12 年级数学第 2 章：反三角函数 的 NCERT 解决方案

练习 2.1

求下列各式的主值

1. sin^-1 (-1/2)

解决方案

设 sin^-1 (-1/2) = y

sin y = -1/2

sin y = -sin π/6

sin y = sin (-π/6)

我们知道 sin^-1 的主值区间是 [-π/2, π/2]，且 sin (-π/6) = -1/2。

因此，sin^-1 (-1/2) 的主值是 -π/6。

2. cos^-1 (√3/2)

解决方案

设 cos^-1 (√3/2) = y

cos y = √3/2

co y = cos π/6

我们知道 cos^-1 的主值区间是 [0, π]，且 cos (π/6) = √3/2。

因此，cos^-1 (√3/2) 的主值是 π/6。

3. cosec^-1 (2)。

解决方案

设 cosec^-1 (2) = y

cosec y = 2

cosec y = cosec π/6

我们知道 cosec^-1 的主值区间是 [-π/2, π/2] - {0}，且 cosec (π/6) = 2。

因此，cosec^-1 (2) 的主值是 π/6。

4. tan^-1 (-√3)

解决方案

设 tan^-1 (-√3) = y

tan y = -√3

tan y = -tan π/3

tan y = tan (-π/3)

我们知道 tan^-1 的主值区间是 (-π/2, π/2)，且 tan (-π/3) = -√3。

因此，tan^-1 (-√3) 的主值是 -π/3。

5. cos^-1 (-1/2)

解决方案

设 cos^-1 (-1/2) = y

cos y = -1/2

cos y = -cos π/3

cos y = cos (π - π/3)

cos y = cos (2π/3)

我们知道 cos^-1 的主值区间是 [0, π]，且 cos 2π/3 = -1/2。

因此，cos^-1 (-1/2) 的主值是 2π/3。

6. tan^-1 (-1)

解决方案

设 tan^-1 (-1) = y

tan y = -1

tan y = -tan π/4

tan y = tan (-π/4)

我们知道 tan^-1 的主值区间是 (-π/2, π/2)，且 tan (-π/4) = -1。

因此，tan^-1 (-1) 的主值是 -π/4。

7. sec^-1 (2/√3)

解决方案

设 sec^-1 (2/√3) = y

sec y = 2/√3

sec y = sec π/6

我们知道 sec^-1 的主值区间是 [0, π] - {π/2}，且 sec π/6 = 2/√3。

因此，sec^-1 (2/√3) 的主值是 π/6。

8. cot^-1 (√3)

解决方案

设 cot^-1 (√3) = y

cot y = √3

cot y = cot π/6

我们知道 cot^-1 的主值区间是 (0, π)，且 cot π/6 = √3。

因此，cot^-1 (√3) 的主值是 π/6。

9. cos^-1 (-1/√2)

解决方案

设 cos^-1 (-1/√2) = y

cos y = -1/√2

cos y = -cos π/4

cos y = cos (π - π/4)

cos y = cos (3π/4)

我们知道 cos^-1 的主值区间是 [0, π]，且 cos 3π/4 = -1/√2。

因此，cos^-1 (-1/2) 的主值是 3π/4。

10. cosec^-1 (-√2)

解决方案

设 cosec^-1 (-√2) = y

cosec y = -√2

cosec y = -cosec π/4

cosec y = cosec (-π/4)

我们知道 cosec^-1 的主值区间是 [-π/2, π/2] - {0}，且 cosec (-π/4) = -√2。

因此，cosec^-1 (­-√2) 的主值是 π/4。

求下列各式的值

11. tan^-1 (1) + cos^-1 (-1/2) + sin^-1 (-1/2)

解决方案

设 tan^-1 (1) = x

tan x = 1

tan x = tan π/4

所以，tan^-1 (1) = π/4

设 cos^-1 (-1/2) = y

cos y = -1/2

cos y = -cos π/3

cos y = cos (π - π/3)

cos y = cos 2π/3

所以，cos^-1 (-1/2) = 2π/3

设 sin^-1 (-1/2) = z

sin z = -1/2

sin z = -sin π/6

sin z = sin (-π/6)

sin^-1 (-1/2) = -π/6

因此，

tan^-1 (1) + cos^-1 (-1/2) + sin^-1 (-1/2) = π/4 + 2π/3 - π/6

= (3π + 8π - 2π)/12

= 9π/12 = 3π/4

12. cos^-1 (1/2) + 2 sin^-1 (1/2)

