx12 = b/a × [(-9a3)/4]/(3a2/4)3/2 d2A/dx12 = b/a × [(-9a3)/4]/(27a3/8) d2A/dx12 = b/a × (-2/3) d2A/dx12 = -2b/3a d2A/dx12 < 0 所以，当 x1 = a/2 时，面积 A 获得最大值。 三角形的最大面积 = b√(a2 - a2/4) + b√(a2 - a2/4)/2 = b√(3a2/4) + b√(3a2/4)/2 = ab√3/2 + ab√3/4 = 3ab√3/4 因此，内接于给定椭圆且顶点在长轴一端的等腰三角形的最大面积是 3ab√3/4 平方单位。 6. 一个顶部敞开、具有矩形底和矩形侧面的水箱，其深度为 2 米，体积为 8 立方米。如果建造水箱的成本为底座每平方米 70 卢比，侧面每平方米 45 卢比。最便宜的水箱成本是多少？ 解决方案 设水箱的长、宽、高分别为 l, b, h。 那么，水箱的体积将是 V = l × b × h 8 = lb (2) 4 = lb b = 4/l 底座面积 = lb = 4 m2 4 面墙的面积将是 A = 2h (l + b) A = 4 (l + 4/l) A = 4(l2 + 4)/l dA/dl = 4 d/dl ((l2 + 4)/l) dA/dl = 4 [2l2 - (l2 + 4)]/l2 dA/dl = 4 [l2 - 4]/l2 当 dA/dl = 0 时 4 (l2 - 4)/l2 = 0 l2 - 4 = 0 l2 = 4 l = ±2 但长度不能为负，所以 l = -2 是不可能的。 l = 2 b = 4/l = 4/2 = 2 d2A/dl2 = 4 d/dl [(l2 - 4)/l2] d2A/dl2 = 4 [2l3 - 2l (l2 - 4)]/l4 d2A/dl2 = 8l [l2 - (l2 - 4)]/l4 d2A/dl2 = 8 [l2 - l2 + 4]/l3 d2A/dl2 = 32/l3 d2A/dl2 = 32/23 d2A/dl2 = 4 d2A/dl2 > 0 根据二阶导数检验，当 l = 2 时，面积 A 最小。 l = 2 b = 2 h = 2 建造底座的成本 = 70 × (lb) = 70 × 4 = 280 卢比 建造墙壁的成本 = 45 × 2h (l + b) = 90 × 2 (4) = 720 卢比 所需的总成本 = 280 卢比 + 720 卢比 = 1000 卢比 因此，最便宜的水箱的总成本是 1000 卢比。 7. 一个圆形和一个正方形的周长之和是 k，其中 k 是某个常数。证明当正方形的边长是圆形半径的两倍时，它们的面积之和最小。 解决方案 设圆的半径为 r，正方形的边长为 a。 那么，圆的周长 = 2πr，正方形的周长 = 4a 2πr + 4a = k 4a = k - 2πr a = (k - 2πr)/4 圆形和正方形的面积之和将是 A = πr2 + a2 A = πr2 + (k - 2πr)2/42 A = πr2 + (k - 2πr)2/16 dA/dr = d/dr [πr2 + (k - 2πr)2/16] dA/dr = 2πr + 2 (k - 2πr)(-2π)/16 dA/dr = 2πr - π (k - 2πr)/4 当 dA/dr = 0 时 2πr - π (k - 2πr)/4 = 0 2πr = π (k - 2πr)/4 8r = k - 2πr 8r + 2πr = k r (8 + 2π) = k r = k/(2π + 8) d2A/dr2 = d/dr [2πr - π (k - 2πr)/4] d2A/dr2 = [2πr - π (-2π)/4] d2A/dr2 = 2πr + π2/2 d2A/dr2 = 2πk/2(π + 4) + π2/2 d2A/dr2 = πk/(π + 4) + π2/2 d2A/dr2 > 0 根据二阶导数检验，当 r = k/(8 + 2π) 时，面积 A 最小。 a = (k - 2πr)/4 a = (k - 2π (k/2(4 + π)))/4 a = (k - πk/(4 + π))/4 a = (k (4 + π) - πk)/4(4 + π) a = (4k + πk - πk)/4(4 + π) a = (4k)/4(4 + π) a = 2k/2(π + 4) a = 2r 因此，当正方形的边长是圆形半径的两倍时，它们的面积之和最小。 