7 年级数学第 7 章：三角形全等 的 NCERT 解决方案

练习 7.1

1. 完成下列陈述

(a) 如果两条线段长度相同，则它们全等。

答案： 它们长度相同

解释： 如果两条线的长度相等，则称它们全等。同样，如果两条线段全等，则它们的长度相等。

(b) 在两个全等角中，一个角为70°；另一个角的度数为70°。

答案：70°

解释： 如果两个角的度数相等，则称它们全等。同样，如果两个角全等，则它们的度数相等。在这里，如果一个角为70°，则另一个全等角也为70°。

&(c) 当我们写∠A = ∠B时，我们实际上是指m∠A = m∠ B。

答案： m∠A = m∠ B

解释： 这里，m表示度数。

∠A = ∠B意味着两个角的值或度数相等。如果∠A的度数为50°，则∠B的度数也为50°。

2. 给出两个现实生活中全等形状的例子。

答案

全等形状的现实例子如下：

• 相同尺寸的餐勺
• 表
• 同一品牌的风扇叶片
• 相同尺寸的巧克力

3. 如果∆ABC ≅ ∆FED，且对应关系为ABC ↔ FED，写出三角形所有对应的全等部分。

答案

∠A ↔ ∠F, ∠B ↔ ∠E, ∠C ↔ ∠D; AB ↔FE, BC ↔ED, AC↔ FD

解释： 如果两个三角形的三条边和三个角都全等，则称它们全等。

让我们考虑这两个三角形。

由于这些三角形全等，

这两个三角形的角是全等的。

• ∠A ↔ ∠F
• ∠B ↔ ∠E
• ∠C ↔ ∠D

这两个三角形的边也是全等的。

• AB ↔FE
• BC ↔ED
• AC↔ FD

4. 如果∆DEF ≅ ∆BCA，写出∆BCA中与下列部分对应的部分

(i) ∠E

答案： ∠C

解释： 如果两个三角形的三条边和三个角都全等，则称它们全等。

三角形DEF的∠E对应三角形BCA的∠C。

(ii) EF

答案： CA

解释： 如果两个三角形的三条边和三个角都全等，则称它们全等。

三角形DEF的EF对应三角形BCA的CA。

(iii) ∠F

答案： ∠A

解释： 如果两个三角形的三条边和三个角都全等，则称它们全等。

三角形DEF的∠F对应三角形BCA的∠A。

(iv) DF

答案： BA

解释： 如果两个三角形的三条边和三个角都全等，则称它们全等。

三角形DEF的DF对应三角形BCA的BA。

练习 7.2

1. 您在以下情况中使用哪种全等准则？

(a) 已知：AC = DF, AB = DE, BC = EF。所以，∆ABC ≅ ∆DEF

答案： SSS全等准则

解释： 所给出的所有三个部分都是两个三角形的边。因此，根据SSS准则，这些三角形是全等的。

(b) 已知：ZX = RP, RQ = ZY, ∠PRQ = ∠XZY。所以，∆PQR ≅ ∆XYZ

答案： SAS全等准则

解释： 所给出的三个部分是两个三角形的两条边和一个角。因此，根据SAS准则，这些三角形是全等的。

(c) 已知：∠MLN = ∠FGH, ∠NML = ∠GFH, ML = FG。所以，∆LMN ≅ ∆GFH

答案： ASA全等准则

解释： 所给出的三个部分是两个三角形的两个角和一条边。因此，根据ASA准则，这些三角形是全等的。

(d) 已知：EB = DB, AE = BC, ∠A = ∠C = 90°。所以，∆ABE ≅ ∆CDB

答案： RHS全等准则

解释： 当两个三角形的两个边相等且有一个直角时全等，这种全等准则称为RHS全等准则。因此，根据RHS准则，这些三角形是全等的。

2. 您想证明∆ART ≅ ∆PEN，

(a) 如果您必须使用SSS准则，那么您需要证明

(i) AR =

答案： AR = PE

解释： 根据SSS全等准则，与其精确副本的边是等效边。

在这里，PE是AR的等效边。

(ii) RT =

答案： RT = EN

解释： 根据SSS全等准则，与其精确副本的边是等效边。

在这里，EN是RT的等效边。

(iii) AT =

答案： AT = PN

解释： 根据SSS全等准则，与其精确副本的边是等效边。

在这里，PN是AT的等效边。

(b) 如果已知∠T = ∠N，并且您要使用SAS准则，您需要

(i) RT =

答案： RT = EN

解释： 根据SAS全等准则，与其精确副本的边是等效边。

在这里，EN是RT的等效边。

并且

(ii) PN =

答案： PN = AT

解释： 根据SAS全等准则，与其精确副本的边是等效边。

在这里，AT是PN的等效边。

(c) 如果已知AT = PN，并且您要使用ASA准则，您需要

(i) ?

