11 年级数学 第 11 章：圆锥曲线的 NCERT 解决方案

练习 11.1

在以下练习1到5中，求圆的方程

1. 圆心(0,2)，半径2

解决方案

圆心 = (0, 2)

圆的半径 = 2个单位

我们知道圆心为(h, k)，半径为r的圆的方程由下式给出：

(x - h)² + (y - k)² = r²

因此，

(x - 0)² + (y - 2)² = 2²

x² + y² + 4 - 4y = 4

x² + y² - 4y = 0

因此，圆的方程是x² + y² - 4y = 0。

2. 圆心(-2,3)，半径4

解决方案

圆心 = (-2, 3)

圆的半径 = 4个单位

我们知道圆心为(h, k)，半径为r的圆的方程由下式给出：

(x - h)² + (y - k)² = r²

因此，

(x + 2)² + (y - 3)² = 4²

x² + 4 + 4x + y² + 9 - 6y = 16

x² + y² + 4x - 6y = 3

x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0

因此，圆的方程是x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0。

3. 圆心(1/2, 1/4)，半径1/12

解决方案

圆心 = (1/2, 1/4)

圆的半径 = 1/12个单位

我们知道圆心为(h, k)，半径为r的圆的方程由下式给出：

(x - h)² + (y - k)² = r²

因此，

(x - 1/2)² + (y - 1/4)² = (1/12)²

x² + 1/4 - x + y² + 1/16 - y/2 = 1/144

144(x² + y² - x - y/2 + 4/16 + 1/16) = 1

144x² + 144y² - 144x - 72y + 45 = 1

144x² + 144y² - 144x - 72y + 44 = 0

4(36x² + 36y² - 36x - 18y + 11) = 0

36x² + 36y² - 36x - 18y + 11 = 0

因此，圆的方程是36x² + 36y² - 36x - 18y + 11 = 0。

4. 圆心(1,1)，半径√2

解决方案

圆心 = (1, 1)

圆的半径 = √2个单位

我们知道圆心为(h, k)，半径为r的圆的方程由下式给出：

(x - h)² + (y - k)² = r²

因此，

(x - 1)² + (y - 1)² = (√2)²

x² + 1 - 2x + y² + 1 - 2y = 2

x² + y² - 2x - 2y = 0

因此，圆的方程是x² + y² - 2x - 2y = 0。

5. 圆心(-a, -b)，半径√(a² - b²)。

解决方案

圆心 = (-a, -b)

