10年级数学第8章解决方案：三角学导论

练习 8.1

1. 在直角三角形 ABC 中，角 B 为直角，AB = 24 cm，BC = 7 cm。求：

1. sin A, cos A
2. sin C, cos C

解决方案

根据ABC中的勾股定理，我们得到

AC² = AB² + BC²

AC² = 24² + 7²

AC² = 576 + 49

AC² = 625

AC = 25 cm

I. sin A = 对边/斜边

= BC/AC = 7/25

cos A = 邻边/斜边

= AB/AC = 24/25

II. sin C = 对边/斜边

= AB/AC = 24/25

cos C = 邻边/斜边

= BC/AC = 7/25

2. 在图 8.13 中，求 tan P - cot R。

解决方案

根据勾股定理应用于 PQR，我们得到

PR² = PQ² + QR²

QR² = PR² - PQ²

QR² = 13² - 12²

QR² = 169 - 144

QR² = 25

QR = 5 cm

tan P = 对边/邻边

= QR/PQ = 5/12

cot R = 邻边/对边

= QR/PQ = 5/12

tan P - cot R = 5/12 - 5/12 = 0

3. 如果 sin A = 3/4，计算 cos A 和 tan A。

解决方案

sin A = 对边/斜边

3/4 = 对边/斜边

设对边 = 3x，斜边 = 4x

根据勾股定理

(4x)² = (角A的邻边)² + (3x)²

16x² = (角A的邻边)² + 9x²

7x² = (角A的邻边)²

角A的邻边 = x√7

cos A = 邻边/斜边

= x√7/4x = √7/4

tan A = 对边/斜边

= 3x/x√7 = 3/√7

因此，cos A = √7/4 且 tan A = 3/√7。

4. 已知 15 cot A = 8，求 sin A 和 sec A。

解决方案

15 cot A = 8

cot A = 8/15

邻边/对边 = 8/15

设角A的邻边为8x，角A的对边为15x。

根据勾股定理

斜边² = (8x)² + (15x)²

斜边² = 64x² + 225x²

斜边² = 289x²

斜边 = 17x

现在，

sin A = 对边/斜边

= 15x/17x = 15/17

sec A = 斜边/邻边

= 17x/8x = 17/8

因此，sin A = 15/17 且 sec A = 17/8。

5. 已知 sec θ = 13/12，计算所有其他三角函数。

解决方案

sec θ = 斜边/邻边

13/12 = 斜边/邻边

设斜边 = 13x，邻边 = 12x

根据勾股定理

(13x)² = (12x)² + (对边)²

169x² = 144x² + (对边)²

25x² = (对边)²

5x = 对边

现在，

sin θ = 对边/斜边

= 5x/13x = 5/13

cos θ = 邻边/斜边

= 12x/13x = 12/13

tan θ = 对边/邻边

= 5x/12x = 5/12

cosec θ = 斜边/对边

= 13x/5x = 13/5

cot θ = 邻边/对边 = 12x/5x = 12/5

6. 如果 ∠ A 和 ∠ B 是锐角，且 cos A = cos B，则证明 ∠ A = ∠ B。

解决方案

设三角形为 ABC，直线 CD ⊥ AB。

cos A = cos B

AD/AC = BD/BC

AD/BD = AC/BC

设 AD/BD = AC/BC = x

因此，AD = xBD 且 AC = xBC

根据勾股定理应用于 CAD，我们得到

AC² = CD² + AD²

CD² = AC² - AD²

根据勾股定理应用于 CBD，我们得到

BC² = CD² + BD²

CD² = BC² - BD²

AC² - AD² = BC² - BD²

(xBC)² - (xBD)² = BC² - BD²

x²(BC² - BD²) = BC² - BD²

x² = 1

x = 1

因此，AC/BC = x = 1

AC = BC

这意味着 ∠ A = ∠ B，因为三角形中相等边的对角也相等。

因此，证明完毕。

7. 如果 cot θ = 7/8，求值

1. (1 + sin θ)(1 - sin θ)/(1+cos θ)(1-cos θ)
2. cot² θ

解决方案

cot θ = 7/8

邻边/对边 = 7/8

设邻边为7x，对边为8x。

根据勾股定理

斜边² = 邻边² + 对边²

斜边² = (7x)² + (8x)²

斜边² = 49x² + 64x²

斜边² = 113x²

斜边 = x√113

sin θ = 对边/斜边

= 8x/x√113 = 8/√113

cos θ = 邻边/斜边

= 7x/x√113 = 7/√113

I. (1 + sin θ)(1 - sin θ)/(1 + cos θ)(1 - cos θ)

= (1 + 8/√113)(1 - 8/√113)/(1 + 7/√113)(1 - 7/√113)

