10年级数学第11章 NCERT解决方案：作图

练习 11.1

在下列每种情况下，都请给出作图的理由

1.画一条长7.6厘米的线段，并将其按5:8的比率分成两部分。测量这两部分。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长7.6厘米的线段AB。
2. 画一条射线AX，使其与BAX成一个锐角。
3. 由于线段需要按5:8的比率分割。因此，在射线AX上标记13个点，使得AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ... ... = A₁₂A₁₃。
4. 连接A₁₃与点B。
5. 从A₅画一条线段与AB相交于点C，并且该线段平行于BA₁₃。
6. 得到的点C将线段AB按5:8的比率分成两部分。
7. 测量AC和BC的长度。
8. 结果为AC = 2.9厘米，BC = 4.7厘米。

理由

根据作图，A₅C平行于A₁₃B。因此，我们可以在三角形AA₁₃B中使用基本比例定理。

AC/BC = AA₅/A₅A₁₃

根据作图，AA₅包含线段AA₁₃的5个等分段，A₅A₁₃包含8个等分段。因此，

AA₅/A₅A₁₃= 5/8

因此，AC/BC = 5/8。作图合理。

2.作出一个边长分别为4厘米、5厘米和6厘米的三角形，然后作出一个与之相似的三角形，其边长为第一个三角形相应边长的2/3。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长4厘米的线段AB。
2. 以点A为圆心，画一个半径为5厘米的圆弧。
3. 以点B为圆心，画一个半径为6厘米的圆弧。
4. 将两个圆弧的交点标记为C。
5. 我们得到了AC = 5厘米，BC = 6厘米，ABC即为所求的三角形。
6. 画一条射线AX，使其与BAX成一个锐角。
7. 在射线AX上标记3个点，使得AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃。
8. 连接A₃与点B。
9. 画一条线段A₂B'，使其平行于A₃B，并且点B'位于线段AB上。
10. 画一条线段B'C'，使其平行于BC，并且点C'位于线段AC上。
11. 现在，AB'C'即为所求的第二个三角形。

理由

根据作图，B'C'平行于BC。因此

∠ABC = ∠AB'C'

在ΔAB'C'和ΔABC中，

∠ABC = ∠AB'C' (已证)

∠BAC = ∠B'AC' (公共角)

因此，根据AA相似准则，ΔAB'C' ∼ ΔABC。

这意味着

AB'/AB = B'C'/BC = AC'/AC (相似三角形的对应边)

根据作图，A₂B'平行于A₃B。因此

∠AA₂B' = ∠AA₃B

在ΔAA₂B'和ΔAA₃B中，

∠A₂AB' = ∠A₃AB (公共角)

∠AA₂B' = ∠AA₃B (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔAA₂B' ~ ΔAA₃B。

这意味着

AB'/AB = AA₂/AA₃ (相似三角形的对应边)

根据作图，AA₂包含线段AA₃的2个等分段，AA₃包含3个等分段。因此，

AA₂/AA₃ = 2/3

因此，

AB'/AB = B'C'/BC = AC'/AC = 2/3

AB' = (2/3)AB

B'C' = (2/3)BC

AC'= (2/3)AC

因此，作图合理。

3. 作一个边长分别为5厘米、6厘米和7厘米的三角形，然后作一个与该三角形相似的三角形，其边长为第一个三角形相应边长的7/5。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长5厘米的线段AB。
2. 以点A为圆心，画一个半径为6厘米的圆弧。
3. 以点B为圆心，画一个半径为7厘米的圆弧。
4. 将两个圆弧的交点标记为C。
5. 我们得到了AC = 6厘米，BC = 7厘米，ABC即为所求的三角形。
6. 画一条射线AX，使其与BAX成一个锐角。
7. 在射线AX上标记7个点，使得AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ... ... = A₆A₇。
8. 连接A₅与点B。
9. 画一条线段A₇B'，使其平行于A₅B，并且点B'位于延长线段AB上。
10. 画一条线段B'C'，使其平行于BC，并且点C'位于延长线段AC上。
11. 现在，AB'C'即为所求的第二个三角形。

理由

根据作图，B'C'平行于BC。因此

∠ABC = ∠AB'C'

在ΔAB'C'和ΔABC中，

∠ABC = ∠AB'C' (已证)