解决方案

设 cos^-1 (1/2) = x

cos x = 1/2

cos x = cos π/3

所以，cos^-1 (1/2) = π/3

设 sin^-1 (1/2) = y

sin y = 1/2

sin y = sin π/6

所以，sin^-1 (1/2) = π/6

因此，

cos^-1 (1/2) + 2 sin^-1 (1/2) = π/3 + 2(π/6)

= π/3 + π/3

= 2π/3

13. 如果 sin^-1 x = y，那么

1. 0 ≤ y ≤ π
2. -π/2 ≤ y ≤ π/2
3. 0 < y < π
4. -π/2 < y < π/2

解决方案

sin^-1 x = y

sin y = x

我们知道 sin^-1 的主值区间是 [-π/2, π/2]。

因此，-π/2 ≤ y ≤ π/2。

14. 求 tan^-1 √3 - sec^-1 (-2) 的值等于

1. π
2. -π/3
3. π/3
4. 2π/3

解决方案

设 tan^-1 √3 = x

tan x = √3

tan x = tan π/3

我们知道 tan^-1 的主值区间是 (-π/2, π/2)，且 tan π/3 = √3。

因此，tan^-1 √3 = π/3

设 sec^-1 (-2) = y

sec y = -2

sec y = -sec π/6

sec y = sec (π - π/6)

sec y = sec 2π/3

我们知道 sec^-1 的主值区间是 [0, π] - {π/2}，且 sec (2π/3) = -2。

因此，sec^-1 (-2) = 2π/3

因此，tan^-1 √3 - sec^-1 (-2) = π/3 - 2π/3 = -π/3 ⇒ (B) 是正确答案。

练习 2.2

证明下列各式

1. 3 sin^-1 x = sin^-1 (3x - 4x³), x ∈ [-1/2, 1/2]

解决方案

设 x = sin θ

sin^-1 x = θ

取右边 = sin^-1 (3x - 4x³)

= sin^-1 (3 sin θ - 4 sin³ θ)

= sin^-1 [sin 3θ]

= 3θ

= 3 sin^-1 x

= 左侧

因此，证明完毕。

2. 3 cos^-1 x = cos^-1 (4x³ - 3x), x ∈ [1/2, 1]

解决方案

设 x = cos θ

cos^-1 x = θ

取右边 = cos^-1 (4x³ - 3x)

= cos^-1 (4 cos³ θ - 3 cos θ)

= cos^-1 (cos 3θ)

= 3θ

= 3 cos^-1 x

= 左侧

因此，证明完毕。

将下列函数写成最简形式

3. tan^-1 (√(1 + x²) - 1)/x, x ≠ 0

解决方案

令 x = tan θ

tan^-1 x = θ

tan^-1 (√(1 + x²) - 1)/x = tan^-1 (√(1 + tan² θ) - 1)/tan θ

= tan^-1 ((sec θ - 1)/tan θ) = tan^-1 ((1 - cos θ)/sin θ)

利用 1 - cos 2A = 2 sin² A 和 sin 2A = 2 sin A cos A，我们得到

tan^-1 ((1 - cos θ)/sin θ) = tan^-1 [(2 sin² θ/2)/(2 sin θ/2 cos θ/2)]

= tan^-1 [(sin θ/2)/(cos θ/2)]

= tan^-1 (tan θ/2)

= θ/2

= (tan^-1 x)/2

4. tan^-1 √(1 - cos x)/√(1 + cos x), 0 < x < π

解决方案

tan^-1 √(1 - cos x)/√(1 + cos x)

利用 1 - cos 2A = 2 sin² A 和 1 + cos 2A = 2 cos² A，我们得到

tan^-1 √(1 - cos x)/√(1 + cos x) = tan^-1 [√(2 sin² x/2)/√(2 cos² x/2)]

