NCERT解决方案 11年级数学第16章：概率

练习 16.1

在以下1至7题的每一题中，请描述指示性实验的样本空间

1. 抛硬币三次。

解决方案

抛1枚硬币的样本空间 = {H, T} ⇒ 2种结果

抛1枚硬币三次的结果 = 2³ = 8

所需的样本空间 = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

2. 掷骰子两次。

解决方案

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

掷骰子两次的结果 = 6²= 36

所需的样本空间 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3)(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

3. 抛硬币四次。

解决方案

抛1枚硬币的样本空间 = {H, T} ⇒ 2种结果

抛1枚硬币四次的结果 = 2⁴ = 16

所需的样本空间 = {HHHH, THHH, HTHH, HHTH, HHHT, TTTT, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTHH, HHTT, THTH, HTHT, THHT, HTTH}

4. 抛硬币并掷骰子。

解决方案

抛1枚硬币的样本空间 = {H, T} ⇒ 2种结果

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

抛硬币并掷骰子的结果 = 2 × 6 = 12

所需的样本空间 = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}

5. 抛硬币，然后只有在硬币出现正面时才掷骰子。

解决方案

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

抛1枚硬币的样本空间 = {H, T} ⇒ 2种结果

但只有在硬币投掷结果为正面时才掷骰子。因此，

可能的事件数 = 1 × 6 + 1 = 7

所需的样本空间 = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T)}

6. 房间X中有2个男孩和2个女孩，房间Y中有1个男孩和3个女孩。指定一个房间并选择一个人进行实验的样本空间。

解决方案

设b₁和b₂为X房间的男孩，g₁和g₂为X房间的女孩。

设b₃为Y房间的男孩，g₃、g₄和g₅为Y房间的女孩。

如果选择房间X

样本空间 = {(X, b₁), (X, b₂), (X, g₁), (X, g₂)}

如果选择房间Y

样本空间 = {(Y, b₃), (Y, g₃), (Y, g₄), (Y, g₅)}

因此，

所需的样本空间 = {(X, b₁), (X, b₂), (X, g₁), (X, g₂), (Y, b₃), (Y, g₃), (Y, g₄), (Y, g₅)}

7. 一个红色的骰子，一个白色的骰子和一个蓝色的骰子放在一个袋子里。随机选择一个骰子并掷出，记录其颜色和最上面数字。描述样本空间。

解决方案

设红色骰子为R，白色骰子为W，蓝色骰子为B。

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

选择并掷出一个骰子的总可能结果 = 6 × 3 = 18

所需的样本空间 = {(R, 1), (R, 2), (R, 3), (R, 4), (R, 5), (R, 6), (W, 1), (W, 2), (W, 3), (W, 4), (W, 5), (W, 6) (B, 1), (B, 2), (B, 3), (B, 4), (B, 5), (B, 6)}

8. 一个实验包括记录有两个孩子的家庭的性别构成。

1. 如果我们关心按出生顺序是男孩还是女孩，那么样本空间是什么？
2. 如果我们关心家庭中有多少个女孩，那么样本空间是什么？

解决方案

设男孩表示为B，女孩表示为G。

(i) 如果我们关心按出生顺序是男孩还是女孩，则样本空间 = {GG, BB, BG, GB}

(ii) 如果我们关心家庭中有多少个女孩，则样本空间 = {2, 1, 0}

9. 一个盒子包含1个红球和3个相同的白球。连续随机抽取两个球，不放回。写出此实验的样本空间。

解决方案

设抽取红球的事件为R，抽取白球的事件为W。

不放回地连续抽取两个球的总可能结果 = 2²- 1 = 3

所需的样本空间 = {WW, WR, RW}

10. 一个实验包括抛硬币，然后第二次再抛一次，如果出现正面。如果第一次投掷出现反面，则掷一次骰子。找出样本空间。

解决方案

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

抛1枚硬币的样本空间 = {H, T} ⇒ 2种结果

如果出现正面

样本空间 = {HH, HT}

如果出现反面

样本空间 = {(T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}

因此，

所需的样本空间 = {HH, HT, (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}

11. 假设从一批产品中随机选择3个灯泡。测试每个灯泡并将其分类为有缺陷（D）或无缺陷（N）。写出此实验的样本空间。

解决方案

一个灯泡可能是有缺陷或无缺陷的，即它在测试时有两种可能的结果。

测试3个灯泡的总可能结果 = 2³ = 8

所需的样本空间 = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}

12. 抛硬币。如果结果是正面，则掷骰子。如果骰子显示偶数，则再次掷骰子。实验的样本空间是什么？

解决方案

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

抛1枚硬币的样本空间 = {H, T} ⇒ 2种结果

如果出现正面

情况I：骰子上出现奇数

总可能结果 = 1 × 3 = 3

样本空间 = {(H, 1), (H, 3), (H, 5)}

情况II：骰子上出现偶数

总可能结果 = 1 × 3 × 6 = 18

样本空间 = {(H, 2, 1), (H, 2, 2), (H, 2, 3), (H, 2, 4), (H, 2, 5), (H, 2, 6), (H, 4, 1), (H, 4, 2), (H, 4, 3), (H, 2, 4), (H, 4, 5), (H, 4, 6), (H, 6, 1), (H, 6, 2), (H, 6, 3), (H, 6, 4), (H, 6, 5), (H, 6, 6)}