8. 一个窗户的形状是一个矩形，上面有一个半圆形的开口。窗户的总周长是 10 米。找出窗户的尺寸，以使整个开口能透入最多的光线。 解决方案 设矩形窗户的长和宽分别为 l 和 b。 那么，半圆形开口的半径 = x/2 窗户的周长 = l + 2b + πl/2 10 - l (1 + π/2) = 2b 5 - l (1/2 + π/4) = b 窗户的面积将是 A = lb + π(l/2)2/2 A = l [5 - l (1/2 + π/4)] + πl2/8 A = 5l - l2 (1/2 + π/4) + πl2/8 dA/dl = d/dl [5l - l2 (1/2 + π/4) + πl2/8] dA/dl = 5 - 2l (1/2 + π/4) + 2πl/8 dA/dl = 5 - l (1 + π/2) + πl/4 当 dA/dl = 0 时 5 - l (1 + π/2) + πl/4 = 0 l (1 + π/2) - πl/4 = 5 l (1 + π/2 - π/4) = 5 l (1 + π/4) = 5 l (4 + π)/4 = 5 l = 20/(4 + π) d2A/dl2 = d/dl [5 - l (1 + π/2) + πl/4] d2A/dl2 = -(1 + π/2) + π/4 d2A/dl2 = -1 - π/2 + π/4 d2A/dl2 = -1 - π/4 d2A/dl2 = -(1 + π/4) d2A/dl2 < 0 根据二阶导数检验，当 l = 20/(π + 4) 时，面积 A 最大。 5 - l (1/2 + π/4) = b b = 5 - (20/(π + 4)) (2 + π)/4 b = 5 - 5 (2 + π)/(4 + π) b = (5 (4 + π) - 5 (2 + π))/(4 + π) b = (20 + 5π - 10 - 5π)/(4 + π) b = 10/(4 + π) 因此，为了使整个开口能透入最多的光线，所需的窗户尺寸是长 = 20/(π + 4) 米，宽 = 10/(π + 4) 米。 9. 一个三角形斜边上的一点距离三角形的两边分别为 a 和 b。证明斜边的最小长度是 (a2/3 + b2/3)3/2。 解决方案 给定三角形斜边上的点与三角形另外两边的距离固定为 a 和 b。 设直角三角形为 ABC，直角在 B。设 AB 和 BC 的长度分别为 x 和 y。 设 P 是斜边上的一点，使得 P 距离边 AB 和 BC 分别为 a 和 b，并设 ∠C = θ。 应用勾股定理， AC2 = AB2 + BC2 AC = √(x2 + y2) 现在， cosec θ = PC/b PC = b cosec θ 并且 sec θ = AP/a AP = a sec θ AC = AP + PC AC = a sec θ + b cosec θ dAC/dθ = d/dθ (a sec θ + b cosec θ) dAC/dθ = a sec θ tan θ - b cosec θ cot θ 当 dAC/dθ = 0 时 a sec θ tan θ - b cosec θ cot θ = 0 a sec θ tan θ = b cosec θ cot θ a/cos θ × sin θ/cos θ = b/sin θ × cos θ/sin θ a sin3 θ = b cos3 θ sin3 θ/cos3 θ = b/a tan3 θ = b/a tan θ = (b/a)1/3 因此， sin θ = (b/√(a2 + b2))1/3 sin θ = b1/3/√(a2/3 + b2/3) 并且 cos θ = a1/3/√(a2/3 + b2/3) d2AC/dθ2 = d/dθ [a sec θ tan θ - b cosec θ cot θ] d2AC/dθ2 = a (sec θ (sec2 θ) + tan θ (sec θ + tan θ)) - b (cosec θ (-cosec2 θ) + cot θ (-cosec θ cot θ)) d2AC/dθ2 = a (sec3 θ + tan2 θ sec θ) - b (-cosec3 θ - cot2 θ cosec θ) d2AC/dθ2 = a (sec2 θ + tan2 θ) sec θ + b (cosec2 θ + cot2 θ) cosec θ d2AC/dθ2 > 0 根据二阶导数检验，当 tan θ = (b/a)1/3 时，斜边 AC 最小。 