NCERT Solutions 11年级数学第五章：复数和二次方程

练习 5.1

将练习1至10中的每个复数表示为a + ib的形式。

1. (5i)(-3i/5)

解决方案

5i × (-3i/5) = -3 × i²

因为，i² = 1。因此，

-3 × i² = -3 × (-1) = 3

(5i)(-3i/5) = 3 + i0

2. i⁹ + i¹⁹

解决方案

i⁹ + i¹⁹ = i(i²)⁴ + i(i²)⁹

因为，i² = 1。因此，

i(i²)⁴ + i(i²)⁹ = i(-1)⁴ + i(-1)⁹

= i - i = 0

i⁹ + i¹⁹ = 0 + i0

3. i^-39

解决方案

i^-39 = 1/i³⁹ = 1/i³.(i⁴)⁹

因为，i³ = -i 且 i⁴ = 1。因此，

= 1/i³.(i⁴)⁹ = 1/(-i)(1)

= 1/-i

乘以并除以i

1/-i × i/i

= i/i²

因为，i² = -1。因此，

i/i² = -i

i^-39= 0 + i.1

4. 3(7 + i7) + i (7 + i7)

解决方案

3(7 + i7) + i (7 + i7) = 21 + i21 + i7 + i²7

因为，i² = -1。因此，

21 + i21 + i7 + i²7

= 21 + i28 + (-1)7

= 21 - 7 + i28

= 14 + i28

3(7 + i7) + i (7 + i7) = 14 + i28

5. (1 - i) - ( -1 + i6)

解决方案

(1 - i) - ( -1 + i6) = 1 - i + 1 - i6

= 2 - i7

6. (1/5 + i2/5) - (4 + i5/2)

解决方案

(1/5 + i2/5) - (4 + i5/2) = 1/5 + i2/5 - 4 - i5/2

= 1/5 - 4 + i2/5 - i5/2

= -19/5 - i21/10

(1/5 + i2/5) - (4 + i5/2) = -19/5 - i21/10

7. [(1/3 + i7/3) + (4 + i1/3)] - (-4/3 + i)

解决方案

[(1/3 + i7/3) + (4 + i1/3)] - (-4/3 + i)

= [1/3 + i7/3 + 4 + i/3] + 4/3 - i

= 13/3 + i8/3 + 4/3 - i

= 17/3 + i5/3

[(1/3 + i7/3) + (4 + i1/3)] - (-4/3 + i) = 17/3 + i5/3

8. (1 - i)⁴

解决方案

(1 - i)⁴ = (1 - i)²(1 - i)²

= (1 + i² - 2i)(1 + i² - 2i)

因为，i² = -1。因此，

(1 + i² - 2i)(1 + i² - 2i)

= (1 - 1 - 2i)²

= (-2i)²

= 4i² = 4(-1) = -4

(1 - i)⁴ = -4 + i0

9. (1/3 + 3i)³

解决方案

(1/3 + 3i)³ = (1/3)³ + (3i)³ + 3(1/3)²(3i) + 3(3i)²(1/3)

= 1/27 + 27i³ + 9i(1/9) + 9i²

= 1/27 + 27i³ + i + 9i²

因为，i² = -1 且 i³ = -i。因此，

1/27 + 27i³ + 9i² + i

= 1/27 - 27i - 9 + i

= 1/27 - 9 - 26i

= -242/27 - i26

(1/3 + 3i)³ = -242/27 - i26

10. (-2 - i1/3)³

解决方案

(-2 - i1/3)³ = (-2)³ + (-i/3)³ + 3(-2)(-i/3)² + 3(-i/3)(-2)²

= -8 - i³/27 - 6(i²/9) - i(4)

