NCERT 11年级数学第4章：数学归纳法原理

练习 4.1

使用数学归纳法原理证明以下所有n ∈ N的命题。

1. 1 + 3 + 3² + … + 3^{n - 1} = (3ⁿ - 1)/2

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 3⁰ + 3¹ + 3² + … + 3^{n - 1} = (3ⁿ - 1)/2

对于 n = 1，

P(1): 1 = (3¹ - 1)/2 = 2/2 = 1

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1 + 3 + 3² + … + 3^{k - 1} = (3^k - 1)/2 … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1 + 3 + 3² + … + 3^{k + 1 - 1}

= 1 + 3 + 3² + … + 3^k

= 1 + 3 + 3² + … + 3^{k - 1} + 3^k

根据方程 (I)，

1 + 3 + 3² + … + 3^{k - 1} + 3^k

= (3^k - 1)/2 + 3^k

= {(3^k - 1) + 2(3^k)}/2

= {3^k + 2(3^k) - 1}/2

= {3^k (1 + 2) - 1}/2

= {3(3^k) - 1}/2

= (3^{k + 1} - 1)/2

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

2. 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (n(n + 1)/2)²

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (n(n + 1)/2)²

对于 n = 1，

P(1): 1 = (1(1 + 1)/2)² = 1² = 1

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = (k(k + 1)/2)² … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1³ + 2³ + 3³ + … + (k + 1)³

= 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³

根据方程 (I)，

1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³

= (k(k + 1)/2)² + (k + 1)³

= k²(k + 1)²/4 + (k + 1)³

= {k²(k + 1)² + 4(k + 1)³}/4

= (k + 1)²{k² + 4(k + 1)}/4

= (k + 1)²{k² + 4k + 4}/4

= (k + 1)²(k+ 2)²/4

= (k + 1)²(k+ 1 + 1)²/4

= ((k + 1)(k + 1 + 1)/2)²

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

3. 1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + … + 1/(1 + 2 + 3 + … n) = 2n/(n + 1)

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + … + 1/(1 + 2 + 3 + … n) = 2n/(n + 1)

对于 n = 1，

P(1): 1 = 2(1)/(1 + 1) = 2/2 = 1

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + … + 1/(1 + 2 + 3 + … k) = 2k/(k + 1) … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + … + 1/(1 + 2 + 3 + … (k + 1))

= 1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + … + 1/(1 + 2 + 3 + … k) + 1/(1 + 2 + 3 + … (k + 1))

根据方程 (I)，

1 + 1/(1 + 2) + 1/(1 + 2 + 3) + … + 1/(1 + 2 + 3 + … k) + 1/(1 + 2 + 3 + … (k + 1))

= 2k/(k + 1) + 1/(1 + 2 + 3 + … (k + 1))

我们知道 1 + 2 + 3 + … + N = N(N + 1)/2。因此，

2k/(k + 1) + 1/(1 + 2 + 3 + … (k + 1))

= 2k/(k + 1) + 1/{(k + 1)(k + 2)/2}

= 2k/(k + 1) + 2/(k + 1)(k + 2)

= {k + 1/(k + 2)}2/(k + 1)

= {(k(k + 2) + 1)/(k + 2)} × 2/(k + 1)

= {(k(k + 2) + 1)/(k + 2)} × 2/(k + 1)

= {(k² + 2k + 1)/(k + 2)} × 2/(k + 1)

= {(k+ 1)²/(k + 2)} × 2/(k + 1)

= 2(k + 1)/(k + 2)

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

4. 1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1) (n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1) (n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4

对于 n = 1，

P(1): 1.2.3 = 6 = 1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)/4 = 1(2)(3)(4)/4 = 6

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1.2.3 + 2.3.4 +…+ k(k + 1) (k + 2) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)/4 … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1.2.3 + 2.3.4 +…+ (k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)

= 1.2.3 + 2.3.4 +…+ k(k + 1) (k + 2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3)

根据方程 (I)，

1.2.3 + 2.3.4 +…+ k(k + 1) (k + 2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3)

