12 年级数学第 9 章：微分方程 的 NCERT 解决方案

练习 9.1

确定练习1至10中给出的微分方程的阶数和次数（如果已定义）。

1. d⁴y/dx⁴ + sin (y''') = 0

解决方案

d⁴y/dx⁴ + sin (y''') = 0

y'''' + sin (y''') = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y''''，所以它的阶数是四。给定的微分方程不是其导数的多项式方程，因此其次数未定义。

2. y' + 5y = 0

解决方案

y' + 5y = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y'，所以它的阶数是一。它是 y' 的一个多项式方程，y' 的最高次幂是一，所以它的次数是一。

3. (ds/dt)⁴ + 3s d²s/dt² = 0

解决方案

(ds/dt)⁴ + 3s d²s/dt² = 0

(s')⁴ + 3s s" = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 s"，所以它的阶数是二。它是 d²s/dt² 和 ds/dt 的一个多项式方程，d²s/dt² 的最高次幂是一，所以它的次数是一。

4. (d²y/dx²)² + cos (dy/dx) = 0

解决方案

(d²y/dx²)² + cos (dy/dx) = 0

(y")² + cos (y') = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y"，所以它的阶数是二。给定的微分方程不是其导数的多项式方程，因此其次数未定义。

5. d²y/dx² = cos 3x + sin 3x

解决方案

d²y/dx² = cos 3x + sin 3x

y" - cos 3x - sin 3x = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y"，所以它的阶数是二。它是 d²y/dx² 的一个多项式方程，d²y/dx² 的最高次幂是一，所以它的次数是一。

6. (y''')² + (y")³ + (y')⁴ + y⁵ = 0

解决方案

(y''')² + (y")³ + (y')⁴ + y⁵ = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y'''，所以它的阶数是三。它是 y'''、y" 和 y' 的一个多项式方程，y''' 的最高次幂是2，所以它的次数是2。

7. y''' + 2y" + y' = 0

解决方案

y''' + 2y" + y' = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y'''，所以它的阶数是三。它是 y'''、y" 和 y' 的一个多项式方程，y''' 的最高次幂是一，所以它的次数是一。

8. y' + y = e^x

解决方案

y' + y = e^x

y' + y - e^x = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y'，所以它的阶数是一。它是 y' 的一个多项式方程，y' 的最高次幂是一，所以它的次数是一。

9. y'' + (y')² + 2y = 0

解决方案

y'' + (y')² + 2y = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y''，所以它的阶数是二。它是 y'' 和 y' 的一个多项式方程，y'' 的最高次幂是一，所以它的次数是一。

10. y" + 2y' + sin y = 0

解决方案

y" + 2y' + sin y = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 y"，所以它的阶数是二。它是 y" 和 y' 的一个多项式方程，y" 的最高次幂是一，所以它的次数是一。

11. 微分方程的次数

(d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin (dy/dx) + 1 = 0 是

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 未定义

解决方案

(d²y/dx²)³ + (dy/dx)² + sin (dy/dx) + 1 = 0

给定的微分方程不是其导数的多项式方程。因此，其次数未定义。

因此，(D) 是正确答案。

12. 微分方程的阶数

2x² (d²y/dx²) - 3 (dy/dx) + y = 0 是

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 未定义

解决方案

2x² (d²y/dx²) - 3 (dy/dx) + y = 0

微分方程中出现的最高阶导数是 d²y/dx²，所以它的阶数是二。

因此，(A) 是正确答案。

练习 9.2

在练习1至10的每一题中，验证给定的函数（显式或隐式）是相应微分方程的解

1. y = e^x + 1 : y" - y' = 0

解决方案

y = e^x + 1

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (e^x + 1)

y' = e^x

两边对 x 微分

d/dx (y') = d/dx (e^x)

y" = e^x

将 y" 和 y' 的值代入给定的微分方程。

左边 = y" - y' = e^x - e^x = 0 = 右边

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

2. y = x² + 2x + C : y' - 2x - 2 = 0

解决方案

y = x² + 2x + C

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (x² + 2x + C)

y' = 2x + 2

将 y' 的值代入给定的微分方程。

左边 = y' - 2x - 2 = 2x + 2 - 2x - 2 = 0 = 右边

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

3. y = cos x + C : y' + sin x = 0

解决方案

y = cos x + C

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (cos x + C)

y' = -sin x

将 y' 的值代入给定的微分方程。

左边 = y' + sin x = -sin x + sin x = 0 = 右边

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

4. y = √(1 + x²) : y' = xy/(1 + x²)

解决方案

y = √(1 + x²)

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (√(1 + x²))

y' = 2x/2√(1 + x²)

y' = x/√(1 + x²)

y' = x/(1 + x²) × √(1 + x²)

y' = x/(1 + x²) × y

y' = xy/(1 + x²)

LHS = RHS

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

5. y = Ax : xy' = y (x ≠ 0)

解决方案

y = Ax

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (Ax)

y' = A

将 y' 的值代入给定的微分方程。

左边 = xy' = x (A) = Ax = y = 右边

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

6. y = x sin x : xy' = y + x√(x² - y²) (x ≠ 0 且 x > y 或 x < -y)

解决方案

y = x sin x

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (x sin x)

y' = x d/dx (sin x) + sin x d/dx (x)

y' = x cos x + sin x

将 y' 的值代入给定的微分方程。

左边 = xy' = x (x cos x + sin x)

= x² cos x + x sin x

= y + x²√(1 - sin² x)

= y + x²√(1 - y²/x²)

= y + x√(x² - y²) = 右边

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

7. xy = log y + C : y' = y²/(1 - xy) (xy ≠ 1)

解决方案

xy = log y + C

两边对 x 微分

d/dx (xy) = d/dx (log y + C)

x dy/dx + y dx/dx = (1/y) dy/dx

xy' + y = y'/y

y'(x - 1/y) = -y

y'(yx - 1)/y = -y

y' = y²/(1 - xy)

LHS = RHS

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

8. y - cos y = x : (y sin y + cos y + x)y' = y

解决方案

y - cos y = x

两边对 x 微分

d/dx (y - cos y) = dx/dx

dy/dx + sin y dy/dx = 1

y' + y' sin y = 1

y' (1 + sin y) = 1

y' = 1/(1 + sin y)

将 y' 的值代入给定的微分方程

左边 = (y sin y + cos y + x) y' = (y sin y + cos y + x)/(1 + sin y)

= (y sin y + cos y + y - cos y)/(1 + sin y)

= (y sin y + y)/(1 + sin y)

= y (1 + sin y)/(1 + sin y)

= y

= RHS

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

9. x + y = tan^-1 y : y² y' + y² + 1 = 0

解决方案

x + y = tan^-1 y

两边对 x 微分

d/dx (x + y) = d/dx (tan^-1 y)

1 + dy/dx = 1/(1 + y²) dy/dx

1 + y' = y'/(1 + y²)

y'(1 - 1/(1 + y²)) = -1

y' (1 + y² - 1)/(1 + y²) = -1

y' = -(y² + 1)/y²

y² y' = -y² - 1

y² y' + y² + 1 = 0

LHS = RHS

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

10. y = √(a²- x²), x ∈ (-a, a) : x + y dy/dx = 0 (y ≠ 0)

解决方案

y = √(a² - x²)

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (√(a² - x²))

y' = 1/2√(a² - x²) (-2x)

y' = -x/√(a² - x²)

y' = -x/y

将 y' 的值代入给定的微分方程

左边 = x + y dy/dx

= x + y y'

= x + y (-x/y)

= x - x

= 0

= RHS

因此，给定的函数是相应微分方程的解。

11. 一个四阶微分方程的通解中任意常数的数量是

(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解

已知一个n阶微分方程的通解中的常数数量等于其阶数，即n。因此，

一个四阶微分方程的通解中的任意常数数量是4。

因此，(D) 是正确答案。

12. 一个三阶微分方程的特解中任意常数的数量是

(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

解

一个微分方程的特解中没有任意常数。

因此，(D) 是正确答案。

练习 9.3

对于练习1到10中的每一个微分方程，求其通解

1. dy/dx = (1 - cos x)/(1 + cos x)

