NCERT 11年级数学第1章解决方案：集合

练习1.1

1. 下列哪些是集合？论证你的答案。

1. 以字母J开头的所有一年中的月份的集合。
2. 印度最优秀的十位作家的集合。
3. 世界上最好的十一名单板的板球击球手组成的球队。
4. 你班上所有男孩的集合。
5. 小于100的所有自然数的集合。
6. 作家Munshi Prem Chand所著小说的集合。
7. 所有偶整数的集合。
8. 本章中问题的集合。
9. 世界上最危险的动物的集合。

解决方案

1. 以字母J开头的所有一年中的月份的集合是一个定义明确的对象的集合，因为人们可以识别属于该集合的月份。因此，该集合是集合。
2. 印度最优秀的十位作家集合不是一个定义明确的集合，因为衡量作家才能的标准因人而异，并且对不同人来说是主观的。因此，该集合不能被视为集合。
3. 世界上最好的十一名单板的板球击球手组成的球队不是一个定义明确的集合，因为衡量击球手才能的标准因人而异，并且对不同人来说是主观的。因此，该集合不能被视为集合。
4. 你班上所有男孩的集合是一个定义明确的集合，因为人们可以识别属于该集合的男孩。因此，该集合是集合。
5. 小于100的所有自然数的集合是一个定义明确的集合，因为人们可以找到属于该集合的数字。
   因此，该集合是集合。
6. 作家Munshi Prem Chand所著小说的集合是一个定义明确的集合，因为人们可以找到属于该集合的任何书籍。因此，该集合是集合。
7. 所有偶整数的集合是一个定义明确的集合，因为人们可以找到属于该集合的整数。因此，该集合是集合。
8. 本章中问题的集合是一个定义明确的集合，因为人们可以找到属于本章的任何问题。因此，该集合是集合。
9. 世界上最危险的动物的集合不是一个定义明确的集合，因为衡量动物危险程度的标准可能因动物而异。因此，该集合不是集合。

2. 令A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。在空白处插入适当的符号∈或∉

(i) 5. . .A (ii) 8 . . . A (iii) 0. . .A

(iv) 4. . . A (v) 2. . .A (vi) 10. . .A

解决方案

1. 5 ∈ A
2. 8 ∉ A
3. 0 ∉ A
4. 4 ∈ A
5. 2 ∈ A
6. 10 ∉ A

3. 以枚举形式写出下列集合

1. A = {x:x 是整数且 -3 <x< 7}。
2. B = {x:x 是小于6的自然数}。
3. C = {x:x 是一个两位数，其各位数字之和为8}
4. D = {x:x 是60的因数的素数}。
5. E = “TRIGONOMETRY”这个词的所有字母的集合。
6. F = “BETTER”这个词的所有字母的集合。

解决方案

(i) 大于-3且小于7的整数是 -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6。

因此，A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

(ii) 小于6的自然数是 1, 2, 3, 4, 5

因此，B = {1, 2, 3, 4, 5}

(iii) 各位数字之和为8的两位数是 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80。

因此，C = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}

(iv) 我们知道，60 = 2 × 2 × 3 × 5

60的素数因数是 2, 3, 5。

因此，D = {2, 3, 5}

(v) “TRIGONOMETRY”这个词的所有不重复字母是 T, R, I, G, O, N, M, E, Y。

因此，E = {T, R, I, G, O, N, M, E, Y}

(vi) “BETTER”这个词的所有不重复字母是 B, E, T, R。

因此，F = {B, E, T, R}

4. 以描述形式写出下列集合

(i) {3, 6, 9, 12} (ii) {2,4,8,16,32} (iii) {5, 25, 125, 625}

(iv) {2, 4, 6, . . .} (v) {1,4,9, . . .,100}

解决方案

(i) 可以看出，这个集合的元素是3的倍数。

因此，它可以写成 {x: x = 3n, 其中 n ∈ N 且 1 ≤n ≤ 4}

(ii) 可以看出，这个集合的元素是其前一个元素的2倍。

因此，它可以写成 {x: x = 2ⁿ, 其中 n ∈ N 且 1 ≤ n ≤ 5}

(iii) 可以看出，这个集合的元素是其前一个元素的5倍。

因此，它可以写成 {x: x = 5ⁿ, 其中 n ∈ N 且 1 ≤ n ≤ 4}

(iv) 可以看出，这个集合的元素是偶数自然数。

因此，它可以写成 {x: x 是偶数自然数}

(v) 可以看出，这个集合的元素是 1², 2², 3² 等等，一直到 10² 的系列。

因此，它可以写成 {x: x = n², 其中 n ∈ N 且 1 ≤ n ≤ 10}

5. 列出下列所有集合的元素

1. A = {x:x 是奇数自然数}
2. B = {x:x 是整数， -1/2 < x < 9/2}
3. C = {x:x 是整数， x²≤ 4}
4. D = {x:x 是“LOYAL”这个词中的一个字母}
5. E = {x:x 是一年中天数不是31天的月份}
6. F = {x:x 是英文字母表中在字母k之前的辅音}。

解决方案

(i) 奇数自然数是 1, 3, 5, 7, ... 依此类推。因此，

A = {1, 3, 5, 7, ...}

(ii) -1/2 和 9/2 之间的整数是 0, 1, 2, 3, 4。因此，

B = {0, 1, 2, 3, 4}

(iii) 平方小于或等于4的整数包括 -2, -1, 0, 1, 2。因此，

C = {-2, -1, 0, 1, 2}

(iv) “LOYAL”这个词中的不重复字母是 L, O, Y, A。因此，

D = {L, O, Y, A}

(v) 一年中天数不是31天的月份是二月、四月、六月、九月、十一月。因此，

E = {二月, 四月, 六月, 九月, 十一月}

(vi) 英文字母表中在字母k之前的辅音是 b, c, d, f, g, h, j。因此，

F = {b, c, d, f, g, h, j}

6. 将左侧的每个枚举形式的集合与右侧用描述形式描述的同一个集合匹配

(i) {1, 2, 3, 6} (a) {x : x 是素数且是6的因数}

(ii) {2, 3} (b) {x : x 是小于10的奇数自然数}

(iii) {M,A,T,H,E,I,C,S} (c) {x : x 是自然数且是6的因数}

(iv) {1, 3, 5, 7, 9} (d) {x : x 是“MATHEMATICS”这个词的字母}。

解决方案

1. 可以看出，这个集合的元素是自然数且是6的因数。因此，正确选项是(c)。
2. 可以看出，这个集合的元素是素数且是6的因数。因此，正确选项是(a)。
3. 可以看出，这个集合的元素可以组成“MATHEMATICS”这个词。因此，正确选项是(d)。
4. 可以看出，这个集合的元素是小于10的奇数自然数。因此，正确选项是(b)。