= -8 - i³/27 - 2i²/3 - 4i

因为，i² = -1 且 i³ = -i。因此，

-8 - i³/27 - 2i²/3 - 4i

= -8 + i/27 + 2/3 - 4i

= 2/3 - 8 + i/27 - 4i

= -22/3 - 107i/27

(-2 - i1/3)³ = -22/3 - i107/27

求练习11至13中每个复数的乘法逆元。

11. 4 - 3i

解决方案

设 4 - 3i = z。

|z|² = 4² + (-3)² = 16 + 9 = 25

z的乘法逆元是z^-1。

z^-1 = z̄/|z|² = (4 + 3i)/25

= 4/25 + i3/25

12. √5 + 3i

解决方案

设 √5 - 3i = z。

|z|² = (√5)² + (3)² = 5 + 9 = 14

z的乘法逆元是z^-1。

z^-1 = z̄/|z|² = (√5 - 3i)/14

= √5/14 - i3/14

13. -i

解决方案

设 -i = z。

|z|² = (-1)² = 1

z的乘法逆元是z^-1。

z^-1 = z̄/|z|² = (i)/1

= i

14. 将下列表达式表示为a + ib的形式

(3 + i√5) (3 - i√5)/((√3 + √2i) - (√3 - √2i))

解决方案

(3 + i√5) (3 - i√5)/{(√3 + √2i) - (√3 - √2i)}

= {3² - (i√5)²}/{√3 + √2i - √3 + √2i}

= (9 - 5i²)/(2√2i)

因为，i² = -1。因此，

(9 - 5i²)/(2√2i)

= (9 + 5)/(2√2i) = 14/2√2i

= 7/√2i

乘以并除以√2i

7/√2i × √2i/√2i

= 7i√2/2i²

= -7i√2/2

(3 + i√5) (3 - i√5)/{(√3 + √2i) - (√3 - √2i)} = 0 - i7√2/2

练习 5.2

求练习1至2中每个复数的模和辐角。

1. z = -1 - i√3

解决方案

设 -1 = r cos θ 且 -√3 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (-1)² + (-√3)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 1 + 3

r² (cos² θ + sin² θ) = 4

r² = 4 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = 2，因为 r > 0

r cos θ = -1

2 cos θ = -1

cos θ = -1/2 = -cos π/3

r sin θ = -√3

2 sin θ = -√3

sin θ = -√3/2 = -sin π/3

sin θ 和 cos θ 均为负数。这意味着 θ 位于第三象限。

arg (z) = θ = -(π - π/3) = -2π/3

因此，给定复数的模为 2，辐角为 -2π/3

2. z = -√3 + i

解决方案

设 -√3 = r cos θ 且 1 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (-√3)² + (1)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 3 + 1

r² (cos² θ + sin² θ) = 4

r² = 4 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = 2，因为 r > 0

r cos θ = -√3

2 cos θ = -√3

cos θ = -√3/2 = -cos π/6

r sin θ = 1

2 sin θ = 1

sin θ = 1/2 = sin π/6

sin θ 为正，而 cos θ 为负。这意味着 θ 位于第二象限。

arg (z) = θ = π - π/6 = 5π/3

因此，给定复数的模为 2，辐角为 5π/3

将练习3至8中每个复数转换为极坐标形式

3. 1 - i

解决方案

设 1 = r cos θ 且 -1 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (1)² + (-1)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 1 + 1

r² (cos² θ + sin² θ) = 2

r² = 2 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = √2，因为 r > 0

r cos θ = 1

√2 cos θ = 1

cos θ = 1/√2 = cos π/4

r sin θ = -1

√2 sin θ = -1

sin θ = -1/√2 = -sin π/4

sin θ 为负，而 cos θ 为正。这意味着 θ 位于第四象限。

θ = -π/4

给定复数的极坐标形式为

1 - i = r cos θ + i r sin θ

= √2 cos (-π/4) + i√2 sin (-π/4)

4. -1 + i

解决方案

设 -1 = r cos θ 且 1 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (-1)² + (1)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 1 + 1

r² (cos² θ + sin² θ) = 2

r² = 2 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = √2，因为 r > 0

r cos θ = -1

√2 cos θ = -1

cos θ = -1/√2 = -cos π/4

r sin θ = 1

√2 sin θ = 1

sin θ = 1/√2 = sin π/4

sin θ 为正，而 cos θ 为负。这意味着 θ 位于第二象限。

θ = π - π/4 = 3π/4

给定复数的极坐标形式为

-1 + i = r cos θ + i r sin θ

= √2 cos (3π/4) + i√2 sin (3π/4)