= 1² - (8/√113)² /1² - (7/√113)²

= 49/64

II. cot² θ = (7/8)² = 49/64

8. 如果 3 cot A = 4，检查 (1 - tan² A)/(1 + tan² A) = cos² A - sin²A 是否成立。

解决方案

3 cot A = 4

cot A = 4/3

邻边/对边 = 4/3

设邻边 = 4x，对边 = 3x

根据勾股定理

斜边² = 邻边² + 对边²

斜边² = (4x)² + (3x)²

斜边² = 16x² + 9x²

斜边² = 25x²

斜边 = 5x

sin A = 对边/斜边

= 3x/5x = 3/5

cos A = 邻边/斜边

= 4x/5x = 4/5

tan A = 对边/邻边

= 3x/4x = 3/4

现在，给定关系的左边 (LHS)

因此，LHS = RHS。

因此，证明完毕。

9. 在直角三角形 ABC 中，角 B 为直角，如果 tan A = 1/√3，求值

1. sin A cos C + cos A sin C
2. cos A cos C - sin A sin C

解决方案

tan A = 1/√3

对边/邻边 = 1/√3

设 BC = x，AB = x√3

根据勾股定理

AC² = AB² + BC²

AC² = (x√3)² + (x)²

AC² = x² + 3x²

AC² = 4x²

AC = 2x

sin A = 对边/斜边

= BC/AC = x/2x = 1/2

cos A = 邻边/斜边

= AB/AC = x√3/2x = √3/2

sin C = AB/AC = x√3/2x = √3/2

cos C = BC/AC = x/2x = 1/2

I. sin A cos C + cos A sin C = (1/2)(1/2) + (√3/2)(√3/2)

= ¼ + ¾ = 4/4 = 1

II. cos A cos C - sin A sin C = (1/2)(√3/2) - (1/2)(√3/2)

= √3/4 - √3/4 = 0

10. 在直角三角形 PQR 中，角 Q 为直角，PR + QR = 25 cm 且 PQ = 5 cm。求 sin P, cos P 和 tan P 的值。

解决方案

PR + QR = 25

PR = 25 - QR

根据勾股定理应用于 PQR，我们得到

PR² = PQ² + QR²

(25 - QR)² = 5² + QR²

25² + QR² - 2(25)(QR) = 25 + QR²

625 - 50QR = 25

600 = 50QR

QR = 12 cm

现在，PR = 25 - QR = 25 - 12 = 13 cm

sin P = QR/PR = 12/13

cos P = PQ/PR = 5/13

tan P = QR/PQ = 12/5

11. 判断下列叙述是否正确。请说明理由。

1. tan A 的值总是小于 1。
2. 对于某个角度 A，sec A = 12/5。
3. cos A 是角度 A 的余割 (cosecant) 的缩写。
4. cot A 是 cot 和 A 的乘积。
5. 对于某个角度 θ，sin θ = 4/3。

解决方案

I. 给定的陈述是错误的。

对于直角三角形 ABC

tan A = 对边/邻边

角A的对边可能大于角A的邻边，这将使 tan A 大于 1。

例如，ABC 的边长 - 3 单位，4 单位，和 5 单位

II. 给定的陈述是正确的。

设有一个直角三角形 ABC，角 B 为直角。

sec A = 12/5

AC/AB = 12/5

设 AC = 12x，AB = 5x

根据勾股定理

AC² = AB² + BC²

(12x)² = (5x)² + BC²

144x² = 25x² + BC²

119x² = BC²

因此，它满足勾股定理。

所以，sec A = 12/5 是可能的。

III. 给定的陈述是错误的。

cos A 是角度 A 的余弦 (cosine) 的缩写。

IV. 给定的陈述是错误的。

cot A 不是 cot 和 A 的乘积。它表示角度 A 的余切 (cotangent)。

V. 给定的陈述是错误的。

sin A = 对边/斜边

要使 sin A = 4/3，三角形的边需要大于斜边，这是不可能的，因为斜边是直角三角形中最长的边。

练习 8.2

1. 计算下列各式：

1. sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
2. 2 tan² 45° + cos² 30° - sin² 60°
3. cos 45°/(sec 30° + cosec 30°)
4. (sin 30° + tan 45° - cosec 60°)/(sec 30° + cos 60° + cot 45°)
5. (5 cos² 60° + 4 sec² 30° - tan² 45°)/(sin² 30° + cos² 30°)