练习1.2

1. 下列哪些是空集的例子

1. 能被2整除的奇数自然数的集合
2. 偶素数的集合
3. { x : x 是自然数, x < 5 且 x > 7 }
4. { y : y 是任意两条平行线共有的点}

解决方案

1. 我们知道只有偶数才能被2整除。因此，这是空集的一个例子。
2. 2 既是素数也是偶数。因此，这不是空集的一个例子。
3. 自然数不可能同时小于5且大于7。因此，这是空集的一个例子。
4. 我们知道两条平行线永不相交。因此，这是空集的一个例子。

2. 下列哪些集合是有限集或无限集

1. 一年中的月份的集合
2. {1, 2, 3, . . .}
3. {1, 2, 3, . . .99, 100}
4. 大于100的正整数的集合
5. 小于99的素数的集合

解决方案

1. 我们知道一年只有12个月。因此，这个集合是有限的。
2. 自然数的数量是无限的。因此，这个集合是无限的。
3. 给定的集合只包含小于或等于100的自然数。因此，这个集合是有限的。
4. 存在无限多个大于100的正整数。因此，这个集合是无限的。
5. 小于99的素数数量是有限的。因此，这个集合是有限的。

3. 指出下列哪个集合是有限集或无限集

1. 与x轴平行的直线的集合
2. 英文字母表的字母集合
3. 5的倍数的集合
4. 地球上所有动物的集合

解决方案

1. 可以画出无限多条与x轴平行的直线。因此，这个集合是无限的。
2. 我们知道英文字母表只有26个字母。因此，这个集合是有限的。
3. 存在无限多个5的倍数。因此，这个集合是无限的。
4. 地球上动物的数量是有限的。因此，这个集合是有限的。
5. 可以画出无限多个通过原点的圆。因此，这个集合是无限的。

4. 在下列情况中，指出A=B是否成立

1. A = { a, b, c, d } B = { d, c, b, a }
2. A = { 4, 8, 12, 16 } B = { 8, 4, 16, 18}
3. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = { x : x 是正偶数且 x ≤ 10}
4. A = { x : x 是10的倍数}, B = { 10, 15, 20, 25, 30, . . . }

解决方案

1. 元素的顺序不同，但A中存在的元素与B中存在的元素相同。因此，A=B。
2. 可以看出，12 ∈ A 但 12 ∉ B，而 18 ∈ B 但 18 ∉ A。因此，A ≠ B。
3. A是小于或等于10的正偶数的集合，而B是小于或等于10的所有正整数的集合。因此，A ≠ B。
4. A是10的倍数的集合，而B是大于或等于10的5的倍数的集合。因此，A ≠ B。

5. 下列集合对是否相等？给出理由。

1. A = {2, 3}, B = {x : x 是 x² + 5x + 6 = 0 的解}
2. A = { x : x 是“FOLLOW”这个词的一个字母}
   B = { y : y 是“WOLF”这个词的一个字母}

解决方案

(i) 首先，我们需要找到 x² + 5x + 6 = 0 的解。

x² + 5x + 6 = 0

x² + 2x + 3x + 6 = 0

x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

(x + 2)(x + 3) = 0

x = -2 和 x = -3。

因此，B = {-2, -3}。

-2 ∉ A 且 -3 ∉ A。

因此，A ≠ B。

(ii) “FOLLOW”这个词中的字母是 F, O, L, W。因此，A = {F, O, L, W}

“WOLF”这个词中的字母是 W, O, L, F。因此，B = {W, O, L, F}

A中的所有元素都在B中，B中的所有元素都在A中。因此，A=B。

6. 从下列集合中，选择相等的集合

A = { 2, 4, 8, 12}, B = { 1, 2, 3, 4}, C = { 4, 8, 12, 14}, D = { 3, 1, 4, 2}

E = {-1, 1}, F = { 0, a}, G = {1, -1}, H = { 0, 1}

解决方案

B中的所有元素都在D中，D中的所有元素都在A中。

因此，B = D。

E中的所有元素都在G中，G中的所有元素都在E中。

因此，E = G。

其他集合没有一个能包含在另一个集合中。

练习1.3

1. 通过在空白处填入符号⊂或⊄，使下列陈述正确

1. { 2, 3, 4 } . . . { 1, 2, 3, 4,5 }
2. { a, b, c } . . . { b, c, d }
3. {x : x 是你学校11年级学生} . . .{x : x 是你学校学生}
4. {x : x 是平面上的圆} . . .{x : x 是同一平面上半径为1的圆}
5. {x : x 是平面上的三角形} . . . {x : x 是平面上的矩形}
6. {x : x 是平面上的等边三角形} . . . {x : x 是同一平面上的三角形}
7. {x : x 是偶数自然数} . . . {x : x 是整数}

解决方案

1. {2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
2. {a, b, c} ⊄ {b, c, d}
3. {x:xis是你学校11年级学生} ⊂ {x:xis你学校学生}
4. {x:x 是平面上的圆} ⊄ {x:x 是同一平面上半径为1的圆}
5. {x:x 是平面上的三角形} ⊄ {x:x 是平面上的矩形}
6. {x:x 是平面上的等边三角形} ⊂ {x:x 是同一平面上的三角形}
7. {x:x 是偶数自然数} ⊂ {x:x 是整数}