答案： ∠RAT = ∠EPN

解释： 根据ASA全等准则，一条边和两个角需要全等。一条边已经给出。另外两个相等的部分将是它的角。

等效角是∠RAT = ∠EPN。

(ii) ?

答案： ∠ATR = ∠PNE

解释： 根据ASA全等准则，一条边和两个角需要全等。一条边已经给出。另外两个相等的部分将是它的角。一个已经在上面定义。

另一个等效角是∠ATR = ∠PNE。

因此，根据ASA准则，三个相等的部分是

AT = PN（已知）

∠RAT = ∠EPN

∠RAT = ∠EPN

3. 您必须证明∆AMP ≅ ∆AMQ。

在以下证明中，补充缺失的理由。

4. 在∆ABC中，∠A = 30°，∠B = 40°，∠C = 110°。在∆PQR中，∠P = 30°，∠Q = 40°，∠R = 110°。一个学生说∆ABC ≅ ∆PQR是根据AAA全等准则。他有道理吗？为什么有或为什么没有？

答案： 否

解释： 没有AAA全等准则。三个角相等的两个三角形不一定全等。在这种情况下，一个三角形可以是另一个三角形的放大副本。由于它们的尺寸不同，它们不能全等。只有当它们是彼此的精确副本时，才能称它们全等。

因此，该学生的说法是不合理的。

5. 在图中，两个三角形全等。对应的部分已标记。我们可以写∆RAT ≅ ?

答案： ∆RAT ≅ ∆WON

解释： 在给定的两个三角形中，相等的对应部分是

AT = ON（已知）

AR = OW（已知）

∠T = ∠N（已知）

∠R = ∠W（已知）

∠A = ∠O（已知）

因此，这两个三角形是全等的。

6. 完成全等陈述

∆BCA ≅ ?

答案：∆BCA ≅ ∆BTA

在给定的两个三角形中，三对相等的部分是

BT = BC（已知）

AT = AC（已知）

∠TAB = ∠CAB（直角）

因此，根据SAS准则，这两个三角形是全等的。

∆QRS ≅ ?

答案：∆ QRS ≅ ∆TPQ

在给定的两个三角形中，三对相等的部分是

RS = PQ（已知）

QS = TQ（已知）

∠QSR = ∠PQT

因此，根据SAS准则，这两个三角形是全等的。

7. 在方格纸上画出两个面积相等的三角形，使得

(i) 三角形全等。

答案

让我们在方格纸上画出两个全等三角形。

在给定的两个三角形中，三对相等的部分是

BC = EF（边）

AB = DE（边）

AC = DF（边）

因此，根据SSS准则，这两个三角形是全等的。

(ii) 三角形不全等。您对它们的周长有何看法？

答案

让我们在方格纸上画出两个不全等三角形。

周长等于三角形三条边的和。

由于这两个三角形不全等，它们的周长将不相等。

AB + BC + CA 不等于 DE + EF + DF

8. 画出两个三角形的草图，它们有五对全等部分，但三角形仍然不全等。

答案

在给定的两个三角形中，五对相等的部分是

BC = EF（边）

AB = DE（边）

∠C = ∠F

∠B = ∠E

∠A = ∠D

但是，它不符合任何全等准则。因此，给定的两个三角形不全等。

9. 如果∆ABC和∆PQR要全等，请说出一个额外的对应部分。您使用了什么准则？

答案： BC = QR，ASA全等准则

解释： 如果∆ABC和∆PQR要全等，则三角形ABC的边DC和三角形PQR的边QR将相等。

在给定的两个三角形中，三对相等的部分是

BC = QR

∠C = ∠R（已知）

∠B = ∠Q（直角）

因此，根据ASA准则，这两个三角形是全等的。

10. 解释为什么∆ABC ≅ ∆FED。

答案： ASA全等准则

解释： 在给定的两个三角形中，三对相等的部分是

BC = DE（已知）

∠A = ∠F（已知）

∠B = ∠E（直角）

因此，根据ASA准则，这两个三角形是全等的。