解决方案

dy/dx = (1 - cos x)/(1 + cos x)

dy/dx = (2 sin² x/2)/(2 cos² x/2)

dy/dx = tan² x/2

dy/dx = (sec² x/2 - 1)

dy = (sec² x/2 - 1) dx

两边积分

∫ dy = ∫ (sec² x/2 - 1) dx

y = ∫sec² x/2 dx - ∫1 dx

y = 2 tan x/2 - x + C

因此，给定微分方程的通解是 y = 2 tan x/2 - x + C。

2. dy/dx = √(4 - y²) (-2 < y < 2)

解决方案

dy/dx = √(4 - y²)

dy/dx = √(2² - y²)

dy/√(2² - y²) = dx

两边积分

∫ dy/√(2² - y²) = ∫1 dx

sin^-1 y/2 = x + C

y/2 = sin (x + C)

y = 2 sin (x + C)

因此，给定微分方程的通解是 y = 2 sin (x + C)。

3. dy/dx + y = 1 (y ≠ 1)

解决方案

dy/dx + y = 1

dy/dx = 1 - y

dy/(1 - y) = dx

dy/(y - 1) = -dx

两边积分

∫ dy/(y - 1) = ∫-1 dx

log |y - 1| = -x + c

y - 1 = e^{(-x + c)}

y - 1 = e^-x (e^c)

y = Ce^-x + 1

其中 C = e^c。

因此，给定微分方程的通解是 y = Ce^-x + 1。

4. sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0

解决方案

sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0

两边除以 tan x tan y

(sec² x tan y dx + sec² y tan x dy)/tan x tan y = 0

(sec² x/tan x) dx + (sec² y/tan y) dy = 0

(sec² x/tan x) dx = -(sec² y/tan y) dy

两边积分

∫(sec² x/tan x) dx = -∫(sec² y/tan y) dy

令 tan x = t

d/dx (tan x) = dt/dx

sec² x dx = dt

并且

sec² y dy = du (令 tan y = u)

∫(sec² x/tan x) dx = -∫(sec² y/tan y) dy

∫(1/t) dt = -∫(1/u) du

log |t| = -log |u| + C

log |tan x| = -log |tan y| + log C

log |tan x| + log |tan y| = log C

log |tan x tan y| = log C

tan x tan y = C

因此，给定微分方程的通解是 tan x tan y = C。

5. (e^x + e^-x) dy - (e^x - e^-x) dx = 0

解决方案

(e^x + e^-x) dy - (e^x - e^-x) dx = 0

(e^x + e^-x) dy = (e^x - e^-x) dx

dy = (e^x - e^-x) dx/(e^x + e^-x)

两边积分

∫1 dy = ∫(e^x - e^-x) dx/(e^x + e^-x)

y = ∫(e^x - e^-x) dx/(e^x + e^-x)

令 e^x + e^-x = t

(e^x - e^-x) dx = dt

y = ∫dt/t

y = log |t| + C

y = log |e^x + e^-x| + C

因此，给定微分方程的通解是 y = log |e^x + e^-x| + C。

6. dy/dx = (1 + x²)(1 + y²)

解决方案

dy/dx = (1 + x²)(1 + y²)

dy/(1 + y²) = (1 + x²) dx

两边积分

∫dy/(1 + y²) = ∫(1 + x²) dx

tan^-1 y = x + x³/3 + C

因此，给定微分方程的通解是 tan^-1 y = x + x³/3 + C。

7. y log y dx - x dy = 0

解决方案

y log y dx - x dy = 0

y log y dx = x dy

dy/(y log y) = dx/x

两边积分

∫dy/(y log y) = ∫dx/x

∫dy/(y log y) = log x + log C

令 log y = t

d/dy (log y) = dt/dy

1/y dy = dt

∫dt/t = log x + log C

log |t| = log x + log C

log (log y) = log x + log C

log (log y) = log Cx

log y = Cx

y = e^Cx

因此，给定微分方程的通解是 y = e^Cx。

8. x⁵ dy/dx = -y⁵

解决方案

x⁵ dy/dx = -y⁵

dy/(-y⁵) = dx/x⁵

两边积分

-∫dy/y⁵ = ∫dx/x⁵

∫dx/(x⁵) + ∫dy/y⁵ = k

x^-4/(-4) + y^-4/(-4) = k

x^-4 + y^-4 = -4k

1/x⁴ + 1/y⁴ = -4k

1/x⁴ + 1/y⁴ = C

因此，给定微分方程的通解是 1/x⁴ + 1/y⁴ = C。

9. dy/dx = sin^-1x

解决方案

dy/dx = sin^-1 x

dy = sin^-1 x dx

两边积分

∫dy = ∫sin^-1 x dx

y = ∫sin^-1 x .1 dx

y = sin^-1 x ∫1 dx - ∫[d/dx (sin^-1 x) ∫1 dx] dx

y = x sin^-1 x - ∫x/√(1 - x²) dx

y = x sin^-1 x - ∫x/√(1 - x²) dx

令 1 - x² = t

d/dx (1 - x²) = dt/dx

-2x dx = dt

y = x sin^-1 x + (1/2) ∫dt/√t

y = x sin^-1 x + (1/2) (2√t) + C

y = x sin^-1 x + √t + C

y = x sin^-1 x + √(1 - x²) + C

10. e^x tan y dx + (1 - e^x) sec² y dy = 0

解决方案

e^x tan y dx + (1 - e^x) sec² y dy = 0

e^x tan y dx = -(1 - e^x) sec² y dy

(sec² y) dy/tan y = -e^x dx/(1 - e^x)

两边积分

∫(sec² y) dy/tan y = - ∫e^x dx/(1 - e^x)

令 tan y = t

sec² y dy = dt

sec² y dy = du (令 tan y = u)

∫dt/t = - ∫e^x dx/(1 - e^x)

令 1 - e^x = u

d/dx (1 - e^x) = du/dx

-e^x dx = du

log |t| = ∫du/u

log |t| = log |u| + log C

log |t| = log C|u|

t = C u

tan y = C (1 - e^x)

因此，给定微分方程的通解是 tan y = C (1 - e^x)。

对于练习11至14中的每一个微分方程，求满足给定条件的特解

11. (x³ + x² + x + 1) dy/dx = 2x² + x; 当 x = 0 时 y = 1

解决方案

(x³ + x² + x + 1) dy/dx = 2x² + x

dy = (2x² + x)/(x³ + x² + x + 1) dx

两边积分

∫1 dy = ∫(2x² + x)/(x³ + x² + x + 1) dx

y = ∫(2x² + x)/(x³ + x² + x + 1) dx

(2x² + x)/(x³ + x² + x + 1) = (2x² + x)/(x²(x + 1) + 1(x + 1))

= (2x² + x)/(x + 1)(x² + 1)

令 (2x² + x)/(x³ + x² + x + 1) = A/(x + 1) + (Bx + C)/(x² + 1)

2x² + x = A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)

2x² + x = x² (A + B) + x (B + C) + (A + C)

比较系数，

A + B = 2

A = 2 - B

B + C = 1

C = 1 - B

A + C = 0

2 - B + 1 - B = 0

-2B = -3

B = 3/2

A = 2 - 3/2 = 1/2

C = 1 - 3/2 = -1/2

所以，

(2x² + x)/(x³ + x² + x + 1) = 1/(2(x + 1)) + (3x/2 - 1/2)/(x² + 1)

(2x² + x)/(x³ + x² + x + 1) = 1/(2(x + 1)) + (3x - 1)/(2(x² + 1))

y = ∫(2x² + x)/(x³ + x² + x + 1) dx

y = (1/2) ∫1/(x + 1) dx + (1/2) ∫(3x - 1)/(x² + 1) dx

y = (1/2) log |x + 1| + (3/4) ∫2x/(x² + 1) dx - (1/2) ∫1/(x² + 1) dx

y = (1/2) log |x + 1| + (3/4) log |x² + 1| - (1/2) tan^-1 x + C

代入 x = 0 和 y = 1

1 = (1/2) log |0 + 1| + (3/4) log |0 + 1| - (1/2) tan^-1 0 + C

1 = (1/2) log 1 + (3/4) log 1 - (1/2) 0 + C

1 = C

因此，

y = (1/2) log |x + 1| + (3/4) log |x² + 1| - (1/2) tan^-1 x + 1

12. x (x² - 1) dy/dx = 1; 当 x = 2 时 y = 0

解决方案

x (x² - 1) dy/dx = 1

dy = dx / (x (x² - 1))

dy = 1/(x(x + 1)(x - 1)) dx

两边积分

∫1 dy = ∫1/(x(x + 1)(x - 1)) dx

令 1/(x(x + 1)(x - 1)) = A/x + B/(x + 1) + C/(x - 1)