圆的半径 = √(a² - b²)个单位

我们知道圆心为(h, k)，半径为r的圆的方程由下式给出：

(x - h)² + (y - k)² = r²

因此，

(x + a)² + (y + b)² = (√(a² - b²))²

x² + a² + 2ax + y² + b² + 2by = a² - b²

x² + y² + 2ax + 2by + 2b² = 0

因此，圆的方程是x² + y² + 2ax + 2by + 2b² = 0。

在以下练习6到9中，求圆的圆心和半径。

6. (x + 5)² + (y - 3)² = 36

解决方案

圆的方程是(x + 5)² + (y - 3)² = 36

将给定方程与圆心为(h, k)，半径为r的圆的一般方程(x - h)² + (y - k)² = r²进行比较。

因此，

h = -5

k = 3

r² = 36

r = 6

因此，给定圆的圆心是(-5, 3)，半径是6个单位。

7. x² + y² - 4x - 8y - 45 = 0

解决方案

圆的方程是x² + y² - 4x - 8y - 45 = 0

两边加4和16

x² - 4x + 4 + y² - 8y + 16 = 45 + 4 + 16

x² - 2(2)(x) + 2² + y² - 2(4)(x) + 4² = 65

(x - 2)² + (y - 4)² = 65

将给定方程与圆心为(h, k)，半径为r的圆的一般方程(x - h)² + (y - k)² = r²进行比较。

因此，

h = 2

k = 4

r² = 65

r = √65

因此，给定圆的圆心是(2, 4)，半径是√65个单位。

8. x² + y² - 8x + 10y - 12 = 0

解决方案

圆的方程是x² + y² - 8x + 10y - 12 = 0

两边加16和25

x² - 8x + 16 + y² + 10y + 25 = 12 + 16 + 25

x² - 2(4)(x) + 4² + y² + 2(5)(x) + 5² = 53

(x - 4)² + (y + 5)² = 53

将给定方程与圆心为(h, k)，半径为r的圆的一般方程(x - h)² + (y - k)² = r²进行比较。

因此，

h = 4

k = -5

r² = 53

r = √53

因此，给定圆的圆心是(4, -5)，半径是√53个单位。

9. 2x² + 2y² - x = 0

解决方案

圆的方程是2x² + 2y² - x = 0

2(x² + y² - x/2) = 0

x² + y² - x/2 = 0

两边加1/16

x² - x/2 + 1/16 + y² = 1/16

x² - 2(1/4)(x) + (1/4)² + y² + 2(0)(y) + 0² = 1/16

(x - 1/4)² + (y + 0)² = 1/16

将给定方程与圆心为(h, k)，半径为r的圆的一般方程(x - h)² + (y - k)² = r²进行比较。

因此，

h = 1/4

k = 0

r² = 1/16

r = 1/4

因此，给定圆的圆心是(1/4, 0)，半径是1/4个单位。

10. 求通过点(4,1)和(6,5)且圆心在直线4x + y = 16上的圆的方程。

解决方案

设所需圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心，r是半径。

已知(4, 1)和(6, 5)在圆上。因此，

(4 - h)² + (1 - k)² = r²

并且

(6 - h)² + (5 - k)² = r²

所以，

(4 - h)² + (1 - k)² = (6 - h)² + (5 - k)²

16 + h² - 8h + 1 + k² - 2k = 36 + h² - 12h + 25 + k² - 10k

4h + 8k = 44

4(h + 2k) = 44

h + 2k = 11

h = 11 - 2k

已知圆心在直线4x + y = 16上。因此，

4h + k = 16

代入h = 11 - 2k

4(11 - 2k) + k = 16

44 - 8k + k = 16

28 = 7k

k = 4

所以，h = 11 - 8

h = 3

因此，圆心是(3, 4)。

(4 - h)² + (1 - k)² = r²

(4 - 3)² + (1 - 4)² = r²

1 + 9 = r²

r² = 10

r = √10

因此，圆的半径是√10。

因此，所需圆的方程是(x - 3)² + (y - 4)² = 10。

11. 求通过点(2,3)和(-1,1)且圆心在直线x - 3y - 11 = 0上的圆的方程。

解决方案

设所需圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心，r是半径。

已知(2, 3)和(-1, 1)在圆上。因此，

(2 - h)² + (3 - k)² = r²

并且

(-1 - h)² + (1 - k)² = r²

所以，

(2 - h)² + (3 - k)² = (-1 - h)² + (1 - k)²

4 + h² - 4h + 9 + k² - 6k = 1 + h² + 2h + 1 + k² - 2k

6h + 4k = 11

6h = 11 - 4k

h = (11 - 4K)/6

已知圆心在直线x - 3y - 11 = 0上。因此，

h - 3k = 11

代入h = (11 - 4k)/6

(11 - 4k)/6 = 11 + 3k

11 - 4k = 66 + 18k

22k = -55

k = -5/2

所以，h = (11 + 10)/6

h = 7/2

因此，圆心是(7/2, -5/2)。

(2 - h)² + (3 - k)² = r²

(2 - 7/2)² + (3 + 5/2)² = r²

(4 - 7)²/2² + (6 + 5)²/2² = r²

9/4 + 121/4 = r²

r² = 130/4

r² = 65/2

r = √(65/2)

因此，圆的半径是√(65/2)。

因此，所需圆的方程是(x - 7/2)² + (y + 5/2)² = 65/2。

12. 求半径为5，圆心在x轴上且通过点(2,3)的圆的方程。

解决方案

设所需圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心，r是半径。

圆心在x轴上，所以k = 0。

圆的半径，r = 5个单位

圆的方程是

(x - h)² + y² = 5²

已知点(2, 3)在圆上。因此，

(2 - h)² + 3² = 25

(2 - h)² = 25 - 9

(2 - h)² = 16

(2 - h)² = 4²

两边开平方

(2 - h) = ± 4

如果 (2 - h) = 4

⇒ h = -2

如果 (2 - h) = -4

⇒ h = 6

情况 I

h = -2

圆的方程是

(x + 2)² + y² = 5²

x² + 4 + 4x + y² = 25

x² + y² + 4x - 21 = 0

情况 II

h = 6

圆的方程是

(x - 6)² + y² = 5²

x² + 36 - 12x + y² = 25

x² + y² - 12x + 11 = 0

因此，所需圆的方程是x² + y² + 4x - 21 = 0和x² + y² - 12x + 11 = 0。

13. 求通过(0,0)并在坐标轴上截取a和b的圆的方程。

解决方案

设所需圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心，r是半径。

已知点(0, 0)在圆上。因此，

(0 - h)² + (0 - k)² = r²

h² + k² = r²

所以，(x - h)² + (y - k)² = h² + k²

已知圆在坐标轴上截取a和b。因此，它通过(a, 0)和(0, b)。

(a - h)² + (0 - k)² = h² + k²

并且

(0 - h)² + (b - k)² = h² + k²

取(a - h)² + (0 - k)² = h² + k²

a² + h² - 2ah + k² = h² + k²

a² - 2ah = 0

a(a - 2h) = 0

由于a ≠ 0。

a - 2h = 0

h = a/2

取(0 - h)² + (b - k)² = h² + k²

h² + b² + k² - 2bk = h² + k²

b² - 2bk = 0

b(b - 2k) = 0

由于b ≠ 0

b - 2k = 0

k = b/2

因此，圆的方程是

(x - a/2)² + (y - b/2)² = (a/2)² + (b/2)²

(2x - a)²/2² + (2y - b)²/2² = a²/4 + b²/4

1/4 × [4x² + a² - 4ax + 4y² + b² - 4by] = 1/4 × (a² + b²)

4x² + 4y² + a² + b² - 4ax - 4by = a² + b²

4x² + 4y² - 4ax - 4by = 0

4(x² + y² - ax - by) = 0

x² + y² - ax - by = 0

因此，所需圆的方程是x² + y² - ax - by = 0。

14. 求圆心为(2,2)并经过点(4,5)的圆的方程。

解决方案

圆心是(h, k) = (2, 2)

圆的半径，r = 圆心与圆上一点之间的距离

r = √[(2 - 4)² + (2 - 5)²]

= √(4 + 9)

= √13

因此，圆的方程是

(x - h)² + (y - k)² = r²

(x - h)² + (y - k)² = (√13)²

(x - 2)² + (y - 2)² = (√13)²

x² + 4 - 4x + y² + 4 - 4y = 13

x² + y² - 4x - 4y = 5

因此，所需圆的方程是x² + y² - 4x - 4y = 5。

15. 点(-2.5, 3.5)是位于圆x² + y² = 25的内部、外部还是在圆上？

解决方案

给定圆的方程是

x² + y² = 25

(x - 0)² + (y - 0)² = 5²

将给定方程与圆心为(h, k)，半径为r的圆的一般方程(x - h)² + (y - k)² = r²进行比较。

因此，

h = 0

k = 0

r² = 25

r = √25 = 5

给定点(-2.5, 3.5)到圆心(0, 0)的距离是

d = √[(-2.5 + 0)² + (3.5 + 0)²]

= √(6.25 + 12.25)

= √18.5

d < r

因此，给定点位于圆x² + y² = 25的内部。

练习 11.2

在以下练习1到6中，求抛物线的焦点坐标、抛物线轴、准线方程和焦弦长。

1. y² = 12x

解决方案

y² = 12x

x的系数 = 12

我们知道当x的系数为正时，抛物线向右开口。

将给定方程与y² = 4ax进行比较

4a = 12

a = 3

抛物线焦点的坐标 = (a, 0) = (3, 0)