2. 检查下列陈述是真还是假。如果为真，则证明。如果为假，则举例说明。

1. { a, b } ⊄ { b, c, a }
2. { a, e } ⊂ { x : x 是英文字母中的元音}
3. { 1, 2, 3 } ⊂ { 1, 3, 5 }
4. { a } ⊂ { a, b, c }
5. { a } ∈ { a, b, c }
6. { x : x 是小于6的偶数自然数} ⊂ { x : x 是36的因数自然数}

解决方案

1. 可以看出，{a, b}的每个元素都在{b, c, a}中。因此，该陈述是错误的。
2. {a, e}中的a和e是英文字母中的元音。因此，该陈述是真的。
3. 可以看出，2 ∉ {1, 3, 5}。因此，该陈述是错误的。
4. 可以看出，{a}的每个元素都在{a, b, c}中。因此，该陈述是真的。
5. {a}不是{a, b, c}中的一个元素。因此，该陈述是错误的。
6. 第一个集合 = {2, 4}, 第二个集合 = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}。

因此，该陈述是真的。

3. 令A = { 1, 2, { 3, 4 }, 5 }。下列哪些陈述是错误的，为什么？

(i) {3, 4} ⊂ A (ii) {3, 4} ∈ A (iii) {{3, 4}} ⊂ A

(iv) 1 ∈ A (v) 1 ⊂ A (vi) {1, 2, 5} ⊂ A

(vii) {1, 2, 5} ∈ A (viii) {1, 2, 3} ⊂ A (ix) φ ∈ A

(x) φ ⊂ A (xi) {φ} ⊂ A

解决方案

1. 此陈述是错误的，因为集合A不包含3和4作为其元素。
2. 此陈述是正确的，因为集合A确实包含{3, 4}作为一个元素。
3. 此陈述是正确的，因为{{3, 4}}的元素存在于集合A中。
4. 此陈述是正确的，因为集合A确实包含1作为一个元素。
5. 此陈述是错误的，因为1是集合A的一个元素而不是其子集。
6. 此陈述是正确的，因为{1, 2, 5}的元素存在于集合A中。
7. 此陈述是错误的，因为集合A不包含{1, 2, 5}作为一个元素。
8. 此陈述是错误的，因为集合A不包含3作为一个元素。
9. 此陈述是错误的，因为集合A不包含φ作为一个元素。
10. 此陈述是正确的，因为φ是所有集合的子集。
11. 此陈述是错误的，因为集合A不包含{φ}作为一个元素。

4. 写出下列所有集合的子集

1. {a}
2. {a, b}
3. {1, 2, 3}
4. φ

解决方案

1. {a}的可能子集是φ和{a}。
2. {a, b}的可能子集是φ, {a}, {b}, 和 {a, b}。
3. {1, 2, 3}的可能子集是φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, 和 {1, 2, 3}。
4. φ是φ的唯一可能子集。

5. 如果A = φ，则P(A)有多少个元素？

解决方案

设集合A中的元素个数为m。

那么，n(A) = m。因此，

n[P(A)] = 2^m

给定A = φ。所以，

n(A) = m = 0

n[P(A)] = 2⁰ = 1

因此，P(A)有1个元素。

6. 写出下列区间

(i) {x : x ∈ R, - 4 < x ≤ 6} (ii) {x : x ∈ R, - 12 < x < -10}

(iii) {x : x ∈ R, 0 ≤ x < 7} (iv) {x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4}

解决方案

1. 因为 -4 < x ≤ 6。因此，其区间将是 (-4, 6]。
2. 因为 -12 < x < -10。因此，其区间将是 (-12, -10)。
3. 因为 0 ≤ x < 7。因此，其区间将是 [0, 7)。
4. 因为 3 ≤ x ≤ 4。因此，其区间将是 [3, 4]。

7. 以描述形式写出下列区间

(i) (- 3, 0) (ii) [6 , 12] (iii) (6, 12] (iv) [-23, 5)

解决方案

1. {x: x ∈ R, -3 < x < 0}
2. {x: x ∈ R, 6 ≤ x ≤ 12}
3. {x: x ∈ R, 6 < x ≤ 12}
4. {x: x ∈ R, -23 ≤ x < 5}

8. 你会为下列情况提出什么全集？

(i) 直角三角形的集合。(ii) 等腰三角形的集合。

解决方案

1. 多边形或三角形的集合将是全集，因为所有直角三角形都将是它的元素。
2. 多边形或三角形的集合将是全集，因为所有等腰三角形都将是它的元素。

9. 给定集合A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} 和 C = {0, 2, 4, 6, 8}，下列哪些可以被认为是所有三个集合A, B 和 C 的全集(s)

1. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. φ
3. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
4. {1,2,3,4,5,6,7,8}

解决方案

1. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 不能被视为集合A, B 和 C 的全集，因为集合C的元素8不存在于{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}中。
2. φ 不能被视为集合A, B 和 C 的全集，因为三个集合中的任何一个元素都不存在于φ中。
3. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 可以被视为集合A, B 和 C 的全集，因为所有三个集合的所有元素都存在于{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中。
4. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 不能被视为集合A, B 和 C 的全集，因为集合C的元素0不存在于{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}中。

练习1.4

1. 求下列每对集合的并集

1. X = {1, 3, 5} Y = {1, 2, 3}
2. A = [ a, e, i, o, u} B = {a, b, c}
3. A = {x : x 是自然数且是3的倍数}
   B = {x : x 是小于6的自然数}
4. A = {x : x 是自然数且 1 < x ≤6 }
   B = {x : x 是自然数且 6 < x < 10 }
5. A = {1, 2, 3}, B = φ

解决方案

(i) X ∪ Y = {1, 2, 3, 5}

A ∪ B = {a, b, c, e, i, o , u}

(iiI) A = {3, 6, 9, ...}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, ...}

(iv) A = {2, 3, 4, 5, 6}

B = {7, 8, 9}

A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(v) A ∪ B = {1, 2, 3}

2. 令A = { a, b }, B = {a, b, c}。A ⊂ B 吗？A ∪ B 是什么？

解决方案

集合A的每个元素都在集合B中。因此，A ⊂ B。

A ∪ B = {a, b, c} = B，因为A是B的子集。

3. 如果A和B是两个集合，且A ⊂ B，那么A ∪ B是什么？

解决方案

如果A ⊂ B，则A ∪ B将与集合B相同，因为B是超集。

4. 如果A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8 }和D = { 7, 8, 9, 10 }；求