AC = a sec θ + b cosec θ AC = a/cos θ + b/sin θ AC = a [√(a2/3 + b2/3)/a1/3] + b [√(a2/3 + b2/3)/b1/3] AC = √(a2/3 + b2/3) [a2/3 + b2/3] AC = (a2/3 + b2/3)3/2 因此，斜边的最小长度是 (a2/3 + b2/3)3/2。 10. 找出函数 f (x) = (x - 2)4 (x + 1)3 在哪些点有
解决方案 f (x) = (x - 2)4 (x + 1)3 f' (x) = d/dx [(x - 2)4 (x + 1)3] f' (x) = [3 (x + 1)2 (x - 2)4 + 4 (x - 2)3 (x + 1)3] f' (x) = (x - 2)2 (x + 1)2 [3 (x - 2)2 + 4 (x - 2) (x + 1)] f' (x) = (x - 2)2 (x + 1)2 [3 (x2 + 4 - 4x) + 4 (x2 - 2x + x - 2)] f' (x) = (x - 2)2 (x + 1)2 [3x2 + 12 - 12x + 4x2 - 4x - 8] f' (x) = (x - 2)2 (x + 1)2 [7x2 + 4 - 16x] f' (x) = (x - 2)2 (x + 1)2 [7x2 - 14x - 2x + 4] f' (x) = (x - 2)2 (x + 1)2 [7x (x - 2) - 2 (x - 2)] f' (x) = (x - 2)2 (x + 1)2 [(x - 2) (7x - 2)] f' (x) = (x - 2)3 (x + 1)2 (7x - 2) 令 f' (x) = 0 (x - 2)3 (x + 1)2 (7x - 2) = 0 (x - 2)3 = 0 x - 2 = 0 ⇒ x = 2 或 (x + 1)2 = 0 x + 1 = 0 ⇒ x = -1 或 7x - 2 = 0 7x = 2 ⇒ x = 2/7 现在， 对于接近 x = 2/7 且在 2/7 左侧的值，f' (x) > 0。 对于接近 x = 2/7 且在 2/7 右侧的值，f' (x) < 0。 所以，x = 2/7 是局部最大值点。 对于接近 x = 2 且在 2 左侧的值，f' (x) < 0。 对于接近 x = 2 且在 2 右侧的值，f' (x) > 0。 所以，x = 2 是局部最小值点。 对于 x 经过 -1 的值，f' (x) 的符号不改变。 所以，x = -1 是拐点。 因此，对于函数 f (x) = (x - 2)4 (x + 1)3，局部最小值点是 x = 2，局部最大值点是 2/7，拐点是 -1。 11. 求函数 f (x) = cos2 x + sin x, x ∈ [0, π] 的绝对最大值和最小值。 f (x) = cos2 x + sin x, x ∈ [0, π] 解决方案 f (x) = cos2 x + sin x f' (x) = d/dx (cos2 x + sin x) f' (x) = (2 cos x (-sin x) + cos x) f' (x) = -2 sin x cos x + cos x 令 f' (x) = 0 -2 sin x cos x + cos x = 0 cos x (2 sin x - 1) = 0 cos x = 0 x = π/2 或 2 sin x - 1 = 0 2 sin x = 1 sin x = 1/2 x = π/6 x = π/2 或 π/6 ∈ [0, π] 所以，x = π/2 和 x = π/6 是临界点，x = 0, π 是端点。 f (0) = cos2 0 + sin 0 = 1 + 0 = 1 f (π/2) = cos2 π/2 + sin π/2 = 0 + 1 = 1 f (π/6) = cos2 π/6 + sin π/6 = (√3/2)2 + 1/2 = 3/4 + 1/2 = 5/4 f (π) = cos2 π + sin π = (-1)2 + 0 = 1 因此，函数 f 在 [0, π] 上的绝对最大值是 5/4（在 x = π/6 时），绝对最小值是 1（在 x = 0, π/2, 和 π 时）。 