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)/4 + (k + 1)(k + 2)(k + 3)

= (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k/4 + 1)

= (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4)/4

= (k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)(k + 1 + 3)/4

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

5. 1.3 + 2.3² + 3.3² + … + n.3ⁿ = ((2n - 1)3^{n + 1} + 3)/4

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1.3 + 2.3² + 3.3² + … + n.3ⁿ = ((2n - 1)3^{n + 1} + 3)/4

对于 n = 1，

P(1): 1.3 = 3 = ((2 × 1 - 1)3^{1 + 1} + 3)/4 = (9 + 3)/4 = 3

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1.3 + 2.3² + 3.3² + … + k.3^k = ((2k - 1)3^{k + 1} + 3)/4 … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1.3 + 2.3² + 3.3² + … + (k + 1).3^{k + 1}

= 1.3 + 2.3² + 3.3² + … + k.3^k + (k + 1).3^{k + 1}

根据方程 (I)，

1.3 + 2.3² + 3.3² + … + k.3^k + (k + 1).3^{k + 1}

= ((2k - 1)3^{k + 1} + 3)/4 + (k + 1).3^{k + 1}

= {(2k - 1)3^{k + 1} + 4(k + 1).3^{k + 1}}/4

= {3^{k + 1}(2k - 1 + 4k + 4) + 3}/4

= {3^{k + 1}(6k + 3) + 3}/4

= {3.3^{k + 1}(2k + 1) + 3}/4

= {3^{k + 1 + 1}(2k + 2 - 1) + 3}/4

= {3^{k + 1 + 1}(2(k + 1) - 1) + 3}/4

= {(2(k + 1) - 1)3^{k + 1 + 1} + 3}/4

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

6. 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2)/3]

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2)/3]

对于 n = 1，

P(1): 1.2 = 2 = [1(1 + 1)(1 + 2)/3] = [1.2.3]/3 = 2

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k.(k + 1) = k(k + 1)(k + 2)/3 … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (k + 1).(k + 1 + 1)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k.(k + 1) + (k + 1).(k + 2)

根据方程 (I)，

1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k.(k + 1) + (k + 1).(k + 2)

= k(k + 1)(k + 2)/3 + (k + 1)(k + 2)

= (k + 1)(k + 2)(k/3 + 1)

= (k + 1)(k + 2)(k + 3)/3

= (k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)/3

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

7. 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ (2n - 1) (2n + 1) = n(4n² + 6n - 1)/3

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ (2n - 1) (2n + 1) = n(4n² + 6n - 1)/3

对于 n = 1，

P(1): 1.3 = 3 = 1(4(1²) + 6(1) - 1)/3 = (9)/3 = 3

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ (2k - 1) (2k + 1) = k(4k² + 6k - 1)/3 … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ (2(k + 1) - 1) (2(k + 1) + 1)

= 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ (2k - 1) (2k + 1) + (2k + 1)(2k + 3)

根据方程 (I)，

1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ (2k - 1) (2k + 1) + (2k + 1)(2k + 3)

= k(4k² + 6k - 1)/3 + (2k + 1)(2k + 3)

= [k(4k² + 6k - 1) + 3(2k + 1)(2k + 3)]/3

= [4k³ + 6k² - k + 3(4k² + 2k + 6k + 3)]/3

= [4k³ + 6k² - k + 12k² + 24k + 9]/3

= [4k³ + 18k² + 23k + 9]/3

= [4k³ + 14k² + 9k + 4k² + 14k + 9]/3

= [k(4k² + 14k + 9) + 1(4k² + 14k + 9)]/3

= (k + 1)(4k² + 14k + 9)/3

= (k + 1)(4k² + 8k + 4 + 6k + 6 - 1)/3

= (k + 1)(4(k² + 2k + 1) + 6(k + 1) - 1)/3

= (k + 1)(4(k+ 1)² + 6(k + 1) - 1)/3

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

8. 1.2 + 2.2² + 3.2³ + … + n.2ⁿ = (n - 1)2^{n + 1} + 2

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1.2 + 2.2² + 3.2² + … + n.2ⁿ = (n - 1)2^{n + 1} + 2