(i) A ∪ B (ii) A ∪ C (iii) B ∪ C (iv) B ∪ D

(v) A ∪ B ∪ C (vi) A ∪ B ∪ D (vii) B ∪ C ∪ D

解决方案

1. A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. A∪C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
3. B∪C = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
4. B∪D = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
5. A ∪ B ∪ C= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
6. A ∪ B ∪ D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
7. B ∪ C ∪ D= {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {7, 8, 9, 10} = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

5. 求问题1中每对集合的交集。

[问题1的集合对

1. X = {1, 3, 5} Y = {1, 2, 3}
2. A = [ a, e, i, o, u} B = {a, b, c}
3. A = {x : x 是自然数且是3的倍数}
   B = {x : x 是小于6的自然数}
4. A = {x : x 是自然数且 1 < x ≤6 }
   B = {x : x 是自然数且 6 < x < 10 }
5. A = {1, 2, 3}, B = φ]

解决方案

(i) X ∩ Y = {1, 3}

(ii) A ∩ B = {a}

(iiI) A = {3, 6, 9, ...}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ B = {3}

(iv) A = {2, 3, 4, 5, 6}

B = {7, 8, 9}

A ∩ B = φ

(v) A ∩ B = φ

6. 如果A = { 3, 5, 7, 9, 11 }, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15}和D = {15, 17};求

(i) A ∩ B (ii) B ∩ C (iii) A ∩ C ∩ D

(iv) A ∩ C (v) B ∩ D (vi) A ∩ (B ∪ C)

(vii) A ∩ D (viii) A ∩ (B ∪ D) (ix) ( A ∩ B ) ∩ ( B ∪ C )

(x) ( A ∪ D) ∩ ( B ∪ C)

解决方案

1. A∩B = {7, 9, 11}
2. B∩C = {11, 13}
3. A∩C∩D = {11}∩{15, 17} =φ
4. A∩C = {11}
5. B∩D =φ
6. A∩(B∪C) = {7, 9, 11}∪{11} = {7, 9, 11}
7. A∩D =φ
8. A∩(B∪D) = {7, 9, 11}∪φ = {7, 9, 11}
9. (A∩B)∩(B∪C) = {7, 9, 11}∩{7, 9, 11, 13, 15}
   = {7, 9, 11}
10. (A∪D)∩(B∪C) = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17)∩{7, 9, 11, 13, 15}
    = {7, 9, 11, 15}

7. 如果A = {x : x 是自然数 }, B = {x : x 是偶数自然数} C = {x : x 是奇数自然数} 和 D = {x : x 是素数 }, 求

(i) A ∩ B (ii) A ∩ C (iii) A ∩ D

(iv) B ∩ C (v) B ∩ D (vi) C ∩ D

解决方案

A = {1, 2, 3, 4, ...}

B = {2, 4, 6, 8, ...}

C = {1, 3, 5, 7, ...}

D = {2, 3, 5, 7, ...}

1. A ∩ B = {2, 4, 6, 8, ...} = B
2. A ∩ C = {1, 3, 5, 7, ...} = C
3. A ∩ D = {2, 3, 5, 7, ...} = D
4. B ∩ C = φ
5. B ∩ D = {2}
6. C ∩ D = {3, 5, 7, 11, ...} = {x : x 是奇素数}

8. 下列哪几对集合是不相交的

1. {1, 2, 3, 4} 和 {x : x 是自然数且 4 ≤ x ≤ 6 }
2. { a, e, i, o, u } 和 { c, d, e, f }
3. {x : x 是偶数整数 } 和 {x : x 是奇数整数}

解决方案

(i) {x:xis是自然数且4≤x≤6} = {4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6} = {4}

因为两个集合的交集不等于φ。因此，给定的集合对不是不相交的。

(ii) {a, e, I, o, u} ∩ {c, d, e, f} = {e}

因为两个集合的交集不等于φ。因此，给定的集合对不是不相交的。

(iii) {x : x 是偶数整数} = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}

{x : x 是奇数整数} = {..., -3, -1, 1, 3, ...}

{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} ∩ {..., -3, -1, 1, 3, ...} = φ

因为两个集合的交集等于φ。因此，给定的集合对是不相交的。

9. 如果A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = { 4, 8, 12, 16, 20 }, C = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }, D = {5, 10, 15, 20 };求

(i) A - B (ii) A - C (iii) A - D (iv) B - A

(v) C - A (vi) D - A (vii) B - C (viii) B - D

(ix) C - B (x) D - B (xi) C - D (xii) D - C

解决方案

1. A - B = {3, 6, 9, 15, 18, 21}
2. A - C = {3, 9, 15, 18, 21}
3. A - D = {3, 6, 9, 12, 18, 21}
4. B - A = {4, 8, 16, 20}
5. C - A = {2, 4, 8, 10, 14, 16}
6. D - A = {5, 10, 20}
7. B - C = {20}
8. B - D = {4, 8, 12, 16}
9. C - B = {2, 6, 10, 14}
10. D - B = {5, 10, 15}
11. C - D = {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}
12. D - C = {5, 15, 20}

10. 如果X = { a, b, c, d } 和 Y = { f, b, d, g}, 求

(i) X - Y (ii) Y - X (iii) X ∩ Y

解决方案

1. X - Y = {a,c}
2. Y - X = {f,g}
3. X∩Y = {b,d}

11. 如果R是实数集，Q是有理数集，那么R - Q是什么？

解决方案

实数集大致由有理数和无理数组成。因此，R - Q将是无理数集。

12. 指出下列哪个陈述是真还是假。论证你的答案。

1. { 2, 3, 4, 5 } 和 { 3, 6} 是不相交集合。
2. { a, e, i, o, u } 和 { a, b, c, d } 是不相交集合。
3. { 2, 6, 10, 14 } 和 { 3, 7, 11, 15} 是不相交集合。
4. { 2, 6, 10 } 和 { 3, 7, 11} 是不相交集合。