∠BAC = ∠B'AC' (公共角)

因此，根据AA相似准则，ΔAB'C' ∼ ΔABC。

这意味着

AB'/AB = B'C'/BC = AC'/AC (相似三角形的对应边)

根据作图，A₇B'平行于A₅B。因此

∠AA₇B' = ∠AA₅B

在ΔAA₇B'和ΔAA₅B中，

∠A₇AB' = ∠A₅AB (公共角)

∠AA₇B' = ∠AA₅B (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔAA₇B' ~ ΔAA₅B。

这意味着

AB'/AB = AA₇/AA₅ (相似三角形的对应边)

根据作图，AA₇包含线段AA₇的7个等分段，AA₅包含5个等分段。因此，

AA₇/AA₅ = 7/5

因此，

AB'/AB = B'C'/BC = AC'/AC = 7/5

AB' = (7/5)AB

B'C' = (7/5)BC

AC'= (7/5)AC

因此，作图合理。

4. 作一个底为8厘米、高为4厘米的等腰三角形，然后作一个其边长为该等腰三角形相应边长1½倍的三角形。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长8厘米的线段BC。
2. 画出线段BC的垂直平分线，该线在点D处平分BC。
3. 以点D为圆心，画一个半径为4厘米的圆弧。
4. 标记圆弧与BC垂直平分线的交点为A。
5. 连接A与点B和C。
6. ABC即为所求的三角形。
7. 画一条射线BX，使其与CBX成一个锐角。
8. 在射线BX上标记3个点，使得BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃。
9. 连接B₂与点C。
10. 画一条线段B₃C'，使其平行于B₂C，并且点C'位于延长线段BC上。
11. 画一条线段C'A'，使其平行于AC，并且点A'位于延长线段BA上。
12. 现在，A'BC'即为所求的第二个三角形。

理由

根据作图，A'C'平行于AC。因此

∠A'C'B = ∠ACB

在ΔA'BC'和ΔABC中，

∠A'BC' = ∠ABC (公共角)

∠A'C'B = ∠ACB (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔA'BC' ∼ ΔABC。

这意味着

A'B/AB = BC'/BC= A'C'/AC (相似三角形的对应边)

根据作图，B₂C平行于B₃C'。因此

∠BB₂C = ∠BB₃C'

在ΔBB₂C和ΔBB₃C'中，

∠CBB₂ = ∠C'BB₃ (公共角)

∠BB₂C = ∠BB₃C' (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔBB₂C和ΔBB₃C'。

这意味着

BB₂/BB₃ = BC/BC' (相似三角形的对应边)

根据作图，BB₃包含线段BB₃的3个等分段，BB₂包含2个等分段。因此，

BB₂/BB₃ = 2/3

因此，

A'B/AB = BC'/BC = A'C'/AC = 3/2

A'B= (3/2)AB

BC' = (3/2)BC

A'C'= (3/2)AC

因此，作图合理。

5. 作一个三角形ABC，其中BC = 6厘米，AB = 5厘米，∠ABC = 60°。然后作一个三角形，其边长为三角形ABC相应边长的¾。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长6厘米的线段BC。
2. 作出∠B = 60°并延长该射线。
3. 以B为圆心，画一个半径为5厘米的圆弧，该圆弧与步骤2中的射线相交，并将交点标记为A。
4. 三角形ABC已画出。
5. 画一条射线BX，使其与CBX成一个锐角。
6. 在射线BX上标记4个点，使得BB₁ = B₁B₂ = ... ... = B₃B₄。
7. 连接B₄与点C。
8. 画一条线段B₃C'，使其平行于B₄C，并且点C'位于线段BC上。
9. 画一条线段C'A'，使其平行于AC，并且点A'位于线段BA上。
10. 现在，A'BC'即为所求的第二个三角形。

理由

根据作图，A'C'平行于AC。因此

∠A'C'B = ∠ACB

在ΔA'BC'和ΔABC中，

∠A'BC' = ∠ABC (公共角)

∠A'C'B = ∠ACB (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔA'BC' ∼ ΔABC。

这意味着

A'B/AB = BC'/BC= A'C'/AC (相似三角形的对应边)