对于 n = 1，

P(1): 1.2 = (1 - 1)2^{1 + 1} + 2 = 2

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1.2 + 2.2² + 3.2² + … + k.2^k = (k - 1)2^{k + 1} + 2 … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1.2 + 2.2² + 3.2² + … + (k + 1).2^{k + 1}

= 1.2 + 2.2² + 3.2² + … + k.2^k + (k + 1).2^{k + 1}

根据方程 (I)，

1.2 + 2.2² + 3.2² + … + k.2^k + (k + 1).2^{k + 1}

= (k - 1)2^{k + 1} + 2 + (k + 1).2^{k + 1}

= (k - 1)2^{k + 1} + (k + 1).2^{k + 1} + 2

= 2^{k + 1}(k - 1 + k + 1) + 2

= 2^{k + 1}(2k) + 2

= k.2^{k + 1 + 1} + 2

= k.2^{k + 2} + 2

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

9. 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2ⁿ = 1 - 1/2ⁿ

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2ⁿ = 1 - 1/2ⁿ

对于 n = 1，

P(1): 1/2 = 1 - 1/2¹ = 1/2

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^k = 1 - 1/2^k … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^{k + 1}

= 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^k + 1/2^{k + 1}

根据方程 (I)，

1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^k + 1/2^{k + 1}

= 1 - 1/2^k + 1/2^{k + 1}

= 1 - 1/2^k + 1/2.2^k

= 1 - 1/2^k × (1 - 1/2)

= 1 - 1/2^k × 1/2

= 1 - 1/2^{k + 1}

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

10. 1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + … + 1/(3n - 1)(3n + 2) = n/(6n + 4)

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + … + 1/(3n - 1)(3n + 2) = n/(6n + 4)

对于 n = 1，

P(1): 1/2.5 = 1/10 = 1/(6(1) + 4) = 1/10

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + … + 1/(3k - 1)(3k + 2) = k/(6k + 4) … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + … + 1/(3(k + 1) - 1)(3(k + 1) + 2)

= 1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + … + 1/(3k - 1)(3k + 2) + 1/(3k + 2)(3k + 5)

根据方程 (I)，

1/2.5 + 1/5.8 + 1/8.11 + … + 1/(3k - 1)(3k + 2) + 1/(3k + 2)(3k + 5)

= k/(6k + 4) + 1/(3k + 2)(3k + 5)

= k/2(3k + 2) + 1/(3k + 2)(3k + 5)

= 1/(3k + 2) × {k/2 + 1/(3k + 5)}

= 1/(3k + 2) × {(3k² + 5k + 2)/(6k + 10)}

= 1/(3k + 2) × {(3k² + 2k + 3k + 2)/(6k + 10)}

= 1/(3k + 2) × {(k(3k + 2) + (3k + 2))/(6k + 10)}

= 1/(3k + 2) × {(3k + 2)(k + 1)/(6k + 10)}

= (k + 1)/(6k + 6 + 4)

= (k + 1)/(6(k + 1) + 4)

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

11. 1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + … + 1/n(n + 1)(n + 2) = n(n + 3)/4(n + 1)(n + 2)

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + … + 1/n(n + 1)(n + 2) = n(n + 3)/4(n + 1)(n + 2)

对于 n = 1，

P(1): 1/1.2.3 = 1/6 = 1(1 + 3)/4(1 + 1)(1 + 2) = 1/6

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + … + 1/k(k + 1)(k + 2) = k(k + 3)/4(k + 1)(k + 2)
… 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + … + 1/(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)

= 1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + … + 1/k(k + 1)(k + 2) + 1/(k + 1)(k + 2)(k + 3)

根据方程 (I)，

1/1.2.3 + 1/2.3.4 + 1/3.4.5 + … + 1/k(k + 1)(k + 2) + 1/(k + 1)(k + 2)(k + 3)

= k(k + 3)/4(k + 1)(k + 2) + 1/(k + 1)(k + 2)(k + 3)