解决方案

(i) {2, 3, 4, 5} ∩ {3, 6} = {3}

因为两个集合的交集不等于φ。因此，给定的集合对不是不相交的。

因此，该陈述是错误的。

(ii) {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c, d} = {a}

因为两个集合的交集不等于φ。因此，给定的集合对不是不相交的。
因此，该陈述是错误的。

(iii) {2, 6, 10, 14} ∩ {3, 7, 11, 15} = φ

因为两个集合的交集等于φ。因此，给定的集合对是不相交的。
因此，该陈述是真的。

(iv) {2, 6, 10} ∩ {3, 7, 11} = φ

因为两个集合的交集等于φ。因此，给定的集合对是不相交的。
因此，该陈述是真的。

练习1.5

1. 令 U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 } 和 C = { 3, 4, 5, 6 }。求

1. A?
2. B?
3. (A ∪ C)?
4. (A ∪ B)?
5. (A?)?
6. (B - C)?

解决方案

(i) A' = {5, 6, 7, 8, 9}

(ii) B' = {1, 3, 5, 7, 9}

(iii) A U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(A U C)' = {7, 8, 9}

(iv) A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

(A U B)' = {5, 7, 9}

(v) (A')' = A = {1, 2, 3, 4}

(vi) B - C = {2, 8}

(B - C)' = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

2. 如果U = { a, b, c, d, e, f, g, h}, 求下列集合的补集

(i) A = {a, b, c} (ii) B = {d, e, f, g}

(iii) C = {a, c, e, g} (iv) D = { f, g, h, a}

解决方案

(i)A = {a, b, c}

A' = {d, e, f, g, h}

(ii)B = {d, e, f, g}

B' = {a, b, c, h}

(iii)C = {a, c, e, g}

C' = {b, d, f, h}

(iv)D = {f,g,h,a}

D' = {b, c, d, e}

3. 以自然数集为全集，写出下列集合的补集

(i) {x : x 是偶数自然数} (ii) { x : x 是奇数自然数 }

(iii) {x : x 是3的正倍数} (iv) { x : x 是素数 }

(v) {x : x 是能被3和5整除的自然数}

(vi) { x : x 是完全平方数 } (vii) { x : x 是完全立方数}

(viii) { x : x + 5 = 8 } (ix) { x : 2x + 5 = 9}

(x) { x : x ≥ 7 } (xi) { x : x ∈ N 且 2x + 1 > 10 }

解决方案

(i) {x : x 是偶数自然数} = {2, 4, 6, 8, ...}

{2, 4, 6, 8, ...}' = {1, 3, 5, 7, ...}

= {x : x 是奇数自然数}

(ii) {x : x 是奇数自然数} = {1, 3, 5, 7, ...}

{1, 3, 5, 7, ...}' = {2, 4, 6, 8, ...}

= {x : x 是偶数自然数}

(iii) {x : x 是3的正倍数} = {3, 6, 9, 12, ...}

{3, 6, 9, 12, ...}' = {1, 2, 4, 5, 7, 8, ...}

= {x : x 不是3的倍数}

(iv) {x : x 是素数} = {2, 3, 5, 7, ...}

{2, 3, 5, 7, ...}' = {1, 4, 6, 8, ...}

= {x : x 是合数或 x = 1}

(v) {x : x 是能被3和5整除的自然数} = {15, 30, 45, 60, ...}

{15, 30, 45, 60, ...}' = {1, 2, 3, 4, ..., 13, 14, 16, ...}

= {x : x 是不能被3或5整除的自然数}

(vi) {x : x 是完全平方数} = {1, 4, 9, 16, ...}

{1, 4, 9, 16, ...}' = {2, 3, 5, 6, ...}

= {x : x 不是完全平方数}

(vii) {x : x 是完全立方数} = {1, 8, 27, 64, ...}

{1, 8, 27, 64, ...}' = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, ...}

(viii) x + 5 = 8

x = 3

{x : x + 5 = 8}' = {x : x ∈ N 且 x ≠ 3}

(ix) 2x + 5 = 9

2x = 4

x = 2

{x : 2x + 5 = 9}' = {x : x ∈ N 且 x ≠ 2}

(x) {x : x ≥ 7}' = {x : x < 7}

(xi) 2x + 1 > 10

2x > 9

x > 9/2

{x :x∈ N 且 2x+ 1 > 10}� = {x:x∈ N 且 x≤ 9/2}

4. 令 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, A = {2, 4, 6, 8} 和 B = { 2, 3, 5, 7}。验证：

(i) (A ∪ B)? = A? ∩ B? (ii) (A ∩ B)? = A? ∪ B?

解决方案

(i) LHS = (A ∪ B)'

= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}' = {1, 9}

RHS = A' ∩ B'

= {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 6, 8, 9}

= {1, 9}

LHS = RHS。已验证。

(ii) LHS = (A ∩ B)'

= {2}' = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

RHS = A' ∪ B'

= {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {1, 4, 6, 8, 9}

= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

LHS = RHS。已验证。

5. 为下列每种情况画出合适的文氏图

(i) (A ∪ B)?, (ii) A? ∩ B?, (iii) (A ∩ B)?, (iv) A? ∪ B?

解决方案

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

6. 令U为平面上所有三角形的集合。如果A是至少有一个角不等于60°的三角形集合，那么A'?

解决方案

A是至少有一个角不等于60°的三角形集合。

那么，A'将是所有角都不等于60°的三角形集合。

因此，A'将是所有等边三角形的集合。

7. 填空，使下列每项成为一个真陈述

(i) A ∪ A? = . . . (ii) φ? ∩ A = . . .

(iii) A ∩ A? = . . . (iv) U? ∩ A = . . .