解决方案

I. sin 60° = √3/2

cos 30° = √3/2

sin 30° = 1/2

cos 60° = 1/2

sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° = (√3/2) × (√3/2) + (1/2) × (1/2)

= 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

II. tan 45° = 1

sin 60° = √3/2

cos 30° = √3/2

2 tan² 45° + cos² 30° - sin² 60° = 2 × (1)² + (√3/2)² - (√3/2)²

= 2 + 3/4 - 3/4 = 2

III. cos 45° = 1/√2

sec 30° = 2/√3

cosec 30° = 2

IV. sin 30° = 1/2

tan 45° = 1

cosec 60° = 2/√3

sec 30° = 2/√3

cos 60° = 1/2

cot 45° = 1

V. cos 60° = 1/2

sec 30° = 2/√3

tan 45° = 1

sin 30° = 1/2

cos 30° = √3/2

2. 选择正确选项并说明理由：

1. 2 tan 30°/(1 + tan² 30°) =
   (A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
2. (1 - tan² 45°)/(1 + tan² 45°) =
   (A) tan 90° (B) 1 (C) sin 45° (D) 0
3. sin 2A = 2 sin A 在 A = 时成立
   (A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
4. 2 tan 30°/(1 - tan² 30°) =
   (A) cos 60° (B) sin 60° (C) tan 60° (D) sin 30°

解决方案

I. 2 tan 30°/(1 + tan² 30°) = 2(1/√3)/(1 + 1/√3²)

= (2/√3)/(1 + 1/3) = (2/√3)/(4/3)

= 2√3/4 = √3/2 = sin 60°

因此，(A) 是正确答案。

II. (1 - tan² 45°)/(1 + tan² 45°) = (1 - 1²)/(1 + 1²)

= (1 - 1)/(1 + 1) = 0/2 = 0

因此，(D) 是正确答案。

III. 令 A = 0°

sin 2A = sin 0° = 0

2 sin A = 2 sin 0° = 2 (0) = 0

因此，(A) 是正确答案。

IV. 2 tan 30°/(1 - tan² 30°) = 2(1/√3)/(1 - 1/√3²)

= (2/√3)/(1 - 1/3) = (2/√3)/(2/3) = 3/√3 = √3 = tan 60°

因此，(C) 是正确答案。

3. 如果 tan (A + B) = √3 且 tan (A - B) = 1/√3； 0° < A + B ≤ 90°； A > B，求 A 和 B。

解决方案

tan (A + B) = √3

我们知道 tan 60° = √3。因此，

tan (A + B) = tan 60°

A + B = 60

tan (A - B) = 1/√3

我们知道 tan 30° =1/√3。因此，

tan (A - B) = tan 30°

A - B = 30

将得到的方程相加

A + B + A - B = 60 + 30

2A = 90

A = 45

现在，求 B

A - B = 30

45 - B = 30

B = 15

因此，A = 45° 且 B = 15°

4. 判断下列叙述是否正确。请说明理由。

1. sin (A + B) = sin A + sin B。
2. sin θ 的值随着 θ 的增大而增大。
3. cos θ 的值随着 θ 的增大而增大。
4. 对于所有 θ 的值，sin θ = cos θ。
5. 对于 A = 0°，cot A 未定义。