= 1/(k + 1)(k + 2) × {k(k + 3)/4 + 1/(k + 3)}

= 1/(k + 1)(k + 2) × {(k(k + 3)² + 4)/4(k + 3)}

= 1/(k + 1)(k + 2) × {(k(k² + 6k + 9) + 4)/4(k + 3)}

= 1/(k + 1)(k + 2) × {(k³ + 6k² + 9k + 4)/4(k + 3)}

= 1/(k + 1)(k + 2) × {(k³ + 2k² + k + 4k² + 8k + 4)/4(k + 3)}

= 1/(k + 1)(k + 2) × {(k(k² + 2k + 1) + 4(k² + 2k + 1))/4(k + 3)}

=1/(k + 1)(k + 2) × {(k² + 2k + 1)(k + 4)/4(k + 3)}

=1/(k + 1)(k + 2) × (k + 1)²(k + 4)/4(k + 3)

= (k + 1)(k + 4)/4(k + 2)(k + 3)

= (k + 1)(k + 4)/4(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

12. a + ar + ar² + … + ar^{n - 1} = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): a + ar + ar² + … + ar^{n - 1} = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

对于 n = 1，

P(1): a = a(r¹ - 1)/(r - 1) = a

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

a + ar + ar² + … + ar^{k - 1} = a(r^k - 1)/(r - 1) … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

a + ar + ar² + … + ar^{k + 1 - 1}

= a + ar + ar² + … + ar^{k - 1} + ar^k

根据方程 (I)，

a + ar + ar² + … + ar^{k - 1} + ar^k

= a(r^k - 1)/(r - 1) + ar^k

= {ar^k - a + ar^k(r - 1)}/(r - 1)

= {ar^k - a + ar^{k + 1} - ar^k)}/(r - 1)

= {ar^{k + 1} - a}/(r - 1)

= a(r^{k + 1} - 1)/(r - 1)

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

13. (1 + 3/1)(1 + 5/4)(1 + 7/9) … (1 + (2n + 1)/n²) = (n + 1)²

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): (1 + 3/1)(1 + 5/4)(1 + 7/9) … (1 + (2n + 1)/n²) = (n + 1)²

对于 n = 1，

P(1): (1 + 3) = 4 = (1 + 1)² = 2² = 4

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

(1 + 3/1)(1 + 5/4)(1 + 7/9) … (1 + (2k + 1)/k²) = (k + 1)² … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

(1 + 3/1)(1 + 5/4)(1 + 7/9) … (1 + (2(k + 1) + 1)/(k + 1)²)

= (1 + 3/1)(1 + 5/4)(1 + 7/9) … (1 + (2k + 1)/k²)(1 + (2k + 3)/(k + 1)²)

根据方程 (I)，

(1 + 3/1)(1 + 5/4)(1 + 7/9) … (1 + (2k + 1)/k²)(1 + (2k + 3)/(k + 1)²)

= (k + 1)² × (1 + (2k + 3)/(k + 1)²)

= (k + 1)² × {(k + 1)² + 2k + 3}/(k + 1)²

= (k + 1)² + 2k + 2 + 1

= (k + 1)² + 2(k + 1) + 1

= (k + 1 + 1)²

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

14. (1 + 1/1)(1 + 1/2)(1 + 1/3) … (1 + 1/n) = (n + 1)

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): (1 + 1/1)(1 + 1/2)(1 + 1/3) … (1 + 1/n) = (n + 1)

对于 n = 1，

P(1): 1 + 1/1 = 2 = (1 + 1) = 2

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

(1 + 1/1)(1 + 1/2)(1 + 1/3) … (1 + 1/k) = (k + 1) … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

(1 + 1/1)(1 + 1/2)(1 + 1/3) … (1 + 1/(k + 1))

= (1 + 1/1)(1 + 1/2)(1 + 1/3) … (1 + 1/k)(1 + 1/(k + 1))

根据方程 (I)，

(1 + 1/1)(1 + 1/2)(1 + 1/3) … (1 + 1/k)(1 + 1/(k + 1))