5. -1 - i

解决方案

设 -1 = r cos θ 且 -1 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (-1)² + (-1)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 1 + 1

r² (cos² θ + sin² θ) = 2

r² = 2 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = √2，因为 r > 0

r cos θ = -1

√2 cos θ = -1

cos θ = -1/√2 = -cos π/4

r sin θ = -1

√2 sin θ = -1

sin θ = -1/√2 = -sin π/4

sin θ 和 cos θ 均为负数。这意味着 θ 位于第三象限。

θ = -(π - π/4) = -3π/4

给定复数的极坐标形式为

-1 - i = r cos θ + i r sin θ

= √2 cos (-3π/4) + i√2 sin (-3π/4)

6. -3

解决方案

-3 = -3 + i0

设 -3 = r cos θ 且 0 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (-3)² + (0)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 9 + 0

r² (cos² θ + sin² θ) = 9

r² = 9 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = 3，因为 r > 0

r cos θ = -3

3 cos θ = -3

cos θ = -1 = -cos 0

r sin θ = 0

3 sin θ = 0

sin θ = 0 = sin 0

sin θ 为正，而 cos θ 为负。这意味着 θ 位于第二象限。

θ = π - 0 = π

给定复数的极坐标形式为

-3 = r cos θ + i r sin θ

= 3 cos (π) + i3 sin (π)

7. √3 + i

解决方案

设 √3 = r cos θ 且 1 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (√3)² + (1)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 3 + 1

r² (cos² θ + sin² θ) = 4

r² = 4 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = 2，因为 r > 0

r cos θ = √3

2 cos θ = √3

cos θ = √3/2 = cos π/6

r sin θ = 1

2 sin θ = 1

sin θ = 1/2 = sin π/6

sin θ 和 cos θ 均为正数。这意味着 θ 位于第一象限。

θ = π/6

给定复数的极坐标形式为

√3 + i = r cos θ + i r sin θ

= 2 cos (π/6) + i2 sin (π/6)

8. i

解决方案

i = 0 + i

设 0 = r cos θ 且 1 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (0)² + (1)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 0 + 1

r² (cos² θ + sin² θ) = 1

r² = 1 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = 1，因为 r > 0

r cos θ = 0

1 cos θ = 0

cos θ = 0 = cos π/2

r sin θ = 1

1 sin θ = 1

sin θ = 1 = sin π/2

sin θ 和 cos θ 均为正数。这意味着 θ 位于第一象限。

θ = π/2

给定复数的极坐标形式为

i = r cos θ + i r sin θ

= 1 cos (π/2) + i1 sin (π/2)

= cos (π/2) + i sin (π/2)