1 = A(x² - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 1)

1 = x² (A + B + C) + x (-B + C) - A

比较系数，

A + B + C = 0

A = -(B + C)

-B + C = 0

B = C

-A = 1 => A = -1

A = -1

B + C = 1

-1 + 2C = 0 => 2C = 1

C = 1/2

B = 1/2

所以，

1/(x(x + 1)(x - 1)) = -1/x + 1/(2(x + 1)) + 1/(2(x - 1))

∫1 dy = ∫1/(x(x + 1)(x - 1)) dx

y = -∫1/x dx + (1/2) ∫1/(x + 1) dx + (1/2) ∫1/(x - 1) dx

y = -log |x| + (1/2) log |x + 1| + (1/2) log |x - 1| + C

代入 x = 2 和 y = 0

0 = -log |2| + (1/2) log |2 + 1| + (1/2) log |2 - 1| + C

0 = -log 2 + (1/2) log 3 + (1/2) log 1 + C

0 = (1/2) [-2 log 2 + log 3 + 0] + C

0 = (1/2) [-log 2² + log 3] + C

0 = (1/2) [-log 4 + log 3] + C

0 = (1/2) log (3/4) + C

C = (-1/2) log (3/4)

因此，

y = -log |x| + (1/2) log |x + 1| + (1/2) log |x - 1| - (1/2) log (3/4)

13. cos (dy/dx) = a (a ∈ R); 当 x = 0 时 y = 1

解决方案

cos (dy/dx) = a

dy/dx = cos^-1 a

dy = cos^-1 a dx

两边积分

∫1 dy = cos^-1 a ∫1 dx

y = x cos^-1 a + C

代入 x = 0 和 y = 1

1 = 0 + C => C = 1

C = 1

因此，

y = x cos^-1 a + 1

14. dy/dx = y tan x; 当 x = 0 时 y = 1

解决方案

dy/dx = y tan x

1/y dy = tan x dx

两边积分

∫1/y dy = ∫tan x dx

log y = -log |cos x| + C = log |sec x| + C

log y = log |C sec x|

y = C sec x

代入 x = 0 和 y = 1

1 = C sec 0 => C = 1

C = 1

因此，

y = sec x

15. 求一条通过点(0, 0)且其微分方程为 y' = e^x sin x 的曲线方程。

解决方案

给定曲线的微分方程

y' = e^x sin x

dy/dx = e^x sin x

dy = e^x sin x dx

两边积分

∫1 dy = ∫e^x sin x dx

y = sin x ∫e^x dx - ∫[d/dx (sin x) ∫e^x dx] dx

y = e^x sin x - ∫e^x cos x dx

y = e^x sin x - [cos x ∫e^x dx - ∫[d/dx (cos x) ∫e^x dx] dx]

y = e^x sin x - [e^x cos x + ∫e^x sin x dx]

y = e^x sin x - e^x cos x - y + K

2y = e^x (sin x - cos x) + K

y = e^x (sin x - cos x)/2 + C

给定的曲线通过点(0, 0)。因此，代入 x = 0 和 y = 0

0 = e⁰ (sin 0 - cos 0)/2 + C

0 = 1 (0 - 1)/2 + C

0 = -1/2 + C => C = 1/2

C = 1/2

因此，

y = e^x (sin x - cos x)/2 + 1/2

因此，一条通过点(0, 0)且其微分方程为 y' = e^x sin x 的曲线方程是 y = e^x (sin x - cos x)/2 + 1/2。

16. 对于微分方程 xy dy/dx = (x + 2) (y + 2)，求通过点 (1, -1) 的解曲线。

解决方案

给定曲线的微分方程

xy dy/dx = (x + 2) (y + 2)

∫y/(y + 2) dy = ∫(x + 2)/x dx

∫(y + 2 - 2)/(y + 2) dy = ∫(1 + 2/x) dx

∫(1 - 2/(y + 2)) dy = ∫1 dx + 2 ∫1/x dx

y - 2 log |y + 2| = x + 2 log |x| + C

y - x - C = 2 log |x| + 2 log |y + 2|

y - x - C = log |x|² + log |y + 2|²

y - x - C = log |x²(y + 2)²|

y - x - C = log |x² (y + 2)²|

代入 x = 1 和 y = -1，因为曲线通过点 (1, -1)。

-1 - 1 - C = log |1² (-1 + 2)²|

-2 - C = log 1

-2 - C = 0

C = -2

因此，

y - x + 2 = log |x² (y + 2)²|

因此，对于微分方程 xy dy/dx = (x + 2) (y + 2)，通过点 (1, -1) 的解曲线是 y - x + 2 = log |x² (y + 2)²|。

17. 求一条通过点 (0, -2) 的曲线方程，已知曲线上任意点 (x, y) 的切线斜率与该点y坐标的乘积等于该点的x坐标。

解决方案

设曲线上点的坐标为 (x, y)。

曲线切线的斜率由 dy/dx 给出。

所以，

y dy/dx = x

y dy = x dx

两边积分

∫y dy = ∫x dx

y²/2 = x²/2 + k

y²/2 - x²/2 = k

y² - x² = 2k

y² - x² = C

代入 x = 0 和 y = -2，因为曲线通过点 (0, -2)。

(-2)² - 0² = C

4 = C

2k = 4 => k = 2

k = 2

因此，

y²/2 - x²/2 = 2

因此，已知曲线上任意点 (x, y) 的切线斜率与该点y坐标的乘积等于该点的x坐标，通过点 (0, -2) 的曲线方程是 y²/2 - x²/2 = 2。

18. 在曲线的任意点 (x, y)，切线的斜率是连接接触点到点 (-4, -3) 的线段斜率的两倍。求该曲线的方程，已知它通过点 (-2, 1)。

解决方案

连接点 (x, y) 和 (-4, -3) 的线段斜率由下式给出

m₁ = (y + 3)/(x + 4)

另外，斜率 m₂ = dy/dx

已知

m₂ = 2m₁

dy/dx = 2(y + 3)/(x + 4)

dy/(y + 3) = 2/(x + 4) dx

两边积分

∫1/(y + 3) dy = 2 ∫1/(x + 4) dx

log |y + 3| = 2 log |x + 4| + log C

log |y + 3| = log |x + 4|² + log C

log |y + 3| = log C|x + 4|²

y + 3 = C (x + 4)²

代入 x = -2 和 y = 1，因为曲线通过 (-2, 1)

1 + 3 = C (-2 + 4)²

4 = 4C => C = 1

C = 1

因此，

y + 3 = (x + 4)²

因此，已知给定斜率且通过 (-2, 1) 的曲线方程是 y + 3 = (x + 4)²。

19. 一个正在充气的球形气球的体积以恒定速率变化。如果其初始半径为3个单位，3秒后变为6个单位。求 t 秒后气球的半径。

解决方案

设气球体积的变化率为常数 a。

体积 V 随时间 t 的变化率由下式给出

dV/dt = a

d/dt (4πr³/3) = a

4πr² dr/dt = a

4πr² dr = a dt

两边积分

4π ∫r² dr = a ∫1 dt

4πr³/3 = at + C

4πr³ = 3 (at + C)

代入 t = 0 和 r = 3，因为初始半径为3个单位

4π(3)³ = 3C

108π = 3C

C = 36π

代入 t = 3 和 r = 6，因为3秒后的半径为6个单位

4π(6)³ = 3 (3a + C)

864π = 3 (3a + C)

288π = 3a + C

代入 C = 36π

288π = 3a + 36π

252π = 3a

a = 84π

因此，

4πr³ = 3 (84πt + 36π)