= tan^-1 [(sin x/2)/(cos x/2)]

= tan^-1 (tan x/2)

= x/2

5. tan^-1 [(cos x - sin x)/(cos x + sin x)], -π/4 < x < 3π/4

解决方案

tan^-1 [(cos x - sin x)/(cos x + sin x)]

将 [(cos x - sin x)/(cos x + sin x)] 的分子和分母都除以 cos x

tan^-1 [(cos x - sin x)/(cos x + sin x)]

= tan^-1 [(1 - sin x/cos x)/(1 + sin x/cos x)]

= tan^-1 [(1 - tan x)/(1 + tan x)]

= tan^-1 [(1 - tan x)/(1 - (1)(-tan x))]

利用 tan^-1 [(A - B)/(1 + AB)] = tan^-1 A - tan^-1 B

= tan^-1 (1) - tan^-1 (tan x)

= tan^-1 (tan π/4) - x

= π/4 - x

6. tan^-1 x/√(a² - x²), |x| < a

解决方案

设 x = a sin θ

sin θ = x/a

sin^-1 (x/a) = θ

tan^-1 x/√(a² - x²) = tan^-1 (a sin θ)/√(a² - a² sin² θ)

= tan^-1 (a sin θ)/√a²(1 - sin² θ)

= tan^-1 (a sin θ)/a√cos² θ

= tan^-1 (sin θ)/(cos θ)

= tan^-1 (tan θ)

= θ

= sin^-1 (x/a)

7. tan^-1 (3a²x - x³)/(a³ - 3ax²), a > 0; -a/√3 < x < a/√3

解决方案

设 x = a tan θ

tan θ = x/a

tan^-1 (x/a) = θ

tan^-1 (3a²x - x³)/(a³ - 3ax²)

= tan^-1 (3a²(a tan θ) - a³ tan³ θ)/(a³ - 3a(a² tan² θ))

= tan^-1 (3a³ tan θ - a³ tan³ θ)/(a³ - 3a³ tan² θ)

= tan^-1 a³(3 tan θ - tan³ θ)/a³(1 - 3 tan² θ)

= tan^-1 (3 tan θ - tan³ θ)/(1 - 3 tan² θ)

= tan^-1 (tan 3θ)

= 3θ

= 3 tan^-1 (x/a)

求下列各式的值

8. tan^-1 [2 cos (2 sin^-1 1/2)]

解决方案

设 sin^-1 1/2 = x

sin x = 1/2

sin x = sin π/6

因此，sin^-1 1/2 = π/6

tan^-1 [2 cos (2 sin^-1 1/2)] = tan^-1 [2 cos (2 × π/6)]

= tan^-1 [2 cos π/3]

= tan^-1 [2 × 1/2]

= tan^-1 1

= π/4

9. tan [sin^-1 2x/(1 + x²) + cos^-1 (1 - y²)/(1 + y²)]/2, |x| < 1, y > 0 and xy < 1.

解决方案

令 x = tan θ

tan^-1 x = θ

现在，

sin^-1 2x/(1 + x²) = sin^-1 (2 tan θ)/(1 + tan² θ)

利用 sin 2A = 2 tan A/(1 + tan² A)，我们得到

sin^-1 (2 tan θ)/(1 + tan² θ)

= sin^-1 (sin 2θ)

= 2θ

= 2 tan^-1 x

设 y = tan ϕ

tan^-1 y = ϕ

现在，

cos^-1 (1 - y²)/(1 + y²) = cos^-1 (1 - tan² ϕ)/(1 + tan² ϕ)

利用 cos 2A = (1 - tan² A)/(1 + tan² A)，我们得到

cos^-1 (1 - tan² ϕ)/(1 + tan² ϕ)

= cos^-1 (cos 2ϕ)

= 2ϕ

= 2 tan^-1 y

所以，

tan [sin^-1 2x/(1 + x²) + cos^-1 (1 - y²)/(1 + y²)]/2

= tan [2 tan^-1 x + 2 tan^-1 y]/2

= tan [2(tan^-1 x + tan^-1 y)/2]