= (k + 1){1 + 1/(k + 1)}

= (k + 1){k + 1 + 1}/(k + 1)

= (k + 1 + 1)

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，

15. 1² + 3² + 5² + … + (2n - 1)² = n(2n - 1)(2n + 1)/3

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1² + 3² + 5² + … + (2n - 1)² = n(2n - 1)(2n + 1)/3

对于 n = 1，

P(1): 1 = 1(2(1) - 1)(2(1) + 1)/3 = 3/3 = 1

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1² + 3² + 5² + … + (2k - 1)² = k(2k - 1)(2k + 1)/3 … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1² + 3² + 5² + … + (2(k + 1) - 1)²

= 1² + 3² + 5² + … + (2k - 1)² + (2k + 1)²

根据方程 (I)，

1² + 3² + 5² + … + (2k - 1)² + (2k + 1)²

= k(2k - 1)(2k + 1)/3 + (2k + 1)²

= (2k + 1) × {k(2k - 1)/3 + (2k + 1)}

= (2k + 1) × {2k² - k + 6k + 3}/3

= (2k + 1) × {2k² + 5k + 3}/3

= (2k + 1) × {2k² + 2k + 3k + 3}/3

= (2k + 1) × {2k(k + 1) + 3(k + 1)}/3

= (k + 1)(2k + 1)(2k + 3)/3

= (k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)/3

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

16. 1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + … + 1/(3n - 2)(3n + 1) = n/(3n + 1)

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + … + 1/(3n - 2)(3n + 1) = n/(3n + 1)

对于 n = 1，

P(1): 1/1.4 = 1/4 = 1(3(1) + 1) = 1/4

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + … + 1/(3k - 2)(3k + 1) = k/(3k + 1) … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + … + 1/(3(k + 1) - 2)(3(k + 1) + 1)

= 1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + … + 1/(3k - 2)(3k + 1) + 1/(3k + 1)(3k + 4)

根据方程 (I)，

1/1.4 + 1/4.7 + 1/7.10 + … + 1/(3k - 2)(3k + 1) + 1/(3k + 1)(3k + 4)

= k/(3k + 1) + 1/(3k + 1)(3k + 4)

= 1/(3k + 1) × {k + 1/(3k + 4)}

= 1/(3k + 1) × {k(3k + 4) + 1}/(3k + 4)

= 1/(3k + 1) × {3k² + 4k + 1}/(3k + 4)

= 1/(3k + 1) × {3k² + 3k + k + 1}/(3k + 4)

= 1/(3k + 1) × {3k(k + 1) + 1(k + 1)}/(3k + 4)

= 1/(3k + 1) × (k + 1)(3k + 1)/(3k + 4)

= (k + 1)/(3k + 4)

= (k + 1)/(3k + 3 + 1)

= (k + 1)/(3(k + 1) + 1)

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

17. 1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + … + 1/(2n + 1)(2n + 3) = n/3(2n + 3)

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + … + 1/(2n + 1)(2n + 3) = n/3(2n + 3)

对于 n = 1，

P(1): 1/3.5 = 1/15 = 1/3(2(1) + 3) = 1/3(5) = 1/15

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + … + 1/(2k + 1)(2k + 3) = k/3(2k + 3) … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + … + 1/(2(k + 1) + 1)(2(k + 1) + 3)

= 1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + … + 1/(2k + 1)(2k + 3) + 1/(2k + 3)(2k + 5)

根据方程 (I)，

1/3.5 + 1/5.7 + 1/7.9 + … + 1/(2k + 1)(2k + 3) + 1/(2k + 3)(2k + 5)

= k/3(2k + 3) + 1/(2k + 3)(2k + 5)

= 1/(2k + 3) × {k/3 + 1/(2k + 5)}

= 1/(2k + 3) × {k(2k + 5) + 3}/3(2k + 5)

= 1/(2k + 3) × {2k² + 5k + 3}/3(2k + 5)