4πr³ = 3 (4π) (21t + 9)

r³ = 3 (21t + 9)

r³ = 63t + 27

r = ∛(63t + 27)

因此，t 秒后气球的半径是 ∛(63t + 27)。

20. 在一家银行，本金以每年 r% 的利率连续增长。如果100元在10年内翻倍，求 r 的值 (log_e 2 = 0.6931)。

解决方案

设本金为 p，利率为 r，时间为 t。

已知本金的增长率恒定为每年 r%。

本金 p 随时间 t 的变化率由下式给出

dp/dt = p (r/100)

dp/p = (r/100) dt

两边积分

∫(1/p) dp = (r/100) ∫1 dt

log p = rt/100 + C

p = e^{rt/100 + C}

代入 t = 0 和 p = 100，因为初始本金为100元

100 = e^{0 + C}

100 = e^C

代入 t = 10 和 p = 200，因为10年后本金翻倍

200 = e^{10r/100 + C}

200 = e^r/10 .e^C

200 = e^r/10 (100)

2 = e^r/10

log 2 = r/10

0.6931 = r/10

r = 6.931

因此，r 的值是 6.93%。

21. 在一家银行，本金以每年 5% 的利率连续增长。向该银行存入1000元，10年后它将值多少钱 (e^0.5 = 1.648)。

解决方案

设本金为 p，时间为 t。

已知本金的增长率恒定为每年 5%。

本金 p 随时间 t 的变化率由下式给出

dp/dt = p (5/100)

dp/dt = p/20

dp/p = dt/20

两边积分

∫(1/p) dp = (1/20) ∫1 dt

log p = t/20 + C

p = e^{t/20 + C}

代入 t = 0 和 p = 1000，因为初始本金为1000元

1000 = e^{0 + C}

1000 = e^C

代入 t = 10，因为我们需要求10年后的金额

p = e^{10/20 + C}

p = e^1/2 .e^C

p = e^0.5 .(1000)

p = e^0.5 .(1000)

p = (1.648) (1000)

p = 1648

因此，10年后，1000元的存款将价值1648元。

22. 在一个培养基中，细菌数量为100,000。这个数量在2小时内增加了10%。如果细菌的增长率与现有数量成正比，那么多少小时后细菌数量会达到200,000？

解决方案

设任意时刻 t 的细菌数量为 x。

已知细菌的增长率与现有数量成正比。

细菌数量随时间 t 的增长率由下式给出

dx/dt ∝ x

dx/dt = ax 其中 a 是一个常数。

dx/x = a dt

两边积分

∫(1/x) dx = a ∫1 dt

log x = at + C

代入 x = 100,000 和 t = 0，因为初始细菌数量为100,000

log 100000 = 0 + C

C = log 100000

代入 x = 110,000 和 t = 2，因为2小时内细菌数量增加了10%

log 110000 = 2a + C

log 110000 = 2a + log 100000

log 110000 - log 100000 = 2a

log (110000/100000) = 2a

log (11/10) = 2a

log 1.1 = 2a

a = (1/2) log 1.1

因此，

log x = at + C

log x = (t/2) log 1.1 + C

log x = (t/2) log 1.1 + log 100000

代入 x = 200,000，因为细菌数量最终达到200,000

log 200000 = (t/2) log 1.1 + log 100000

log 200000 - log 100000 = (t/2) log 1.1

log (200000/100000) = (t/2) log 1.1

log 2 = (t/2) log 1.1

2 log 2 = t log 1.1

t = (2 log 2) / log 1.1

t = log 4 / log 1.1

t = (log 4)/(log 1.1)

因此，细菌数量达到200,000需要 (log 4)/(log 1.1) 小时。

23. 微分方程 dy/dx = e^{x + y} 的通解是

(A) e^x + e^-y = C (B) e^x + e^y = C

(C) e^-x + e^y = C (D) e^-x + e^-y = C

解决方案

dy/dx = e^{x + y}

dy/dx = e^x .e^y

dy/e^y = e^x dx

两边积分

∫(1/e^y) dy = ∫e^x dx

∫e^-y dy = e^x + a

-e^-y = e^x + a

e^x + e^-y = -a

e^x + e^-y = C

其中 C = -a

因此，(A) 是正确答案。

练习 9.4

在练习1至10的每一题中，证明给定的微分方程是齐次的，并解出每一个方程。

1. (x² + xy) dy = (x² + y²) dx

解决方案

(x² + xy) dy = (x² + y²) dx

dy/dx = (x² + y²)/(x² + xy)

令 F (x, y) = (x² + y²)/(x² + xy)

F (λx, λy) = ((λx)² + (λy)²)/((λx)² + (λx)(λy))

F (λx, λy) = (λ²x² + λ²y²)/(λ²x² + λ²xy)

F (λx, λy) = λ² (x² + y²)/λ²(x² + xy)

F (λx, λy) = (x² + y²)/(x² + xy)

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = (x² + y²)/(x² + xy)

v + x dv/dx = (x² + v²x²)/(x² + vx²)

v + x dv/dx = x² (1 + v²)/x²(1 + v)

v + x dv/dx = (1 + v²)/(1 + v)

x dv/dx = (1 + v²)/(1 + v) - v

x dv/dx = (1 + v² - v (1 + v))/(1 + v)

x dv/dx = (1 + v² - v - v²)/(1 + v)

x dv/dx = (1 - v)/(1 + v)

(1 + v)/(1 - v) dv = dx/x

(2 - (1 - v))/(1 - v) dv = dx/x

(2/(1 - v) - 1) dv = dx/x

(2/(1 - v) - 1) dv = dx/x

两边积分

2 ∫1/(1 - v) dv - ∫1 dv = ∫(1/x) dx

-2 log |1 - v| - v = log x + C

log C + log x + v + 2 log|1 - v| = 0

log (Cx) + v + log(1-v)² = 0

log[Cx(1-v)²] = -v

Cx(1 - y/x)² = e^-v = e^-y/x

Cx((x-y)/x)² = e^-y/x

C(x-y)²/x = e^-y/x

(y - x)² = kx e^-y/x

(y - x)² = kx e^-y/x (注意，书上答案可能有误)

(x - y)² = kx e^-y/x

(x - y)² = kx e^y/x (原文推导到这步似乎有误)

因此，这是给定微分方程的要求解

2. y' = (x + y)/x

解决方案

y' = (x + y)/x

dy/dx = (x + y)/x

令 F (x, y) = (x + y)/x

F (λx, λy) = (λx + λy)/λx

F (λx, λy) = λ (x + y)/λx

F (λx, λy) = (x + y)/x

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 积分

dy/dx = v + x dv/dx

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = (x + y)/x

v + x dv/dx = (x + vx)/x

v + x dv/dx = x (1 + v)/x

v + x dv/dx = 1 + v

x dv/dx = 1

dv = dx/x

两边积分

∫1 dv = ∫(1/x) dx

v = log x + C

y/x = log x + C

y = x log x + Cx

因此，这是给定微分方程的要求解。

3. (x - y) dy - (x + y) dx = 0

解决方案

(x - y) dy - (x + y) dx = 0

(x - y) dy = (x + y) dx

dy/dx = (x + y)/(x - y)

令 F (x, y) = (x + y)/(x - y)

F (λx, λy) = (λx + λy)/(λx - λy)

F (λx, λy) = λ (x + y)/λ(x - y)

F (λx, λy) = (x + y)/(x - y)

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = (x + y)/(x - y)

v + x dv/dx = (x + vx)/(x - vx)

v + x dv/dx = x (1 + v)/x(1 - v)

v + x dv/dx = (1 + v)/(1 - v)

x dv/dx = (1 + v)/(1 - v) - v

x dv/dx = (1 + v - v(1 - v))/(1 - v)

x dv/dx = (1 + v²)/(1 - v)