练习 5.3

解下列方程

1. x² + 3 = 0

解决方案

将给定的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 1, b = 0 且 c = 3

判别式 = b² - 4ac = 0² - 4(1)(3) = 0 - 12 = -12

x = (-b ± √D)/2a = ±√-12/2 = ±√12i/2，因为 i = √-1

x = ±2√3i/2 = ±√3i

因此，x = √3i 或 -√3i。

2. 2x² + x + 1 = 0

解决方案

将给定的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 2, b = 1 且 c = 1

判别式 = b² - 4ac = 1² - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7

x = (-b ± √D)/2a

= (-1 ± √-7)/2(2) = (-1 ± √7i)/4，因为 i = √-1

x = (-1 ± √7i)/4

因此，x = (-1 + √7i)/4 或 (-1 - √7i)/4。

3. x² + 3x + 9 = 0

解决方案

将给定的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 1, b = 3 且 c = 9

判别式 = b² - 4ac = 3² - 4(1)(9) = 9 - 36 = -27

x = (-b ± √D)/2a

= (-3 ± √-27)/2(1) = (-3 ± √27i)/2，因为 i = √-1

= (-3 ± 3√3i)/2

x = 3(-1 ± √3i)/2

因此，x = 3(-1 + √3i)/2 或 (-1 - √3i)/2。

4. -x² + x - 2 = 0

解决方案

将给定的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = -1, b = 1 且 c = -2

判别式 = b² - 4ac = 1² - 4(-1)(-2) = 1 - 8 = -7

x = (-b ± √D)/2a

= (-1 ± √-7)/2(-1) = -(-1 ± √7i)/2，因为 i = √-1

x = -(-1 ± √7i)/2

因此，x = -(-1 + √7i)/2 或 -(-1 - √7i)/2。

5. x² + 3x + 5 = 0

解决方案

将给定的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 1, b = 3 且 c = 5

判别式 = b² - 4ac = 3² - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11

x = (-b ± √D)/2a

= (-3 ± √-11)/2(1) = (-3 ± √11i)/2，因为 i = √-1

x = (-3 ± √11i)/2

因此，x = (-3 + √11i)/2 或 (-3 - √11i)/2。

6. x² - x + 2 = 0

解决方案

将给定的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 1, b = -1 且 c = 2

判别式 = b² - 4ac = (-1)² - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7

x = (-b ± √D)/2a

= (1 ± √-7)/2(1) = (1 ± √7i)/2，因为 i = √-1

x = (1 ± √7i)/2

因此，x = (1 + √7i)/2 或 (1 - √7i)/2。

7. √2x² + x + √2 = 0

解决方案

将给定的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = √2, b = 1 且 c = √2

判别式 = b² - 4ac = 1² - 4(√2)(√2) = 1 - 8 = -7

x = (-b ± √D)/2a

= (-1 ± √-7)/2(√2) = (-1 ± √7i)/2√2，因为 i = √-1

x = (-1 ± √7i)/2√2

因此，x = (-1 + √7i)/2√2 或 (-1 - √7i)/2√2。

8. √3x² - √2 + 3√3 = 0

解决方案

将给定的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = √3, b = -√2 且 c = 3√3

判别式 = b² - 4ac = (-√2)² - 4(√3)(3√3) = 2 - 36 = -34

x = (-b ± √D)/2a

= (-√2 ± √-34)/2(√3) = (-√2 ± √34i)/2√3，因为 i = √-1

x = (-√2 ± √34i)/2√3

因此，x = (-√2 + √34i)/2√3 或 (-√2 - √34i)/2√3。

9. x² + x + 1/√2 = 0

解决方案

将方程两边乘以 √2

√2x² + √2x + 1 = 0

将得到的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = √2, b = √2 且 c = 1

判别式 = b² - 4ac = (√2)² - 4(√2)(1) = 2 - 4√2 = 2(1 - 2√2)

x = (-b ± √D)/2a

= [-√2 ± √(2(1 - 2√2))]/2(√2)

= (-√2 ± √2√i(2√2-1)/2√2，因为 i = √-1

x = (-1 ± √(2√2 - 1)i)/2

因此，x = (-1 + √(2√2 - 1)i)/2 或 (-1 - √(2√2 - 1)i)/2。

10. x² + x/√2 + 1 = 0

解决方案

将方程两边乘以 √2

√2x² + x + √2 = 0

将得到的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = √2, b = 1 且 c = √2

判别式 = b² - 4ac = (1)² - 4(√2)(√2) = 1 - 8 = -7

x = (-b ± √D)/2a

= [-1 ± √-7]/2(√2)

= (-1 ± √7i)/2√2，因为 i = √-1

x = (-1 ± √7i)/2

因此，x = (-1 + √7i)/2 或 (-1 - √7i)/2。

杂项练习

1. 求解：[i¹⁸ + (1/i)²⁵]³。

解决方案

[i¹⁸ + (1/i)²⁵]³

= [i^{4(4) + 2} + 1/i^{4(6) + 1} ]³

= [(i⁴)⁴.i² + 1/(i⁴)⁶.i¹ ]³

现在，i⁴ = 1 且 i² = -1。

= [(1)⁴.(-1) + 1/(1)⁶.i]³

= [-1 + 1/i]³

将 1/i 乘以并除以 i。

= [-1 + 1/i × i/i]³

= [-1 + i/i²]³

= (-1 + i/(-1))³

= (-1 - i)³

= (-1)³ + (-i)³ + 3(-1)²(-i) + 3(-i)²(-1)

= -1 - i³ - 3i - 3i²

= -1 - (-1)i - 3i - 3(-1)

= -1 + i - 3i + 3

= 2 - 2i

2. 对于任意两个复数 z₁ 和 z₂，证明：

Re (z₁ z₂) = Re z₁ Re z₂ - Imz₁ Imz₂。

解决方案

设有两个复数 z₁ = x₁ + iy₁ 和 z₂ = x₂ + iy₂。

z₁ z₂ = (x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂)