如果出现反面

样本空间 = {T}

因此，

所需的样本空间 = {(H, 1), (H, 3), (H, 5), (H, 2, 1), (H, 2, 2), (H, 2, 3), (H, 2, 4), (H, 2, 5), (H, 2, 6), (H, 4, 1), (H, 4, 2), (H, 4, 3), (H, 2, 4), (H, 4, 5), (H, 4, 6), (H, 6, 1), (H, 6, 2), (H, 6, 3), (H, 6, 4), (H, 6, 5), (H, 6, 6), (T)}

13. 在四个纸片上分别写有数字1、2、3和4。将纸片放入一个盒子中并充分混合。一个人一次从盒子中抽取两个纸片，不放回。描述实验的样本空间。

解决方案

第一个纸片可以从4个纸片中抽取，第二个纸片可以从盒中剩余的3个纸片中抽取。

总可能结果 = 4 × 3 = 12

所需的样本空间 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

14. 一个实验包括掷骰子，然后如果骰子上的数字是偶数，则抛一次硬币。如果骰子上的数字是奇数，则抛两次硬币。写出此实验的样本空间。

解决方案

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

抛1枚硬币的样本空间 = {H, T} ⇒ 2种结果

如果骰子上的数字是偶数

样本空间 = {(2, H), (4, H), (6, H), (2, T), (4, T), (6, T)}

如果骰子上的数字是奇数

样本空间 = {(1, H, H), (3,H,H), (5, H, H), (1, H, T), (3, H, T), (5, H, T), (1, T, H), (3, T, H), (5, T, H), (1, T, T), (3, T, T), (5, T, T)}

因此，

所需的样本空间 = {(2, H), (4, H), (6, H), (2, T), (4, T), (6, T), (1, H, H), (3,H,H), (5, H, H), (1, H, T), (3, H, T), (5, H, T), (1, T, H), (3, T, H), (5, T, H), (1, T, T), (3, T, T), (5, T, T)}

15. 抛硬币。如果出现反面，则从一个包含2个红球和3个黑球的盒子中抽取一个球。如果出现正面，则掷骰子。找出此实验的样本空间。

解决方案

设抽取红球的事件表示为R₁、R₂，抽取蓝球的事件表示为B₁、B₂、B₃。

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

抛1枚硬币的样本空间 = {H, T} ⇒ 2种结果

如果硬币出现反面

样本空间 = {(T, R₁), (T, R₂), (T, B₁), (T, B ₂), (T, B₃)}

如果硬币出现正面

样本空间 = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6)}

因此，

所需的样本空间 = {(T, R₁), (T, R₂), (T, B₁), (T, B ₂), (T, B₃), (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6)}

16. 连续掷骰子，直到出现六。此实验的样本空间是什么？

解决方案

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

骰子被反复掷出，直到出现6。所以，

第一次掷出6的样本空间 = {6}

第二次掷出6的样本空间 = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}

第三次掷出6的样本空间 = {(1, 1, 6), (1, 2, 6), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 5, 6), (2, 1, 6), (2, 2, 6), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 5, 6), (3, 1, 6), (3, 2, 6), (3, 3, 6), (3, 4, 5), (3, 5, 6), (4, 1, 6), (4, 2, 6), (4, 3, 6), (4, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 1, 6), (5, 2, 6), (5, 3, 6), (5, 4, 5), (5, 5, 6)}

这可以无限次地进行下去。因此，样本空间也将是不确定的。

所需的样本空间 = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 5), (5, 6), (1, 1, 6), ...}

练习 16.2

1. 掷骰子。设E为“骰子显示4”的事件，F为“骰子显示偶数”的事件。E和F是互斥事件吗？

解决方案

掷骰子的样本空间 = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

事件E“骰子显示4”的样本空间 = {4}

事件F“骰子显示偶数”的样本空间 = {2, 4, 6}

E ∩ F = {4} ≠ φ

因此，E和F不是互斥事件。

2. 掷骰子。描述以下事件

(i) A：小于7的数字 (ii) B：大于7的数字

(iii) C：3的倍数 (iv) D：小于4的数字

(v) E：大于4的偶数 (vi) F：不小于3的数字

还求 A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, E ∩ F, D ∩ E, A - C, D - E, E ∩ F′, F′。

解决方案

掷骰子的样本空间 = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(i) A：小于7的数字

A的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

(ii) B：大于7的数字

B的样本空间 = φ

(iii) C：3的倍数

C的样本空间 = {3, 6}

(iv) D：小于4的数字

D的样本空间 = {1, 2, 3}

(v) E：大于4的偶数

E的样本空间 = {6}

(vi) F：不小于3的数字

F的样本空间 = {3, 4, 5, 6}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A ∩ B = φ

