11 年级数学 第 12 章：三维几何简介的 NCERT 解决方案

练习 12.1

1. 一个点在x轴上。它的y坐标和z坐标是多少？

解决方案

当一个点位于x轴上时，其y坐标和z坐标将为0。

2. 一个点在XZ平面上。关于它的y坐标，你能说什么？

解决方案

当一个点位于XZ平面上时，其y坐标为0。

3. 说出以下点所在的象限

(1, 2, 3), (4, –2, 3), (4, –2, –5), (4, 2, –5), (– 4, 2, –5), (– 4, 2, 5), (–3, –1, 6) (– 2, – 4, –7)。

解决方案

(i) (1, 2, 3)

给定的点在x、y和z轴上的坐标都是正数。因此，它位于第一象限。

(ii) (4, -2, 3)

给定的点在x轴和z轴上的坐标为正，在y轴上的坐标为负。因此，它位于第四象限。

(iii) (4, -2, -5)

给定的点在x轴上的坐标为正，在y轴和z轴上的坐标为负。因此，它位于第八象限。

(iv) (4, 2, -5)

给定的点在x轴和y轴上的坐标为正，在z轴上的坐标为负。因此，它位于第五象限。

(v) (-4, 2, -5)

给定的点在y轴上的坐标为正，在x轴和z轴上的坐标为负。因此，它位于第六象限。

(vi) (-4, 2, 5)

给定的点在y轴和z轴上的坐标为正，在x轴上的坐标为负。因此，它位于第二象限。

(vii) (-3, -1, 6)

给定的点在z轴上的坐标为正，在x轴和y轴上的坐标为负。因此，它位于第三象限。

(viii) (2, -4, -7)

给定的点在x轴上的坐标为正，在y轴和z轴上的坐标为负。因此，它位于第八象限。

4. 填空

(i) x轴和y轴合在一起确定一个平面，称为_______。
(ii) XY平面上的点坐标形式为_______。
(iii) 坐标平面将空间分成______个象限。

解决方案

(i) x轴和y轴合在一起确定一个平面，称为XY平面。

(ii) XY平面上的点坐标形式为(x, y, 0)。

(iii) 坐标平面将空间分成八个象限。

练习 12.2

1. 求以下各对点之间的距离

(i) (2, 3, 5) 和 (4, 3, 1)
(ii) (–3, 7, 2) 和 (2, 4, –1)
(iii) (–1, 3, – 4) 和 (1, –3, 4)
(iv) (2, –1, 3) 和 (–2, 1, 3)。

解决方案

(i) 设 (2, 3, 5) 为 (x₁, y₁, z₁)，(4, 3, 1) 为 (x₂, y₂, z₂)。

根据距离公式，

两点之间的距离 = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

= √((4 - 2)² + (3 - 3)² + (1 - 5)²)

= √((2)² + 0 + (-4)²)

= √(4 + 16)

= √20 = 2√5 单位

(ii) 设 (-3, 7, 2) 为 (x₁, y₁, z₁)，(2, 4, -1) 为 (x₂, y₂, z₂)。

根据距离公式，

两点之间的距离 = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

= √((2 + 3)² + (4 - 7)² + (-1 - 2)²)

= √((5)² + (-3)² + (-3)²)

= √(25 + 9 + 9)

= √43 单位

(iii) 设 (-1, 3, -4) 为 (x₁, y₁, z₁)，(1, -3, 4) 为 (x₂, y₂, z₂)。

根据距离公式，

两点之间的距离 = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

= √((1 + 1)² + (-3 - 3)² + (4 + 4)²)

= √((2)² + (-6)² + (8)²)

= √(4 + 36 + 64)

= √104 = 2√26 单位

(iv) 设 (2, -1, 3) 为 (x₁, y₁, z₁)，(-2, 1, 3) 为 (x₂, y₂, z₂)。

根据距离公式，

两点之间的距离 = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

= √((-2 - 2)² + (1 + 1)² + (3 - 3)²)

= √((-4)² + (2)² + 0)

= √(16 + 4)

= √20 = 2√5 单位

2. 证明点 (–2, 3, 5), (1, 2, 3) 和 (7, 0, –1) 共线。

解决方案

设给定的点为 P (-2, 3, 5), Q (1, 2, 3) 和 R (7, 0, -1)。

如果 P, Q 和 R 共线，则 PR 的距离等于 PQ 和 QR 的距离之和。

使用距离公式，

P 和 Q 之间的距离 = √((x_q - x_p)² + (y_q - y_p)² + (z_q - z₁)²)