给定方程涉及y²，这意味着抛物线轴是x轴。

准线方程是

x = -a

x + a = 0

x + 3 = 0

焦弦长 = 4a = 4(3) = 12

2. x² = 6y

解决方案

x² = 6y

y的系数 = 6

我们知道当y的系数为正时，抛物线向上开口。

将给定方程与x² = 4ay进行比较

4a = 6

a = 3/2

抛物线焦点的坐标 = (0, a) = (0, 3/2)

给定方程涉及x²，这意味着抛物线轴是y轴。

准线方程是

y = -a

y + a = 0

y + 3/2 = 0

焦弦长 = 4a = 4(3/2) = 6

3. y² = -8x

解决方案

y² = -8x

x的系数 = -8

我们知道当x的系数为负时，抛物线向左开口。

将给定方程与y² = -4ax进行比较

4a = 8

a = 2

抛物线焦点的坐标 = (-a, 0) = (-2, 0)

给定方程涉及y²，这意味着抛物线轴是x轴。

准线方程是

x = a

x - a = 0

x - 2 = 0

焦弦长 = 4a = 4(2) = 8

4. x² = -16y

解决方案

x² = -16y

y的系数 = -16

我们知道当y的系数为负时，抛物线向下开口。

将给定方程与x² = -4ay进行比较

4a = 16

a = 4

抛物线焦点的坐标 = (0, -a) = (0, -4)

给定方程涉及x²，这意味着抛物线轴是y轴。

准线方程是

y = a

y - a = 0

y - 4 = 0

焦弦长 = 4a = 4(4) = 16

5. y² = 10x

解决方案

y² = 10x

x的系数 = 0

我们知道当x的系数为正时，抛物线向右开口。

将给定方程与y² = 4ax进行比较

4a = 10

a = 5/2

抛物线焦点的坐标 = (a, 0) = (5/2, 0)

给定方程涉及y²，这意味着抛物线轴是x轴。

准线方程是

x = -a

x + a = 0

x + 5/2 = 0

焦弦长 = 4a = 4(5/2) = 10

6. x² = -9y

解决方案

x² = -9y

y的系数 = -9

我们知道当y的系数为负时，抛物线向下开口。

将给定方程与x² = -4ay进行比较

4a = 9

a = 9/4

抛物线焦点的坐标 = (0, -a) = (0, -9/4)

给定方程涉及x²，这意味着抛物线轴是y轴。

准线方程是

y = a

y - a = 0

y - 9/4 = 0

焦弦长 = 4a = 4(9/4) = 9

在练习7到12中，求满足给定条件的抛物线方程。

7. 焦点(6,0)；准线 x = -6

解决方案

焦点在(6, 0)，位于x轴上。因此，抛物线轴是x轴。

因此，所需抛物线的方程形式为y² = 4ax或y² = -4ax

抛物线准线是-6，在y轴左侧，焦点在y轴右侧。因此，所需抛物线的形式为y² = 4ax。

焦点由(a, 0)给出。

(6, 0) = (a, 0)

这意味着a = 6

因此，抛物线方程为y² = 4(6)x ⇒ y² = 24x。

8. 焦点(0,-3)；准线 y = 3

解决方案

焦点在(0, -3)，位于y轴上。因此，抛物线轴是y轴。

因此，所需抛物线的方程形式为x² = 4ay或x² = -4ay

抛物线准线是3，在x轴上方，焦点在x轴下方。因此，所需抛物线的形式为x² = -4ay。

焦点由(0, a)给出。

(0, -3) = (0, a)

这意味着a = -3

因此，抛物线方程为x² = 4(-3)y ⇒ x² = -12y。

9. 顶点(0,0)；焦点(3,0)

解决方案

焦点在(3, 0)，位于正x轴上。因此，抛物线轴是x轴。

抛物线顶点在(0, 0)。因此，所需抛物线的形式为

y² = 4ax

焦点由(a, 0)给出。

(3, 0) = (a, 0)

这意味着a = 3

因此，抛物线方程为y² = 4(3)x ⇒ y² = 12x。

10. 顶点(0,0)；焦点(-2,0)

解决方案

焦点在(-2, 0)，位于负x轴上。因此，抛物线轴是x轴。

抛物线顶点在(0, 0)。因此，所需抛物线的形式为

y² = -4ax

焦点由(-a, 0)给出。

(-2, 0) = (-a, 0)

这意味着a = 2

因此，抛物线方程为y² = -4(2)x ⇒ y² = -8x。

11. 顶点(0,0)通过(2,3)且轴沿x轴。

解决方案

已知抛物线顶点为(0, 0)，其轴沿x轴。

因此，抛物线方程的形式为y² = 4ax或y² = -4ax

已知抛物线通过点(2, 3)，该点在第一象限。因此，

抛物线方程的形式为y² = 4ax，并且它应该满足点(2, 3)。

3² = 4a(2)

9 = 8a

a = 9/8

抛物线方程将是

y² = 4(9/8)x

y² = 9x/2

因此，抛物线方程是2y² = 9x。

12. 顶点(0,0)，通过(5,2)且关于y轴对称。

解决方案

已知抛物线顶点为(0, 0)，并且它关于y轴对称。

因此，抛物线方程的形式为x² = 4ay或x² = -4ay

已知抛物线通过点(5, 2)，该点在第一象限。因此，

抛物线方程的形式为x² = 4ay，并且它应该满足点(5, 2)。

5² = 4a(2)