解决方案

1. A ∪ A' = U
2. φ? ∩ A = U ∩ A = A
3. A ∩ A' = φ
4. U' ∩ A = φ ∩ A = φ

练习1.6

1. 如果X和Y是两个集合，使得 n ( X ) = 17, n ( Y ) = 23, and n ( X ∪ Y ) = 38，求 n ( X ∩ Y )。

解决方案

我们知道

n (X U Y) = n (X) + n (Y) - n (X ∩ Y)

38 = 17 + 23 - n (X ∩ Y)

38 = 40 - n (X ∩ Y)

-2 = -n (X ∩ Y)

n (X ∩ Y) = 2

2. 如果X和Y是两个集合，使得 X ∪ Y 有18个元素，X有8个元素，Y有15个元素；X ∩ Y有多少个元素？

解决方案

我们知道

n (X U Y) = n (X) + n (Y) - n (X ∩ Y)

18 = 8 + 15 - n (X ∩ Y)

18 = 23 - n (X ∩ Y)

-5 = -n (X ∩ Y)

n (X ∩ Y) = 5

3. 在一个400人的群体中，250人会说印地语，200人会说英语。有多少人会说印地语和英语？

解决方案

设会说印地语的人的集合为X，会说英语的人的集合为Y。

n (X) = 250

n (Y) = 200

n (X ∪ Y) = 400

我们知道

n (X U Y) = n (X) + n (Y) - n (X ∩ Y)

400 = 250 + 200 - n (X ∩ Y)

400 = 450 - n (X ∩ Y)

-50 = -n (X ∩ Y)

n (X ∩ Y) = 50

因此，50人会说印地语和英语。

4. 如果S和T是两个集合，使得S有21个元素，T有32个元素，S ∩ T有11个元素，那么S ∪ T有多少个元素？

解决方案

我们知道

n (S U T) = n (S) + n (T) - n (S ∩ T)

n (S U T) = 21 + 32 - 11

n (S ∪ T) = 42

5. 如果X和Y是两个集合，使得X有40个元素，X ∪ Y有60个元素，X ∩ Y有10个元素，那么Y有多少个元素？

解决方案

我们知道

n (X U Y) = n (X) + n (Y) - n (X ∩ Y)

60 = 40 + n (Y) - 10

60 = 30 + n (Y)

n (Y) = 30

6. 在一个70人的群体中，37人喜欢咖啡，52人喜欢茶，每个人至少喜欢其中一种饮料。有多少人同时喜欢咖啡和茶？

解决方案

设喜欢咖啡的人的集合为X，喜欢茶的人的集合为Y。

n (X) = 37

n (Y) = 52

n (X ∪ Y) = 70

我们知道

n (X U Y) = n (X) + n (Y) - n (X ∩ Y)

70 = 37 + 52 - n (X ∩ Y)

70 = 89 - n (X ∩ Y)

-19 = -n (X ∩ Y)

n (X ∩ Y) = 19

因此，19人同时喜欢茶和咖啡。

7. 在一个65人的群体中，40人喜欢板球，10人同时喜欢板球和网球。有多少人只喜欢网球而不喜欢板球？有多少人喜欢网球？

解决方案

设喜欢板球的人的集合为X，喜欢网球的人的集合为Y。

n (X) = 40

n (X ∪ Y) = 65

n (X ∩ Y) = 10

我们知道

n (X U Y) = n (X) + n (Y) - n (X ∩ Y)

65 = 40 + n (Y) - 10

65 = 30 + n (Y)

n (Y) = 35

因此，35人喜欢网球。

只喜欢网球而不喜欢板球的人数 = n (Y - X)

n (Y - X) = n (Y) - n (X ∩ Y)

n (Y - X) = 35 - 10 = 25

因此，25人只喜欢网球而不喜欢板球，而35人喜欢网球。

8. 在一个委员会中，50人会说法语，20人会说西班牙语，10人同时会说西班牙语和法语。有多少人至少会说这两种语言中的一种？

解决方案

设会说法语的人的集合为X，会说西班牙语的人的集合为Y。

n (X) = 50

n (Y) = 20

n (X ∩ Y) = 10

我们知道

n (X U Y) = n (X) + n (Y) - n (X ∩ Y)

n (X U Y) = 50 + 20 - 10

n (X ∪ Y) = 60

因此，60人至少会说这两种语言中的一种。

杂项练习

1. 在下列集合中，判断哪些集合是彼此的子集

A = { x : x ∈ R 且 x 满足 x² - 8x + 12 = 0 },

B = { 2, 4, 6 }, C = { 2, 4, 6, 8, . . . }, D = { 6 }。

解决方案

x² - 8x + 12 = 0

x² - 6x - 2x + 12 = 0

x(x - 6) - 2(x - 6) = 0

(x - 6)(x - 2) = 0

x = 6 和 x = 2。

因此，A = {2, 6}。

现在，B = {2, 4, 6 }, C = {2, 4, 6, 8, . . . }, 和 D = {6}。

因此，我们可以得出结论

D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C,

A ⊂ B, A ⊂ C

B ⊂ C

2. 在下列每种情况中，确定陈述是真还是假。如果为真，则证明。如果为假，则举例说明。

1. 如果 x ∈ A 且 A ∈ B，那么 x ∈ B
2. 如果 A ⊂ B 且 B ∈ C，那么 A ∈ C
3. 如果 A ⊂ B 且 B ⊂ C，那么 A ⊂
4. 如果 A ⊄ B 且 B ⊄ C，那么 A ⊄ C
5. 如果 x ∈ A 且 A ⊄ B，那么 x ∈ B
6. 如果 A ⊂ B 且 x ∉ B，那么 x ∉ A

解决方案

(i) 该陈述是错误的。

我们假设 A = {1, 2, 3} 且 B = {{1, 2, 3}, 4}

这里，1 ∈ A 且 A ∈ B。然而，1 ∉ B。

(ii) 该陈述是错误的。

我们假设 A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} 且 C = {{1, 2, 3}, 4}