= √((1 + 2)² + (2 - 3)² + (3 - 5)²)

= √(3² + (-1)² + (-2)²)

= √(9 + 1 + 4)

= √14 单位

Q 和 R 之间的距离 = √((x_r - x_q)² + (y_r - y_q)² + (z_r - z_q)²)

= √((7 - 1)² + (0 - 2)² + (-1 - 3)²)

= √(6² + (-2)² + (-4)²)

= √(36 + 4 + 16)

= √56 = 2√14 单位

P 和 R 之间的距离 = √((x_r - x_p)² + (y_r - y_p)² + (z_r - z₁)²)

= √((7 + 2)² + (0 - 3)² + (-1 - 5)²)

= √(9² + (-3)² + (-6)²)

= √(81 + 9 + 36)

= √126 = 3√14 单位

PQ + QR = √14 + 2√14

= 3√14 = PR

因此，点 (-2, 3, 5), (1, 2, 3) 和 (7, 0, -1) 共线。

3. 验证以下

(i) (0, 7, –10), (1, 6, – 6) 和 (4, 9, – 6) 是等腰三角形的顶点。
(ii) (0, 7, 10), (–1, 6, 6) 和 (– 4, 9, 6) 是直角三角形的顶点。
(iii) (–1, 2, 1), (1, –2, 5), (4, –7, 8) 和 (2, –3, 4) 是平行四边形的顶点。

解决方案

(i) 设给定的点为 A (0, 7, -10), B (1, 6, -6) 和 C (4, 9, -6)。

如果 ABC 构成一个等腰三角形，则其任意两条边必须相等。

使用距离公式，

边 AB 的长度 = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

= √((1 - 0)² + (6 - 7)² + (-6 + 10)²)

= √(1² + (-1)² + 4²)

= √(1 + 1 + 16)

= √18 = 3√2 单位

边 BC 的长度 = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²)

= √((4 - 1)² + (9 - 6)² + (-6 + 6)²)

= √(3² + 3² + 0)

= √(9 + 9)

= √18 = 3√2 单位

三角形的边 AB 和 BC 相等。

因此，(0, 7, -10), (1, 6, -6) 和 (4, 9, -6) 是等腰三角形的顶点。

(ii) 设给定的点为 A (0, 7, 10), B (-1, 6, 6) 和 C (-4, 9, 6)。

如果 ABC 构成一个直角三角形，则最长边的平方必须等于另外两条边平方之和（勾股定理）。

边 AB 的长度 = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

= √((-1 - 0)² + (6 - 7)² + (6 - 10)²)

= √((-1)² + (-1)² + (-4)²)

= √(1 + 1 + 16)

= √18 = 3√2 单位

边 BC 的长度 = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²)

= √((-4 + 1)² + (9 - 6)² + (6 - 6)²)

= √((-3)² + 3² + 0)

= √(9 + 9)

= √18 = 3√2 单位

边 AC 的长度 = √((x_C - x_A)² + (y_C - y_A)² + (z_C - z_A)²)

= √((-4 - 0)² + (9 - 7)² + (6 - 10)²)

= √((-4)² + 2² + (-4)²)

= √(16 + 4 + 16)

= √36 = 6 单位

AC 是最长边。

AC² = 6² = 36 单位

AB² + BC² = (3√2)² + (3√2)²

= 18 + 18 = 36 = AC²

∆ ABC 满足勾股定理

因此，(0, 7, 10), (-1, 6, 6) 和 (-4, 9, 6) 是直角三角形的顶点。

(iii) 设点为 A (-1, 2, 1), B (1, -2, 5), C (4, -7, 8) 和 D (2, -3, 4)

如果 ABCD 构成一个平行四边形，则对边必须相等，即 AB = CD 且 BC = AD。

边 AB 的长度 = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

= √((1 + 1)² + (-2 - 2)² + (5 - 1)²)

= √(2² + (-4)² + 4²)

= √(4 + 16 + 16)

= √36 = 6 单位

边 BC 的长度 = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²)

= √((4 - 1)² + (-7 + 2)² + (8 - 5)²)

= √(3² + (-5)² + 3²)

= √(9 + 25 + 9)

= √43 单位

边 CD 的长度 = √((x_D - x_C)² + (y_D - y_C)² + (z_D - z_C)²)

= √((2 - 4)² + (-3 + 7)² + (4 - 8)²)