= x₁x₂ + ix₂y₁ + ix₁y₂ + i²y₁y₂

= x₁x₂ - y₁y₂ + i(x₂y₁ + x₁y₂) ... 因为 i² = -1

Re (z₁ z₂) = x₁x₂ - y₁y₂

Re z₁ Re z₂ = (x₁) (x₂)

Imz₁ Imz₂ = (y₁) (y₂)

Re z₁ Re z₂ - Imz₁ Imz₂ = x₁x₂ - y₁y₂

因此，证明了 Re (z₁ z₂) = Re z₁ Re z₂ - Imz₁ Imz₂。

3. 化为标准形式。

(1/(1 - 4i) - 2/(i + 1)) (3 - 4i)/(5 + i)

解决方案

{1/(1 - 4i) - 2/(i + 1)} (3 - 4i)/(5 + i)

= {(i + 1 - 2 + 8i)/(1 - 4i)(i + 1)} × (3 - 4i)/(5 + i)

= {(-1 + 9i)/(i - 4i² - 4i + 1)} × (3 - 4i)/(5 + i)

= {(-1 + 9i)/(-4(-1) - 3i + 1)} × (3 - 4i)/(5 + i)

= {(-1 + 9i)/(5 - 3i)} × (3 - 4i)/(5 + i)

= {(-1 + 9i)(3 - 4i)}/(5 - 3i)(5 + i)

= (-3 + 4i + 27i - 36i²)/(25 + 5i - 15i - 3i²)

= (-3 + 31i - 36(-1))/(25 - 10i - 3(-1))

= (-3 + 31i + 36)/(25 - 10i + 3)

= (33 + 31i)/(28 - 10i)

= (33 + 31i)/2(14 - 5i)

乘以并除以 14 + 5i

(33 + 31i)/2(14 - 5i) × (14 + 5i)/(14 + 5i)

= (33 + 31i)(14 + 5i)/2(14²- 5²i²)

= (462 + 434i + 165i + 155i²)/2(196 - 25i²)

= (462 + 599i + 155(-1))/(392 - 50i²)

= (462 - 155 + 599i)/(392 - 50(-1))

= (307 + 599i)/(392 + 50)

= (307 + 599i)/(442)

= 307/442 + i599/442

因此，标准形式为 307/442 + i599/442。

4. 如果 x - iy = √(a - ib)/√(c - id)，证明 (x² + y²)² = (a² + b²)/(c² + d²)。

解决方案

将分子和分母乘以 c + id

两边平方

通过比较两边的实部和虚部，我们得到

5. 将下列复数转换为极坐标形式

(i) (1 + 7i)/(2 - i)²

解决方案

(1 + 7i)/(2 - i)²

= (1 + 7i)/(2² + i² - 4i)

= (1 + 7i)/(4 - 1 - 4i)

= (1 + 7i)/(3 - 4i)

乘以并除以 (3 + 4i)

(1 + 7i)/(3 - 4i) × (3 + 4i)/(3 + 4i)

= (1 + 7i)(3 + 4i)/(3² - 4²i²)

= (3 + 21i + 4i + 28i²)/(9 - 16i²)

= (3 + 25i + 28(-1))/(9 - 16(-1))

= (3 + 25i - 28)/(9 + 16)

= (-25 + 25i)/25

= 25(-1 + i)/25

= -1 + i

设 -1 = r cos θ 且 1 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (-1)² + (1)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 1 + 1

r² (cos² θ + sin² θ) = 2

r² = 2 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = √2，因为 r > 0

r cos θ = -1

√2 cos θ = -1

cos θ = -1/√2 = -cos π/4

r sin θ = 1

√2 sin θ = 1

sin θ = 1/√2 = sin π/4

sin θ 为正，而 cos θ 为负。这意味着 θ 位于第二象限。

θ = π - π/4 = 3π/4

给定复数的极坐标形式为

(1 + 7i)/(2 - i)² = -1 + i = r cos θ + i r sin θ

= √2 cos (3π/4) + i√2 sin (3π/4)

(ii) (1 + 3i)/(1 - 2i)

解决方案

(1 + 3i)/(1 - 2i)