= tan (tan^-1 x + tan^-1 y)

利用 tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 (x + y)/(1 - xy)，我们得到

tan (tan^-1 x + tan^-1 y)

= tan [tan^-1 (x + y)/(1 - xy)]

= (x + y)/(1 - xy)

求练习题 10 至 12 中各表达式的值

10. sin^-1 (sin 2π/3)

解决方案

我们知道 sin^-1 (sin x) = x，如果 x ∈ [-π/2, π/2]，这是 sin^-1 x 的主值区间。

2π/3 ∉ [-π/2, π/2]

所以，

sin^-1 (sin 2π/3) = sin^-1 [sin (π - 2π/3)]

= sin^-1 [sin π/3]

现在，π/3 ∈ [-π/2, π/2]。

因此，

sin^-1 (sin 2π/3) = sin^-1 [sin π/3] = π/3

11. tan^-1 (tan 3π/4)

解决方案

我们知道 tan^-1 (tan x) = x，如果 x ∈ (-π/2, π/2)，这是 tan^-1 x 的主值区间。

3π/4 ∉ (-π/2, π/2)

所以，

tan^-1 (tan 3π/4) = tan^-1 [-tan (-3π/4)]

= tan^-1 [-tan (π - π/4)]

= tan^-1 [-tan π/4]

= tan^-1 [tan (-π/4)]

现在，-π/4 ∈ (-π/2, π/2)。

因此，

tan^-1 (tan 3π/4) = tan^-1 [tan (-π/4)]

= -π/4

12. tan (sin^-13/5 + cot^-13/2)

解决方案

设 sin^-1 3/5 = x

sin x = 3/5

sin² x + cos² x = 1

cos² x = 1 - sin² x

cos x = √(1 - sin² x)

cos x = √(1 - 9/25)

cos x = √(16/25)

cos x = 4/5

tan x = sin x/cos x

tan x = (3/5)/(4/5)

tan x = 3/4

x = tan^-1 3/4

所以，

sin^-1 3/5 = tan^-1 3/4

tan^-1 2/3 = cot^-1 3/2

因此，

tan (sin^-1 3/5 + cot^-1 3/2)

= tan [tan^-1 3/4 + tan^-1 2/3]

利用 tan^-1 A + tan^-1 B = tan^-1 (A + B)/(1 - AB)，我们得到

tan [tan^-1 3/4 + tan^-1 2/3]

= tan [tan^-1 (3/4 + 2/3)/(1 - 3/4 × 2/3)]

= tan [tan^-1 [(9 + 8)/12]/[1 - 1/2]]

= tan [tan^-1 (17/12)/(1/2)]

= tan [tan^-1 17/6]

= 17/6

13. cos^-1 (cos 7π/6) 等于

1. 7π/6
2. 5π/6
3. π/3
4. π/6

解决方案

我们知道 cos^-1 (cos x) = x，如果 x ∈ [0, x]，这是 cos^-1 x 的主值区间。

7π/6 ∉ [0, π]

所以，

cos^-1 (cos 7π/6) = cos^-1 (cos -7π/6)

= cos^-1 [cos (2π - 7π/6)]

= cos^-1 [cos 5π/6]

现在，5π/6 ∈ [0, π]。

因此，

cos^-1 (cos 7π/6) = cos^-1 [cos 5π/6]

= cos^-1 [cos 5π/6]

= 5π/6

因此，正确答案是 (B)。

14. sin (π/3 - sin^-1 (-1/2)) 等于

1. 1/2
2. 1/3
3. 1/4
4. 1

解决方案

设 sin^-1 (-1/2) = x

sin x = -1/2

sin x = -sin π/6

sin x = sin (-π/6)

sin^-1 (-1/2) = -π/6

我们知道 sin^-1 的主值区间是 [-π/2, π/2]。

sin (π/3 - sin^-1 (-1/2))

= sin (π/3 + π/6)

= sin (3π/6)