25 = 8a

a = 25/8

抛物线方程将是

x² = 4(25/8)y

x² = 25y/2

因此，抛物线方程是2x² = 25y。

练习 11.3

在以下练习1到9中，求椭圆的焦点坐标、顶点坐标、长轴长度、短轴长度、离心率和焦弦长度。

1. x²/36 + y²/16 = 1

解决方案

在x²/36 + y²/16 = 1中，x²/36的分母36大于y²/16的分母16。因此，长轴沿x轴，短轴沿y轴。

将给定方程与x²/a² + y²/b² = 1进行比较，我们得到

a² = 36 ⇒ a = 6

且 b² = 16 ⇒ b = 4

c = √(a² - b²)

= √(36 - 16)

= √20

= 2√5

现在，

焦点坐标 = (2√5, 0) 和 (-2√5, 0)。

顶点坐标 = (6, 0) 和 (-6, 0)

长轴长度 = 2(6) = 12个单位

短轴长度 = 2(4) = 8个单位

离心率 = e = 2√5/6 = √5/3

焦弦长度 = 2b²/a = 2(16)/6 = 16/3个单位

2. x²/4 + y²/25 = 1

解决方案

在x²/4 + y²/25 = 1中，y²/25的分母25大于x²/4的分母4。因此，长轴沿y轴，短轴沿x轴。

将给定方程与x²/b² + y²/a² = 1进行比较，我们得到

a² = 25 ⇒ a = 5

且 b² = 4 ⇒ b = 2

c = √(a² - b²)

= √(25 - 4)

= √21

现在，

焦点坐标 = (0, √21) 和 (0, -√21)。

顶点坐标 = (0, 5) 和 (0, -5)

长轴长度 = 2(5) = 10个单位

短轴长度 = 2(2) = 4个单位

离心率 = e = √21/5

焦弦长度 = 2b²/a = 2(4)/5 = 8/5个单位

3. x²/16 + y²/9 = 1

解决方案

在x²/16 + y²/9 = 1中，x²/16的分母16大于y²/9的分母9。因此，长轴沿x轴，短轴沿y轴。

将给定方程与x²/a² + y²/b² = 1进行比较，我们得到

a² = 16 ⇒ a = 4

且 b² = 9 ⇒ b = 3

c = √(a² - b²)

= √(16 - 9)

= √7

现在，

焦点坐标 = (√7, 0) 和 (-√7, 0)。

顶点坐标 = (4, 0) 和 (-4, 0)

长轴长度 = 2(4) = 8个单位

短轴长度 = 2(3) = 6个单位

离心率 = e = √7/4

焦弦长度 = 2b²/a = 2(9)/4 = 9/2个单位

4. x²/25 + y²/100 = 1

解决方案

在x²/25 + y²/100 = 1中，y²/100的分母100大于x²/25的分母25。因此，长轴沿y轴，短轴沿x轴。

将给定方程与x²/b² + y²/a² = 1进行比较，我们得到

a² = 100 ⇒ a = 10

且 b² = 25 ⇒ b = 5

c = √(a² - b²)

= √(100 - 25)

= √75

= 5√3

现在，

焦点坐标 = (0, 5√3) 和 (0, -5√3)。

顶点坐标 = (0, 10) 和 (0, -10)

长轴长度 = 2(10) = 20个单位

短轴长度 = 2(5) = 10个单位

离心率 = e = 5√3/10 = √3/2

焦弦长度 = 2b²/a = 2(25)/10 = 5个单位

5. x²/49 + y²/36 = 1

解决方案

在x²/49 + y²/36 = 1中，x²/49的分母49大于y²/36的分母36。因此，长轴沿x轴，短轴沿y轴。

将给定方程与x²/a² + y²/b² = 1进行比较，我们得到

a² = 49 ⇒ a = 7

且 b² = 36 ⇒ b = 6

c = √(a² - b²)

= √(49 - 36)

= √13

现在，

焦点坐标 = (√13, 0) 和 (-√13, 0)。

顶点坐标 = (7, 0) 和 (-7, 0)

长轴长度 = 2(7) = 14个单位

短轴长度 = 2(6) = 12个单位

离心率 = e = √13/7

焦弦长度 = 2b²/a = 2(36)/7 = 72/7个单位

6. x²/100 + y²/400 = 1

解决方案

在x²/100 + y²/400 = 1中，y²/400的分母400大于x²/100的分母100。因此，长轴沿y轴，短轴沿x轴。

将给定方程与x²/b² + y²/a² = 1进行比较，我们得到

a² = 400 ⇒ a = 20

且 b² = 10 ⇒ b = 10

c = √(a² - b²)

= √(400 - 100)

= √300

= 10√3

现在，

焦点坐标 = (0, 10√3) 和 (0, -10√3)。

顶点坐标 = (0, 20) 和 (0, -20)

长轴长度 = 2(20) = 40个单位

短轴长度 = 2(10) = 20个单位

离心率 = e = 10√3/20 = √3/2

焦弦长度 = 2b²/a = 2(100)/20 = 10个单位

7. 36x² + 4y² = 144

解决方案

36x² + 4y² = 144

两边除以144

36x²/144 + 4y²/144 = 1

x²/4 + y²/36 = 1

在x²/4 + y²/36 = 1中，y²/36的分母36大于x²/4的分母4。因此，长轴沿y轴，短轴沿x轴。

将给定方程与x²/b² + y²/a² = 1进行比较，我们得到

a² = 36 ⇒ a = 6

且 b² = 4 ⇒ b = 2

c = √(a² - b²)

= √(36 - 4)

= √32

= 4√2

现在，

焦点坐标 = (0, 4√2) 和 (0, -4√2)。

顶点坐标 = (0, 6) 和 (0, -6)

长轴长度 = 2(6) = 12个单位

短轴长度 = 2(2) = 4个单位

离心率 = e = 4√2/6 = 2√2/3

焦弦长度 = 2b²/a = 2(4)/6 = 4/3个单位

8. 16x² + y² = 16

解决方案

16x² + y² = 16

两边除以16

16x²/16 + y²/16 = 1

x² + y²/16 = 1

在x² + y²/16 = 1中，y²/16的分母16大于x²/1的分母1。因此，长轴沿y轴，短轴沿x轴。

将给定方程与x²/b² + y²/a² = 1进行比较，我们得到

a² = 16 ⇒ a = 4

且 b² = 1 ⇒ b = 1

c = √(a² - b²)