B ∪ C = {3, 6}

E ∩ F = {6}

D ∩ E = φ

A - C = {1, 2, 4, 5}

D - E = {1, 2, 3}

E ∩ F' = {6} ∩ {1, 2}

= φ

F' = S - F = {1, 2}

3. 一个实验包括掷一对骰子并记录出现的数字。描述以下事件

A：总和大于8，B：两个骰子中的任何一个出现2

C：总和至少为7且是3的倍数。

这些事件中的哪些是互斥的？

解决方案

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

掷两个骰子的样本空间 = S

= {

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

}

A：总和大于8

A的样本空间 = {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

骰子上出现的数字的总和大于8的有9、10、11和12。

B：两个骰子中的任何一个出现2

B的样本空间 = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}

2可以出现在第一个骰子上，或者第二个骰子上，或者两个骰子上。

C：总和至少为7且是3的倍数

C的样本空间 = {(3, 6), (4, 5), (6, 3), (6, 6)}

骰子上出现的数字的总和至少为7且是3的倍数的有9和12。

检查A和B

A ∩ B = φ

因此，A和B是互斥的。

检查B和C

B ∩ C = φ

因此，B和C是互斥的。

检查A和C

A ∩ C = {(3, 6), (4, 5), (6, 3), (6, 6)}

因此，A和C不是互斥的。

4. 同时抛三枚硬币。设A表示事件“出现三个正面”，B表示事件“出现两个正面和一个反面”，C表示事件“出现三个反面”，D表示事件“第一个硬币出现正面”。哪些事件是

(i) 互斥的？ (ii) 简单的？ (iii) 复合的？

解决方案

抛三枚硬币的样本空间 = S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

A：出现三个正面

A的样本空间 = {HHH}

B：出现两个正面和一个反面

B的样本空间 = {HHT, HTH, THH}

C：出现三个反面

C的样本空间 = {TTT}

D：第一个硬币出现正面

D的样本空间 = {HHH, HHT, HTH, HTT}

(i) A ∩ B = φ

因此，A和B是互斥的。

A ∩ C = φ

因此，A和C是互斥的。

A ∩ D = {HHH}

因此，A和D不是互斥的。

B ∩ C = φ

因此，B和C是互斥的。

B ∩ D = {HHT, HTH}

因此，B和D不是互斥的。

C ∩ D = φ

因此，C和D是互斥的。

(ii) 事件A和C的样本空间中只有一个样本点。因此，A和C都是简单事件。

(iii) 事件B和D的样本空间中有多个样本点。因此，B和D都是复合事件。

5. 抛三枚硬币。描述

1. 两个互斥的事件。
2. 三个互斥且穷尽的事件。
3. 两个不互斥的事件。
4. 两个互斥但不穷尽的事件。
5. 三个互斥但不穷尽的事件。

解决方案

抛三枚硬币的样本空间 = S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

(i) 事件A的样本空间：“出现三个正面” = {HHH}

事件B的样本空间：“出现三个反面” = {TTT}

A ∩ B = φ

因此，“出现三个正面”和“出现三个反面”是两个互斥事件。

(ii) 事件A的样本空间：“出现三个正面” = {HHH}

事件B的样本空间：“出现三个反面” = {TTT}

事件C的样本空间：“至少出现一个正面和一个反面” = {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH}

A ∩ B = φ

B ∩ C = φ

A ∩ C = φ

A ∪ B ∪ C = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} = S

因此，这些事件是互斥且穷尽的。

(iii) 事件A的样本空间：“出现三个正面” = {HHH}

事件B的样本空间：“至少出现一个正面” = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH}

A ∩ B = {HHH} ≠ φ

因此，“出现三个正面”和“至少出现一个正面”是两个不互斥的事件。

(iv) 事件A的样本空间：“出现三个正面” = {HHH}

事件B的样本空间：“出现三个反面” = {TTT}

A ∩ B = φ

A ∪ B = {HHH, TTT} ≠ S

因此，“出现三个正面”和“出现三个反面”是两个互斥但不穷尽的事件。

(v) 事件A的样本空间：“出现三个正面” = {HHH}

事件B的样本空间：“出现三个反面” = {TTT}

事件C的样本空间：“出现两个反面” = {HTT, THT, TTH}

A ∩ B = φ

B ∩ C = φ

A ∩ C = φ

A ∪ B ∪ C = {HHH, HTT, THT, TTH, TTT} ≠ S

因此，这些事件是互斥但不是穷尽的。

6. 掷两个骰子。事件A、B和C如下

A：第一个骰子出现偶数。

B：第一个骰子出现奇数。

C：骰子上的数字之和 ≤ 5。

描述事件

(i) A′ (ii) 非B (iii) A或B

(iv) A且B (v) A但非C (vi) B或C

(vii) B且C (viii) A ∩ B′ ∩ C′

解决方案

掷两个骰子的样本空间 = S

= {

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

}

(i) A：第一个骰子出现偶数

A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

A' = S - A

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

(ii) B：第一个骰子出现奇数

B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

非B = B' = S - B

= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = A

(iii) A或B = A ∪ B

= {

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

}

= S

(iv) A且B = A ∩ B = φ

(v) C：骰子上的数字之和 ≤ 5

C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

A但非C = A - C

= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

(vi) B或C = B ∪ C

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

(vii) B且C = B ∩ C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)}

(viii) C' = S - C = {(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

A ∩ B' ∩ C' = A ∩ A ∩ C'