根据作图，B₄C平行于B₃C'。因此

∠BB₄C = ∠BB₃C'

在ΔBB₄C和ΔBB₃C'中，

∠CBB₄ = ∠C'BB₃ (公共角)

∠BB₄C = ∠BB₃C' (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔBB₄C和ΔBB₃C'。

这意味着

BB₄/BB₃ = BC/BC' (相似三角形的对应边)

根据作图，BB₃包含线段BB₄的3个等分段，BB₄包含4个等分段。因此，

BB₄/BB₃ = 4/3

因此，

A'B/AB = BC'/BC = A'C'/AC = 3/4

A'B= (3/4)AB

BC' = (3/4)BC

A'C'= (3/4)AC

因此，作图合理。

6. 作一个三角形ABC，其中BC = 7厘米，∠ B = 45°，∠ A = 105°。然后，作一个三角形，其边长为∆ ABC相应边长的4/3倍。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长7厘米的线段BC。
2. 作出∠B = 45°并延长该射线。
3. 利用三角形的内角和性质（∠C = 180° - ∠A - ∠B），我们可以得到∠C = 30°。延长该射线。
4. 标记步骤2和步骤3中的射线交点为A。
5. ABC即为所求的三角形。
6. 画一条射线BX，使其与CBX成一个锐角。
7. 在射线BX上标记4个点，使得BB₁ = B₁B₂ = ... ... = B₃B₄。
8. 连接B₃与点C。
9. 画一条线段B₄C'，使其平行于B₃C，并且点C'位于延长线段BC上。
10. 画一条线段C'A'，使其平行于AC，并且点A'位于延长线段BA上。
11. 现在，A'BC'即为所求的第二个三角形。

理由

根据作图，A'C'平行于AC。因此

∠A'C'B = ∠ACB

在ΔA'BC'和ΔABC中，

∠A'BC' = ∠ABC (公共角)

∠A'C'B = ∠ACB (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔA'BC' ∼ ΔABC。

这意味着

A'B/AB = BC'/BC= A'C'/AC (相似三角形的对应边)

根据作图，B₃C平行于B₄C'。因此

∠BB₃C = ∠BB₄C'

在ΔBB₃C和ΔBB₄C'中，

∠CBB₃ = ∠C'BB₄ (公共角)

∠BB₃C = ∠BB₄C' (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔBB₃C和ΔBB₄C'。

这意味着

BB₃/BB₄ = BC/BC' (相似三角形的对应边)

根据作图，BB₃包含线段BB₄的3个等分段，BB₄包含4个等分段。因此，

BB₃/BB₄ = 3/4

因此，

A'B/AB = BC'/BC = A'C'/AC = 4/3

A'B= (4/3)AB

BC' = (4/3)BC

A'C'= (4/3)AC

因此，作图合理。

7. 画一个直角三角形，其中（斜边以外的）两边长度分别为4厘米和3厘米。然后，作一个三角形，其边长为给定三角形相应边长的5/3倍。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长3厘米的线段BC。
2. 在B点作出直角，并延长垂线。
3. 以B点为圆心，画一个半径为4厘米的圆弧。
4. 标记圆弧与垂线的交点为A。
5. ABC即为所求的三角形。
6. 画一条射线BX，使其与CBX成一个锐角。
7. 在射线BX上标记5个点，使得BB₁ = B₁B₂ = ... ... = B₄B₅。
8. 连接B₃与点C。
9. 画一条线段B₅C'，使其平行于B₃C，并且点C'位于延长线段BC上。
10. 画一条线段C'A'，使其平行于AC，并且点A'位于延长线段BA上。
11. 现在，A'BC'即为所求的第二个三角形。

理由

根据作图，A'C'平行于AC。因此

∠A'C'B = ∠ACB

在ΔA'BC'和ΔABC中，

∠A'BC' = ∠ABC (公共角)

∠A'C'B = ∠ACB (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔA'BC' ∼ ΔABC。

这意味着

A'B/AB = BC'/BC= A'C'/AC (相似三角形的对应边)

根据作图，B₃C平行于B₅C'。因此

∠BB₃C = ∠BB₅C'

在ΔBB₃C和ΔBB₅C'中，

∠CBB₃ = ∠C'BB₅ (公共角)