= sin π/2

= 1

因此，正确答案是 (D)。

15. tan^-1 √3 - cot^-1 (-√3) 等于

1. π
2. -π/2
3. 0
4. 2√3

解决方案

我们知道 tan^-1 的主值区间是 (-π/2, π/2)，cot^-1 的主值区间是 (0, π)。

tan^-1 √3 - cot^-1 (-√3)

= tan^‑1 (tan π/3) - cot^-1 (cot (-π/6))

= tan^-1 (tan π/3) - cot^-1 (cot (π - π/6))

= π/3 - cot^-1 (cot 5π/6)

= π/3 - 5π/6

= -3π/6

= -π/2

因此，正确答案是 (B)。

杂项练习

求下列各式的值

1. cos^-1 (cos 13π/6)

解决方案

我们知道 cos^-1 (cos x) = x，如果 x ∈ [0, x]，这是 cos^-1 x 的主值区间。

13π/6 ∉ [0, π]

所以，

cos^-1 (cos 13π/6)

= cos^-1 [cos (2π + π/6)]

= cos^-1 [cos π/6]

现在，π/6 ∈ [0, π]。

因此，

cos^-1 (cos 13π/6) = cos^-1 [cos π/6]

= π/6

2. tan^-1 (tan 7π/6)

解决方案

我们知道 tan^-1 (tan x) = x，如果 x ∈ (-π/2, π/2)，这是 tan^-1 x 的主值区间。

7π/6 ∉ (-π/2, π/2)

所以，

tan^-1 (tan 7π/6) = tan^-1 [tan (2π - 5π/6)]

= tan^-1 [-tan 5π/6]

= tan^-1 [tan (-5π/6)]

= tan^-1 [tan (π - 5π/6)]

= tan^-1 [tan π/6]

现在，π/6 ∈ (-π/2, π/2)。

因此，

tan^-1 (tan 7π/6) = tan^-1 [tan π/6]

= π/6

证明：

3. 2 sin^-1 3/5 = tan^-1 24/7

解决方案

设 sin^-1 3/5 = x

sin x = 3/5

cos² x + sin² x = 1

cos² x = 1 - sin² x

cos x = √(1 - (3/5)²)

cos x = √(1 - 9/25)

cos x = √(16/25)

cos x = 4/5

tan x = sin x/cos x

tan x = (3/5)/(4/5)

tan x = 3/4

x = tan^-1 3/4

所以，sin^-1 3/5 = tan^-1 3/4

现在，左边 = 2 sin^-1 3/5

= 2 tan^-1 3/4

利用 2 tan^-1 A = tan^-1 2A/(1 - A²)，我们得到

2 tan^-1 3/4 = tan^-1 2(3/4)/(1 - (3/4)²)

= tan^-1 (3/2)/(1 - 9/16)

= tan^-1 (3/2)/(7/16)

= tan^-1 24/7 = 右边

因此，证明完毕。

4. sin^-1 8/17 + sin^-1 3/5 = tan^-1 77/36

解决方案

设 sin^-1 8/17 = x

sin x = 8/17

cos² + sin² x = 1

cos² x = 1 - sin² x

cos x = √(1 - sin² x)

cos x = √(1 - (8/17)²)

cos x = √(1 - 64/289)

cos x = √(22/289)

cos x = 15/17

tan x = sin x/cos x

tan x = (8/17)/(15/17)

tan x = 8/15

x = tan^-1 8/15

所以，sin^-1 8/17 = tan^-1 8/15

设 sin^-1 3/5 = y

sin y = 3/5

cos² y + sin² y = 1

cos² y = 1 - sin² y

cos y = √(1 - (3/5)²)

cos y = √(1 - 9/25)

cos y = √(16/25)

cos y = 4/5

tan y = sin y/cos y

tan y = (3/5)/(4/5)

tan y = 3/4

y = tan^-1 3/4

所以，sin^-1 3/5 = tan^-1 3/4

现在，左边 = sin^-1 8/17 + sin^-1 3/5

= tan^-1 8/15 + tan^-1 3/4

利用 tan^-1 A + tan^-1 B = tan^-1 (A + B)/(1 - AB)，我们得到

tan^-1 8/15 + tan^-1 3/4

= tan^-1 (8/15 + 3/4)/(1 - 8/15 × 3/4)