解决方案

I. 如果我们令 A = 30° 且 B = 60°，我们将得到

LHS = sin (A + B) = sin (30° + 60°) = sin 90°

= 1

RHS = sin A + sin B = sin 30° + sin 60°

= 1/2 + √3/2 = (√3 + 1)/2

因此，LHS ≠ RHS。

所以，给定的陈述是错误的。

II. sin 0° = 0

sin 30° = 1/2

sin 45° = 1/√2

sin 60° = √3/2

sin 90° = 1

因此，sin θ 的值随着 θ 的值而增大。

所以，给定的陈述是正确的。

III. cos 0° = 1

cos 30° = √3/2

cos 45° = 1/√2

cos 60° = 1/2

cos 90° = 0

因此，cos θ 的值随着 θ 的值而减小。

因此，给定陈述为假。

IV. sin 0° = 0 而 cos 0° = 1

因此，给定陈述为假。

V. cot A = cot 0°

= cos 0°/sin 0° = 1/0 = 未定义

所以，给定的陈述是正确的。

练习 8.3

1. 计算

1. sin 18°/cos 72°
2. tan 26°/cot 64°
3. cos 48° - sin 42°
4. cosec 31° - sec 59°

解决方案

I. sin 18°/cos 72° = cos (90° - 18°)/cos 72°

= cos 72°/ cos 72° = 1

II. tan 26°/cot 64° = cot (90° - 24°)/cot 64°

= cot 64°/ cot 64° = 1

III. cos 48°/sin 42° = sin (90° - 48°)/sin 42°

= sin 42°/ sin 42° = 1

IV. cosec 31°/sec 59° = sec (90° - 31°)/sec 59°

= sec 59°/ sec 59° = 1

2. 证明

1. tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
2. cos 38° cos 52° - sin 38° sin 52° = 0

解决方案

I. tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = tan (90° - 42°) tan (90° - 67°) tan 42° tan 67°

= cot 42° cot 67° tan 42° tan 67°

= (cot 42° tan 42°) (cot 67° tan 67°) = 1 × 1 = 1

因此，证明完毕。

II. cos 38° cos 52° - sin 38° sin 52° = cos (90° - 52°) cos (90°-38°) - sin 38° sin 52°

= sin 52° sin 38° - sin 38° sin 52°

= 0

因此，证明完毕。

3. 如果 tan 2A = cot (A - 18°)，其中 2A 是一个锐角，求 A 的值。

解决方案

我们知道：

由于 2A 是锐角，tan 2A = cot (90° - 2A)。

因此，

tan 2A = cot (A - 18°)

cot (90° - 2A) = cot (A - 18°)

90° - 2A = A - 18°

108° = 3A

A = 36°

因此，A = 36°。

4. 如果 tan A = cot B，证明 A + B = 90°。

解决方案

tan A = cot B

tan A = tan (90° - B)

A = 90° - B

因此，

A + B = 90°

因此，证明完毕。

5. 如果 sec 4A = cosec (A - 20°)，其中 4A 是一个锐角，求 A 的值。

解决方案

我们知道：

由于 4A 是锐角，sec 4A = cosec (90° - 4A)。

因此，

sec 4A = cosec (A - 20°)

cosec (90° - 4A) = cosec (A - 20°)

90° - 4A = A - 20°

110° = 5A

A = 22°

因此，A = 22°。

6. 如果 A, B 和 C 是三角形 ABC 的内角，则证明

sin ((B + C)/2) = cos A/2

解决方案

由于 A, B 和 C 是三角形的内角。因此，

A + B + C = 180°

B + C = 180° - A

两边同除以 2

(B + C)/2 = (180° - A)/2

(B + C)/2 = (90° - A/2)

两边取正弦，我们得到

sin ((B + C)/2) = sin (90° - A/2)

我们知道 sin (90° - ?) = cos (?)。

因此，

sin ((B + C)/2) = cos (A/2)

因此，证明完毕。

7. 将 sin 67° + cos 75° 用角度在 0° 和 45° 之间的三角函数表示。

解决方案

sin 67° = cos (90° - 67°)

= cos 23°

cos 75° = sin (90° - 75°)

= sin 25°

因此，sin 67° + cos 75° 可以表示为 cos 23° + sin 25°

练习 8.4

1. 将三角函数 sin A, sec A 和 tan A 用 cot A 表示。

解决方案

我们知道：

cosec² A - cot² A = 1

cosec² A = 1 + cot² A

(1/sin² A) = 1 + cot² A，因为 cosec 是 sin 函数的倒数。

sin² A = 1/(1 + cot² A)

两边开平方，

sin A = ±1/√(1 + cot² A)

因此，sin A 用 cot A 表示为 ±1/√(1 + cot² A)。

现在，

sin² A = 1/(1 + cot² A)