= √((-2)² + 4² + (-4)²)

= √(4 + 16 + 16)

= √36 = 6 单位

边 AD 的长度 = √((x_D - x_A)² + (y_D - y_A)² + (z_D - z_A)²)

= √((2 + 1)² + (-3 - 2)² + (4 - 1)²)

= √(3² + (-5)² + 3²)

= √(9 + 25 + 9)

= √43 单位

AB = CD = 6 单位

并且 BC = AD = √43 单位

因此，(-1, 2, 1), (1, -2, 5), (4, -7, 8) 和 (2, -3, 4) 是平行四边形的顶点。

4. 求与点 (1, 2, 3) 和 (3, 2, –1) 等距离的点的集合方程。

解决方案

设给定的点为 A (1, 2, 3) 和 B (3, 2, -1)。

设点 C (x, y, z) 是与 A 和 B 等距离的点。

因此，

距离 AC = 距离 BC

√((x_C - x_A)² + (y_C - y_A)² + (z_C - z_A)²) = √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²)

两边平方

(x_C - x_A)² + (y_C - y_A)² + (z_C - z_A)² = (x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²

(x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = (x - 3)² + (y - 2)² + (z + 1)²

x² + 1 - 2x + y² + 4 - 4y + z² + 9 - 6z = x² + 9 - 6x + y² + 4 - 4y + z² + 1 + 2z

-2x - 4y - 6z = -6x - 4y + 2z

4x = 8z

x = 2z

x - 2z = 0

因此，与给定点等距离的点集合方程为 x - 2z = 0。

5. 求点集 P 的方程，其中 P 到 A (4, 0, 0) 和 B (– 4, 0, 0) 的距离之和等于 10。

解决方案

设给定的点为 A (4, 0, 0) 和 B (-4, 0, 0)。

设 C (x, y, z) 为点集 P 中的一个点。

因此，

距离 AC + 距离 BC = 10

√((x_C - x_A)² + (y_C - y_A)² + (z_C - z_A)²) + √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²) = 10

√((x_C - x_A)² + (y_C - y_A)² + (z_C - z_A)²) = 10 - √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²)

两边平方

(x_C - x_A)² + (y_C - y_A)² + (z_C - z_A)² = [10 - √((x_C - x_B)² + (y_C - y_B)² + (z_C - z_B)²)]²

(x - 4)² + (y - 0)² + (z - 0)² = [100 + (x + 4)² + (y - 0)² + (z - 0)² - 20√((x + 4)² + (y - 0)² + (z - 0)²)]

x² + 16 - 8x + y² + z² = 100 + x² + 16 + 8x + y² + z² - 20√(x² + 16 + 8x + y² + z²)

16x + 100 = 20√(x² + 16 + 8x + y² + z²)

4(4x + 25) = 20√(x² + 16 + 8x + y² + z²)

4x + 25 = 5√(x² + 16 + 8x + y² + z²)

两边平方

(4x + 25)² = 25(x² + 16 + 8x + y² + z²)

16x² + 625 + 200x = 25x² + 25y² + 25z² + 200x + 400

225 = 9x² + 25y² + 25z²

9x² + 25y² + 25z² - 225 = 0

因此，点集 P 的方程，其中 P 到 A 和 B 的距离之和为 10，是 9x² + 25y² + 25z² - 225 = 0。

练习 12.3

1. 求分点 (– 2, 3, 5) 和 (1, – 4, 6) 所连接的线段的比率
(i) 2 : 3 内分，(ii) 2 : 3 外分。

解决方案

(i) 我们知道，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段按比例 m : n 内分的点的坐标由下式给出：

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n)

y = (my₂ + ny₁)/(m + n)

z = (mz₂ + nz₁)/(m + n)

(x₁, y₁, z₁) = (-2, 3, 5)

(x₂, y₂, z₂) = (1, -4, 6)

m : n = 2 : 3

因此，

x = (2(1) + 3(-2))/(2 + 3)

= (2 - 6)/5 = -4/5

y = (2(-4) + 3(3))/(2 + 3)

= (-8 + 9)/5 = 1/5

z = (2(6) + 3(5))/(2 + 3)

= (12 + 15)/5 = 27/5

因此，所求点为 (-4/5, 1/5, 27/5)。

(ii) 我们知道，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段按比例 m : n 外分的点的坐标由下式给出：

x = (mx₂ - nx₁)/(m - n)

y = (my₂ - ny₁)/(m - n)

z = (mz₂ - nz₁)/(m - n)