乘以并除以 1 + 2i

(1 + 3i)/(1 - 2i) × (1 + 2i)/(1 + 2i)

= (1 + 3i)(1 + 2i)/(1² - 2²i²)

= (1 + 3i + 2i + 6i²)/(1 - 4i²)

= (1 + 5i + 6(-1))/(1 - 4(-1))

= (1 + 5i - 6)/(1 + 4)

= (-5 + 5i)/5

= 5(-1 + i)/5

= -1 + i

设 -1 = r cos θ 且 1 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (-1)² + (1)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 1 + 1

r² (cos² θ + sin² θ) = 2

r² = 2 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = √2，因为 r > 0

r cos θ = -1

√2 cos θ = -1

cos θ = -1/√2 = -cos π/4

r sin θ = 1

√2 sin θ = 1

sin θ = 1/√2 = sin π/4

sin θ 为正，而 cos θ 为负。这意味着 θ 位于第二象限。

θ = π - π/4 = 3π/4

给定复数的极坐标形式为

(1 + 7i)/(2 - i)² = -1 + i = r cos θ + i r sin θ

= √2 cos (3π/4) + i√2 sin (3π/4)

解下列方程（练习6至9）。

6. 3x² - 4x + 20/3 = 0

解决方案

将方程两边乘以 3

9x² - 12x + 20 = 0

将得到的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 9, b = -12 且 c = 20

判别式 = b² - 4ac = (-12)² - 4(9)(20) = 144 - 720 = -576

x = (-b ± √D)/2a

= [-(-12) ± √-576]/2(9)

= (12 ± √576i)/18，因为 i = √-1

= (12 ± 24i)/18

= 6(2 ± 4i)/18

= (2 ± 4i)/3

x = (2 ± 4i)/3

因此，x = (2 + 4i)/3 或 (2 - 4i)/3。

7. x² - 2x + 3/2 = 0

解决方案

将方程两边乘以 2

2x² - 4x + 3 = 0

将得到的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 2, b = -4 且 c = 3

判别式 = b² - 4ac = (-4)² - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8

x = (-b ± √D)/2a

= [-(-4) ± √-8]/2(2)

= (4 ± √8i)/4，因为 i = √-1

= (4 ± 2√2i)/4

= 2(2 ± √2i)/4

= (2 ± √2i)/2

x = (2 ± √2i)/2

因此，x = (2 + √2i)/2 或 (2 - √2i)/2。

8. 27x² - 10x + 1 = 0

解决方案

将得到的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 27, b = -10 且 c = 1

判别式 = b² - 4ac = (-10)² - 4(27)(1) = 100 - 108 = -8

x = (-b ± √D)/2a

= [-(-10) ± √-8]/2(27)

= (10 ± √8i)/54，因为 i = √-1

= (10 ± 2√2i)/54

= 2(5 ± √2i)/54

= (5 ± √2i)/27

x = (5 ± √2i)/27

因此，x = (5 + √2i)/27 或 (5 - √2i)/27。

9. 21x² - 28x + 10 = 0

解决方案

将得到的二次方程与 ax² + bx + c = 0 进行比较，得到

a = 21, b = -28 且 c = 10

判别式 = b² - 4ac = (-28)² - 4(21)(10) = 784 - 840 = -56

x = (-b ± √D)/2a

= [-(-28) ± √-56]/2(21)

= (28 ± √56i)/42，因为 i = √-1

= (28 ± 2√14i)/42

= 2(14 ± √14i)/42

= (14 ± √14i)/21

x = (14 ± √14i)/21

因此，x = (14 + √14i)/21 或 (14 - √14i)/21。

10. 如果 z₁ = 2 - i, z₂ = 1 + i，求 |(z₁ + z₂ + 1)/(z₁ - z₂ + 1)|。

解决方案

|(z₁ + z₂ + 1)/(z₁ - z₂ + 1)|

= |(2 - i + 1 + i + 1)/(2 - i - 1 - i + 1)|

= |(2 + 2)/(2 - 2i)|

= |2(2)/2(1 - i)|

= |2/(1 - i)|

乘以并除以 1 + i

|2/(1 - i) × (1 + i)/(1 + i)|

= |2(1 + i)/(1² - i²)|

= |2(1 + i)/(1² - (-1))|

= |2(1 + i)/2|

= |1 + i| =|1 + 1i|

= √(1² + 1²)