12. 证明可以内接于半径为 r 的球体中的最大体积的直立圆锥体的高度是 4r/3。 解决方案 设 R 和 H 分别是圆锥的半径和高。 那么，圆锥的体积将是 V = πR2H/3 利用勾股定理， (H - r)2 + R2 = r2 (H - r)2 = r2 - R2 两边取平方根， H - r = √(r2 - R2) H = r + √(r2 - R2) V = πR2 (r + √(r2 - R2))/3 V = (πR2r + πR2 √(r2 - R2))/3 dV/dR = (1/3) d/dR (πR2r + πR2 √(r2 - R2)) dV/dR = (1/3) (2πRr + π (-2R3/2√(r2 - R2) + 2R √(r2 - R2))) dV/dR = (1/3) (2πRr - πR3/√(r2 - R2) + 2πR √(r2 - R2))) dV/dR = (1/3) [2πRr - (πR3 - 2πR (r2 - R2))/√(r2 - R2)] dV/dR = (1/3) [2πRr - (πR3 + 2πR3 - 2πRr2)/√(r2 - R2)] dV/dR = (1/3) [2πRr - (3πR3 - 2πRr2)/√(r2 - R2)] 当 dV/dR = 0 时 (1/3) [2πRr - (3πR3 - 2πRr2)/√(r2 - R2)] = 0 2πRr - (3πR3 - 2πRr2)/√(r2 - R2) = 0 2πRr = (3πR3 - 2πRr2)/√(r2 - R2) 2πRr √(r2 - R2) = πR (3R2 - 2r2) 2r √(r2 - R2) = 3R2 - 2r2 两边平方 4r2 (r2 - R2) = (3R2 - 2r2)2 4r4 - 4R2r2 = 9R4 + 4r4 - 12R2r2 9R4 - 8R2r2 = 0 9R4 = 8R2r2 9R2 = 8r2 R2 = 8r2/9 d2V/dR2 = (1/3) d/dR [2πRr - (3πR3 - 2πRr2)/√(r2 - R2)] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - ((9πR2 - 2πr2) √(r2 - R2) - (-2R) (3πR3 - 2πRr2)/2√(r2 - R2))/(r2 - R2)] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - ((9πR2 - 2πr2) √(r2 - R2) + R (3πR3 - 2πRr2)/√(r2 - R2))/(r2 - R2)] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - ((9πR2 - 2πr2) (r2 - R2) + R2 (3πR2 - 2πr2))/(r2 - R2)3/2] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - ((9π (8r2/9) - 2πr2) (r2 - (8r2/9)) + (8r2/9) (3π (8r2/9) - 2πr2))/(r2 - (8r2/9))3/2] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - ((8πr2/9 - 2πr2) (r2/9) + (8r2/9) (8πr2/3 - 2πr2))/(r2/9)3/2] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - (-10πr2/9) (r2/9) + (8r2/9) (2πr2/3))/(r2/9)3/2] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - (-10πr4/81) + (16πr4/27))/(r2/9)3/2] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - (38πr4/92)/(r2/9)3/2] d2V/dR2 = (1/3) [2πr - (38πr/3)] d2V/dR2 = (1/3) [-32πr/3] d2V/dR2 = [-32πr/9] d2V/dR2 < 0 根据二阶导数检验，当 R2 = 8r2/9 时，体积 V 为最大值。 