= A ∩ C'

= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

7. 参考上面的问题6，陈述对错：(给出你的答案理由)

1. A和B是互斥的
2. A和B是互斥且穷尽的
3. A = B′
4. A和C是互斥的
5. A和B′是互斥的。
6. A′、B′、C是互斥且穷尽的。

解决方案

掷两个骰子的样本空间 = S

= {

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

}

A：第一个骰子出现偶数

A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

B：第一个骰子出现奇数

B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

C：骰子上的数字之和 ≤ 5

C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

(i) A ∩ B = φ

A和B是互斥的。

因此，给出的陈述是正确的。

(ii) A ∩ B = φ

A ∪ B = {

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

}

= S

A和B是互斥且穷尽的。

因此，给出的陈述是正确的。

(iii) B' = S - B

= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} = A

因此，给出的陈述是正确的。

(iv) A ∩ C = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1)} ≠ φ

A和C不是互斥的。

因此，给出的陈述是错误的。

(v) A ∩ B' = A ∩ A = A ≠ φ

因此，给出的陈述是错误的。

A' = S - A

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)} = B

A' ∩ B' = φ

A'和B'是互斥的。

B' ∩ C = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1)} ≠ φ

B'和C不是互斥的。

A' ∩ C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)} ≠ φ

A'和C不是互斥的。

因此，给出的陈述是错误的。

练习 16.3

1. 以下哪项不能为样本空间S = {ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆, ω₇}的结果分配有效概率。