= 1/(2k + 3) × {2k² + 2k + 3k + 3}/3(2k + 5)

= 1/(2k + 3) × {2k(k + 1) + 3(k + 1)}/3(2k + 5)

= 1/(2k + 3) × (k + 1)(2k + 3)/3(2k + 5)

= (k + 1)/3(2k + 5)

= (k + 1)/3(2k + 2 + 3)

= (k + 1)/3(2(k + 1) + 3)

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

18. 1 + 2 + 3 + … + n < 1/8 × (2n + 1)²

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 1 + 2 + 3 + … + n < 1/8 × (2n + 1)²

对于 n = 1，

P(1): 1 < 1/8 × (2 + 1)² = 9/8

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

1 + 2 + 3 + … + k < 1/8 × (2k + 1)² … 方程 (I)

现在，将 (k + 1) 加到方程 (I) 的两边。

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) < 1/8 × (2k + 1)² + (k + 1)

求解右侧

1/8 × {(2k + 1)² + 8(k + 1)}

= 1/8 × {4k² + 4k + 1 + 8k + 8}

= 1/8 × {4k² + 12k + 9}

= 1/8 × (2k + 3)²

= 1/8 × (2k + 2 + 1)²

= 1/8 × (2(k + 1) + 1)²

所以，

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) < 1/8 × (2(k + 1) + 1)²

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

19. n (n + 1) (n + 5) 是 3 的倍数。

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): n (n + 1) (n + 5) 是 3 的倍数

对于 n = 1，

P(1): 1 (1 + 1) (1 + 5) = 2(6) = 12，是 3 的倍数。

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

k (k + 1) (k + 5) = 3m，对于某个正整数 m … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

(k + 1) ((k + 1) + 1) ((k + 1) + 5)

= (k + 1) (k + 2) ((k + 5) + 1)

= (k + 1) (k + 2) (k + 5) + (k + 1) (k + 2)

= [k(k + 1) (k + 5) + 2(k + 1) (k + 5)] + (k + 1) (k + 2)

根据方程 (I)，

[k(k + 1) (k + 5) + 2(k + 1) (k + 5)] + (k + 1) (k + 2)

= 3m + 2(k + 1) (k + 5) + (k + 1) (k + 2)

= 3m + (k + 1)[2(k + 5) + (k + 2)]

= 3m + (k + 1)[2k + 10 + k + 2]

= 3m + (k + 1)[3k + 12]

= 3 (m + (k + 1)(k + 4))

= 3 [m + (k + 1)((k + 1) + 1)]

= 3p，其中 p = m + (k + 1) ((k + 1) + 1)

3p 显然是 3 的倍数。

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

20. 10^{2n - 1} + 1 可被 11 整除。

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 10^{2n - 1} + 1 可被 11 整除

对于 n = 1，

P(1): 10^{2(1) - 1} + 1 = 10 + 1 = 11，是 11 的倍数。

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

10^{2k - 1} + 1 = 11m，对于某个正整数 m … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

10^{2(k + 1) - 1} + 1

= 10^{2k + 2 - 1} + 1

加减 10²

= 10^{2k + 2 - 1} + 10² - 10² + 1

= 10² (10^{2k - 1} + 1) - 10² + 1

根据方程 (I)，

10² (10^{2k - 1} + 1) - 10² + 1

= 10² (11m) - 10² + 1

= 10² (11m) - 99

= 11 (100m - 9)

= 11p，其中 p = 100m - 9

11p 显然可被 11 整除。

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

21. x²ⁿ - y²ⁿ 可被 x + y 整除。

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): x²ⁿ - y²ⁿ 可被 x + y 整除。

对于 n = 1，

P(1): x² - y² = (x + y) (x - y)，是 (x + y) 的倍数。

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

x^2k - y^2k = (x + y)m，对于某个正整数 m … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

x^{2(k + 1)} - y^{2(k + 1)}

= x^{2k + 2} - y^{2k + 2}

= x^2k (x²) - y^2k (y²)

加减 y^2k

= x² (x^2k + y^2k - y^2k) - y^2k (y²)