1 - cos² A = 1/(1 + cot² A)，因为 sin² A + cos² A = 1。

cos² A = 1 - 1/(1 + cot² A)

cos² A = (1 - 1 + cot² A)/(1 + cot² A)

1/sec² A = (cot² A)/(1 + cot² A)，因为 sec 是 cos 函数的倒数。

sec² A = (1 + cot² A)/cot² A

两边开平方，

secA = ±√(1 + cot² A)/cotA

因此，sec A 用 cot A 表示为 ±√(1 + cot² A)/cot A。

我们知道：

tan A = sin A/cos A

两边取倒数，

1/tan A = cos A/sin A

1/tan A = cot A

tan A = 1/cot A

因此，tan A 用 cot A 表示为 1/cot A。

2. 将 ∠ A 的所有其他三角函数用 sec A 表示。

解决方案

我们知道 cos A 是 sec A 的倒数。因此，

sec A = 1/cos A

cos A = 1/sec A

因此，cos A 用 sec A 表示为 1/sec A。

我们知道：

cos² A + sin² A = 1

sin² A = 1 - cos² A

sin² A = 1 - (1/sec² A)

sin² A = (sec² A - 1)/sec² A

sin A = ±√(sec² A - 1)/sec A

因此，sin A 用 sec A 表示为 ±√(sec² A - 1)/sec A。

sin A = 1/cosec A

cosec A = 1/sin A

cosec A = ±1/√(sec² A - 1)/sec A

因此，cosec A 用 sec A 表示为 ±1/√(sec² A - 1)/sec A。

我们知道：

sec² A - tan² A = 1

tan² A = sec² A - 1

tan A = ±√(sec² A - 1)

因此，tan A 用 sec A 表示为 ±√(sec² A - 1)。

tan A = 1/cot A

cot A = 1/tan A

cot A = 1/±√(sec² A - 1)

因此，cot A 用 sec A 表示为 ±1/√(sec² A - 1)。

3. 计算

1. (sin² 63° + sin² 27°)/(cos² 17° + cos² 73°)
2. sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°

解决方案

I. (sin² 63° + sin² 27°)/(cos² 17° + cos² 73°)

= (cos² (90° - 63°) + sin² 27°)/(cos² 17° + sin² (90° - 73°))

= (cos² 27° + sin² 27°)/(cos² 17° + sin² 17°)

我们知道，cos² A + sin² A = 1。因此，

(cos² 27° + sin² 27°)/(cos² 17° + sin² 17°)

= 1/1 = 1

II. sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°

= sin 25° sin (90° - 65°) + cos 25° cos (90° - 65°)

= sin 25° sin 25° + cos 25° cos 25°

= sin² 25° + cos² 25°

我们知道，cos² A + sin² A = 1。因此，

sin² 25° + cos² 25° = 1

4. 选择正确选项。说明你的理由。

1. 9 sec² A - 9 tan² A =
   (A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0
2. (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ - cosec θ) =
   (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -1
3. (sec A + tan A) (1 - sin A) =
   (A) sec A (B) sin A (C) cosec A (D) cos A
4. (1 + tan² A)/(1 + cot² A) =
   (A) sec² A (B) -1 (C) cot² A (D) tan² A

解决方案

I. 9 sec² A - 9 tan² A = 9(sec² A - tan² A)

我们知道 sec² θ - tan² θ = 1。因此，

9(sec² A - tan² A) = 9 (1) = 9

因此，(B) 是正确答案。

II. (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ - cosec θ)

= (1 + sin θ/cos θ + 1/cos θ)(1 + cos θ/sin θ - 1/sin θ)

= (sin θ + cos θ + 1)/cos θ × (sin θ + cos θ - 1)/sin θ

= ((sin θ + cos θ)² - 1²)/cos θ sin θ

= (cos² θ + sin² θ + 2cos θ sin θ - 1)/cos θ sin θ

我们知道，cos² A + sin² A = 1。因此，

(cos² θ + sin² θ + 2cos θ sin θ - 1)/cos θ sin θ

= (1 + 2cos θ sin θ - 1)/cos θ sin θ

= 2cos θ sin θ/cos θ sin θ

= 2

因此，(C) 是正确答案。

III. (sec A + tan A) (1 - sin A)

= (1/cos A + sin A/cos A) (1 - sin A)