(1 - v)/(1 + v²) dv = dx/x

两边积分

∫1/(1 + v²) dv - ∫v/(1 + v²) dv = ∫(1/x) dx

∫1/(1 + v²) dv - (1/2) ∫2v/(1 + v²) dv = ∫(1/x) dx

tan^-1 v - (1/2) log (1 + v²) = log x + C

tan^-1 v - log (1 + v²)^1/2 = log x + C

tan^-1 v - log (1 + v²)^1/2 - log x = C

tan^-1 (y/x) - log (1 + y²/x²)^1/2 - log x = C

tan^-1 (y/x) - log (√(x² + y²)/x) - log x = C

tan^-1 (y/x) - (log √(x² + y²) - log x) - log x = C

tan^-1 (y/x) - log √(x² + y²) = C

tan^-1 (y/x) = log √(x² + y²) + C

tan^-1 (y/x) = (1/2) log (x² + y²) + C

因此，这是给定微分方程的要求解。

4. (x² - y²) dx + 2xy dy = 0

解决方案

(x² - y²) dx + 2xy dy = 0

2xy dy = -(x² - y²) dx

dy/dx = -(x² - y²)/(2xy)

令 F (x, y) = -(x² - y²)/(2xy)

F (λx, λy) = -((λx)² - (λy)²)/(2λxλy)

F (λx, λy) = -(λ²x² - λ²y²)/(2λ²xy)

F (λx, λy) = -λ² (x² - y²)/(2λ²xy)

F (λx, λy) = -(x² - y²)/(2xy)

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = -(x² - y²)/(2xy)

v + x dv/dx = -(x² - (vx)²)/(2xvx)

v + x dv/dx = -(x² - v²x²)/(2x²v)

v + x dv/dx = -x² (1 - v²)/(2x²v)

v + x dv/dx = -(1 - v²)/(2v)

x dv/dx = -(1 - v²)/(2v) - v

x dv/dx = (-1 + v² - 2v²)/(2v)

x dv/dx = (-v² - 1)/(2v)

x dv/dx = -(1 + v²)/(2v)

2v/(1 + v²) dv = (-1/x) dx

两边积分

∫2v/(1 + v²) dv = -∫(1/x) dx

log (1 + v²) = -log x + log C

log (1 + v²) = log (C/x)

1 + v² = C/x

x(1 + v²) = C

x(1 + (y/x)²) = C

x(1 + y²/x²) = C

(x² + y²)/x = C

x² + y² = Cx

因此，这是给定微分方程的要求解。

5. x²dy/dx = x² - 2y² + xy

解决方案

x² dy/dx = x² - 2y² + xy

dy/dx = (x² - 2y² + xy)/x²

令 F (x, y) = (x² - 2y² + xy)/x²

F (λx, λy) = ((λx)² - 2(λy)² + λxλy)/(λx)²

F (λx, λy) = (λ²x² - 2λ²y² + λ²xy)/λ²x²

F (λx, λy) = λ² (x² - 2y² + xy)/λ²x²

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = (x² - 2y² + xy)/x²

v + x dv/dx = (x² - 2(vx)² + xvx)/x²

v + x dv/dx = (x² - 2v²x² + x²v)/x²

v + x dv/dx = x² (1 - 2v² + v)/x²

v + x dv/dx = 1 - 2v² + v

x dv/dx = 1 - 2v² + v - v

x dv/dx = 1 - 2v²

dv/(1 - 2v²) = dx/x

∫1/(1 - (√2v)²) dv = ∫dx/x

两边积分

∫1/(1 - (√2v)²) dv = ∫(1/x) dx

(1/(2√2)) log |(1+√2v)/(1-√2v)| = log x + C

(1/(2√2)) log |(1+√2v)/(1-√2v)| = log x + C

(1/(2√2)) log |(1+√2(y/x))/(1-√2(y/x))| = log x + C

(1/(2√2)) log |(x+√2y)/(x-√2y)| = log x + C

1/(2√2) log|(x + y√2)/(x - y√2)| = log x + C

1/(2√2) log|(x + y√2)/(x - y√2)| = log x + C

1/(2√2) log|(x + y√2)/(x - y√2)| = log x + C

因此，这是给定微分方程的要求解。

6. x dy - y dx = √(x² + y²) dx

解决方案

x dy - y dx = √(x² + y²) dx

x dy = (√(x² + y²) + y) dx

x dy/dx = √(x² + y²) + y

dy/dx = (√(x² + y²) + y)/x

令 F (x, y) = (√(x² + y²) + y)/x

F (λx, λy) = (√((λx)² + (λy)²) + λy)/λx

F (λx, λy) = (√(λ²x² + λ²y²) + λy)/λx

F (λx, λy) = (λ√(x² + y²) + λy)/λx

F (λx, λy) = (λ √(x² + y²) + λy)/λx

F (λx, λy) = λ (√(x² + y²) + y)/λx

F (λx, λy) = (√(x² + y²) + y)/x

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = (√(x² + y²) + y)/x

v + x dv/dx = (√(x² + (vx)²) + vx)/x

v + x dv/dx = (√(x²(1 + v²)) + vx)/x

v + x dv/dx = (x√(1 + v²) + vx)/x

v + x dv/dx = (x (√(1 + v²) + v))/x

v + x dv/dx = x (√(1 + v²) + v)/x

v + x dv/dx = √(1 + v²) + v

x dv/dx = √(1 + v²) + v - v

x dv/dx = √(1 + v²)

dv/√(1 + v²) = dx/x

两边积分

∫1/√(1 + v²) dv = ∫(1/x) dx

log |v + √(1 + v²)| = log x + log C

log |y/x + √(1 + (y/x)²)| = log Cx

log |y/x + √(x² + y²)/x| = log Cx

log |(y + √(x² + y²))/x| = log Cx

| (y + √(x² + y²))/x | = Cx

y + √(x² + y²) = C'x²

y + √(x² + y²) = C'x²

y + √(x² + y²) = C'x²

y + √(x² + y²) = C'x²

y + √(x² + y²) = Cx²

y + √(x² + y²) = Cx²

因此，这是给定微分方程的要求解。

7. {x cos (y/x) + y sin (y/x)}y dx = {y sin (y/x) - x cos (y/x)}x dy

解决方案

{x cos (y/x) + y sin (y/x)}y dx = {y sin (y/x) - x cos (y/x)}x dy

dy/dx = y{x cos (y/x) + y sin (y/x)}/(x{y sin (y/x) - x cos (y/x)})

令 F (x, y) = y{x cos (y/x) + y sin (y/x)}/(x{y sin (y/x) - x cos (y/x)})

F (λx, λy) = λy{λx cos (λy/λx) + λy sin (λy/λx)}/(λx{λy sin (λy/λx) - λx cos (λy/λx)})

F (λx, λy) = λ²y{x cos (y/x) + y sin (y/x)}/(λ²x{y sin (y/x) - x cos (y/x)})

F (λx, λy) = y{x cos (y/x) + y sin (y/x)}/(x{y sin (y/x) - x cos (y/x)})

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = vx{x cos v + vx sin v}/(x{vx sin v - x cos v})

v + x dv/dx = v{x cos v + vx sin v}/(x{v sin v - cos v})

v + x dv/dx = v x{cos v + v sin v}/(x x{v sin v - cos v}) (此处原文有误)

v + x dv/dx = v{cos v + v sin v}/{v sin v - cos v}

v + x dv/dx = v{cos v + v sin v}/{v sin v - cos v}

x dv/dx = v{cos v + v sin v}/{v sin v - cos v} - v

x dv/dx = [v(cos v + v sin v) - v(v sin v - cos v)]/{v sin v - cos v}

x dv/dx = [v cos v + v² sin v - v² sin v + v cos v]/{v sin v - cos v}

x dv/dx = 2v cos v / {v sin v - cos v}

x dv/dx = (2v cos v)/{v sin v - cos v}

(v sin v - cos v)/(2v cos v) dv = dx/x

两边积分

∫((v sin v)/(2v cos v) - (cos v)/(2v cos v)) dv = ∫(1/x) dx

∫[(1/2) tan v - 1/(2v)] dv = ∫(1/x) dx

(1/2) ∫(tan v - 1/v) dv = log x + log C

(1/2) ∫(tan v - 1/v) dv = log x + log C

(1/2) [-log|cos v| - log v] = log x + log C

-(1/2) [log |v cos v|] = log Cx

log (1/√(v cos v)) = log Cx

1/√(v cos v) = Cx

1/(v cos v) = C²x²

1/((y/x) cos(y/x)) = C²x²

x/(y cos(y/x)) = C²x²

1/(y cos(y/x)) = C²x

xy cos(y/x) = 1/C²

xy cos (y/x) = k

xy cos (y/x) = k

其中 k = 1/C²

因此，这是给定微分方程的要求解。

8. x dy/dx - y + x sin (y/x) = 0

解决方案

x dy/dx - y + x sin (y/x) = 0

x dy/dx = y - x sin (y/x)