H = r + √(r2 - R2) H = r + √(r2 - 8r2/9) H = r + √(r2/9) H = r + r/3 H = 4r/3 因此，可以内接于半径为 r 的球体中的最大体积直圆锥的高度为 4r/3。 13. 设函数 f 在 [a, b] 上有定义，使得对于所有 x ∈ (a, b)，f'(x) > 0。证明 f 在 (a, b) 上是增函数。 解决方案 我们需要证明 对于所有 x1, x2 ∈ [a, b]，当 x2 > x1 时，有 f (x2) > f (x1)。 设 x1 和 x2 是区间 [a, b] 内的两个数，即 x1, x2 ∈ [a, b] 且 x2 > x1。 考虑区间 [x1, x2]。 函数 f 在 [a, b] 上是连续且可导的，因为对于所有 x ∈ [a, b]，f'(x) > 0。因此，我们可以说函数 f 在 [x1, x2] 上也是连续且可导的，因为 [x1, x2] 包含于 [a, b] 中。 根据中值定理，我们知道存在某个 c ∈ [x1, x2]，使得 f' (c) = [f (x2) - f (x1)]/(x2 - x1) 已知对于所有 x ∈ [a, b]，f'(x) > 0。因此， 对于所有 c ∈ [x1, x2]，f'(c) > 0。 [f (x2) - f (x1)]/(x2 - x1) > 0 f (x2) - f (x1) > 0 f (x2) > f (x1) 所以，对于区间 [a, b] 中的两点 x1, x2，当 x2 > x1 时，我们有 f(x2) > f(x1)。 因此，函数 f 在区间 [a, b] 上是递增的。 14. 证明可以内接于半径为 R 的球体中的最大体积圆柱体的高度为 2R/√3。并求出最大体积。 解决方案 给定一个固定半径为 R 的球体。 设圆柱体的半径为 r，高度为 h。 球心将圆柱体的高度平分为两半。 根据勾股定理， R2 = r2 + (h/2)2 (h/2)2 = R2 - r2 两边取平方根， h/2 = √(R2 - r2) h = 2√(R2 - r2) 则圆柱体的体积为 V = πr2h V = πr2 (2√(R2 - r2)) V = 2πr2 √(R2 - r2) dV/dr = d/dr [2πr2 √(R2 - r2)] dV/dr = 2π [-2r3/2√(R2 - r2) + 2r√(R2 - r2)] dV/dr = 2π [-r3/√(R2 - r2) + 2r√(R2 - r2)] dV/dr = 2π [-r3 + 2r (R2 - r2)]/√(R2 - r2) dV/dr = 2π [-r3 + 2rR2 - 2r3)]/√(R2 - r2) dV/dr = 2πr [-r2 + 2R2 - 2r2)]/√(R2 - r2) dV/dr = 2πr [-3r2 + 2R2]/√(R2 - r2) dV/dr = [-6πr3 + 4πrR2]/√(R2 - r2) 当 dV/dr = 0 时 [-6πr3 + 4πrR2]/√(R2 - r2) = 0 -6πr3 + 4πrR2 = 0 4πrR2 = 6πr3 2R2 = 3r2 r2 = 2R2/3 d2V/dr2 = d/dr [[-6πr3 + 4πrR2]/√(R2 - r2)] d2V/dr2 = [(-18πr2 + 4πR2) √(R2 - r2) - (-2r) (-6πr3 + 4πrR2)/2√(R2 - r2)]/(R2 - r2) d2V/dr2 = [(-18πr2 + 4πR2) √(R2 - r2) + r (-6πr3 + 4πrR2)/√(R2 - r2)]/(R2 - r2) d2V/dr2 = [(-18πr2 + 4πR2) (R2 - r2) + r2 (-6πr2 + 4πR2)]/(R2 - r2)3/2 d2V/dr2 = [(-18π (2R2/3) + 4πR2) (R2 - (2R2/3)) + (2R2/3) (-6π (2R2/3) + 4πR2)]/(R2 - (2R2/3))3/2 d2V/dr2 = [(-12πR2 + 4πR2) (R2/3) + (2R2/3) (-4πR2/3 + 4πR2)]/(R2/3)3/2 d2V/dr2 = [(-8π R2) (R2/3) + (2R2/3) (8π R2/3)]/(R2/3)3/2 d2V/dr2 = [-8π R4/3 + 16π R4/9]/(R2/3)3/2 d2V/dr2 = [-24π R4/9 + 16π R4/9]/(R2/3)3/2 d2V/dr2 = [-8π R4/9]/(R2/3)3/2 d2V/dr2 = [-8π (R2/3)2]/(R2/3)3/2 d2V/dr2 = -8π (R2/3)2 - 3/2 d2V/dr2 = -8π √(R2/3) d2V/dr2 < 0 根据二阶导数检验，当 r2 = 2R2/3 时，体积 V 为最大值。 h = 2 √(R2 - r2) h = 2 √(R2 - 2R2/3) h = 2 √(R2/3) h = 2R/√3 因此，圆柱体的最大体积为 = πr2 h = π (2R2/3) (2R/√3) = 4πR3/3√3 立方单位。 因此，可以内接于半径为 R 的球体中的最大体积圆柱体的高度为 2R/√3，其最大体积为 4πR3/3√3 立方单位。 15. 证明可以内接于高为 h、半顶角为 α 的直圆锥内的最大体积圆柱体的高度是圆锥高度的三分之一，且圆柱体的最大体积为 4/27 πh3 tan2 α。 解决方案 给定一个固定高度为 h、固定半顶角为 α 的直圆锥。 设圆柱体的半径和高度分别为 R 和 H。 然后， tan α = r/h r = h tan α 由于形成的相应直角三角形是相似的，h/r = H/(r - R)，这意味着对应边成比例。 H = h (r - R)/r H = (h tan α - R)/tan α 圆柱体的体积为 V = πR2H V = πR2 (h tan α - R)/tan α V = πR2h - πR3/tan α dV/dR = d/dR [πR2h - πR3/tan α] dV/dR = [2πRh - 3πR2/tan α] 当 dV/dR = 0 时 [2πRh - 3πR2/tan α] = 0 2πRh = 3πR2/tan α 2h = 3R/tan α R = 2h tan α/3 d2V/dR2 = d/dR [2πRh - 3πR2/tan α] d2V/dR2 = [2πh - 6πR/tan α] d2V/dR2 = 2πh - 6π (2h tan α/3)/tan α d2V/dR2 = 2πh - 12πh/3 d2V/dR2 = (6πh - 12πh)/3 d2V/dR2 = (-6πh)/3 d2V/dR2 = -2πh d2V/dR2 < 0 根据二阶导数检验，当 R = 2h tan α/3 时，体积 V 为最大值。 H = (h tan α - R)/tan α H = (h tan α - 2h tan α/3)/tan α H = (3h tan α - 2h tan α)/3 tan α H = h tan α/3 tan α H = h/3 圆柱体的最大体积 = V = π (2h tan α/3)2 (h/3) V = 4πh3 tan2 α/27 因此，可以内接于高为 h、半顶角为 α 的直圆锥内的最大体积圆柱体的高度是圆锥高度的三分之一，且圆柱体的最大体积为 4/27 πh3 tan2 α。 16. 一个半径为 10 米的圆柱形罐子正在以每小时 314 立方米的速度装入小麦。那么小麦的深度增加的速率是
解决方案 设圆柱体的半径为 r。 那么，圆柱体的体积将是 V = πr2h V = π (10)2 h V = 100 πh 两边对时间 t 求导， dV/dt = d/dt [100 πh] dV/dt = 100 π dh/dt 已知罐子正以每小时 314 立方米的速度装入小麦。因此， dV/dt = 314 100 π dh/dt = 314 dh/dt = 314 / (100π) dh/dt = 314 / (100 * 3.14) dh/dt = 1 因此，小麦的深度正以每小时 1 米的速度增加。 因此，(A) 是正确答案。 下一个主题Ncert-12年级数学第7章解答 |
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