= tan^-1 [(32 + 45)/60]/[1 - 2/5]

= tan^-1 [77/60]/[3/5]

= tan^-1 77/36 = 右边

因此，证明完毕。

5. cos^-14/5 + cos^-1 12/13 = cos^-133/65

解决方案

设 cos^-1 x = 4/5

cos x = 4/5

sin² x + cos² x = 1

sin² x = 1 - cos² x

sin x = √(1 - (4/5)²)

sin x = √(1 - 16/25)

sin x = √(9/25)

sin x = 3/5

tan x = sin x/cos x

tan x = (3/5)/(4/5)

tan x = 3/4

x = tan^-1 3/4

所以，cos^-1 4/5 = tan^-1 3/4

设 cos^-1 12/13 = y

cos y = 12/13

sin² y + cos² y = 1

sin² y = 1 - cos² y

sin y = √(1 - (12/13)²)

sin y = √(1 - 144/169)

sin y = √(25/169)

sin y = 5/13

tan y = sin y/cos y

tan y = (5/13)/(12/13)

tan y = 5/12

y = tan^-1 5/12

所以，cos^-1 12/13 = tan^-1 5/12

设 cos^-1 33/65 = z

cos z = 33/65

sin² z + cos² z = 1

sin² z = 1 - cos² z

sin z = √(1 - (33/65)²)

sin z = √(1 - 1089/4225)

sin z = √(3136/4225)

sin z = 56/65

tan z = sin z/cos z

tan z = (56/65)/(33/65)

tan z = 56/33

z = tan^-1 56/33

所以，cos^-1 33/65 = tan^-1 56/33

现在，左边 = cos^-1 4/5 + cos^-1 12/13

= tan^-1 3/4 + tan^-1 5/12

利用 tan^-1 A + tan^-1 B = tan^-1 (A + B)/(1 - AB)，我们得到

tan^-1 3/4 + tan^-1 5/12

= tan^-1 (3/4 + 5/12)/(1 - 3/4 × 5/12)

= tan^-1 [(9 + 5)/12]/[1 - 5/16]

= tan^-1 [14/12]/[11/16]

= tan^-1 (56/33)

= cos^-1 33/65 = 右边

因此，证明完毕。

6. cos^-1 12/13 + sin^-13/5 = sin^-1 56/65

解决方案

设 cos^-1 12/13 = x

cos x = 12/13

sin² x + cos² x = 1

sin² x = 1 - cos² x

sin x = √(1 - (12/13)²)

sin x = √(1 - 144/169)

sin x = √(25/169)

sin x = 5/13

tan x = sin x/cos x

tan x = (5/13)/(12/13)

tan x = 5/12

x = tan^-1 5/12

所以，cos^-1 12/13 = tan^-1 5/12

设 sin^-1 3/5 = y

sin y = 3/5

cos² y + sin² y = 1

cos² y = 1 - sin² y

cos y = √(1 - (3/5)²)

cos y = √(1 - 9/25)

cos y = √(16/25)

cos y = 4/5

tan y = sin y/cos y

tan y = (3/5)/(4/5)

tan y = 3/4

y = tan^-1 3/4

所以，sin^-1 3/5 = tan^-1 3/4

设 sin^-1 56/65 = z

sin z = 56/65

cos² z + sin² z = 1

cos² z = 1 - sin² z

cos z = √(1 - sin² z)

cos z = √(1 - (56/65)²)

cos z = √(1 - 3136/4225)

cos z = √(1089/4225)

cos z = 33/65

tan z = sin z/cos z

tan z = (56/65)/(33/65)

tan z = 56/33

z = tan^-1 56/33

所以，sin^-1 56/65 = tan^-1 56/33

现在，左边 = cos^-1 12/13 + sin^-1 3/5

= tan^-1 5/12 + tan^-1 3/4

利用 tan^-1 A + tan^-1 B = tan^-1 (A + B)/(1 - AB)，我们得到

tan^-1 5/12 + tan^-1 3/4

= tan^-1 (5/12 + 3/4)/(1 - 3/4 × 5/12)