解决方案

(a) 每个结果的概率都大于0且小于1。

所有概率之和 = 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6 = 1

这是一个有效的概率分配。

(b) 每个结果的概率都大于0且小于1。

所有概率之和 = 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 = 7/7 = 1

这是一个有效的概率分配。

(c) 每个结果的概率都大于0且小于1。

所有概率之和 = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7 = 2.8 ≠ 1

此概率分配无效。

(d) 并非每个结果的概率都大于0且小于1。

此概率分配无效。

(e) 每个结果的概率都大于0且小于1。

所有概率之和 = 1/14 + 2/14 + 3/14 + 4/14 + 5/14 + 6/14 + 15/14 = 36/14 ≠ 1

此概率分配无效。

2. 抛硬币两次，至少出现一次反面的概率是多少？

解决方案

每次抛硬币都可以出现正面或反面。所以，

抛硬币两次的样本空间 = S = {HH, HT, TH, TT} ⇒ 4种结果

P (至少出现一次反面) = 有利结果数/总结果数

= 3/4 = 0.75

3. 掷骰子，求以下事件的概率

1. 出现素数，
2. 出现大于或等于3的数字，
3. 出现小于或等于1的数字，
4. 出现大于6的数字，
5. 出现小于6的数字

解决方案

掷骰子的样本空间 = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

(i) S中素数的样本空间 = {2, 3, 5} ⇒ 3种结果

P (出现素数) = 3/6 = 0.5

(ii) S中大于或等于3的数字的样本空间 = {3, 4, 5, 6} ⇒ 4种结果

P (出现大于或等于3的数字) = 4/6 = 0.66

(iii) S中小于或等于1的数字的样本空间 = {1} ⇒ 1种结果

P (出现小于或等于1的数字) = 1/6 = 0.16

(iv) S中大于6的数字的样本空间 = φ ⇒ 0种结果

P (出现大于6的数字) = 0/6 = 0

(v) S中小于6的数字的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6种结果

P (出现小于6的数字) = 6/6 = 1

4. 从52张扑克牌中抽取一张牌。

(a) 样本空间中有多少个点？

(b) 计算牌是黑桃A的概率。

(c) 计算牌是 (i) A (ii) 黑牌 的概率。

解决方案

(a) 牌组包含52张牌。因此，样本空间中的点数 = 52

(b) 牌组中的黑桃A数量 = 1

P (抽到黑桃A) = 1/52

(c) (i) 牌组中的A数量 = 4

P (抽到A) = 4/52 = 1/13

(ii) 牌组中的黑牌数量 = 26

P (抽到黑牌) = 26/52 = 1/2

5. 一枚有1和6两个面的公平硬币和一枚公平骰子都被抛出。求数字之和为 (i) 3 (ii) 12 的概率。

解决方案

抛硬币的样本空间 = {1, 6}

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

抛硬币和骰子的样本空间 = S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

总可能结果 = 12

(i) 数字之和为3的结果 = {(1, 2)}

有利结果 = 1

P (数字之和为3) = 1/12

(ii) 数字之和为12的结果 = {(6, 6)}

有利结果 = 1

P (数字之和为12) = 1/12

6. 市议会中有四名男性和六名女性。如果随机选择一名议会成员组成委员会，那么选出女性的可能性有多大？

解决方案

总可能结果数 = 议会成员数 = 4 + 6 = 10

议会中女性人数 = 6

P (选出女性) = 6/10 = 0.6

7. 一枚公平硬币抛四次，一个人赢1元每出现一个正面，输1.50元每出现一个反面。

根据样本空间计算四次抛掷后你可以拥有的不同金额，以及拥有每种金额的概率。

解决方案

抛4枚硬币的样本空间 = S

= {

HHHH, HHHT, HHTH, HTHH,

THHH, HHTT, HTHT, THHT,

HTTH, THTH, TTHH, TTTH,

TTHT, THTT, HTTT, TTTT

}

情况I：4个正面

金额 = 1元 + 1元 + 1元 + 1元 = 4元

因此，赢了4元。

情况II：3个正面和1个反面

金额 = 1元 + 1元 + 1元 - 1.50元 = 1.50元

因此，赢了1.50元。

情况III：2个正面和2个反面

金额 = 1元 + 1元 - 1.50元 - 1.50元 = -1元

因此，输了1元。

情况IV：1个正面和3个反面

金额 = 1元 - 1.50元 - 1.50元 - 1.50元 = -3.50元

因此，输了3.50元。

情况V：4个反面

金额 = -1.50元 - 1.50元 - 1.50元 - 1.50元 = -6元

因此，输了6元。

金额样本空间 = {4, 1.50, 1.50, 1.50, 1.50, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -3.50, -3.50, -3.50, -3.50, -6} ⇒ 16种结果

P (赢4元) = 1/16

P (赢1.50元) = 4/16

P (输1元) = 6/16

P (输3.50元) = 4/16

P (输6元) = 1/16

8. 同时抛三枚硬币。求下列事件的概率

(i) 3个正面 (ii) 2个正面 (iii) 至少2个正面

(iv) 最多2个正面 (v) 没有正面 (vi) 3个反面

(vii) 恰好两个反面 (viii) 没有反面 (ix) 最多两个反面

解决方案

抛3枚硬币的样本空间 = S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

总可能结果 = 8

(i) P (出现3个正面) = 1/8

(ii) P (出现2个正面) = 3/8

(iii) P (出现至少2个正面) = 4/8

(iv) P (出现最多2个正面) = 7/8

(v) P (没有正面) = P (出现3个反面) = 1/8

(vi) P (出现3个反面) = 1/8

(vii) P (出现恰好两个反面) = 3/8

(viii) P (没有反面) = P (出现3个正面) = 1/8

(ix) P (最多两个反面) = 7/8

9. 如果事件A的概率是2/11，那么事件“非A”的概率是多少。

解决方案

我们知道

P (A) + P (非A) = 1

所以，

2/11 + P (非A) = 1

P (非A) = 1 - 2/11

P (非A) = (11 - 2)/11

P (非A) = 9/11

10. 从单词“ASSASSINATION”中随机选择一个字母。求字母是 (i) 元音 (ii) 辅音的概率。

解决方案

单词“ASSASSINATION”中的字母总数 = 13

(i) 单词“ASSASSINATION”中的元音数量 = 6

P (选择的字母是元音) = 6/13

(ii) 单词“ASSASSINATION”中的辅音数量 = 7

P (选择的字母是辅音) = 7/13

11. 在一次彩票中，一个人从1到20的自然数中随机选择六个不同的数字，如果这六个数字与彩票委员会已确定的六个数字匹配，则他赢得奖品。在这个游戏中赢得奖品的概率是多少？[提示：数字的顺序不重要。]

解决方案

抽奖的总数字数 = 20

从给定的20个数字中选择6个数字的方式 = ²⁰C₆

²⁰C₆种选择六个数字的方式中，只有1种会赢得奖品。因此，

P (赢得奖品) = 1/²⁰C₆ = 6! 14!/20!

= (6 × 5 × 4 × 3 × 2) 14!/(20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 × 14!)

= 1/38760

12. 检查以下概率 P(A) 和 P(B) 是否一致定义

1. P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
2. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8

解决方案

(i) P (A ∩ B) = 0.6，大于P(A) 0.5。这是不可能的。

因此，给定的概率未一致定义。

(ii) 我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

0.8 = 0.5 + 0.4 - P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = 0.1，小于P(A)和P(B)。

因此，给定的概率定义一致。

13. 在下表中填空

解决方案

(i) P (A) = 1/3, P (B) = 1/5 and P (A ∩ B) = 1/15

我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (A ∪ B) = 1/3 + 1/5 - 1/15

P (A ∪ B) = (5 + 3)/15 - 1/15

P (A ∪ B) = (8 - 1)/15

P (A ∪ B) = 7/15

(ii) P (A) = 0.35, P (A ∪ B) = 0.25 and P (A ∩ B) = 0.6

我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (B) = P (A ∪ B) - P (A) + P (A ∩ B)

P (B) = 0.25 - 0.35 + 0.6

P (B) = 0.5

(iii) P (A) = 0.5, P (B) = 0.35 and P (A ∪ B) = 0.7

我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = P (A) + P (B) - P (A ∪ B)