= x² (x^2k - y^2k + y^2k) - y^2k (y²)

根据方程 (I)，

x² (x^2k - y^2k + y^2k) - y^2k (y²)

= x² [(x + y)m + y^2k] - y^2k (y²)

= x²(x + y)m + x²y^2k - y^2k (y²)

= x²(x + y)m + y^2k(x² - y²)

= x²(x + y)m + y^2k(x - y) (x + y)

= (x + y) × [mx² + (x - y)y^2k]

= (x + y)p，其中 p = mx² + (x - y)y²

(x + y)p 显然可被 (x + y) 整除。

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

22. 3^{2n + 2} - 8n - 9 可被 8 整除。

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 3^{2n + 2} - 8n - 9 可被 8 整除

对于 n = 1，

P(1): 3^{2(1) + 2} - 8(1) - 9 = 3⁴ - 17 = 64，是 8 的倍数。

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

3^{2k + 2} - 8k - 9 = 8m，对于某个正整数 m … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

3^{2(k + 1) + 2} - 8(k + 1) - 9

= 3^{2k + 2 + 2} - 8k - 8 - 9

= 3² (3^{2k + 2}) - 8k - 17

加减 8k 和 9

= 3² (3^{2k + 2} - 8k - 9 + 8k + 9) - 8k - 17

= 3² (3^{2k + 2} - 8k - 9) + 3² (8k + 9) - 8k - 17

根据方程 (I)，

3² (3^{2k + 2} - 8k - 9) + 3² (8k + 9) - 8k - 17

= 3² (8m) + 9(8k + 9) - 8k - 17

= 9(8m) + 72k + 81 - 8k - 17

= 9(8m) + 64k + 64

= 8 × [9m + 8k + 8]

= 8p，其中 p = 9m + 8k + 8

8p 显然可被 8 整除。

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

23. 41ⁿ - 14ⁿ 是 27 的倍数。

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): 41ⁿ - 14ⁿ 是 27 的倍数

对于 n = 1，

P(1): 41¹ - 14¹ = 27，是 27 的倍数。

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

41^k - 14^k = 27m，对于某个正整数 m … 方程 (I)

现在，对于 P(k + 1)，我们有

41^{k + 1} - 14^{k + 1}

= 41 (41^k) - 14 (14^k)

加减 14^k

= 41 (41^k + 14^k - 14^k) - 14^k (14)

= 41 (41^k - 14^k + 14^k) - 14^k (14)

根据方程 (I)，

41 (41^k - 14^k + 14^k) - 14^k (14)

= 41 (27m + 14^k) - 14^k (14)

= 41(27m) + 41 (14^k) - 14^k (14)

= 41(27m) + 14^k (41 - 14)

= 41(27m) + 14^k (27)

= 27 × [41m + 14^k]

= 27p，其中 p = 41m + 14^k

27p 显然是 27 的倍数。

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。

24. (2n + 7) < (n + 3)²。

解决方案

设给定命题为 P(n)。

P(n): (2n + 7) < (n + 3)²

对于 n = 1，

P(1): (2(1) + 7) = 9 < (1 + 3)² = 16，成立。

因此，P(n) 对 n = 1 成立。

假设 P(k) 对某个正整数 k 成立。

(2k + 7) < (k + 3)² … 方程 (I)

现在，将 2 加到方程 (I) 的两边。

(2k + 7) + 2 < (k + 3)² + 2

2k + 2 + 7 < k² + 9 + 6k + 2

2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11

对于 n = k + 1：(n + 3)² = (k + 1 + 3)²

= (k + 4)² = k² + 8k + 16

显然，我们可以观察到 k² + 8k + 16 > k² + 6k + 11。

所以，如果 2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11，那么

2(k + 1) + 7 < k² + 8k + 16

2(k + 1) + 7 < (k + 4)²

2(k + 1) + 7 < (k + 1 + 3)²

因此，只要 P(k) 成立，P(k + 1) 也成立。

因此，根据数学归纳法原理，命题 P(n) 对所有自然数 n 成立。