这里，A ⊂ B 且 B ∈ C。然而，A ∉ C。

(iii) 该陈述是真的。

给定 A ⊂ B 且 B ⊂ C。因此，

对于集合A的任何元素x： x ∈ A，则 x ∈ B 且 x ∈ C。

因此，A ⊂ C。

(iv) 该陈述是错误的。

我们假设 A = {1, 2}, B = {3, 4} 且 C = {1, 2, 3}。

这里，A ⊄ B 且 B ⊄ C。然而，A ⊂ C。

(v) 该陈述是错误的。

我们假设 A = {1, 2, 3} 且 B = {4, 5, 6}。

这里，1 ∈ A 且 A ⊄ B。然而，1 ∉ B。

(vi) 该陈述是真的。

给定 A ⊂ B 且 x ∉ B。

如果 x ∈ A 为真，则 x ∈ B 也为真，因为 A ⊂ B。

但是 x ∉ B。

因此，x ∉ A。

3. 令A, B, 和C为集合，使得 A ∪ B = A ∪ C 且 A ∩ B = A ∩ C。证明 B = C。

解决方案

如果对于任何元素x，x ∈ B，则

x ∈ A ∪ B

因为 A ∪ B = A ∪ C。因此，

x ∈ A ∪ C

这意味着集合A或集合C包含x。

如果 x ∈ A，则

x ∈ A ∩ B 因为 x ∈ B。

因为 A ∩ B = A ∩ C。因此，

x ∈ A ∩ C

这意味着集合C包含x。

因为 x ∈ B 且 x ∈ C。因此，B ⊂ C。

同样，C ⊂ B。

因为 B ⊂ C 且 C ⊂ B。

因此，B = C。

4. 证明下列四个条件是等价的

(i) A ⊂ B (ii) A - B = φ (iii) A ∪ B = B (iv) A ∩ B = A

解决方案

在 (i) 和 (ii) 之间的等价性

设 A ⊂ B 为真。

现在，我们假设 A - B ≠ φ。

这意味着存在一个元素x，使得 x ∈ A 且 x ∉ B。但这不可能，因为 A ⊂ B，所以A中的每个元素都必须在B中。

因此，A - B = φ

因此，(i) 和 (ii) 条件是等价的。

在 (i) 和 (iii) 之间的等价性

设 A ⊂ B 为真。

我们知道，B ⊂ A ∪ B。

对于集合 A ∪ B 的任何元素x，我们有

x ∈ A ∪ B

因此，x ∈ A 或 x ∈ B。

I. 如果 x ∈ A，则 x ∈ B，因为 A ⊂ B。

因此，A ∪ B ⊂ B

II. 如果 x ∈ B，则 A ∪ B = B，因为B是超集。

现在，我们假设 A ∪ B = B。

如果 x ∈ A，则

x ∈ A ∪ B，因为显然 A ⊂ A ∪ B。

并且 x ∈ B，因为 A ∪ B = B。

因此，A ⊂ B。

因此，(i) 和 (iii) 条件是等价的。

在 (i) 和 (iv) 之间的等价性

设 A ⊂ B 为真。

A ∩ B ⊂ A

如果 x ∈ A 则 x ∈ B，因为 A ⊂ B。

因此，x ∈ A ∩ B

这意味着 A ⊂ A ∩ B。

因为 A ∩ B ⊂ A 且 A ⊂ A ∩ B。因此，A = A ∩ B。

现在，我们假设 A ∩ B = B。

如果 x ∈ A，则

x ∈ A ∩ B

因此，x 既是A的元素也是B的元素。

x ∈ A 且 x ∈ B。

因此，A ⊂ B。

因此，(i) 和 (iv) 条件是等价的。

因此，(i), (ii), (iii), 和 (iv) 条件都是等价的。

5. 证明如果 A ⊂ B，则 C - B ⊂ C - A。

解决方案

设集合 C - B 中有一个元素x。

这意味着 x ∈ C 且 x ∉ B。

因为 A ⊂ B。因此，

x ∈ C 且 x ∉ A。

这意味着

x ∈ C - A。

因此，C - B ⊂ C - A。

6. 假设 P ( A ) = P ( B )。证明 A = B。

解决方案

设集合A中有一个元素x。

我们知道 P (A) 包含集合A的所有子集。

因此，A ∈ P (A)。

P (A) = P (B)

因此，A ∈ P (B)

设集合B有一个子集C，使得 x ∈ C。

我们知道 P (B) 包含集合B的所有子集。

因此，C ∈ P (B)。

这意味着 C ⊂ B。

因此，

x ∈ B，这进一步意味着 A ⊂ B。

同样，我们可以证明 B ⊂ A。

因此，A = B。

7. 对于任何集合A和B， P ( A ) ∪ P ( B ) = P ( A ∪ B ) 是否为真？论证你的答案。

解决方案

对于任何集合A和B，给定的陈述是错误的。

P (A) ∪ P (B) ≠ P (A ∪ B)

我们假设有两个集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {3, 4, 5}。

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

P (A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}

P (B) = {, {3}, {4}, {5}, {3, 4}, {4, 5}, {3, 5}, {3, 4, 5}}

LHS = P (A) ∪ P (B)

= {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {3, 5}, {1, 2, 3}, {3, 4, 5}}

RHS = P (A ∪ B)

= {φ, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 5}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 5}, {1, 3, 4, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}}

LHS ≠ RHS。

因此，证明了该陈述不成立。

8. 证明对于任何集合A和B，

A = ( A ∩ B ) ∪ ( A - B ) 和 A ∪ ( B - A ) = ( A ∪ B )

解决方案

设有一个元素x，使得 x ∈ A。

情况 I: 如果 x ∈ A ∩ B

然后，

x ∈ (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) ∪ (A - B)

情况 II: 如果 x ∉ A ∩ B

然后，

或者 x ∉ A 或者 x ∉ B。但我们知道 x ∈ A。因此，

x ∉ B

x ∉ (A - B) ⊂ (A ∪ B) ∪ (A - B)

因此，

A ⊂ (A ∩ B) ∪ (A - B)

因为 A ∩ B ⊂ A 且 (A - B) ⊂ A。

那么，(A ∩ B) ∪ (A - B) ⊂ A

从上面得到的两个陈述，我们可以得出结论

A = (A ∩ B) ∪ (A - B)

第一个陈述已被证明。

现在，我们假设 x ∈ A ∪ (B - A)。

这意味着 x ∈ A 或 x ∈ (B - A)

x ∈ A 或 [x ∈ B 且 x ∉ A]

x ∈ B ∪ A

因此，A ∪ (B - A) ⊂ (A ∪ B)

设有一个元素y，使得 y ∈ A ∪ B

y ∈ A 或 y ∈ B

y ∈ A 或 [y ∈ B 且 y ∉ A]

y ∈ A ∪ (B - A)