P (A ∩ B) = 0.5 + 0.35 - 0.7

P (A ∩ B) = 0.15

因此，完成的表格将是

14. 已知P(A) = 3/5和P(B) = 1/5。求P(A或B)，如果A和B是互斥事件。

解决方案

P (A) = 3/5 and P (B) = 1/5

由于A和B是互斥的。因此，P (A ∩ B) = 0

我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (A或B) = 3/5 + 1/5 - 0

P (A或B) = 4/5

15. 如果E和F是事件，使得P(E) = 1/4, P(F) = 1/2 and P(E and F) = 1/8，求 (i) P(E or F), (ii) P(not E and not F)。

解决方案

P(E) = 1/4, P(F) = 1/2 and P(E ∩ F) = 1/8

(i) 我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

所以，

P (E or F) = P (E) + P (E) - P (E and F)

P (E or F) = 1/4 + 1/2 - 1/8

P (E or F) = (2 + 4 - 1)/8

P (E or F) = 5/8

我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

(ii) P (not E and not F) = P (E' ∩ F') = P (E ∪ F)' = 1 - P (E ∪ F)

= 1 - 5/8

= (8 - 5)/8

= 3/8

16. 事件E和F使得P(not E or not F) = 0.25，判断E和F是否互斥。

解决方案

P (not E or not F) = 0.25

P (E' ∪ F') = 0.25

P (E ∩ F)' = 0.25

1 - P (E ∩ F) = 0.25

P (E ∩ F) = 1 - 0.25

P (E ∩ F) = 0.75 ≠ 0

因此，E和F不是互斥的。

17. A和B是事件，使得P(A) = 0.42, P(B) = 0.48 and P(A and B) = 0.16。确定 (i) P(not A), (ii) P(not B) and (iii) P(A or B)

解决方案

P (A) = 0.42, P (B) = 0.48 and P (A ∩ B) = 0.16

(i) P (not A) = P (A') = 1 - P (A)

P (A') = 1 - 0.42

P (A') = 0.58

(ii) P (not B) = P (B') = 1 - P (B)

P (B') = 1 - 0.48

P (B') = 0.52

(iii) 我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (A or B) = 0.42 + 0.48 - 0.16

P (A or B) = 0.84

18. 在一所学校的11年级，40%的学生学习数学，30%的学生学习生物。10%的学生同时学习数学和生物。如果从班级中随机选择一名学生，求他学习数学或生物的概率。

解决方案

设一名学生学习数学的事件表示为“M”，一名学生学习生物的事件表示为“B”。

P (学生学习数学) = P (M) = 40/100 = 0.4

P (学生学习生物) = P (B) = 30/100 = 0.3

P (学生同时学习数学和生物) = P (M ∩ B) = 10/100 = 0.1

P (一名学生学习数学或生物) = P (M ∪ B)

我们知道

P (M ∪ B) = P (M) + P (B) - P (M ∩ B)

P (M ∪ B) = 0.4 + 0.3 - 0.1

P (M ∪ B) = 0.6

因此，他学习数学或生物的概率是0.6。

19. 在一个基于两次考试的入学考试中，随机选择的学生通过第一次考试的概率是0.8，通过第二次考试的概率是0.7。通过其中至少一次考试的概率是0.95。通过两次考试的概率是多少？

解决方案

设一名学生通过第一次考试的事件表示为“A”，一名学生通过第二次考试的事件表示为“B”。

P (学生通过第一次考试) = P (A) = 0.8

P (学生通过第二次考试) = P (B) = 0.7

P (学生通过两次考试中的至少一次) = P (A ∪ B) = 0.95

P (学生通过两次考试) = P (A ∩ B)

我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = P (A) + P (B) - P (A ∪ B)

P (A ∩ B) = 0.8 + 0.7 - 0.95

P (A ∩ B) = 0.55

因此，通过两次考试的概率是0.55。

20. 学生在英语和印地语的期末考试中都通过的概率是0.5，两者都未通过的概率是0.1。如果通过英语考试的概率是0.75，那么通过印地语考试的概率是多少？

解决方案

设学生通过英语考试的事件表示为“E”，学生通过印地语考试的事件表示为“H”。

P (学生通过英语考试) = P (E) = 0.75

P (学生同时通过英语和印地语考试) = P (E ∩ H) = 0.5

P (学生两者考试都未通过) = P (E' ∩ H') = P (E ∪ H)' = 0.1

P (E ∪ H)' = 0.1

1 - P (E ∪ H) = 0.1

P (E ∪ H) = 0.9

我们知道

P (E ∪ H) = P (E) + P (H) - P (E ∩ H)

P (H) = P (E ∪ H) - P (E) + P (E ∩ H)