dy/dx = (y - x sin (y/x))/x

令 F (x, y) = (y - x sin (y/x))/x

F (λx, λy) = (λy - λx sin (λy/λx))/λx

F (λx, λy) = λ(y - x sin (y/x))/λx

F (λx, λy) = (y - x sin (y/x))/x

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = (y - x sin (y/x))/x

v + x dv/dx = (vx - x sin (vx/x))/x

v + x dv/dx = x(v - sin v)/x

v + x dv/dx = v - sin v

x dv/dx = v - sin v - v

x dv/dx = -sin v

dv/sin v = -dx/x

两边积分

∫(1/sin v) dv = -∫(1/x) dx

∫cosec v dv = -∫(1/x) dx

log |cosec v - cot v| = -log x + log C

log |cosec v - cot v| = log (C/x)

cosec v - cot v = C/x

cosec (y/x) - cot (y/x) = C/x

1/sin (y/x) - cos (y/x)/sin (y/x) = C/x

(1 - cos (y/x))/sin (y/x) = C/x

x(1 - cos (y/x)) = C sin (y/x)

x (1 - cos (y/x)) = C sin (y/x)

因此，这是给定微分方程的要求解。

9. y dx + x log (y/x) dy - 2x dy = 0

解决方案

y dx + x log (y/x) dy - 2x dy = 0

y dx = (2x - x log (y/x)) dy

y dx = x(2 - log (y/x)) dy

dy/dx = y/(x(2 - log (y/x)))

令 F (x, y) = y/(x(2 - log (y/x)))

F (λx, λy) = λy/(λx(2 - log (λy/λx)))

F (λx, λy) = λy/(λx(2 - log (y/x)))

F (λx, λy) = y/(x(2 - log (y/x)))

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = y/(x(2 - log (y/x)))

v + x dv/dx = vx/(x(2 - log (vx/x)))

v + x dv/dx = v/(2 - log v)

x dv/dx = v/(2 - log v) - v

x dv/dx = (v - v(2 - log v))/(2 - log v)

x dv/dx = (v - 2v + v log v)/(2 - log v)

x dv/dx = (-v + v log v)/(2 - log v)

x dv/dx = v(log v - 1)/(2 - log v)

(2 - log v)/(v(log v - 1)) dv = dx/x

(1 - (log v - 1))/(v(log v - 1)) dv = dx/x

[1/(v(log v - 1)) - 1/v] dv = dx/x

∫[1/(v(log v - 1)) - 1/v] dv = ∫dx/x

两边积分

令 t = log v - 1, dt = (1/v)dv

∫dt/t - ∫dv/v = ∫dx/x

log t - log v = log x + log C

log (t/v) = log Cx

t/v = Cx

(log v - 1)/v = Cx

所以，

log t - log v = log x + log C

(log(y/x) - 1)/(y/x) = Cx

x(log(y/x) - 1)/y = Cx

(log(y/x) - 1)/y = C

log(y/x) - 1 = Cy

(log v - 1)/v = Cx

(log (y/x) - 1)/(y/x) = Cx

x(log (y/x) - 1)/y = Cx

log (y/x) - 1 = Cy

因此，这是给定微分方程的要求解。

10. (1 + e^x/y) dx + e^x/y (1 - x/y) dy = 0

解决方案

(1 + e^x/y) dx + e^x/y (1 - x/y) dy = 0

(1 + e^x/y) dx = -e^x/y (1 - x/y) dy

dx/dy = -e^x/y (1 - x/y)/(1 + e^x/y)

令 F (x, y) = -e^x/y (1 - x/y)/(1 + e^x/y)

F (λx, λy) = -e^λx/λy (1 - λx/λy)/(1 + e^λx/λy)

F (λx, λy) = -e^x/y (1 - x/y)/(1 + e^x/y)

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 x = vy

两边对 x 微分

dx/dy = v + y dv/dy

v + y dv/dy = dx/dy

v + y dv/dy = -e^x/y (1 - x/y)/(1 + e^x/y)

v + y dv/dy = -e^v (1 - v)/(1 + e^v)

v + y dv/dy = -e^v (1 - v)/(1 + e^v)

y dv/dy = -e^v (1 - v)/(1 + e^v) - v

y dv/dy = [-e^v(1 - v) - v (1 + e^v)]/(1 + e^v)

y dv/dy = [-e^v + ve^v - v - ve^v]/(1 + e^v)

y dv/dy = [-e^v - v]/(1 + e^v)

y dv/dy = -(e^v + v)/(1 + e^v)

(1 + e^v)/(v + e^v) dv = (-1/y) dy

两边积分

∫(1 + e^v)/(v + e^v) dv = ∫(-1/y) dy

令 t = v + e^v, dt = (1 + e^v)dv

∫dt/t = -log y + log C

log t = -log y + log C

log t = log(C/y)

所以，

令 t = v + e^v, dt = (1 + e^v)dv

t = C/y

v + e^v = C/y

y(v + e^v) = C

y(x/y + e^x/y) = C

x + y e^x/y = C

x + y e^x/y = C

x + y e^x/y = C

x + ye^x/y = C

因此，这是给定微分方程的要求解。

对于练习11至15中的每一个微分方程，求满足给定条件的特解

11. (x + y) dy + (x - y) dx = 0; 当 x = 1 时 y = 1

解决方案

(x + y) dy + (x - y) dx = 0

(x + y) dy = -(x - y) dx

dy/dx = -(x - y)/(x + y)

令 F (x, y) = -(x - y)/(x + y)

F (λx, λy) = -(λx - λy)/(λx + λy)

F (λx, λy) = -λ (x - y)/λ(x + y)

F (λx, λy) = -(x - y)/(x + y)

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = -(x - y)/(x + y)

v + x dv/dx = -(x - vx)/(x + vx)

v + x dv/dx = -x (1 - v)/x(1 + v)

v + x dv/dx = -(1 - v)/(1 + v)

x dv/dx = -(1 - v)/(1 + v) - v

x dv/dx = (-1 + v - v(1 + v))/(1 + v)

x dv/dx = (-1 + v - v - v²)/(1 + v)

x dv/dx = (-1 - v²)/(1 + v)

x dv/dx = -(1 + v²)/(1 + v)

(1 + v)/(1 + v²) dv = -(1/x) dx

[1/(1 + v²) + v/(1 + v²)] dv = -(1/x) dx

两边积分

∫[1/(1 + v²) + v/(1 + v²)] dv = -∫(1/x) dx

tan^-1v + (1/2)∫2v/(1 + v²) dv = -∫(1/x) dx

tan^-1v + (1/2)log(1 + v²) = -log x + C

(1/2) log (1 + v²) + tan^-1 v = -log x + C

log √(1+v²) + tan^-1v = -log x + C

log (x√(1+v²)) + tan^-1v = C

log (x√(1+(y/x)²)) + tan^-1(y/x) = C

log (√(x²+y²)) + tan^-1(y/x) = C

(1/2)log(x²+y²) + tan^-1(y/x) = C

log (√(x²+y²)) + tan^-1(y/x) = C

log (√(x²+y²)) + tan^-1(y/x) = C

log (x² + y²) + 2 tan^-1 (y/x) = 2C

代入 y = 1 和 x = 1

log (1² + 1²) + 2 tan^-1 (1/1) = 2C

log 2 + 2 tan^-1 1 = 2C

log 2 + 2 (π/4) = 2C

log 2 + π/2 = 2C

因此，

log (x² + y²) + 2 tan^-1 (y/x) = log 2 + π/2

因此，这是给定微分方程的要求解。

12. x²dy + (xy + y²) dx = 0; 当 x = 1 时 y = 1

解决方案

x² dy + (xy + y²) dx = 0

x² dy = -(xy + y²) dx

dy/dx = -(xy + y²)/x²

令 F (x, y) = -(xy + y²)/x²

F (λx, λy) = -(λxλy + (λy)²)/(λx)²

F (λx, λy) = -(λ²xy + λ²y²)/λ²x²

F (λx, λy) = -λ² (xy + y²)/λ²x²

F (λx, λy) = -(xy + y²)/x²

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = -(xy + y²)/x²

v + x dv/dx = -(xvx + (vx)²)/x²

v + x dv/dx = -(x²v + v²x²)/x²

v + x dv/dx = -x² (v + v²)/x²

v + x dv/dx = -(v + v²)

x dv/dx = -v - v² - v

x dv/dx = -2v - v²

x dv/dx = -v (v + 2)