= √(16 - 1)

= √15

现在，

焦点坐标 = (0, √15) 和 (0, -√15)。

顶点坐标 = (0, 4) 和 (0, -4)

长轴长度 = 2(4) = 8个单位

短轴长度 = 2(1) = 2个单位

离心率 = e = √15/4

焦弦长度 = 2b²/a = 2(1)/4 = 1/2个单位

9. 4x² + 9y² = 36

解决方案

4x² + 9y² = 36

两边除以36

4x²/36 + 9y²/36 = 1

x²/9 + y²/4 = 1

在x²/9 + y²/4 = 1中，x²/9的分母9大于y²/9的分母4。因此，长轴沿x轴，短轴沿y轴。

将给定方程与x²/a² + y²/b² = 1进行比较，我们得到

a² = 9 ⇒ a = 3

且 b² = 4 ⇒ b = 2

c = √(a² - b²)

= √(9 - 4)

= √5

现在，

焦点坐标 = (√5, 0) 和 (-√5, 0)。

顶点坐标 = (3, 0) 和 (-3, 0)

长轴长度 = 2(3) = 6个单位

短轴长度 = 2(2) = 4个单位

离心率 = e = √5/3

焦弦长度 = 2b²/a = 2(4)/3 = 8/3个单位

在以下练习10到20中，求满足给定条件的椭圆方程。

10. 顶点 (± 5, 0)，焦点 (± 4, 0)

解决方案

已知顶点是 (± 5, 0)，位于x轴上。因此，

椭圆的方程形式为x²/a² + y²/b² = 1

a = 5

和 c = 4

我们知道a² = b² + c²

所以，

5² = b² + 4²

b² = 25 - 16

b² = 9

b = 3

因此，椭圆方程为x²/25 + y²/9 = 1。

11. 顶点 (0, ± 13)，焦点 (0, ± 5)

解决方案

已知顶点是 (0, ± 13)，位于y轴上。因此，

椭圆的方程形式为x²/b² + y²/a² = 1

a = 13

和 c = 5

我们知道a² = b² + c²

所以，

13² = b² + 5²

b² = 169 - 25

b² = 144

b = 12

因此，椭圆方程为x²/144 + y²/169 = 1。

12. 顶点 (± 6, 0)，焦点 (± 4, 0)

解决方案

已知顶点是 (± 6, 0)，位于x轴上。因此，

椭圆的方程形式为x²/a² + y²/b² = 1

a = 6

和 c = 4

我们知道a² = b² + c²

所以，

6² = b² + 4²

b² = 36 - 16

b² = 20

b = 2√5

因此，椭圆方程为x²/36 + y²/20 = 1。

13. 长轴端点 (± 3, 0)，短轴端点 (0, ± 2)

解决方案

长轴端点是 (± 3, 0)，沿x轴。

因此，椭圆的方程形式为x²/a² + y²/b² = 1

a = 3 且 b = 2

a² = 9 且 b² = 4

因此，椭圆方程为x²/9 + y²/4 = 1。

14. 长轴端点 (0, ± √5)，短轴端点 (± 1, 0)

解决方案

长轴端点是 (0, ± √5)，沿y轴。

因此，椭圆的方程形式为x²/b² + y²/a² = 1

a = √5 且 b = 1

a² = 5 且 b² = 1

因此，椭圆方程为x²/1 + y²/5 = 1。

15. 长轴长度26，焦点 (± 5, 0)

解决方案

给定焦点是 (± 5, 0)，位于x轴上。因此，x轴是长轴。

因此，椭圆的方程形式为x²/a² + y²/b² = 1

长轴长度 = 2a

2a = 26

a = 13

和 c = 5

我们知道a² = b² + c²

所以，

13² = b² + 5²

b² = 169 - 25

b² = 144

b = 12

因此，椭圆方程为x²/169 + y²/144 = 1。

16. 短轴长度16，焦点 (0, ± 6)

