12 年级数学第 8 章：积分应用 的 NCERT 解决方案

练习 8.1

1. 求椭圆 x²/16 + y²/9 = 1 所围区域的面积。

解决方案

已知椭圆方程

x²/16 + y²/9 = 1

可以观察到，该椭圆关于 x 轴和 y 轴对称。

1 - x²/16 = y²/9

y²/9 = (16 - x²)/16

y² = 9 (16 - x²)/16

y = (3/4) √(16 - x²)

椭圆围成的面积 = 4 × AOB 围成的面积

椭圆围成的面积 = ₀∫⁴ y dx

₀∫⁴ y dx = ₀∫⁴ (3/4) √(16 - x²) dx

= (3/4) ₀[(x/2) √(16 - x²) + 8 sin^-1 x/4]⁴

= (3/4) [(4/2) √(16 - 16) + 8 sin^-1 (4/4) - (0) √(16 - 0) - 8 sin^-1 0]

= (3/4) [8 sin^-1 1 - 8 sin^-1 0]

= (3/4) (8π/2)

= 3π

因此，椭圆围成的面积 = 4 × 3π = 12π 平方单位

2. 求椭圆 x²/4 + y²/9 = 1 所围区域的面积。

解决方案

已知椭圆方程

x²/4 + y²/9 = 1

可以观察到，该椭圆关于 y 轴和 x 轴对称。

1 - x²/4 = y²/9

y²/9 = (4 - x²)/4

y² = 9 (4 - x²)/4

y = (3/2) √(4 - x²)

椭圆围成的面积 = 4 × 椭圆一个象限区域的面积

椭圆围成的面积 = 4 × ₀∫² y dx

₀∫² y dx = ₀∫² (3/2) √(4 - x²) dx

= (3/2) ₀[(x/2) √(4 - x²) + 2 sin^-1 x/2]²

= (3/2) [(2/2) √(4 - 4) + 2 sin^-1 (2/2) - (0) √(4 - 0) - 2 sin^-1 0]

= (3/2) [2 sin^-1 1 - 2 sin^-1 0]

= (3/2) (2π/2)

= 3π/2

因此，椭圆围成的面积 = 4 × 3π/2 = 6π 平方单位

在以下练习 3 和 4 中选择正确答案

3. 第一象限内，圆 x² + y² = 4 和直线 x = 0 与 x = 2 所围区域的面积为

1. π
2. 2π
3. 3π
4. π/4

解决方案

在第一象限内，直线 x = 0 和 x = 2 以及给定圆所围区域的面积为 ₀∫² y dx

给定圆

x² + y² = 4

y² = 4 - x²

y = √(4 - x²)

₀∫² y dx = ₀∫² √(4 - x²) dx

= ₀[(x/2) √(4 - x²) + (4/2) sin^-1 (x/2)]²

= [(2/2) √(4 - 4) + (4/2) sin^-1 (2/2) - (0) √(4 - 0) - (4/2) sin^-1 0]

= 2 sin^-1 1 - 2 sin^-1 0

= 2π/2

= π 平方单位

因此，正确答案是 (A)。

4. 曲线 y² = 4x、y 轴和直线 y = 3 所围区域的面积为

1. 2
2. 9/4
3. 9/3
4. 9/2

解决方案

直线 y = 3 和给定曲线围成的面积为 ₀∫³ x dy

给定曲线

y² = 4x

x = y²/4

₀∫³ x dy = ₀∫³ (y²/4) dy

= (1/4) ₀[y³/3]³

= (1/4) [3³/3 - 0³/3]

= (1/4) [9 - 0]