1/(v(v + 2)) dv = -(1/x) dx

(1/2) (2/(v(v + 2))) dv = -(1/x) dx

(1/2) ((v+2) - v)/(v(v + 2)) dv = -(1/x) dx

(1/2) [1/v - 1/(v + 2)] dv = -(1/x) dx

两边积分

(1/2) ∫[1/v - 1/(v + 2)] dv = -∫(1/x) dx

(1/2) [log v - log (v + 2)] = -log x + log C

(1/2) log (v/(v + 2)) = log (C/x)

log √(v/(v + 2)) = log (C/x)

√(v/(v + 2)) = C/x

v/(v + 2) = C²/x²

(y/x)/(y/x + 2) = C²/x²

y/(y + 2x) = C²/x²

x²y/(y + 2x) = C²

代入 x = 1 和 y = 1

1²(1)/(1 + 2(1)) = C²

1/(1 + 2) = C²

1/3 = C²

因此，

x²y/(y + 2x) = 1/3

因此，这是给定微分方程的要求解。

13. [x sin²(y/x) - y] dx + x dy = 0; 当 x = 1 时 y = π/4

解决方案

[x sin² (y/x) - y] dx + x dy = 0

x dy = -[x sin² (y/x) - y] dx

dy/dx = (y - x sin² (y/x))/x

令 F (x, y) = (y - x sin² (y/x))/x

F (λx, λy) = (λy - λx sin² (λy/λx))/λx

F (λx, λy) = λ(y - x sin² (y/x))/λx

F (λx, λy) = (y - x sin² (y/x))/x

F (λx, λy) = (y - x sin² (y/x))/x

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = (y - x sin² (y/x))/x

v + x dv/dx = (vx - x sin² (vx/x))/x

v + x dv/dx = x(v - sin² v)/x

v + x dv/dx = v - sin² v

x dv/dx = -sin² v

dv/sin² v = -dx/x

x dv/dx = v - sin² v - v

x dv/dx = -sin² v

1/sin² v dv = -(1/x) dx

cosec² v dv = -(1/x) dx

两边积分

∫cosec² v dv = -∫(1/x) dx

-cot v = -log x + C

cot v = log x - C

cot (y/x) = log x - C

cot (y/x) = log(x/C')

代入 x = 1 和 y = π/4

cot (π/4) = log(1) - C

1 = 0 - C => C = -1

cot(y/x) = log x + 1

C = e¹

cot(y/x) = log x + 1

因此，

cot (y/x) = log(x/C')

cot (y/x) = log(ex)

因此，这是给定微分方程的要求解。

14. dy/dx - y/x + cosec (y/x) = 0; 当 x = 1 时 y = 0

解决方案

dy/dx - y/x + cosec (y/x) = 0

dy/dx = y/x - cosec (y/x)

令 F (x, y) = y/x - cosec (y/x)

F (λx, λy) = λy/λx - cosec (λy/λx)

F (λx, λy) = y/x - cosec (y/x)

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = y/x - cosec (y/x)

v + x dv/dx = vx/x - cosec (vx/x)

v + x dv/dx = v - cosec v

x dv/dx = v - cosec v - v

x dv/dx = -cosec v

1/cosec v dv = -(1/x) dx

sin v dv = -(1/x) dx

两边积分

∫sin v dv = -∫(1/x) dx

-cos v = -log x - log C

cos v = log x + log C

cos v = log Cx

cos (y/x) = log Cx

代入 x = 1 和 y = 0

cos (0/1) = log C(1)

cos 0 = log C

cot(y/x) = log x + 1

C = e¹

cot(y/x) = log x + 1

因此，

cos (y/x) = log Cx

cos (y/x) = log ex

因此，这是给定微分方程的要求解。

15. 2xy + y²- 2x²dy/dx = 0; 当 x = 1 时 y = 2

解决方案

2xy + y² - 2x² dy/dx = 0

2xy + y² = 2x² dy/dx

dy/dx = (2xy + y²)/2x²

令 F (x, y) = (2xy + y²)/2x²

F (λx, λy) = (2λxλy + (λy)²)/2(λx)²

F (λx, λy) = (2λ²xy + λ²y²)/2λ²x²

F (λx, λy) = λ² (2xy + y²)/2λ²x²

F (λx, λy) = (2xy + y²)/2x²

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = (2xy + y²)/2x²

v + x dv/dx = (2xvx + (vx)²)/2x²

v + x dv/dx = (2vx² + v²x²)/2x²

v + x dv/dx = x² (2v + v²)/2x²

v + x dv/dx = (2v + v²)/2

v + x dv/dx = v + v²/2

x dv/dx = v + v²/2 - v

x dv/dx = v²/2

2/v² dv = (1/x) dx

两边积分

∫2/v² dv = ∫(1/x) dx

2 v^-1/(-1) = log x + C

-2/v = log x + C

-2/(y/x) = log x + C

-2x/y = log x + C

代入 x = 1 和 y = 2

-2(1)/(2) = log 1 + C

-1 = 0 + C

C = -1

因此，

-2x/y = log x + C

-2x/y = log x - 1

2x/y = 1 - log x

因此，这是给定微分方程的要求解。

16. 一个形如 dx/dy = h (x/y) 的齐次微分方程可以通过替换来求解。

(A) y = vx (B) v = yx (C) x = vy (D) x = v

解决方案

为了求解一个齐次微分方程，我们首先需要验证它所微分的变量。

在 dx/dy = h (x/y) 的情况下，它是 x。

因此，我们需要替换 x = vy。

因此，(C) 是正确答案。

17. 下列哪个是齐次微分方程？

(A) (4x + 6y + 5) dy - (3y + 2x + 4) dx = 0
(B) (xy) dx - (x³ + y³) dy = 0
(C) (x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0
(D) y² dx + (x² - xy - y²) dy = 0

解决方案

任何函数 F (x, y) 都是 n 次齐次的，如果

F (λx, λy) = F (x, y)

考虑 (A)

(4x + 6y + 5) dy - (3y + 2x + 4) dx = 0

(4x + 6y + 5) dy = (3y + 2x + 4) dx

dy/dx = (3y + 2x + 4)/(4x + 6y + 5)

令 F (x, y) = (3y + 2x + 4)/(4x + 6y + 5)

F (λx, λy) = (3λy + 2λx + 4)/(4λx + 6λy + 5)

F (λx, λy) ≠ λⁿ F (x, y)

所以，(4x + 6y + 5) dy - (3y + 2x + 4) dx = 0 不是一个齐次微分方程。

考虑 (B)

(xy) dx - (x³ + y³) dy = 0

(xy) dx = (x³ + y³) dy

dy/dx = (xy)/(x³ + y³)

令 F (x, y) = (xy)/(x³ + y³)

F (λx, λy) = (λxλy)/((λx)³ + (λy)³)

F (λx, λy) = (λ²xy)/(λ³x³ + λ³y³)

F (λx, λy) = (λ²xy)/λ²(λx³ + λy³)

F (λx, λy) = (xy)/(λx³ + λy³)

F (λx, λy) ≠ λⁿ F (x, y)

所以，(xy) dx - (x³ + y³) dy = 0 不是一个齐次微分方程。

考虑 (C)

(x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0

(x³ + 2y²) dx = -2xy dy

dy/dx = -(x³ + 2y²)/(2xy)

令 F (x, y) = -(x³ + 2y²)/(2xy)

F (λx, λy) = -((λx)³ + 2(λy)²)/(2λxλy)

F (λx, λy) = -(λ³x³ + 2λ²y²)/(2λ²xy)