= √(1 + 1) = √2

因此，|(z₁ + z₂ + 1)/(z₁ - z₂ + 1)| = √2。

11. 如果 a + ib = (x + i)²/(2x² + 1)，证明 a² + b² = (x² + 1)²/(2x² + 1)²。

解决方案

a + ib = (x + i)²/(2x² + 1)

= (x² + i + 2ix)/(2x² + 1)

= (x² + (-1) + 2ix)/(2x² + 1)

= (x²- 1)/(2x² + 1) + 2ix/(2x² + 1)

比较两边的实部和虚部

a = (x² - 1)/(2x² + 1) 且 b = 2x/(2x² + 1)

两边平方

a² = [(x² - 1)/(2x² + 1)]² 且 b² = [2x/(2x² + 1)]²

两方程相加

a² + b² = [(x² - 1)/(2x² + 1)]² + [2x/(2x² + 1)]²

= {x⁴ + 1 - 2x² + 4x²}/(2x² + 1)²

= {x⁴ + 1 + 2x²}/(2x² + 1)²

= {(x²)² + 1² + 2(1)(x²)}/(2x² + 1)²

= (x² + 1)²/(2x² + 1)²

因此，证明完毕。

12. 设 z₁ = 2 - i, z₂ = -2 + i。求

(i) Re (z₁z₂/z̄₁), (ii) Im (1/z₁z̄₂)。

解决方案

(i) z₁z₂ = (2 - i)(-2 + i)

= -4 + 2i + 2i - i²

= -4 + 4i - (-1)

= -4 + 1 + 4i

= -3 + 4i

z̄₁ = 2 + i

z₁z₂/z̄₁ = (-3 + 4i)/(2 + i)

将分子和分母乘以 2 - i

z₁z₂/z̄₁ = (-3 + 4i)/(2 + i) × (2 - i)/(2 - i)

= (-3 + 4i)(2 - i)/(2² - i²)

= (-6 + 8i + 3i - 4i²)/(4 - (-1))

= (-6 + 11i - 4(-1))/(4 + 1)

= (-6 + 11i + 4)/5

= (-2 + 11i)/5

= -2/5 + i11/5

Re (z₁z₂/z̄₁) = -2/5

(ii) z₁z̄₁ = (2 - i)(2 + i) = 4 - i² = 4 - (-1)

= 4 + 1 = 5

1/z₁z̄₁ = 1/5 + 0i

Im (1/z₁z̄₁) = 0

求复数 (1 + 2i)/(1 - 3i) 的模和辐角。

解决方案

设 z = (1 + 2i)/(1 - 3i)。

乘以并除以 1 + 3i

z = (1 + 2i)/(1 - 3i) × (1 + 3i)/(1 + 3i)

= (1 + 2i)(1 + 3i)/(1² - 9²i²)

= (1 + 2i + 3i + 6i²)/(1 - 9(-1))

= (1 + 5i + 6(-1))/(1 + 9)

= (-5 + 5i)/10

= 5(-1 + i)/10

= (-1 + i)/2

设 -1/2 = r cos θ 且 1/2 = r sin θ，其中 r 是模。

平方并相加

(r cos θ)² + (r sin θ)² = (-1/2)² + (1/2)²

r² cos² θ + r² sin² θ = 1/4 + 1/4

r² (cos² θ + sin² θ) = 1/2

r² = 1/2 ... (cos² A + sin² A = 1)

r = 1/√2，因为 r > 0

r cos θ = -1/2

1/√2 cos θ = -1/2

cos θ = -1/√2 = -cos π/4

r sin θ = 1/2

1/√2 sin θ = 1/2

sin θ = 1/√2 = sin π/4

sin θ 为正，而 cos θ 为负。这意味着 θ 位于第二象限。

arg (z) = θ = (π - π/4) = 3π/4

因此，给定复数的模为 1/√2，辐角为 3π/4

14. 求实数 x 和 y，如果 (x - iy) (3 + 5i) 是 -6 - 24i 的共轭。

解决方案

(x - iy)(3 + 5i) = 3x - 3iy + 5ix - 5i²y

= 3x - 3iy + 5ix - 5(-1)y

= 3x + 5y + i(5x - 3y)