P (H) = 0.9 - 0.75 + 0.5

P (H) = 0.65

因此，通过印地语考试的概率是0.65。

21. 在一个有60名学生的班级中，30人选择了NCC，32人选择了NSS，24人选择了NCC和NSS。如果随机选择一名学生，求以下概率：

1. 学生选择了NCC或NSS。
2. 学生既没有选择NCC也没有选择NSS。
3. 学生选择了NSS但未选择NCC。

解决方案

设一名学生选择NCC的事件表示为“A”，一名学生选择NSS的事件表示为“B”。

P (学生选择了NCC) = P (A) = 30/60 = 1/2

P (学生选择了NSS) = P (B) = 32/60 = 8/15

P (学生选择了NCC和NSS) = P (A ∩ B) = 24/60 = 2/5

我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

(i) P (学生选择了NCC或NSS) = P (A ∪ B)

P (A ∪ B) = 1/2 + 8/15 - 2/5

P (A ∪ B) = (15 + 16 - 12)/30

P (A ∪ B) = 19/30

(ii) P (学生既没有选择NCC也没有选择NSS) = P (A' ∩ B')

= P (A ∪ B)' = 1 - P (A ∪ B)

= 1 - 19/30

= 11/30

(iii) 选择NSS但未选择NCC的学生人数 = n (B) - n (B ∩ A)

= 32 - 24 = 8

P (学生选择了NSS但未选择NCC) = 8/60 = 2/15

杂项练习

1. 一个盒子包含10个红弹珠，20个蓝弹珠和30个绿弹珠。从盒子中抽出5个弹珠，求以下概率：

(i) 全是蓝色？ (ii) 至少有一个是绿色？

解决方案

盒子中的红弹珠数量 = 10

盒子中的蓝弹珠数量 = 20

盒子中的绿弹珠数量 = 30

盒子中的弹珠总数 = 10 + 20 + 30 = 60

从盒子中抽出5个弹珠的方式数 = ⁶⁰C₅

(i) 如果从20个蓝弹珠中抽出5个弹珠，则抽出的弹珠将全是蓝色的。

从20个蓝弹珠中抽出5个弹珠的方式数 = ²⁰C₅

P (所有弹珠都是蓝色的) = ²⁰C₅/⁶⁰C₅

(ii) 如果弹珠是从(10 + 20)个红球和蓝球中抽出的，则弹珠不会是绿色的。

从30个非绿色弹珠中抽出5个弹珠的方式数 = ³⁰C₅

P (没有弹珠是绿色的) = ³⁰C₅/⁶⁰C₅

P (至少有一个弹珠是绿色的) = 1 - P (没有弹珠是绿色的)

= 1 - ³⁰C₅/⁶⁰C₅

2. 从一副52张扑克牌中抽取4张牌。得到3张红心和1张黑桃的概率是多少？

解决方案

一副牌中的牌数 = 52

要抽取的牌数 = 4

因此，从牌组中选择4张牌的总方式数 = ⁵²C₄

一副牌中有13张红心牌。为了抽到红心，需要从这13张牌中抽出一张。

从13张牌中抽3张红心的方式数 = ¹³C₃

一副牌中有13张黑桃牌。为了抽到黑桃，需要从这13张牌中抽出一张。

从13张牌中抽1张黑桃的方式数 = ¹³C₁

因此，

从一副牌中抽出3张红心和1张黑桃牌的方式数 = ¹³C₃ × ¹³C₁

P (抽出3张红心和1张黑桃) = (¹³C₃ × ¹³C₁)/⁵²C₄

3. 一个骰子有两个面是数字“1”，三个面是数字“2”，一个面是数字“3”。如果骰子掷一次，求

(i) P(2) (ii) P(1或3) (iii) P(非3)

解决方案

骰子上数字“1”的面数 = 2

骰子上数字“2”的面数 = 3

骰子上数字“3”的面数 = 1

骰子上的总面数 = 6

(i) P (2) = 3/6 = 1/2

(ii) P (1或3) = P (1) + P (3) = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

或者，

P (1或3) = P (非2) = 1 - P (2) = 1 - 1/2 = 1/2

(iii) P (非3) = 1 - P (3)

= 1 - 1/6 = 5/6

4. 在一次彩票中售出10,000张彩票，并颁发十个相等奖品。如果你购买 (a) 一张彩票 (b) 两张彩票 (c) 10张彩票，则未中奖的概率是多少？

解决方案

售出的彩票总数 = 10,000

颁发的奖品数量 = 10

(a) P (用一张彩票中奖) = 10/10000

= 1/1000

P (用一张彩票未中奖) = 1 - P (用一张彩票中奖)