(x₁, y₁, z₁) = (-2, 3, 5)

(x₂, y₂, z₂) = (1, -4, 6)

m : n = 2 : 3

因此，

x = (2(1) - 3(-2))/(2 - 3)

= (2 + 6)/(-1) = -8

y = (2(-4) - 3(3))/(2 - 3)

= (-8 - 9)/(-1) = 17

z = (2(6) - 3(5))/(2 - 3)

= (12 - 15)/(-1) = 3

因此，所求点为 (-8, 17, 3)。

2. 已知 P (3, 2, – 4), Q (5, 4, – 6) 和 R (9, 8, –10) 共线。求 Q 分割 PR 的比例。

解决方案

设 Q 分割 PR 的比例为 k : 1。

我们知道，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段按比例 m : n 内分的点的坐标由下式给出：

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n)

y = (my₂ + ny₁)/(m + n)

z = (mz₂ + nz₁)/(m + n)

(x₁, y₁, z₁) = (3, 2, -4)

(x₂, y₂, z₂) = (9, 8, -10)

m : n = k : 1

x = (9k + 3)/(k + 1)

5 = (9k + 3)/(k + 1)

5(k + 1) = 9k + 3

5k + 5 = 9k + 3

2 = 4k

k = 1/2

因此，点 Q 按 1 : 2 的比例分割线段 PR。

3. 求 YZ 平面分割连接点 (–2, 4, 7) 和 (3, –5, 8) 所形成的线段的比例。

解决方案

设给定的点为 A (-2, 4, 7) 和 B (3, -5, 8)。

我们知道，位于 YZ 平面上的任何点都具有 (0, y, z) 的形式。

设存在一个点 C (0, y, z) 将线段 AB 按比例 k : 1 分割。

我们知道，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段按比例 m : n 内分的点的坐标由下式给出：

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n)

y = (my₂ + ny₁)/(m + n)

z = (mz₂ + nz₁)/(m + n)

(x₁, y₁, z₁) = (-2, 4, 7)

(x₂, y₂, z₂) = (3, -5, 8)

m : n = k : 1

x = (3k - 2)/(k + 1)

0 = (3k - 2)/(k + 1)

0 = 3k - 2

3k = 2

k = 2/3

因此，YZ 平面将连接点 (-2, 4, 7) 和 (3, -5, 8) 的线段按 2 : 3 的比例分割。

4. 使用分点公式，证明点 A (2, –3, 4), B (–1, 2, 1) 和 C (0, 1/3, 2) 共线。

解决方案

设存在一个点 P (0, y, z) 将 AB 按比例 k : 1 分割。

我们知道，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段按比例 m : n 内分的点的坐标由下式给出：

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n)

y = (my₂ + ny₁)/(m + n)

z = (mz₂ + nz₁)/(m + n)

(x₁, y₁, z₁) = (2, -3, 4)

(x₂, y₂, z₂) = (-1, 2, 1)

m : n = k : 1

x = (-k + 2)/(k + 1)

0 = (-k + 2)/(k + 1)

0 = -k + 2

k = 2

y = (2k - 3)/(k + 1)

= (2(2) - 3)/(2 + 1) = 1/3

z = (k + 4)/(k + 1)

= (2 + 4)/(2 + 1)

= 6/3 = 2

因此，点 P (0, 1/3, 2) 位于直线 AB 上，并按 2 : 1 的比例分割它。

点 P (0, 1/3, 2) 与点 C (0, 1/3, 2) 相同。

因此，A, B, C 共线。

5. 求三等分点 P (4, 2, – 6) 和 Q (10, –16, 6) 所连接的线段的点的坐标。

解决方案

设 A 和 B 为三等分连接点 P (4, 2, -6) 和 Q (10, -16, 6) 的线段的点。

我们知道，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段按比例 m : n 内分的点的坐标由下式给出：

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n)

y = (my₂ + ny₁)/(m + n)

z = (mz₂ + nz₁)/(m + n)

(x₁, y₁, z₁) = (4, 2, -6)

(x₂, y₂, z₂) = (10, -16, 6)

A 按 1 : 2 的比例分割 PQ。因此，

x_A = (10 + 2(4))/(1 + 2)

= (10 + 8)/3 = 18/3 = 6

y_A = (-16 + 2(2))/(1 + 2)