∠BB₃C = ∠BB₅C' (已证)

因此，根据AA相似准则，ΔBB₃C和ΔBB₅C'。

这意味着

BB₃/BB₅ = BC/BC' (相似三角形的对应边)

根据作图，BB₃包含线段BB₅的3个等分段，BB₅包含5个等分段。因此，

BB₃/BB₅ = 3/5

因此，

A'B/AB = BC'/BC = A'C'/AC = 5/3

A'B= (5/3)AB

BC' = (5/3)BC

A'C'= (5/3)AC

因此，作图合理。

练习 11.2

在下列每种情况下，都请给出作图的理由

1. 画一个半径为6厘米的圆。从距离其圆心10厘米的点作圆的切线对，并测量其长度。

解决方案

作图步骤如下

1. 以O为圆心，画一个半径为6厘米的圆。
2. 将O连接到外部点A，使得OA = 10厘米。
3. 作线段OA的垂直平分线，该线在点D处平分OA。
4. 以点D为圆心，画一个半径为OD或AD的圆。
5. 以D为圆心，以O为圆心的圆将与圆交于点B和C。
6. 连接点A与B和C。
7. AB和AC即为所求的切线。
8. 测量得到AB = AC = 8厘米。

理由

我们需要连接O与B和C。

∠B是半圆中由直径所对的角。因此，它将是直角。

这意味着OB将垂直于AB。

由于圆的半径OB垂直于在其一点接触的直线AB。因此，AB是该圆的切线。

类似地，AC是该圆的切线。

因此，作图合理。

2. 从同心圆（半径为6厘米）上的点作半径为4厘米的圆的切线，并测量其长度。通过实际计算验证测量结果。

解决方案

作图步骤如下

1. 以O为圆心，画一个半径为4厘米的圆。
2. 以O为圆心，画另一个半径为6厘米的圆。
3. 在较大的圆上标记一个点A。
4. 连接点A与点O。
5. 作线段OA的垂直平分线，该线在点D处平分OA。
6. 以点D为圆心，画一个半径为OD或AD的圆。
7. 以D为圆心，以O为圆心的圆将与半径为4厘米的圆交于点B和C。
8. 连接点A与B和C。
9. AB和AC即为所求的切线。
10. 测量得到AB = AC = 4.47厘米。

验证

ABO构成一个直角三角形。因此，在ABO中使用勾股定理

AO² = AB² + OB²

6² = AB² + 4²

36 - 16 = AB²

20 = AB²

AB = √20厘米

AB = 4.47厘米

从外部点到圆的切线相等，因此

AB = AC = 4.47厘米

结果已验证。

理由

我们需要连接O与B和C。

∠B是半圆中由直径所对的角。因此，它将是直角。

这意味着OB将垂直于AB。

由于圆的半径OB垂直于在其一点接触的直线AB。因此，AB是该圆的切线。

类似地，AC是该圆的切线。

因此，作图合理。

3. 画一个半径为3厘米的圆。在其中一个延长直径上取两点P和Q，每点距离圆心7厘米。从这两点P和Q向圆作切线。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一个半径为3厘米、圆心为O的圆。
2. 画出圆的一条直径，并从圆心O向两侧各延长7厘米。
3. 将延长直径的两个端点标记为P和Q。
4. 作线段OP的垂直平分线，该线在点M处平分OP。
5. 以点M为圆心，画一个半径为OM或PM的圆。
6. 以M为圆心，以O为圆心的圆将与圆交于点A和B。
7. 连接点P与A和B。
8. 作线段OQ的垂直平分线，该线在点N处平分OQ。
9. 以点N为圆心，画一个半径为ON或QN的圆。
10. 以N为圆心，以O为圆心的圆将与圆交于点C和D。
11. 连接点Q与C和D。
12. PA, PB, QC, 和 QD即为所求的切线。