= tan^-1 [(4 + 9)/12]/[1 - 5/16]

= tan^-1 [14/12]/[11/16]

= tan^-1 (56/33)

= sin^-1 56/65 = 右边

因此，证明完毕。

7. tan^-163/16 = sin^-1 5/13 + cos^-1 3/5

解决方案

设 sin^-1 5/13 = x

sin x = 5/13

x = sin^-1 5/13

cos² x + sin² x = 1

cos² x = 1 - sin² x

cos x = √(1 - sin² x)

cos x = √(1 - (5/13)²)

cos x = √(1 - 25/169)

cos x = √(144/169)

cos x = 12/13

tan x = sin x/cos x

tan x = (5/13)/(12/13)

tan x = 5/12

x = tan^-1 5/12

所以，sin^-1 5/13 = tan^-1 5/12

设 cos^-1 3/5 = y

cos y = 3/5

sin² y + cos² y = 1

sin² y = 1 - cos² y

sin y = √(1 - cos² y)

sin y = √(1 - (3/5)²)

sin y = √(1 - 9/25)

sin y = 4/5

tan y = sin y/cos y

tan y = (4/5)/(3/5)

tan y = 4/3

y = tan^-1 4/3

所以，cos^-1 3/5 = tan^-1 4/3

现在，右边 = sin^‑1 5/13 + cos^-1 3/5

= tan^-1 5/12 + tan^-1 4/3

利用 tan^-1 A + tan^-1 B = tan^-1 (A + B)/(1 - AB)，我们得到

tan^-1 5/12 + tan^-1 4/3

= tan^-1 [(5/12 + 4/3)/(1 - 5/12 × 4/3)]

= tan^-1 [(5 + 16)12]/[1 - 5/9]

= tan^‑1 [21/12]/[4/9]

= tan^-1 63/16 = 左边

因此，证明完毕。

证明：

8. tan^-1 √x = 1/2 cos^-1 (1 - x)/(1 + x), x ∈ [0, 1]

解决方案

设 x = tan² θ

√x = tan θ

θ = tan^-1 √x

因此，

右边 = 1/2 cos^-1 (1 - x)/(1 + x)

= 1/2 cos^-1 (1 - tan² θ)/(1 + tan² θ)

利用 (1 - tan² A)/(1 + tan² A) = cos 2A，我们得到

= 1/2 cos^-1 (cos 2θ)

= 1/2 × 2θ

= θ

= tan^-1 √x = 左边

因此，证明完毕。

9. cot^-1 [√(1 + sin x) + √(1 - sin x)]/[√(1 + sin x) - √(1 - sin x)] = x/2, x ∈ (0, π/4)

解决方案

对 [√(1 + sin x) + √(1 - sin x)]/[√(1 + sin x) - √(1 - sin x)] 进行有理化

[√(1 + sin x) + √(1 - sin x)]/[√(1 + sin x) - √(1 - sin x)] × [√(1 + sin x) - √(1 - sin x)]/[√(1 + sin x) - √(1 - sin x)]

= [√(1 + sin x) + √(1 - sin x)]²/[√(1 + sin x)² - √(1 - sin x)²]

= [(1 + sin x) + (1 - sin x) + 2√(1 + sin x)(1 - sin x)]/[1 + sin x - 1 + sin x]

= [2 + 2√(1 - sin² x)]/[2 sin x]

= 2[1 + √(1 - sin² x)]/[2 sin x]

= [1 + √cos² x]/sin x

= [1 + cos x]/sin x

= [2 cos² x/2]/[2 sin x/2 cos x/2]

= (cos x/2)/(sin x/2)

= cot x/2

因此，

左边 = cot^-1 [√(1 + sin x) + √(1 - sin x)]/[√(1 + sin x) - √(1 - sin x)]

= cot^-1 [cot x/2]

= x/2 = 右边

因此，证明完毕。

10. tan^‑1 (√(1 + x) - √(1 - x))/(√(1 + x) + √(1 - x)) = π/4 - 1/2 cos^-1 x, -1/√2 ≤ x ≤ 1 [提示：令 x = cos 2θ]

