NCERT 10年级数学第15章解决方案：概率

练习15.1

1. 完成以下陈述

1. 事件 E 的概率 + 事件“非 E”的概率 = _。
2. 不可能发生的事件的概率是_。这样的事件被称为_。
3. 必然发生的事件的概率是_。这样的事件被称为_。
4. 实验所有基本事件的概率之和是_。
5. 事件的概率大于或等于，且小于或等于_。

解决方案

1. 事件 E 的概率 + 事件“非 E”的概率 = 1。
2. 不可能发生的事件的概率是 0。这样的事件被称为 不可能事件。
3. 必然发生的事件的概率是 1。这样的事件被称为 确定事件或必然事件。
4. 实验所有基本事件的概率之和是 1。
5. 事件的概率大于或等于 0，且小于或等于 1。

2. 以下哪些实验具有等可能的结果？请解释。

1. 司机尝试启动汽车。汽车启动或不启动。
2. 一名球员尝试投篮。她/他投中或投失。
3. 尝试回答一个对错题。答案正确或错误。
4. 婴儿出生。是男孩还是女孩。

解决方案

1. 汽车发动机当前状况、燃油等因素会影响汽车是否启动，因此该实验的结果不是等可能的。
2. 结果可能会受到球员当天表现或其技能水平的影响，因此该实验的结果不是等可能的。
3. 我们知道答案只能是正确或错误，因此该实验的结果是等可能的。
4. 我们知道新生儿只能是男孩或女孩。因此，该实验的结果是等可能的。

3. 为什么抛硬币被认为是决定足球比赛哪支球队先获得球权的公平方式？

解决方案

抛硬币只有两种结果：正面或反面。

任何一种结果的概率等于另一种结果的概率；因此，抛硬币是决定足球比赛哪支球队先获得球权的公平方式。

4. 以下哪个不可能是事件的概率？

(A) 2/3 (B) -1.5 (C) 15% (D) 0.7

解决方案

我们知道事件的概率只能在 0 和 1 之间。

0 < (A) < 1，所以它可能是事件的概率。同样，(C) 和 (D) 也可能是事件的概率。

(B) < 0 < 1，所以它不可能是事件的概率。

5. 如果 P(E) = 0.05，那么“非 E”的概率是多少？

解决方案

已知 P(E) + P(非 E) = 1。

因此，

P(非 E) = 1 - P(E)

= 1 - 0.05

= 0.95

因此，P(非 E) = 0.95

6. 一个袋子里只有柠檬味糖果。玛丽妮在不看袋子的情况下取出了一颗糖果。她取出

1. 橙味糖果的概率是多少？
2. 柠檬味糖果的概率是多少？

解决方案

1. 袋子里没有橙味糖果。因此，这是一个不可能事件，概率为 0。
2. 袋子里所有的糖果都是柠檬味的。因此，这是一个必然事件，概率为 1。

7. 已知在一个有 3 名学生的团体中，2 名学生没有相同生日的概率是 0.992。那么这 2 名学生有相同生日的概率是多少？

解决方案

令 2 名学生没有相同生日的事件表示为 E。

P(E) + P(非 E) = 1

P(非 E) = 1 - P(E)