解决方案

给定焦点是 (0, ± 6)，位于y轴上。因此，y轴是长轴。

因此，椭圆的方程形式为x²/b² + y²/a² = 1

短轴长度 = 2b

2b = 16

b = 8

和 c = 6

我们知道a² = b² + c²

所以，

a² = 8² + 6²

a² = 64 + 36

a² = 100

a = 10

因此，椭圆方程为x²/64 + y²/100 = 1。

17. 焦点 (± 3, 0)，a = 4

解决方案

给定焦点是 (± 3, 0)，位于x轴上。因此，x轴是长轴。

因此，椭圆的方程形式为x²/a² + y²/b² = 1

a = 4

和 c = 3

我们知道a² = b² + c²

所以，

4² = b² + 3²

b² = 16 - 9

b² = 7

b = √7

因此，椭圆方程为x²/16 + y²/7 = 1。

18. b = 3，c = 4，中心在原点；焦点在x轴上

解决方案

已知焦点在x轴上。因此，x轴是长轴。

因此，椭圆的方程形式为x²/a² + y²/b² = 1

b = 3

和 c = 4

我们知道a² = b² + c²

所以，

a² = 3² + 4²

a² = 9 + 16

a² = 25

a = 5

因此，椭圆方程为x²/25 + y²/9 = 1。

19. 中心在(0,0)，长轴在y轴上，通过点(3, 2)和(1,6)。

解决方案

已知中心在(0, 0)，长轴在y轴上。因此，椭圆方程的形式为

x²/b² + y²/a² = 1

已知椭圆通过点(3, 2)和(1, 6)。因此，

3²/b² + 2²/a² = 1

9/b² + 4/a² = 1

并且

1²/b² + 6²/a² = 1

1/b² + 36/a² = 1

1/b² = 1 - 36/a²

1/b² = (a² - 36)/a²

将得到的1/b²值代入9/b² + 4/a² = 1

9 × (a² - 36)/a² + 4/a² = 1

(9a² - 324 + 4)/a² = 1

9a² - 320 = a²

8a² = 320

a² = 40

所以，1/b² = (40 - 36)/40

1/b² = 4/40

⇒ b² = 10

因此，椭圆方程为x²/10 + y²/40 = 1。

20. 长轴在x轴上，通过点(4,3)和(6,2)。

解决方案

已知长轴在x轴上。因此，椭圆方程的形式为

x²/a² + y²/b² = 1

已知椭圆通过点(4, 3)和(6, 2)。因此，

4²/a² + 3²/b² = 1

16/a² + 9/b² = 1

并且

6²/a² + 2²/b² = 1

36/a² + 4/b² = 1

4/b² = 1 - 36/a²

1/b² = (a² - 36)/4a²

将得到的1/b²值代入16/a² + 9/b² = 1

16/a² + 9 × (a² - 36)/4a² = 1

(64 + 9a² - 324)/4a² = 1

9a² - 260 = 4a²

5a² = 260

a² = 52

所以，1/b² = (52 - 36)/4(52)

1/b² = 16/4(52)

1/b² = 1/13

⇒ b² = 13

练习 11.4

在以下练习1到6中，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率和焦弦长度。

1. x²/16 - y²/9 = 1

解决方案

x²/16 - y²/9 = 1

x²/4² - y²/3² = 1

将给定方程x²/a² - y²/b² = 1进行比较，我们得到

a = 4

b = 3

我们知道a² + b² = c²

4² + 3² = c²

16 + 9 = c²

25 = c²

c = 5

因此，

焦点坐标是 (5, 0) 和 (-5, 0)

顶点坐标是 (4, 0) 和 (-4, 0)

离心率 = e = c/a = 5/4

焦弦长度 = 2b²/a = 2(9)/4 = 9/2

2. y²/9 - x²/27 = 1

解决方案

y²/9 - x²/27 = 1

y²/3² - x²/(√27)² = 1

将给定方程y²/a² - x²/b² = 1进行比较，我们得到

a = 3

b = √27

我们知道a² + b² = c²

3² + (√27)² = c²

9 + 27 = c²

36 = c²

c = 6

因此，

焦点坐标是 (0, 6) 和 (0, -6)

顶点坐标是 (0, 3) 和 (0, -3)

离心率 = e = c/a = 6/3 = 2

焦弦长度 = 2b²/a = 2(27)/3 = 18

3. 9y² - 4x² = 36

SOLUTION9y² - 4x² = 36

9y² - 4x² = 36

两边除以36

9y²/36 - 4x²/36 = 36/36

y²/4 - x²/9 = 1

y²/2² - x²/3² = 1

将给定方程y²/a² - x²/b² = 1进行比较，我们得到

a = 2

b = 3

我们知道a² + b² = c²

2² + 3² = c²

4 + 9 = c²

13 = c²

c = √13

因此，

焦点坐标是 (0, √13) 和 (0, -√13)

顶点坐标是 (0, 2) 和 (0, -2)

离心率 = e = c/a = √13/2

焦弦长度 = 2b²/a = 2(9)/2 = 9

4. 16x²- 9y²= 576

解决方案

16x² - 9y² = 576

两边除以576

16x²/576 - 9y²/576 = 576/576

x²/36 - y²/64 = 1

x²/6² - y²/8² = 1

将给定方程x²/a² - y²/b² = 1进行比较，我们得到

a = 6

b = 8

我们知道a² + b² = c²

6² + 8² = c²

36 + 64 = c²

100 = c²

c = 10

因此，

焦点坐标是 (10, 0) 和 (-10, 0)

顶点坐标是 (6, 0) 和 (-6, 0)

离心率 = e = c/a = 10/6 = 5/3

焦弦长度 = 2b²/a = 2(64)/6 = 64/3

5. 5y²- 9x²= 36

解决方案

5y² - 9x² = 36

两边除以36

5y²/36 - 9x²/36 = 36/36

y²/(36/5) - x²/4 = 1

y²/(6/√5)² - x²/2² = 1

将给定方程y²/a² - x²/b² = 1进行比较，我们得到

a = 6/√5

b = 2

我们知道a² + b² = c²

(6/√5)² + 2² = c²

36/5 + 4 = c²

(36 + 20)/5 = c²

56/5 = c²

c = 2√14/√5

因此，

焦点坐标是 (0, 2√14/√5) 和 (0, -2√14/√5)

顶点坐标是 (0, 6/√5) 和 (0, -6/√5)

离心率 = e = c/a = (2√14/√5)/(6/√5) = √14/3

焦弦长度 = 2b²/a = 2(4)/6/√5 = 4√5/3

6. 49y²- 16x²= 784

解决方案

49y² - 16x² = 784

两边除以784

49y²/784 - 16x²/784 = 784/784

y²/16 - x²/49 = 1

y²/4² - x²/7² = 1

将给定方程y²/a² - x²/b² = 1进行比较，我们得到

a = 4

b = 7

我们知道a² + b² = c²

(4)² + 7² = c²

16 + 49 = c²

65 = c²

c = √65

因此，

焦点坐标是 (0, √65) 和 (0, -√65)

顶点坐标是 (0, 4) 和 (0, -4)

离心率 = e = c/a = √65/4

焦弦长度 = 2b²/a = 2(49)/4 = 49/2

在以下练习7到15中，求满足给定条件的双曲线方程。

7. 顶点 (± 2, 0)，焦点 (± 3, 0)

解决方案

已知顶点是 (± 2, 0)，位于x轴上。因此，

双曲线的方程形式为x²/a² - y²/b² = 1

a = 2

和 c = 3

我们知道a² + b² = c²

所以，

2² + b² = 3²

b² = 9 - 4

b² = 5

b = √5

因此，双曲线方程为x²/4 - y²/5 = 1。

8. 顶点 (0, ± 5)，焦点 (0, ± 8)