因此，A ∪ B ⊂ A ∪ (B - A)

从上面得到的两个陈述，我们可以得出结论

A ∪ (B - A) = (A ∪ B)

因此，两个所需的陈述都已被证明。

9. 使用集合的性质，证明

(i) A ∪ ( A ∩ B ) = A (ii) A ∩ ( A ∪ B ) = A

解决方案

(i) 显而易见 A ⊂ A。那么，

A ∩ B ⊂ A

A ∪ (A ∩ B) ⊂ A

同样，A ⊂ A ∪ (A ∩ B)

因此，A = A ∪ (A ∩ B)

(ii) A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B)

= A ∪ (A ∩ B)

= A

因此，A = A ∪ (A ∩ B)

10. 证明 A ∩ B = A ∩ C 不一定意味着 B = C。

解决方案

我们假设有三个集合 A = {1, 2}, B = {1, 3, 4} 和 C = {1, 5, 6}。

现在，

A ∩ B = {1}

A ∩ C = {1}

因此，A ∩ B = A ∩ C

3 和 4 ∈ B 但 3 和 4 ∉ C。

因此，B ≠ C。

11. 令A和B为集合。如果 A ∩ X = B ∩ X = φ 且 A ∪ X = B ∪ X 对于某个集合X，证明 A = B。

(提示 A = A ∩ ( A ∪ X ) , B = B ∩ ( B ∪ X ) 并使用分配律)

解决方案

证明：A = B

证明

A = A ∩ (A ∪ X) = A ∩ (B ∪ X) [A ∪ X = B ∪ X]

A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ X) (使用分配律)

A = (A ∩ B) ∪ Φ [A ∩ X = Φ]

A = A ∩ B ... (I)

现在，B = B ∩ (B ∪ X)

B = B ∩ (A ∪ X) [A ∪ X = B ∪ X]

B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) (使用分配律)

B = (B ∩ A) ∪ Φ [B ∩ X = Φ]

B = A ∩ B ... (II)

从方程(I)和(II)

A = B

因此，证明完毕。

12. 找出集合A, B 和 C，使得 A ∩ B, B ∩ C 和 A ∩ C 为非空集合，且 A ∩ B ∩ C = φ。

解决方案

设三个集合 A = {1, 2}, B = {2, 3}, 和 C = {1, 3}。

A ∩ B = {2}

B ∩ C = {3}

A ∩ C = {1}

A ∩ B ∩ C = φ

因此，集合 A = {1, 2}, B = {2, 3} 和 C = {1, 3} 是三个集合的例子，使得 A ∩ B, B ∩ C 和 A ∩ C 为非空集合，且 A ∩ B ∩ C = φ。

13. 在对一所学校的600名学生进行调查中，发现150名学生喝茶，225名学生喝咖啡，100名学生同时喝茶和咖啡。找出有多少学生既不喝茶也不喝咖啡？

解决方案

设喝茶的学生集合为T，喝咖啡的学生集合为C。

参加调查的600名学生构成全集，用U表示。

n (U) = 600

n (T) = 150

n (C) = 225

n (T ∩ C) = 100

我们知道

n (T ∪ C) = n (T) + n (C) - n (T ∩ C)

= 150 + 225 - 100

n (T ∪ C) = 275

既不喝茶也不喝咖啡的学生人数 = 总学生人数 -

喝茶或喝咖啡的学生人数

n (T' ∩ C')= n (U) - n (T ∪ C)

= 600 - 275

= 325

因此，既不喝茶也不喝咖啡的学生人数为325

14. 在一个学生群体中，100名学生懂印地语，50名懂英语，25名两种语言都懂。每个学生都懂印地语或英语。这个群体中有多少学生？

解决方案

设该群体中的所有学生集合为U。

设懂印地语的学生集合为X，懂英语的学生集合为Y。

n (X) = 100

n (Y) = 50

n (X ∩ Y) = 25

n (X ∪ Y) = n (U) (给定)

我们知道

n (X ∪ Y) = n (X) + n (Y) - n (X ∩ Y)

= 100 + 50 - 25

= 125

因此，这个群体总共有125名学生。

15. 在一项有60人的调查中，发现25人读报纸H，26人读报纸T，26人读报纸I，9人同时读H和I，11人同时读H和T，8人同时读T和I，3人读所有三种报纸。求

1. 至少读一种报纸的人数。
2. 恰好读一种报纸的人数。

解决方案

设读报纸H的人的集合为A，读T的为B，读I的为C。

n (A) = 25

n (B) = 26

n (C) = 26

n (A ∩ C) = 9

n (B ∩ C) = 8

n (A ∩ B) = 11

n (A ∩ B ∩ C) = 3

(i) 我们知道

n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) - n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)

= 25 + 26 + 26 - 9 - 8 - 11 + 3

= 52

因此，有52人至少读一种报纸。

(ii) n (A ∩ B) = 只读H和T的人数 + 读所有三种的人数

n (B ∩ C) = 只读H和I的人数 + 读所有三种的人数

n (A ∩ C) = 只读I和T的人数 + 读所有三种的人数

全部相加

n (A ∩ B) + n (B ∩ C) + n (A ∩ C) = 读不止一种报纸的人数 + 2 × n (A ∩ B ∩ C)

11 + 8 + 9 = 读不止一种报纸的人数 + 6

读不止一种报纸的人数 = 22

只读一种报纸的人数 = 52 - 22 = 30

因此，30人恰好读一种报纸。

16. 在一项调查中发现，21人喜欢产品A，26人喜欢产品B，29人喜欢产品C。如果14人喜欢产品A和B，12人喜欢产品C和A，14人喜欢产品B和C，8人喜欢所有三种产品。求有多少人只喜欢产品C。

解决方案

n (A) = 21

n (B) = 26

n (C) = 29

n (A ∩ B) = 14

n(C ∩ A) = 12

n (B ∩ C) = 14

n (A ∩ B ∩ C) = 8

我们需要画文氏图。

只喜欢产品C的人数 = 29 - (4 + 8 + 6)

= 11

因此，11人只喜欢产品C。