= 1 - 0.992

= 0.008

因此，2 名学生有相同生日的概率是 0.008。

8. 一个袋子里有 3 个红球和 5 个黑球。从中随机抽取一个球。这个球是（i）红色的？（ii）非红色的？的概率是多少？

解决方案

袋子里的球总数 = 3 + 5 = 8

红球的数量 = 3

P（抽取一个红球）= 红球数量/球总数

= 3/8

P（抽取一个红球）+ P（抽取一个非红球）= 1

P（抽取一个非红球）= 1 - P（抽取一个红球）

P（抽取一个非红球）= 1 - 3/8

= 5/8

因此，随机抽取一个球是红色的概率是 3/8，非红色的概率是 5/8。

9. 一个盒子里有 5 个红色弹珠，8 个白色弹珠和 4 个绿色弹珠。从中随机取出一个弹珠。取出弹珠的概率是（i）红色的？（ii）白色的？（iii）非绿色的？

解决方案

盒子里弹珠总数 = 5 + 8 + 4 = 17

红色弹珠的数量 = 5

(i) P（取出的弹珠是红色的）= 红色弹珠数量/弹珠总数

= 5/17

白色弹珠的数量 = 8

(ii) P（取出的弹珠是白色的）= 白色弹珠数量/弹珠总数

= 8/17

绿色弹珠的数量 = 4

非绿色弹珠的数量 = 17 - 4 = 13

(iii) P（取出的弹珠非绿色）= 非绿色弹珠数量/弹珠总数

= 13/17

10. 一个储蓄罐里有 100 个 50 便士的硬币，50 个 1 元的硬币，20 个 2 元的硬币和 10 个 5 元的硬币。如果罐子翻倒时，一个硬币掉出来的可能性是均等的，那么这个硬币是（i）50 便士硬币的概率是多少？（ii）不是 5 元硬币的概率是多少？