设 z = -6 - 24i

那么，3x + 5y + i(5x - 3y) = z̄

因此，

3x + 5y - i(5x - 3y) = z

3x + 5y - i(5x - 3y) = -6 - 24i

比较两边的实部和虚部

3x + 5y = -6

3x = -6 -5y

x = (-6 - 5y)/3

并且

-(5x - 3y) = -24

5x - 3y = 24

5(-6 - 5y)/3 - 3y = 24

(-30 - 25y - 9y)/3 = 24

-30 - 34y = 72

-34y = 102

y = -3

x = (-6 - 5(-3))/3

= (-6 + 15)/3

= 9/3

x = 3

因此，x = 3 且 y = -3。

15. 求 (1 + i)/(1 - i) - (1 - i)/(1 + i) 的模。

解决方案

设 z = (1 + i)/(1 - i) - (1 - i)/(1 + i)

z = {(1 + i)² - (1 - i)²}/(1 - i)(1 + i)

= {1 + i² + 2i - 1 - i² + 2i}/(1 - i²)

= (4i)/(1 - (-1))

= 4i/(1 + 1)

= 4i/2 = 2i

给定复数的模 = |z| = |2i| = √(2²) = 2

16. 如果 (x + iy)³ = u + iv，则表明

u/x + v/y = 4(x² - y²)

解决方案

(x + iy)³ = u + iv

x³ + i³y³ + 3(x²)(iy) + 3(i²y²)(x) = u + iv

x³ + (-i)y³ + 3x²yi + 3(-1)xy² = u + iv

x³ - iy³ + 3x²yi - 3xy² = u + iv

x³ - 3xy² + 3x²yi - iy³ = u + iv

(x³ - 3xy²) + i(3x²y - y³) = u + iv

通过比较两边的实部和虚部，我们得到

x³ - 3xy² = u 且 3x²y - y³ = v

现在，

u/x + v/y = (x³ - 3xy²)/x + (3x²y - y³)/y

= x(x² - 3y²)/x + y(3x² - y²)/y

= x² - 3y² + 3x² - y²

= 4x² - 4y²

= 4(x² - y²)

因此，证明完毕。

17. 如果 α 和 β 是不同的复数且 |β| = 1，则求

解决方案

设 α = a + ib 且 β = x + iy

|β| = 1

|x + iy| = 1

√(x²+ y²) = 1

x² + y² = 1

因此，证明完毕。

18. 求方程 |1 - i|^x = 2^x 的非零整数解的个数。

解决方案

|1 - i|^x = 2^x

[√(1² + (-1)²)]^x = 2^x

(√2)^x = 2^x

2^x/2 = 2^x

比较指数

x/2 = x

x = 2x

2x - x = 0

x = 0

0 是给定方程的唯一可能解。

因此，给定方程没有非零整数解。

19. 如果 (a+ib) (c+id) (e+if) (g+ih) = A +iB，则表明

(a²+b²) (c²+d²) (e²+f²) (g²+h²) = A²+ B²

解决方案

(a+ib) (c+id) (e+if) (g+ih) = A +iB

两边取模

|(a+ib) (c+id) (e+if) (g+ih)| = |A +iB|

√(a² + b²) √(c² + d²) √(e² + f²) √(g² + h²) = √(A² + B²)

两边平方

(a² + b²)(c² + d²)(e² + f²)(g² + h²) = (A² + B²)

因此，证明完毕。

20. 如果 (1 + i)^m/(1 - i)^m = 1，则求 m 的最小正整数值。

解决方案

[(1 + i)/(1 - i)]^m = 1

乘以并除以 (1 + i)^m

[(1 + i)/(1 - i) × (1 + i)/(1 + i)]^m = 1

[(1 + i)²/(1² - i²)]^m = 1

[(1 + i² + 2i)/(1 - (-1))]^m = 1

[(1 - 1 + 2i)/(1 + 1))]^m = 1

(2i/2)^m = 1

i^m = 1

我们知道 i^4k = 1，其中 k 是某个整数。

i^m = i^4k

m = 4k

因此，m 的最小正整数值为 4 × 1 = 4。