解决方案

设 x = cos 2θ

2θ = cos^-1 x

θ = 1/2 cos^-1 x

现在，

左边 = tan^‑1 (√(1 + x) - √(1 - x))/(√(1 + x) + √(1 - x))

= tan^‑1 (√(1 + cos 2θ) - √(1 - cos 2θ))/(√(1 + cos 2θ) + √(1 - cos 2θ))

= tan^‑1 (√(2 cos² θ) - √(2 sin² θ))/(√(2 cos² θ) + √(2 sin² θ))

= tan^‑1 (√2 cos θ - √2 sin θ)/(√2 cos θ + √2 sin θ)

= tan^‑1 √2 (cos θ - sin θ)/√2(cos θ + sin θ)

= tan^-1 (cos θ - sin θ)/(cos θ + sin θ)

= tan^-1 (1 - tan θ)/(1 + tan θ)

利用 tan^-1 (A - B)/(1 + AB) = tan^-1 A - tan^-1 B，我们得到

tan^-1 (1 - tan θ)/(1 + 1 × tan θ)

= tan^-1 1 - tan^-1 (tan θ)

= π/4 - θ

= π/4 - 1/2 cos^-1 x = 右边

因此，证明完毕。

解下列方程

11. 2 tan^-1 (cos x) = tan^-1(2 cosec x)

解决方案

2 tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2 cosec x)

利用 2 tan^-1 A = tan^-1 2A/(1 - A²)，我们得到

tan^-1 2 cos x/(1 - cos² x) = tan^-1 (2 cosec x)

2 cos x/(1 - cos² x) = 2 cosec x

2 cos x/sin² x = 2 cosec x

cos x/sin² x = cosec x

cos x/sin² x = 1/sin x

cos x/sin x = 1

cot x = 1

x = cot^-1 1

x = π/4

12. tan^-1 (1 - x)/(1 + x) = 1/2 tan^-1 x, (x > 0)

解决方案

tan^-1 (1 - x)/(1 + x) = 1/2 tan^-1 x

利用 tan^-1 (A - B)/(1 + AB) = tan^-1 A - tan^-1 B，我们得到

tan^-1 1 - tan^-1 x = 1/2 tan^-1 x

π/4 = 1/2 tan^-1 x + tan^-1 x

π/4 = (tan^-1 x + 2 tan^-1 x)/2

π/4 = 3/2 tan^-1 x

tan^-1 x = π/6

x = tan π/6

x = 1/√3

13. sin (tan^-1 x), |x| < 1 等于

1. x/√(1 - x²)
2. 1/√(1 - x²)
3. 1/√(1 + x²)
4. x/√(1 + x²)

解决方案

设 tan^-1 x = y

tan y = x

利用 tan^-1 A/B = sin^-1 A/√(A² + B²)，我们得到

tan^-1 x/1 = sin^-1 x/√(1 + x²)

两边取 sin,

sin (tan^-1 x) = sin [sin^­-1 x/√(1 + x²)]

sin (tan^-1 x) = x/√(1 + x²)

因此，(D) 是正确答案。

14. sin^-1 (1 - x) - 2 sin^-1 x = π/2，那么 x 等于

1. 0, 1/2
2. 1, 1/2
3. 0
4. 1/2

解决方案

已知：sin^-1 (1 - x) - 2 sin^-1 x = π/2

设 x = sin y

y = sin^-1 x

sin^-1 (1 - x) - 2 sin^-1 x = π/2

sin^-1 (1 - sin y) - 2y = π/2

sin^-1 (1 - sin y) = π/2 + 2y

两边取 sin,

sin [sin^-1 (1 - sin y)] = sin (π/2 + 2y)

1 - sin y = sin (π/2 + 2y)

1 - sin y = cos 2y

利用 cos 2A = 1 - 2 sin² A，我们得到

1 - sin y = 1 - 2 sin² y

2 sin² y - sin y = 0

2x² - x = 0

x (2x - 1) = 0

x = 0

或

2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2

但 x ≠ 1/2，因为它不满足给定方程。

因此，x = 0 是该方程的解。

因此，(C) 是正确答案。