解决方案

储蓄罐里的硬币总数 = 100 + 50 + 20 + 10 = 180

50 便士硬币的数量 = 100

(i) P（掉出的硬币是 50 便士硬币）= 50 便士硬币数量/硬币总数

= 100/180 = 5/9

5 元硬币的数量 = 10

非 5 元的硬币数量 = 180 - 10 = 170

(ii) P（掉出的硬币不是 5 元硬币）= 非 5 元的硬币数量/硬币总数

= 170/180 = 17/18

11. 戈比从一家水族馆商店买了一条鱼。店主从一个有 5 条雄鱼和 8 条雌鱼的鱼缸中随机取出一 (见图 15.4)。取出的鱼是雄鱼的概率是多少？

解决方案

鱼缸里鱼的总数 = 5 + 8 = 13

鱼缸里雄鱼的数量 = 5

P（取出的鱼是雄鱼）= 雄鱼数量/鱼的总数

= 5/13

12. 一个机会游戏包括旋转一个箭头，箭头最终指向数字 1、2、3、4、5、6、7、8 中的一个（见图 15.5），并且这些结果是等可能发生的。它指向

1. 8 ?
2. 奇数的概率是多少？
3. 大于 2 的数字的概率是多少？
4. 小于 9 的数字的概率是多少？

解决方案

(i) P（箭头指向 8）= 有利结果/总结果数

= 1/8

(ii) P（箭头指向奇数）= 奇数结果数量/总结果数

= 4/8 = 1/2

(iii) P（箭头指向大于 2 的数字）= 大于 2 的结果数量/总结果数

= 6/8 = 3/4

(iv) P（箭头指向小于 9 的数字）= 小于 9 的结果数量/总结果数

= 8/8 = 1

这是一个必然事件。

13. 抛掷一枚骰子一次。求出以下结果的概率：（i）一个质数；（ii）一个介于 2 和 6 之间的数字；（iii）一个奇数。

解决方案

一次抛骰子的可能结果 = 1、2、3、4、5、6

(i) P（得到一个质数）= 骰子上的质数数量/总结果数

= 3/6 = 1/2

(ii) P（得到一个介于 2 和 6 之间的数字）= 介于 2 和 6 之间的结果数量/总结果数

= 3/6 = 1/2

(iii) P（得到一个奇数）= 奇数数量/总结果数

= 3/6 = 1/2

14. 从一副精心洗好的 52 张牌中抽取一张牌。求以下结果的概率

1. 一张红色的王牌
2. 一张脸牌
3. 一张红色的脸牌
4. 方块 A
5. 一张黑桃
6. 一张红心 Q

解决方案

I. 牌堆中红色的王牌数量 = 2

P（得到一张红色的王牌）= 有利结果/总结果数

= 2/52 = 1/26

II. 牌堆中的脸牌数量 = 12

P（得到一张脸牌）= 脸牌数量/总牌数

= 12/52 = 3/13

III. 牌堆中的红色脸牌数量 = 6

P（得到一张红色的脸牌）= 红色脸牌数量/总牌数

= 6/52 = 3/26

IV. P（得到方块 A）= 1/52

V. 牌堆中的黑桃牌数量 = 13

P（得到一张黑桃）= 黑桃牌数量/总牌数

= 13/52 = 1/4

VI. P（得到红心 Q）= 1/52

15. 五张牌？红桃的十、J、Q、K 和 A，面朝下精心洗好。然后随机抽取一张牌。

1. 抽到的牌是 Q 的概率是多少？
2. 如果抽出 Q 并放在一边，第二张抽出的牌是（a）A？（b）Q 的概率是多少？

解决方案

I. 总可能结果 = 5

P（抽到 Q）= 1/5

II. 抽出 Q 并放在一边后的总可能结果 = 5 - 1 = 4

(a) P（抽到 A）= 1/4

(b) P（抽到 Q）= 0/4

抽到 Q 是一个不可能事件。

16. 12 支有瑕疵的笔意外地混入了 132 支完好的笔中。仅凭外观无法判断一支笔是否有瑕疵。随机从中抽取一支笔。确定取出的笔是完好笔的概率。

解决方案

笔的总数 = 12 + 132 = 144

完好笔的数量 = 132

P（取出一支完好笔）= 完好笔数量/总笔数

= 132/144 = 11/12

17.

1. 一批 20 个灯泡中有 4 个有瑕疵。随机从中抽取一个灯泡。这个灯泡有瑕疵的概率是多少？
2. 假设（i）中抽取的灯泡没有瑕疵且未放回。现在从剩余的灯泡中随机抽取一个。这个灯泡没有瑕疵的概率是多少？