解决方案

已知顶点是 (0, ± 5)，位于y轴上。因此，

双曲线的方程形式为y²/a² - x²/b² = 1

a = 5

和 c = 8

我们知道a² + b² = c²

所以，

5² + b² = 8²

b² = 64 - 25

b² = 39

b = √39

因此，双曲线方程为y²/25 - x²/39 = 1。

9. 顶点 (0, ± 3)，焦点 (0, ± 5)

解决方案

已知顶点是 (0, ± 3)，位于y轴上。因此，

双曲线的方程形式为y²/a² - x²/b² = 1

a = 3

和 c = 5

我们知道a² + b² = c²

所以，

3² + b² = 5²

b² = 25 - 9

b² = 16

b = 4

因此，双曲线方程为y²/9 - x²/16 = 1。

10. 焦点 (± 5, 0)，横轴长度为8。

解决方案

给定焦点是 (± 5, 0)，位于x轴上。因此，

双曲线的方程形式为x²/a² - y²/b² = 1

c = 5

横轴长度 = 8

2a = 8

a = 4

我们知道a² + b² = c²

4² + b² = 5²

b² = 25 - 16

b² = 9

b = 3

因此，双曲线方程为x²/16 - y²/9 = 1。

11. 焦点 (0, ± 13)，共轭轴长度为24。

解决方案

给定焦点是 (0, ± 13)，位于y轴上。因此，

双曲线的方程形式为y²/a² - x²/b² = 1

c = 13

共轭轴长度 = 24

2b = 24

b = 12

我们知道a² + b² = c²

a² + 12² = 13²

a² = 169 - 144

a² = 25

a = 5

因此，双曲线方程为y²/25 - x²/144 = 1。

12. 焦点 (± 3√5, 0)，焦弦长度为8

解决方案

给定焦点是 (± 3√5, 0)，位于x轴上。因此，

双曲线的方程形式为x²/a² - y²/b² = 1

c = 3√5

焦弦长度 = 8

2b²/a = 8

2b² = 8a

b² = 8a/2

b² = 4a

我们知道a² + b² = c²

a² + 4a = (3√5)²

a² + 4a = 45

a² + 4a - 45 = 0

a² - 5a + 9a - 45 = 0

a(a - 5) + 9(a - 5) = 0

(a - 5)(a + 9) = 0

(a - 5) = 0 ⇒ a = 5

或

(a + 9) = 0 ⇒ a = -9

由于a不为负数，a = -9被拒绝。因此，a = 5。

所以，

b² = 4(5)

b² = 20

b = 2√5

因此，双曲线方程为x²/25 - y²/20 = 1。

13. 焦点 (± 4, 0)，焦弦长度为12

解决方案

给定焦点是 (± 4, 0)，位于x轴上。因此，

双曲线的方程形式为x²/a² - y²/b² = 1

c = 4

焦弦长度 = 12

2b²/a = 12

2b² = 12a

b² = 12a/2

b² = 6a

我们知道a² + b² = c²

a² + 6a = 4²

a² + 6a = 16

a² + 6a - 16 = 0

a² - 2a + 8a - 16 = 0

a(a - 2) + 8(a - 2) = 0

(a - 2)(a + 8) = 0

(a - 2) = 0 ⇒ a = 2

或

(a + 8) = 0 ⇒ a = -8

由于a不为负数，a = -8被拒绝。因此，a = 2。

所以，

b² = 6(2)

b² = 12

b = 2√3

因此，双曲线方程为x²/4 - y²/12 = 1。

14. 顶点 (± 7,0)，e = 4/3。

解决方案

已知顶点是 (± 7, 0)，位于x轴上。因此，

双曲线的方程形式为x²/a² - y²/b² = 1

a = 7

离心率，e = 4/3

c/a = 4/3

c/7 = 4/3

c = 28/3

我们知道a² + b² = c²

所以，

7² + b² = (28/3)²

b² = 784/9 - 49

b² = (784 - 441)/9

b² = 343/9

b = 7√7/3

因此，双曲线方程为x²/49 - 9y²/343 = 1。

15. 焦点 (0, ±√10)，通过点 (2, 3)

解决方案

给定焦点是 (0, ± √10)，位于y轴上。因此，

双曲线的方程形式为y²/a² - x²/b² = 1

c = √10

我们知道a² + b² = c²

所以，

b² = (√10)² - a²

b² = 10 - a²

已知双曲线通过点 (2, 3)。因此，(2, 3)将满足双曲线方程。

3²/a² - 2²/b² = 1

9/a² - 4/b² = 1

代入得到的b²值

9/a² - 4/(10 - a²) = 1

[9(10 - a²) - 4a²]/a²(10 - a²) = 1

90 - 9a² - 4a² = 10a² - a⁴

90 - 13a² = 10a² - a⁴

a⁴ - 23a² + 90 = 0

a⁴ - 5a² - 18a² + 90 = 0

a²(a² - 5) - 18(a² - 5) = 0

(a² - 5)(a² - 18) = 0

a² - 5 = 0 ⇒ a² = 5

或

a² - 18 = 0 ⇒ a² = 18

我们知道在双曲线中，c > a。所以，

c² > a²

因此，a² = 5

然后，b² = 10 - 5 = 5

因此，双曲线方程为y²/5 - x²/5 = 1。

杂项练习

1. 如果抛物面反射器直径为20厘米，深5厘米，求其焦点。

解决方案

坐标平面的原点被视为抛物面反射器的顶点，反射器轴沿正x轴。

由于抛物线向右开口。其方程形式为y² = 4ax。

抛物线半径 = 20/2 = 10厘米

抛物线深度 = 5厘米

因此，抛物线通过点(5, 10)。因此，

10² = 4a(5)

100 = 20a

a = 5

抛物线焦点 = (a, 0) = (5, 0)