= (-16 + 4)/3 = -12/3 = -4

z_A = (6 + 2(-6))/(1 + 2)

= (6 - 12)/3 = -6/3 = -2

所以，A 是 (6, -4, -2)。

B 按 2 : 1 的比例分割 PQ。因此，

x_B = (10(2) + 4)/(2 + 1)

= (20 + 4)/3 = 24/3 = 8

y_B = (-16(2) + 2)/(2 + 1)

= (-32 + 2)/3 = -30/3 = -10

z_B = (6(2) - 6)/(2 + 1)

= (12 - 6)/3 = 6/3 = 2

所以，B 是 (8, 10, -2)。

因此，三等分连接点 P (4, 2, -6) 和 Q (10, -16, 6) 的点的坐标是 (6, -4, -2) 和 (8, 10, -2)。

杂项练习

1. 平行四边形 ABCD 的三个顶点是 A(3, – 1, 2), B (1, 2, – 4) 和 C (– 1, 1, 2)。求第四个顶点的坐标。

解决方案

设平行四边形的第四个顶点为 D (x, y, z)。

已知 ABCD 是一个平行四边形。因此，对角线 AC 和 BD 将互相平分，即它们的中心点是相同的。

我们知道，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段的中心点坐标由下式给出：

x = (x₁ + x₂)/2

y = (y₁ + y₂)/2

z = (z₁ + z₂)/2

AC 的中心点

x_o = (3 - 1)/2 = 2/2 = 1

y_o = (-1 + 1)/2 = 0/2 = 0

z_o = (2 + 2)/2 = 4/2 = 2

BD 的中心点

x_o = (1 + x)/2

y_o = (2 + y)/2

z_o = (-4 + z)/2

因此，

1 = (1 + x)/2

2 = 1 + x

x = 1

0 = (2 + y)/2

0 = 2 + y

y = -2

2 = (-4 + z)/2

4 = -4 + z

z = 8

因此，平行四边形 ABCD 的第四个顶点的坐标是 D (1, -2, 8)。

2. 求顶点为 A (0, 0, 6), B (0, 4, 0) 和 (6, 0, 0) 的三角形的中线的长度。

解决方案

设 D, E, F 分别为边 AB, BC, AC 的中点。那么 CD, AE, BF 是中线。

根据中点公式，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段的中点坐标由下式给出：

x = (x₁ + x₂)/2

y = (y₁ + y₂)/2

z = (z₁ + z₂)/2

D 的坐标

x_D = (0 + 0)/2 = 0

y_D = (0 + 4)/2 = 2

z_D= (6 + 0)/2 = 3

D 是 (0, 2, 3)

E 的坐标

x_E = (0 + 6)/2 = 3

y_E = (4 + 0)/2 = 2

z_E= (0 + 0)/2 = 0

E 是 (3, 2, 0)

F 的坐标

x_F = (0 + 6)/2 = 3

y_F = (0 + 0)/2 = 0

z_F= (6 + 0)/2 = 3

F 是 (3, 0, 3)

使用距离公式，我们有：

中线 CD 的长度 = √((0 - 6)² + (2 - 0)² + (3 - 0)²)

= √((-6)² + 2² + 3²) = √(36 + 4 + 9)

= √49 = 7 单位

中线 AE 的长度 = √((3 - 0)² + (2 - 0)² + (0 - 6)²)

= √(3² + 2² + (-6)²) = √(9 + 4 + 36)

= √49 = 7 单位

中线 BF 的长度 = √((3 - 0)²+ (0 - 4)² + (3 - 0)²)

= √(3² + (-4)² + 3²) = √(9 + 16 + 9)

= √34 单位

因此，给定三角形的中线到边 AB, BC 和 AC 的长度分别为 7, 7 和 √34 单位。

3. 如果原点是顶点为 P (2a, 2, 6), Q (– 4, 3b, –10) 和 R(8, 14, 2c) 的三角形 PQR 的重心，则求 a, b 和 c 的值。