解决方案

I. 灯泡总数 = 20

有瑕疵的灯泡数量 = 4

P（抽取的灯泡有瑕疵）= 有瑕疵的灯泡数量/灯泡总数

= 4/20 = 1/5

II. 剩余灯泡总数 = 20 - 1 = 19

剩余无瑕疵灯泡数量 = 19 - 4 = 15

P（抽取的灯泡无瑕疵）= 有瑕疵的灯泡数量/灯泡总数

= 15/19

18. 一个盒子里有 90 个盘子，编号从 1 到 90。如果随机从中抽取一个盘子，则该盘子带有以下数字的概率是

1. 一个两位数
2. 一个完全平方数
3. 一个能被 5 整除的数

解决方案

I. 带有两位数的盘子数量 = 81（10 至 90）

P（抽取的盘子带有两位数）= 有利结果/总结果数

= 81/90 = 9/10

II. 带有完全平方数的盘子数量 = 9（1 到 9 的平方都小于 90）

P（抽取的盘子带有完全平方数）= 9/90 = 1/10

III. 带有能被 5 整除的数字的盘子数量 = 18（90/5 = 18，因此 1 到 90 有 18 个这样的数字）

P（抽取的盘子带有能被 5 整除的数字）= 18/90 = 1/5

19. 一个孩子有一个骰子，其六个面显示以下字母

将骰子抛一次。得到（i）A？（ii）D？的概率是多少？

解决方案

骰子上的面总数 = 6

(i) 骰子上带有 A 的面的数量 = 2

P（在骰子上得到 A）= 2/6 = 1/3

(ii) 骰子上带有 D 的面的数量 = 1

P（在骰子上得到 D）= 1/6

20. 假设你将一个骰子随机扔到如图 15.6 所示的矩形区域。它落在直径为 1 米的圆内的概率是多少？

（根据 NCERT 的说法，这不属于考试范畴）

解决方案

圆的半径 = 1/2 = 0.5 m

圆的面积 = ?r² = 22/7 × 0.5 × 0.5

= 5.5/7 m²

矩形区域的面积 = 长 × 宽 = 3 × 2 = 6 m²

P（骰子落在圆内）= 圆的面积/矩形区域的面积

= 5.5/7 × 1/6

= 0.131

21. 一批有 144 支圆珠笔，其中 20 支有瑕疵，其余完好。努里如果笔是完好的就会买，如果是有瑕疵的则不买。店主随机抽取一支笔递给她。概率是

1. 她会买吗？
2. 她会不买吗？

解决方案

笔的总数 = 144

有瑕疵的笔的数量 = 20

无瑕疵的笔的数量 = 144 - 20 = 124

I. 努里只有在笔没有瑕疵时才会买。因此，

P（她会买这支笔）= P（抽取的笔没有瑕疵）

= 无瑕疵的笔的数量/总笔数

= 124/144 = 31/36

II. P（她不会买这支笔）= 1 - P（她会买这支笔）

= 1 - 31/36 = 5/36

22. 参考例 13。（i）完成下表

(ii) 一个学生争辩说：“有 11 种可能的结果 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 和 12。因此，每种结果的概率都是 1/11。”你同意这个论点吗？请说明理由。

解决方案

两个骰子的可能结果

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

总可能结果 = 36

(i) 和为 3 的结果数量 = 2

P（掷两个骰子得到和为 3）= 2/36 = 1/18

和为 4 的结果数量 = 3

P（掷两个骰子得到和为 4）= 3/36 = 1/12

和为 5 的结果数量 = 4

P（掷两个骰子得到和为 5）= 4/36 = 1/9

和为 6 的结果数量 = 5

P（掷两个骰子得到和为 6）= 5/36

和为 7 的结果数量 = 6

P（掷两个骰子得到和为 7）= 6/36 = 1/6

和为 9 的结果数量 = 4

P（掷两个骰子得到和为 9）= 4/36 = 1/9

和为 10 的结果数量 = 3

P（掷两个骰子得到和为 10）= 3/36 = 1/12

和为 11 的结果数量 = 2

P（掷两个骰子得到和为 11）= 2/36 = 1/18

完成的表格将是

(ii) 如上所示，此事件总共有 36 种可能结果。因此，学生陈述不正确。

23. 一个游戏包括抛一枚一元硬币 3 次，并记录每次的结果。如果三次抛掷都得到相同的结果（即三个正面或三个反面），则 Hanif 获胜，否则失败。计算 Hanif 输掉比赛的概率。

解决方案

三次抛硬币的可能结果

HHH、HHT、HTH、HTT、THH、THT、TTH、TTT

总结果 = 8

如果结果是 HHH 或 TTT，Hanif 将赢得比赛。

P（Hanif 输）= 1 - P（Hanif 赢）

= 1 - 2/8 = ¾

因此，Hanif 输掉比赛的概率是 3/4。

24. 抛掷骰子两次。概率是

（i）两次都不出现 5？（ii）至少出现一次 5？

[提示：抛两次骰子和同时抛两个骰子被视为相同的实验]

解决方案

两次抛骰子的可能结果

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

总可能结果 = 36

(i) 没有 5 的结果数量 = 25

P（两次都不出现 5）= 25/36

(ii) P（至少出现一次 5）= 1 - P（两次都不出现 5）

= 1 - 25/36

= 11/36

25. 以下论点哪些是正确的，哪些是不正确的？请说明理由。

1. 如果同时抛两枚硬币，则有三种可能的结果？两个正面，两个反面，或一正一反。因此，每种结果的概率是 1/3。
2. 如果抛一个骰子，有两种可能的结果？一个奇数或一个偶数。因此，得到奇数的概率是 1/2。