理由

我们需要连接O与A, B, C和D。

∠A是半圆中由直径所对的角。因此，它将是直角。

这意味着OA将垂直于PA。

由于圆的半径OA垂直于在其一点接触的直线PA。因此，PA是该圆的切线。

类似地，PB, QC, 和 QD是该圆的切线。

因此，作图合理。

4. 作一对夹角为60°的半径为5厘米的圆的切线。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一个半径为5厘米、圆心为O的圆。
2. 在圆上标记任意一点B，并将其与O连接得到半径OB。
3. 作出∠B = 90°并向外延长该射线。
4. 作出∠O = 120°并延长该射线直到与圆周相交。将此点标记为C。
5. 作出∠C = 90°并向外延长该射线，直到与步骤3中的射线相交。将此外部点标记为A。
6. AB和AC即为所求的夹角为60°的切线。

理由

根据作图，我们有

∠B = 90°

∠C = 90°

并且∠O = 120°

OABC构成一个四边形，因此

∠O + ∠A + ∠B + ∠C = 360°

120° + ∠A + 90° + 90° = 360°

∠A + 300° = 360°

∠A = 60°

因此，作图合理。

5. 画一条长8厘米的线段AB。以A为圆心，画一个半径为4厘米的圆；以B为圆心，画另一个半径为3厘米的圆。从一个圆的圆心向另一个圆作切线。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长8厘米的线段AB。
2. 以点A为圆心画一个半径为4厘米的圆。
3. 以点B为圆心画一个半径为3厘米的圆。
4. 作线段AB的垂直平分线，该线在点D处平分AB。
5. 以点D为圆心，画一个半径为AD或BD的圆。
6. 标记圆心为D的圆与圆心为A的圆的交点分别为P和Q。
7. 标记圆心为D的圆与圆心为B的圆的交点分别为R和S。
8. 连接点P和Q与B。
9. 连接点R和S与A。
10. PB, QB, AR和AS即为所求的切线。

理由

我们需要连接A与P和Q，并连接B与R和S。

∠P是半圆中由直径所对的角。因此，它将是直角。

这意味着AP将垂直于PB。

由于圆的半径AP垂直于在其一点接触的直线PB。因此，PB是该圆的切线。

类似地，QB也是圆心为A的圆的切线。

类似地，我们可以证明AR和AS是圆心为B的圆的切线。

因此，作图合理。

6. 设ABC为直角三角形，其中AB = 6厘米，BC = 8厘米，∠ B = 90°。BD是B点到AC的垂线。画出经过B, C, D的圆。从A点向该圆作切线。

解决方案

作图步骤如下

1. 画一条长8厘米的线段BC。
2. 在B点作出直角，并延长垂线。
3. 以B点为圆心，画一个半径为6厘米的圆弧。
4. 标记圆弧与垂线的交点为A，并连接点A与C。
5. ABC即为所求的三角形。
6. 从点B向斜边AC画垂线。
7. 作线段BC的垂直平分线，该线在点O处平分BC。
8. 以点O为圆心，画一个半径为BO或CO的圆。
9. 连接点A和O。
10. 作线段AO的垂直平分线，该线在点M处平分AO。
11. 以M为圆心，画一个半径为AM或MO的圆。
12. 以M为圆心，以O为圆心的圆将与圆交于点B和E。
13. 连接E到A。
14. AB和AE即为所求的切线。

理由

我们需要连接O与E。

∠E是半圆中由直径所对的角。因此，它将是直角。

这意味着OE将垂直于AE。

由于圆的半径OE垂直于在其一点接触的直线AE。因此，AE是该圆的切线。

类似地，AB是该圆的切线。

因此，作图合理。

7. 用一个碗画一个圆。取一个圆外的点。从该点向圆作切线对。

解决方案

作图步骤如下

1. 用碗画一个圆。
2. 在圆内画两条不平行的弦AB和CD。
3. 作出AB和CD的垂直平分线，并标记它们的交点为O，O将是该圆的圆心。
4. 取圆外一点P，并将其连接到O。
5. 作线段OP的垂直平分线，该线在点M处平分OP。
6. 以点M为圆心，画一个半径为PM或OM的圆。
7. 标记以M为圆心，以O为圆心的圆的交点为Q和R。
8. 连接P与Q和R。
9. PQ和PR即为所求的切线。

理由

我们需要连接点Q和R与圆心O。

∠Q是半圆中由直径所对的角。因此，它将是直角。

这意味着OQ将垂直于PQ。

由于圆的半径OQ垂直于在其一点接触的直线PQ。因此，PQ是该圆的切线。

类似地，PR是该圆的切线。

因此，作图合理。