= (1 + sin A)(1 - sin A)/cos A

= (1² - sin² A)/cos A

= (1 - sin² A)/cos A

我们知道 sin² A - cos² A = 1。因此，

(1 - sin² A)/cos A = cos² A/cos A

= cos A

因此，(D) 是正确答案。

IV. (1 + tan² A)/(1 + cot² A)

= (1 + 1/cot² A)/(1 + cot² A)

= (cot² A + 1)/cot² A(1 + cot² A)

= 1/cot² A = tan² A

因此，(D) 是正确答案。

5. 证明下列恒等式，其中涉及的角度是定义了这些表达式的锐角。

1. (cosec θ - cot θ)² = (1 - cos θ)/(1 + cos θ)
2. cos A/(1 + sin A) + (1 + sin A)/cos A = 2 sec A
3. tan θ/(1 - cot θ) + cot θ/(1 - tan θ) = 1 + sec θ cosec θ
   [提示：将表达式写成 sin θ 和 cos θ 的形式]
4. (1 + sec A)/sec A = sin² A/(1 - cos A)
   [提示：分别简化 LHS 和 RHS]
5. (cos A - sin A+1)/( cos A + sin A - 1) = cosec A + cot A，使用恒等式 cosec²A = 1 + cot²A。
6. 
7. (sin θ - 2sin³ θ)/(2cos³ θ - cos θ) = tan θ
8. (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A + cot² A
9. (cosec A - sin A)(sec A - cos A) = 1/(tan A + cotA)
   [提示：分别简化 LHS 和 RHS]
10. (x) (1 + tan² A/1 + cot² A) = (1 - tan A/1 - cot A)² =tan²A

解决方案

I. (cosec θ - cot θ)² = (1 - cos θ)/(1 + cos θ)

= (cosec² θ + cot² θ - 2cosec θ cot θ)

= (1/sin² θ + cos² θ/sin² θ - 2cos θ /(sin² θ))

= (1 + cos² θ - 2cos θ)/sin² θ

= (1² + cos² θ - 2(1)cos θ)/sin² θ

= (1 - cos θ)²/(sin² θ)

由于，sin² A + cos² A = 1。因此，

(1 - cos θ)²/(sin² θ)

= (1 - cos θ)²/(1 - cos² θ)

= (1 - cos θ)²/(1 - cos θ)(1 + cos θ)

= (1 - cos θ)/(1 + cos θ)

因此，证明完毕。

II. (cos A/(1 + sin A)) + ((1 + sin A)/cos A)

= (cos² A + (1 + sin A)²)/(1 + sin A)cos A

= (cos² A + sin² A + 1 + 2sin A)/(1 + sin A)cos A

由于，sin² a + cos² a = 1。因此，

(cos² A + sin² A + 1 + 2sin A)/(1 + sin A)cos A

= (1 + 1 + 2sin A)/(1 + sin A)cos A

= 2(1 + sin A)/(1 + sin A)cos A

= 2/cos A

= 2 sec A

因此，证明完毕。

III. tan θ/(1 - cot θ) + cot θ/(1 - tan θ)

= sin θ/cos θ(1 - cos θ/sin θ) + cos θ/sin θ(1 - sin θ/cos θ)

= sin θ/cos θ((sin θ - cos θ)/sin θ) + cos θ/sin θ((cos θ - sin θ)/cos θ)

= sin² θ/(sin θ - cos θ)cos θ + cos² θ/(cos θ - sin θ)sin θ

= sin² θ/(sin θ - cos θ)cos θ - cos² θ/(sin θ - cos θ)sin θ

= 1/(sin θ - cos θ)[sin² θ/cos θ - cos² θ/sin θ]

= [sin² θ/cos θ - cos² θ/sin θ]/(sin θ - cos θ)

= [(sin³ θ - cos³ θ)/sin θ cos θ]/(sin θ - cos θ)

= [(sin θ - cos θ)(sin² θ + cos² θ + sin θ cos θ)/sin θ cos θ]/(sin θ - cos θ)

= (sin² θ + cos² θ + sin θ cos θ)/sin θ cos θ

由于，sin² a + cos² a = 1。因此，

(sin² θ + cos² θ + sin θ cos θ)/sin θ cos θ

= (1 + sin θ cos θ)/sin θ cos θ

= 1/sin θ cos θ + sin θ cos θ/sin θ cos θ

= cosec θ sec θ + 1

= 1 + sec θ cosec θ

因此，证明完毕。

IV. LHS = (1 + sec A)/sec A

= (1 + 1/cos A)/(1/cos A)