= 9/4 平方单位

因此，(B) 是正确答案。

杂项练习

1. 求给定曲线和给定直线下的面积

(i) y = x², x = 1, x = 2 和 x 轴

(ii) y = x⁴, x = 1, x = 5 和 x 轴

解决方案

(i) 给定曲线方程

y = x²

给定直线

x = 1,

x = 2, 和

x 轴，即 y = 0

在图上绘制曲线和直线

所需面积由阴影区域表示。

给定曲线和直线下的面积 = 阴影区域的面积。

阴影区域的面积 = ₁∫² y dx

= ₁∫² x² dx

= ₁[x³/3]²

= 2³/3 - 1/3

= 7/3 平方单位

= 2.33 平方单位

因此，给定曲线 y = x² 以及直线 x = 1、x = 2 和 y = 0（x 轴）下的面积为 2.33 平方单位。

(ii) 给定曲线方程

y = x⁴

给定直线

x = 1,

x = 5, 和

x 轴，即 y = 0

在图上绘制曲线和直线

所需面积由阴影区域表示。

给定曲线和直线下的面积 = 阴影区域的面积。

阴影区域的面积 = ₁∫⁵ y dx

= ₁∫⁵ x⁴ dx

= ₁[x⁵/5]⁵

= 5⁵/5 - 1/5

= 3124/5 平方单位

= 624.8 平方单位

因此，给定曲线 y = x⁴ 以及直线 x = 1、x = 5 和 y = 0（x 轴）下的面积为 624.8 平方单位。

2. 绘制 y = |x + 3| 的图并计算 _-6∫⁰ |x + 3| dx。

解决方案

给定方程

y = |x + 3|

确定 x 和 y 的一些值

使用这些坐标绘制给定方程的图

当 -3 ≤ x ≤ -6 时，x + 3 ≤ 0 且

当 0 ≤ x ≤ -3 时，x + 3 ≥ 0

现在，

_-6∫⁰ |x + 3| dx

= -_-6∫^-3 (x + 3) dx + _-3∫⁰ (x + 3) dx

= - _-6[x²/2 + 3x]^-3 + _-3[x²/2 + 3x]⁰

= -[(-3)²/2 + 3 (-3) - (-6)²/2 - 3 (-6)] + [0/2 + 0 - (-3)²/2 - 3 (-3)]

= -9/2 + 9 + 18 - 18 - 9/2 + 9

= 9

3. 求曲线 y = sin x 在 x = 0 和 x = 2π 之间的面积。

解决方案

给定曲线方程

y = sin x

绘制给定曲线的图并标记给定点 x = 0 和 x = 2π。

曲线 y = sin x 在直线 x = 0 和 x = 2π 之间的面积 = 阴影区域的面积

阴影区域的面积 = ₀∫^π sin x dx + |_π∫^2π sin x dx|

= ₀[-cos x]^π + |_π[-cos x]^2π|

= (-cos π + cos 0) + |-cos 2π + cos π|

= 1 + 1 |-1 - 1|

= 2 + |-2|

= 4 平方单位

在以下练习 4 至 5 中选择正确答案。

4. 曲线 y = x³、x 轴以及纵坐标 x = - 2 和 x = 1 所围区域的面积为

1. -9
2. -15/4
3. 15/4
4. 17/4

解决方案

给定曲线方程

y = x³

给定直线

x = -2, 和

x = 1

在图上绘制曲线和直线

曲线 y = x³、x 轴以及纵坐标 x = -2 和 x = 1 所围的所需区域由阴影区域表示。

给定曲线和直线下的面积 = 阴影区域的面积。

阴影区域的面积 = _-2∫¹ y dx

= _-2∫¹ x³ dx

= _-2[x⁴/4]¹

= 1/4 - (-2)⁴/4

= -15/4 平方单位

因此，(B) 是正确答案。

5. 曲线 y = x | x |、x 轴以及纵坐标 x = - 1 和 x = 1 所围区域的面积为

1. -9
2. -15/4
3. 15/4
4. 17/4

[提示：当 x > 0 时 y = x²，当 x < 0 时 y = - x²]。

解决方案

给定曲线方程

y = x|x|

给定直线

x = 1,

x = -1, 和

x 轴，即 y = 0

在图上绘制曲线和直线

曲线 y = x |x|、x 轴以及纵坐标 x = -1 和 x = -1 所围的所需区域由阴影区域表示。

给定曲线和直线下的面积 = 阴影区域的面积。

阴影区域的面积 = _-1∫¹ y dx

= _-1∫¹ x|x| dx

= _-1∫¹ ± x² dx

当 x > 0 时 y = x²，当 x < 0 时 y = -x²。

_-1∫¹ y dx

= ₀∫¹ x² dx + _-1∫⁰ -x² dx

= ₀[x³/3]¹ - _-1[x³/3]⁰

= 1/3 - 0 - (0 + 1/3)

= 1/3 + 1/3，因为面积总是非负的

= 2/3 平方单位

因此，(C) 是正确答案。