= 1 - 1/1000 = 999/1000

未中奖的彩票数量 = 10000 - 10 = 9990

为了让我们未中奖，我们的彩票必须是从9990张未中奖的彩票中选出的。

从9990张彩票中选择2张彩票的方式数 = ⁹⁹⁹⁰C₂

从10000张彩票中选择10张中奖彩票的方式数 = ¹⁰⁰⁰⁰C₁₀

P (用两张彩票未中奖) = ⁹⁹⁹⁰C₂/¹⁰⁰⁰⁰C₁₀

为了让我们未中奖，我们的彩票必须是从9990张未中奖的彩票中选出的。

从9990张彩票中选择10张彩票的方式数 = ⁹⁹⁹⁰C₁₀

从10000张彩票中选择10张中奖彩票的方式数 = ¹⁰⁰⁰⁰C₁₀

P (用十张彩票未中奖) = ⁹⁹⁹⁰C₁₀/¹⁰⁰⁰⁰C₁₀

5. 在100名学生中，形成了40人和60人的两个班级。如果你和你的朋友是这100名学生中的一员，那么

(a) 你们俩都进入同一个班级？

(b) 你们俩都进入不同的班级？

解决方案

学生总数 = 100

我和我的朋友是这100名学生中的一员。

从100名学生中选择我们2名学生的方式数 = ¹⁰⁰C₂

(a) 为了让我们俩都在同一个班级，我们俩都必须从40名学生或60名学生中选出。

从40名学生中选择2名学生的方式数 = ⁴⁰C₂

从60名学生中选择2名学生的方式数 = ⁶⁰C₂

P (我们进入同一个班级) = (⁴⁰C₂ + ⁶⁰C₂)/¹⁰⁰C₂

= (40!/2!38! + 60!/2!58!)/(100!/1!99!)

= 5100/9900 = 17/33

(b) P (我们进入不同的班级) = 1 - P (我们进入同一个班级)

= 1 - 17/33

= 16/33

给三个人分别送出三封信，并为他们每人准备一个信封，信件被随机放入信封中，每个信封恰好包含一封信。求至少有一封信在正确信封中的概率。

解决方案

设信件为L₁、L₂和L₃，它们各自的信封为E₁、E₂和E₃。

那么样本空间将是S = {

L₁E₁, L₂E₃, L₃E₂,

L₂E₂, L₁E₃, L₃E₁,

L₃E₃, L₁E₂, L₂E₁,

L₁E₁, L₂E₂, L₃E₃,

L₁E₂, L₂E₃, L₃E₁,

L₁E₃, L₂E₁, L₃E₂,

} ⇒ 6种方式

在6种可能的方式中，有4种至少有一封信被放入正确的信封。

P (至少有一封信被放入正确的信封) = 4/6

7. A和B是两个事件，使得P(A) = 0.54, P(B) = 0.69 and P(A ∩ B) = 0.35。求 (i) P(A ∪ B) (ii) P(A´ ∩ B´) (iii) P(A ∩ B´) (iv) P(B ∩ A´)

解决方案

P (A) = 0.54, P (B) = 0.69, and P (A ∩ B) = 0.35

(i) 我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (A ∪ B) = 0.54 + 0.69 - 0.35

P (A ∪ B) = 0.88

(ii) P (A' ∩ B') = P (A ∪ B)' = 1 - P (A ∪ B)

= 1 - 0.88

= 0.12

(iii) P (A ∩ B') = P (A) - P (A ∩ B)

= 0.54 - 0.35

= 0.19

(iv) P (B ∩ A') = P (B) - P (A ∩ B)

= 0.69 - 0.35

= 0.34

8. 从一家公司的员工中，选出5人代表他们参加公司的管理委员会。五人的具体信息如下

随机选择该团体的一人作为发言人。发言人是男性或年龄超过35岁的概率是多少？

解决方案

人数 = 5

设发言人是男性的事件表示为“A”，发言人年龄超过35岁的事件表示为“B”。

P (A) = 3/5

P (B) = 2/5

P (A ∩ B) = 1/5

我们知道

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

P (A ∪ B) = 3/5 + 2/5 - 1/5

P (A ∪ B) = 4/5

因此，发言人是男性或年龄超过35岁的概率是4/5。

9. 如果从数字0, 1, 3, 5, 7中随机组成大于5000的4位数，则在 (i) 数字可重复？ (ii) 不允许重复数字？的情况下，形成一个被5整除的数字的概率是多少？

解决方案

(i) 数字需要大于5000。因此，千位数字只能是7和5。

用给定数字组成大于5000的数字的方式数 = 2 × 5 × 5 × 5 - 1

= 249

为了使数字能被5整除，个位数字必须是0或5。

组成大于5000且能被5整除的数字的方式数 = 2 × 5 × 5 × 2 - 1

= 99

P (组成的数字能被5整除) = 99/249

千位数字可以是5或7。

剩余的3位数字可以用剩余的数字填充。

组成大于5000的4位数字的方式数 = 2 × 4 × 3 × 2 = 48

组成大于5000且以5开头能被5整除的数字的方式数 =

= 1 × 3 × 2 × 1 = 6

组成大于5000且以7开头能被5整除的数字的方式数 =

= 1 × 2 × 3 × 2 = 12

组成大于5000且能被5整除的数字的方式数 = 6 + 12 = 18

P (数字能被5整除且不重复) = 18/48

10. 一个手提箱的数字锁有4个轮盘，每个轮盘标有十个数字，即0到9。该锁可以通过一个没有重复的四位数字序列打开。一个人打开手提箱获得正确序列的概率是多少？

解决方案

数字总数 = 10

选择4个不同数字的方式数 = ¹⁰C₄

排列4个选定数字的方式数 = 4!

可能的序列数 = 4! × ¹⁰C₄

= 5040

P (打开手提箱) = 1/5040