(5, 0)位于直径的中点。

因此，反射器的焦点位于直径的中点。

2. 一个拱门呈抛物线形，其轴垂直。拱门高10米，底部宽5米。在距抛物线顶点2米处，它的宽度是多少？

解决方案

坐标平面的原点被视为抛物线弧的顶点，弧轴沿正y轴。

由于抛物线向上开口。其方程形式为x² = 4ay。

抛物线半径 = 5/2米

拱门高度 = 10米

因此，抛物线通过点(5/2, 10)。因此，

(5/2)² = 4a(10)

25/4 = 40a

a = 5/32

抛物线方程将是x² = 5y/8

当y = 2时，我们得到

x² = 5(2)/8

x² = 5/4

x = √(5/4)

x = √5/2

抛物线距顶点2米处的宽度 = 2 × √5/2 = √5米 ≈ 2.23米。

因此，在距抛物线顶点2米处，它的宽度为2.23米。

3. 均匀加载的吊桥的索缆呈抛物线形下垂。路面是水平的，长100米，由连接到索缆的垂直钢丝支撑，最长的钢丝为30米，最短的钢丝为6米。求距中点18米处连接到路面的支撑钢丝的长度。

解决方案

坐标平面的原点被视为抛物线的顶点，垂直轴沿正y轴。

连接到索缆的最长钢丝 = AB = 30米

连接到索缆的最短钢丝 = OC = 6米

DF是距中点18米处连接到路面的支撑钢丝。

BC = 50米

抛物线向上开口。因此，其方程形式为x² = 4ay

点A到x轴的距离 = 30 - 6 = 24米

点A到y轴的距离 = 100/2 = 50米

点A (50, 24)在抛物线上。因此，它将满足方程

50² = 4a(24)

2500 = 96a

a = 625/24

抛物线方程将是x² = 625y/6

当x = 18时，我们得到

18² = 625y/6

y = 1944/625 ≈ 3.11

因此，DE的长度 = 3.11米

DF的长度 = DE + EF = 3.11米 + 6米 = 9.11米

因此，距中点18米处连接到路面的支撑钢丝的长度为9.11米。

4. 一个拱门呈半椭圆形。它宽8米，中心高2米。求距一端1.5米处拱门的高度。

解决方案

长轴长度 = 半椭圆宽度 = 8米 = 2a

短轴长度 = 半椭圆高度 = 2米 = b

原点被视为半椭圆的中心，x轴是长轴。

因此，半椭圆的方程形式为x²/a² + y²/b² = 1

x²/16 + y²/4 = 1

设点A距半椭圆端点B1.5米

画AC ⊥ OB

OA = OB - AB = 4 - 1.5 = 2.5米

点C的x坐标是2.5，它在椭圆上。因此，

(2.5)²/16 + y²/4 = 1

6.25/16 + y²/4 = 1

(6.25 + 4y²)/16 = 1

4y² + 6.25 = 16

4y² = 9.75

y² = 2.4375

y ≈ 1.56

因此，AC = 1.56米

因此，距一端1.5米处拱门的高度为1.56米。

5. 一根长度为12厘米的杆，其两端始终接触坐标轴。确定杆上距与x轴接触的一端3厘米的点P的轨迹方程。

解决方案

设AB为杆，与x轴形成θ角，点P使AP = 3厘米。

PB的长度 = AB - AP = 12 - 3 = 9厘米

画PQ ⊥ OB 且 PR ⊥ OA

在∆ BPQ中，

cos θ = PQ/PB = x/9

sin θ = PR/PA = y/3

sin² θ + cos² θ = 1

x²/81 + y²/9 = 1

因此，杆上点P的轨迹方程是x²/81 + y²/9 = 1。

6. 求由连接抛物线x² = 12y的顶点到其焦弦端点的线形成的三角形的面积。

解决方案

x² = 12y

将给定抛物线方程与x² = 4ay进行比较，我们得到

4a = 12

a = 3

焦点坐标 = (0, 3)

当y = 3时，

x² = 12(3)

x² = 36

x = ± 6

因此，所需三角形的顶点将是(0, 0)，(6, 3)和(-6, 3)。

三角形面积 = 1/2 × [0(3 - 3) + 6(3 - 0) - 6(0 - 3)]

= 1/2 × [0 + 18 + 18]

= 18平方单位

7. 一个赛马场上的跑步者注意到他到两个旗杆的距离之和总是10米，旗杆之间的距离是8米。求该跑步者轨迹的方程。

解决方案

设旗杆的位置为A和B，跑步者的位置为P (x, y)。

已知，PA + PB = 10米

跑步者遵循的路径将是椭圆，因为他到两个固定点的距离之和是常数。A和B将是这个椭圆的焦点。

原点被视为椭圆的中心，x轴是长轴。

因此，椭圆的方程形式为

x²/a² + y²/b² = 1

2a = PA + PB = 10

a = 5

焦点之间的距离 = 2c = 8

c = 4

我们知道c = √(a² - b²)

4 = √(25 - b²)

16 = 25 - b²

b² = 9

b = 3

因此，跑步者路径的方程是x²/25 + y²/9 = 1。

8. 一个等边三角形内接于抛物线y² = 4ax，其中一个顶点在抛物线的顶点处。求三角形的边长。

解决方案

原点O被视为抛物线的顶点。

设A和B为三角形的另外两个顶点。

AB与x轴交于点C。

y² = 4ax

设x = k

y² = 4ak

y = ± 2√ak

所以，A和B将分别是(k, 2√ak)和(k, -2√ak)。

AB的长度 = CA + CB

= 2√ak + 2√ak

= 4√ak

∆ OAB是等边三角形。因此，

AO = AB

AO² = AB²

OC² + AC² = AB² (根据∆ AOC中的勾股定理)

k² + (2√ak)² = (4√ak)²

k² + 4ak = 16ak

k² = 12ak

k = 12a

因此，

AB = 4√(a)(12a)

= 4√12a²

= 4a√12

= 8√3a

因此，内接于抛物线y² = 4ax的等边三角形的边长是8√3a。