= ((cos A + 1)/cos A)/(1/cos A)

= cos A + 1

RHS = sin² A/(1 - cos A)

= (1 - cos² A)/(1 - cos A)

= (1² - cos² A)/(1 - cos A)

= (1 - cos A)(1 + cos A)/(1 - cos A)

= cos A + 1

LHS = RHS

因此，证明完毕。

V. 将分子和分母同除以 sin A

= [(cos A - sin A + 1)/sin A]/[(cos A + sin A - 1)/sin A]

= (cot A - 1 + cosec A)/(cot A + 1 - cosec A)

由于 cosec² A = 1 + cot² A。因此，1 = cosec² A - cot² A。

(cot A - 1 + cosec A)/(cot A + 1 - cosec A)

= (cot A - (cosec² A - cot² A) + cosec A)/(cot A + 1 - cosec A)

= (cot A + cosec A - (cosec A + cot A)(cosec A - cot A))/(cot A + 1 - cosec A)

= (cosec A + cot A)(1 + cot A - cosec A)/(cot A + 1 - cosec A)

= cosec A + cot A

因此，证明完毕。

VI.

由于 sec² A - tan² A = 1。因此，

= (sec A + tan A)/1

= sec A + tan A

VII. (sin θ - 2sin³ θ)/(2cos³ θ - cos θ)

= sin θ (1 - 2sin² θ)/cos θ (2cos² θ - 1)

由于 sin² θ = 1 - cos² θ。因此，

sin θ (1 - 2sin² θ)/cos θ (2cos² θ - 1)

= sin θ (1 - 2(1 - cos² θ))/cos θ (2cos² θ - 1)

= sin θ (1 - 2 + 2cos² θ)/cos θ (2 cos² θ - 1)

= sin θ (-1 + 2cos² θ)/cos θ (2 cos² θ - 1)

= sin θ/cos θ

= tan θ

因此，证明完毕。

VIII. (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²

= sin² A + cosec² A + 2sin A cosec A + cos² A + sec² A + 2cos A sec A

由于 cosec² A = 1 + tan² A 且 sec² A = 1 + cot² A。因此，

sin² A + cosec² A + 2sin A cosec A + cos² A + sec² A + 2cos A sec A

= sin² A + 1 + tan² A + 2sin A cosec A + cos² A + 1 + cot² A + 2cos A sec A

= 2 + tan² A + cot² A + sin² A + cos² A + 2sin A (1/sin A) + 2cos A (1/cos A)

由于，sin² A + cos² A = 1。因此，

= 2 + tan² A + cot² A + 1+ 2 + 2

= 7 + tan² A + cot² A

因此，证明完毕。

IX. LHS = (cosec A - sin A)(sec A - cos A)

= (1/sin A - sin A)(1/cos A - cos A)

= [(1 - sin² A)/sin A][(1 - cos² A)/cos A]

由于，sin² a + cos² a = 1。因此，

= [(1 - sin² A)/sin A][(1 - cos² A)/cos A]

= [(cos² A)/sin A][(sin² A)/cos A]

= (cos A)(sin A)

= sin A cos A

RHS = 1/(tan A + cot A)

= 1/(sin A/cos A + cos A/sin A)

= 1/[(sin² + cos² A)/sin A cos A]

= 1/(1/sin A cos A)

= sin A cos A

因此，LHS = RHS

因此，证明完毕。

X. 第 (i) 部分 (1 + tan² A/1 + cot² A)

= (1 + tan² A)/(1 + 1/tan² A)

= (1 + tan² A)/[(tan² A + 1)/tan² A]

= tan² A (1 + tan² A)/(tan² A + 1)

= tan² A

第 (ii) 部分 (1 - tan A)²/(1 - cot A)²

= (1 - tan A)²/(1 - 1/tan A)²

= (1 - tan A)²/((tan A - 1)/tan A)²

= (1 - tan A)²/[(tan A - 1)²/tan² A]

= tan² A (1 - tan A)²/(-(1 - tan A))²

= tan² A (1 - tan A)²/(1 - tan A)²

= tan² A

因此，证明完毕。