解决方案

已知原点是给定三角形 PQR 的重心。因此，重心在 (0, 0, 0)。

我们知道，顶点为 (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂) 和 (x₃, y₃, z₃) 的三角形的重心的坐标由下式给出：

x = (x₁+ x₂+ x₃)/3

y = (y₁+ y₂+ y₃)/3

z = (z₁+ z₂+ z₃)/3

顶点为 P (2a, 2, 6), Q (-4, 3b, -10) 和 R(8, 14, 2c) 的三角形的重心

x = (2a - 4 + 8)/3

0 = (2a + 4)/3

0 = 2a + 4

2a = -4

a = -2

y = (2 + 3b + 14)/3

0 = (3b + 16)/3

3b + 16 = 0

3b = -16

b = -16/3

z = (6 - 10 + 2c)/3

0 = (2c - 4)/3

2c - 4 = 0

2c = 4

c = 2

4. 找一个在y轴上，距离点 P (3, –2, 5) 为 5√2 的点的坐标。

解决方案

设y轴上的点为 A (0, y, 0)。

使用距离公式，

我们知道两点 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 之间的距离为

距离 = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]

因此，点 A (0, y, 0) 和 P (3, -2, 5) 之间的距离为

AP 的距离 = √[(3 - 0)² + (-2 - y)² + (5 - 0)²]

已知点 A (0, y, 0) 和 P (3, -2, 5) 之间的距离为 5√2。因此，

5√2 = √[(3 - 0)² + (-2 - y)² + (5 - 0)²]

5√2 = √[3² + (-2 - y)² + 5²]

5√2 = √[(-2 - y)² + 9 + 25]

5√2 = √[(-2 - y)² + 34]

两边平方，

(-2 - y)² + 34 = 50

(-2 - y)² = 50 - 34

4 + y² + 2(-2)(-y) = 16

y² + 4y - 12 = 0

y² + 6y - 2y - 12 = 0

y(y + 6) - 2(y + 6) = 0

(y + 6)(y - 2) = 0

y = -6, y = 2

因此，点 (0, 2, 0) 和 (0, -6, 0) 是 y 轴上的所求点。

5. x 坐标为 4 的点 R 位于点 P (2, –3, 4) 和 Q (8, 0, 10) 所连接的线段上。求点 R 的坐标。

[提示：设 R 将 PQ 按 k:1 的比例分割。点 R 的坐标为 [(8k + 2)/(k + 1), -3/(k + 1), (10k + 4)/(k + 1)]

解决方案

设所求点 R (4, y, z) 的坐标。

设点 R (4, y, z) 将连接点 P (2, -3, 4) 和 Q (8, 0, 10) 的线段按 k : 1 的比例分割。

使用分点公式，

我们知道，连接点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 的线段按比例 m : n 内分的点的坐标由下式给出：

x = (mx₂ + nx₁)/(m + n)

y = (my₂ + ny₁)/(m + n)

z = (mz₂ + nz₁)/(m + n)

因此，

4 = (8k + 2)/(k + 1)

4(k + 1) = 8k + 2

4k + 4 = 8k + 2

2 = 4k

k = 1/2

现在，

y = (0 - 3)(1/2 + 1)

y = (-3)/(3/2)

3y/2 = -3

3y = -6

y = -2

z = (10(1/2) + 4)/(1/2 + 1)

z = (5 + 4)/(3/2)

3z/2 = 9

3z = 18

z = 6

因此，所求点的坐标为 (4, -2, 6)。

6. 如果 A 和 B 分别是点 (3, 4, 5) 和 (–1, 3, –7)，求使 PA² + PB² = k² 的点 P 的集合方程，其中 k 是一个常数。

解决方案

设该点为 P (x, y, z)。

使用距离公式，

我们知道两点 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 之间的距离为

距离 = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]

因此，

PA = √((3 - x)² + (4 - y)² + (5 - z)²)

并且

PB = √((-1 - x)² + (3 - y)² + (-7 - z)²)

已知 PA² + PB² = k²。因此，

((3 - x)² + (4 - y)² + (5 - z)²) + ((-1 - x)² + (3 - y)² + (-7 - z)²) = k²

((9 + x² - 6x) + (16 + y² - 8y) + (25 + z² - 10z)) + ((1 + x² + 2x) + (9 + y² - 6y) + (49 + z² + 14z)) = k²

9 + x² - 6x + 16 + y² - 8y + 25 + z² - 10z + 1 + x² + 2x + 9 + y² - 6y + 49 + z² + 14z = k²

2x² + 2y² + 2z² - 4x - 14y + 4z + 109 = k²

2x² + 2y² + 2z² - 4x - 14y + 4z = k² - 109

2(x² + y² + z² - 2x - 7y + 2z) = k² - 109

(x² + y² + z² - 2x - 7y + 2z) = (k² - 109)/2

因此，所求方程为 (x² + y² + z² - 2x - 7y + 2z) = (k² - 109)/2。