解决方案

I. 抛两枚硬币时的可能结果

（H, H）、（H, T）、（T, H）、（T, T）

总结果 = 4

出现两个正面和反面的结果数量 = 2

P（出现两个正面和反面）= 2/4 = 1/2

因此，该陈述不正确。

II. 抛骰子时的可能结果

1, 2, 3, 4, 5, 6

总结果 = 6

出现奇数的结果数量 = 3

P（得到一个奇数）= 3/6 = 1/2

因此，给出的陈述是正确的。

练习 15.2（可选）

1. 两个顾客 Shyam 和 Ekta 在同一周（周二至周六）访问某个商店。他们访问商店的可能性是均等的，任何一天都与其他任何一天一样。两人都将在以下情况下访问商店的概率是多少？（i）同一天？（ii）连续几天？（iii）不同的日子？

解决方案

Shyam 和 Ekta 在同一周访问商店时的可能结果

（T, T）、（T, W）、（T, Th）、（T, F）、（T, S）

（W, T）、（W, W）、（W, Th）、（W, F）、（W, S）

（Th, T）、（Th, W）、（Th, Th）、（Th, F）、（Th, S）

（F, T）、（F, W）、（F, Th）、（F, F）、（F, S）

（S, T）、（S, W）、（S, Th）、（S, F）、（S, S）

[T = 周二，W = 周三，Th = 周四，F = 周五，S = 周六]

总结果 = 25

I. 两人在同一天访问商店的结果数量 = 5

P（他们在同一天访问商店）= 5/25 = 1/5

II. 两人在连续几天访问商店的结果数量 = 8

P（他们在连续几天访问商店）= 8/25

III. 两人在不同日子访问商店的结果数量 = 20

P（他们在不同日子访问商店）= 20/25 = 4/5

2. 一个骰子的面显示数字 1、2、2、3、3、6。将其抛两次并记录两次抛掷的总得分。完成下表，该表给出了两次抛掷的总得分的一些值

总得分是

（i）偶数的概率是多少？（ii）6 的概率是多少？（iii）至少是 6 的概率是多少？

解决方案

完成的表格将是

总结果 = 36

(i) 得分为偶数的结果数量 = 18

P（得到偶数得分）= 18/36 = 1/2

(ii) 得分为 6 的结果数量 = 4

P（得到得分为 6）= 4/36 = 1/9

(iii) 得分至少为 6 的结果数量 = 9

P（得到至少为 6 的得分）= 9/36 = 1/4

3. 一个袋子里有 5 个红球和一些蓝球。如果抽出蓝球的概率是红球概率的两倍，则确定袋子里蓝球的数量。

解决方案

设袋子里蓝球的数量为 x

袋子里球的总数 = 5 + x

P（抽出红球）× 2 = P（抽出蓝球）

5/(5 + x) × 2 = x/(5 + x)

10 = x

因此，袋子里有 10 个蓝球。

4. 一个盒子里有 12 个球，其中 x 个是黑色的。如果随机从中抽取一个球，那么它是黑球的概率是多少？如果往盒子里再放 6 个黑球，那么抽出黑球的概率是之前的两倍。求 x。

解决方案

盒子里球的总数 = 12

黑球的数量 = x

P（抽到黑球）= x/12

加入 6 个黑球后，盒子里球的总数 = 12 + 6 = 18

加入 6 个黑球后，黑球的数量 = x + 6

P（抽到黑球）× 2 = P（加入 6 个黑球后抽到黑球）

x/12 × 2 = (x + 6)/18

3x = x + 6

2x = 6

x = 3

因此，最初袋子里有 3 个黑球。

5. 一个罐子里有 24 个弹珠，有些是绿色的，有些是蓝色的。如果随机从中抽取一个弹珠，它是绿色的概率是 2/3。求罐子里蓝球的数量。

解决方案

设罐子里绿色弹珠的数量为 x。

则蓝色弹珠的数量 = 24 - x

罐子里弹珠的总数 = 24

P（抽到绿色弹珠）= 2/3

x/24 = 2/3

x = 16

绿色弹珠的数量 = 16

因此，蓝色弹珠的数量 = 24 - 16 = 8