F (λx, λy) = -λ² (λx³ + 2y²)/(2λ²xy)

F (λx, λy) = -(λx³ + 2y²)/(2xy)

F (λx, λy) ≠ λⁿ F (x, y)

所以，(x³ + 2y²) dx + 2xy dy = 0 不是一个齐次微分方程。

考虑 (D)

y² dx + (x² - xy - y²) dy = 0

y² dx = -(x² - xy - y²) dy

dy/dx = -y²/(x² - xy - y²)

令 F (x, y) = -y²/(x² - xy - y²)

F (λx, λy) = -(λy)²/((λx)² - λxλy - (λy)²)

F (λx, λy) = -λ²y²/(λ²x² - λ²xy - λ²y²)

F (λx, λy) = -λ²y²/λ²(x² - xy - y²)

F (λx, λy) = -y²/(x² - xy - y²)

F (λx, λy) = F (x, y)

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，y² dx + (x² - xy - y²) dy = 0 是一个齐次微分方程。

因此，(D) 是正确答案。

练习 9.5

对于练习 1 到 12 中给出的每个微分方程，求其通解。

1. dy/dx + 2y = sin x

解决方案

dy/dx + 2y = sin x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 2 且 q = sin x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫2 dx} = e^2x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y e^2x = ∫(e^2x sin x) dx + C

令 I = ∫(e^2x sin x) dx

I = sin x ∫e^2x dx - ∫[d/dx (sin x) ∫e^2x dx] dx

I = (e^2x sin x)/2 - (1/2) ∫e^2x cos x dx

I = (e^2x sin x)/2 - (1/2) [cos x ∫e^2x dx - ∫[d/dx (cos x) ∫e^2x dx] dx]

I = (e^2x sin x)/2 - (1/2) [(e^2x cos x)/2 + (1/2) ∫e^2x sin x e^2x dx]

I = (e^2x sin x)/2 - (e^2x cos x)/4 + (1/4) ∫e^2x sin x e^2x dx

I = (e^2x sin x)/2 - (e^2x cos x)/4 + I/4

I - I/4 = (e^2x sin x)/2 - (e^2x cos x)/4

5I/4 = (e^2x sin x)/2 - (e^2x cos x)/4

5I/4 = (e^2x/4) (2 sin x - cos x)

I = e^2x (2 sin x - cos x)/5

因此，

y e^2x = e^2x (2 sin x - cos x)/5 + C

y = (2 sin x - cos x)/5 + C/e^2x

y = (2 sin x - cos x)/5 + Ce^-2x

因此，这是给定微分方程所需的通解。

2. dy/dx + 3y = e^-2x

解决方案

dy/dx + 3y = e^-2x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 3 且 q = e^-2x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫3 dx} = e^3x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y e^3x = ∫(e^-2x e^3x) dx + C

y e^3x = ∫e^x dx + C

y e^3x = e^x + C

y = e^-2x + C/e^3x

y = e^-2x + Ce^-3x

因此，这是给定微分方程所需的通解。

3. dy/dx + y/x = x²

解决方案

dy/dx + y/x = x²

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 1/x 且 q = x²

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫1/x dx} = e^{log x} = x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (x) = ∫(x² x) dx + C

xy = ∫x³ dx + C

xy = x⁴/4 + C

y = x³/4 + C/x

因此，这是给定微分方程所需的通解。

4. dy/dx + (sec x) y = tan x (0 ≤ x ≤ π/2)

解决方案

dy/dx + (sec x) y = tan x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = sec x 且 q = tan x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫sec x dx} = e^{log (sec x + tan x)} = sec x + tan x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (sec x + tan x) = ∫(tan x) (sec x + tan x) dx + C

y (sec x + tan x) = ∫sec x tan x dx + ∫tan² x dx + C

y (sec x + tan x) = sec x + ∫(sec² x - 1) dx + C

y (sec x + tan x) = sec x + tan x - x + C

因此，这是给定微分方程所需的通解。

5. cos²x dy/dx + y = tan x (0 ≤ x ≤ π/2)

解决方案

cos² x dy/dx + y = tan x

两边同除以 cos² x

dy/dx + y/cos² x = tan x/cos² x

dy/dx + y sec² x = sec² x tan x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = sec² x 且 q = sec² x tan x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫sec2x dx} = e^{tan x}

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y e^{tan x} = ∫(sec² x tan x) (e^{tan x}) dx + C

令 tan x = t

d/dx (tan x) = dt/dx

sec² x dx = dt

所以，

y e^t = ∫t e^t dt + C

y e^t = t ∫e^t dt - ∫[(dt/dt) ∫e^t dt] dt + C

y e^t = t e^t - ∫e^t dt + C

y e^t = t e^t - e^t + C

y e^t = e^t (t - 1) + C

y = t - 1 + C/e^t

y = t - 1 + Ce^-t

y = tan x - 1 + Ce^{-tan x}

因此，这是给定微分方程所需的通解。

6. x dy/dx + 2y = x² log x

解决方案

x dy/dx + 2y = x² log x

两边同除以 x

dy/dx + 2y/x = x log x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 2/x 且 q = x log x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫2/x dx} = e^{2∫1/x dx} = e^{2 log x} = x²

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y x² = ∫(x log x) (x²) dx + C

y x² = ∫x³ log x dx + C

y x² = log x ∫x³ dx - ∫[d/dx (log x) ∫x³ dx] dx + C

y x² = (x⁴ log x)/4 - ∫(1/x) x⁴/4 dx + C

y x² = (x⁴ log x)/4 - (1/4) ∫x³ dx + C

y x² = (x⁴ log x)/4 - (x⁴/16) + C

y = (x² log x)/4 - (x²/16) + C/x²

因此，这是给定微分方程所需的通解。

7. x log x dy/dx + y = (2/x) log x

解决方案

x log x dy/dx + y = (2/x) log x

两边同除以 x log x

dy/dx + y/(x log x) = 2/x²

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 1/(x log x) 且 q = 2/x²

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫1/(x log x) dx} = e^{log (log x)} = log x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y log x = ∫(2 log x)/(x²) dx + C

y log x = 2 ∫(log x)/x² dx + C

y log x = 2 [log x ∫(1/x²) dx - ∫[d/dx (log x) ∫(1/x²) dx] dx] + C

y log x = 2 [-(log x)/x + ∫1/x² dx] + C

y log x = 2 [-(log x)/x - 1/x] + C

y log x = (-2/x) [log x + 1] + C

因此，这是给定微分方程所需的通解。

8. (1 + x²) dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)

解决方案

(1 + x²) dy + 2xy dx = cot x dx

(1 + x²) dy = -2xy dx + cot x dx

(1 + x²) dy = (cot x - 2xy) dx

dy/dx = (cot x - 2xy)/(1 + x²)

dy/dx - 2xy/(1 + x²) = (cot x)/(1 + x²)

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 2x/(1 + x²) 且 q = (cot x)/(1 + x²)

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫2x/(1 + x2) dx} = e^{log (1 + x2)} = 1 + x²

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (1 + x²) = ∫(cot x)/(1 + x²) (1 + x²) dx + C

y (1 + x²) = ∫cot x dx + C

y (1 + x²) = log (sin x) + C

因此，这是给定微分方程所需的通解。

8. x dy/dx + y - x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)

解决方案

x dy/dx + y - x + xy cot x = 0

x dy/dx + y + xy cot x = x

x dy/dx + y (1 + x cot x) = x

两边同除以 x

dy/dx + y (1 + x cot x)/x = 1

dy/dx + y (1/x + cot x) = 1

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = (1/x + cot x) 且 q = 1

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫(1/x + cot x) dx} = e^{log x + log (sin x)} = e^{log (x sin x)} = x sin x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (x sin x) = ∫(1) (x sin x) dx + C

y (x sin x) = x ∫sin x dx - ∫[dx/dx ∫sin x dx] dx + C

y (x sin x) = -x cos x + ∫cos x dx + C

y (x sin x) = -x cos x + sin x + C

y = - cos x/sin x + 1/x + C/(x sin x)

y = -cot x + 1/x + C/(x sin x)

因此，这是给定微分方程所需的通解。

10. (x + y) dy/dx = 1

解决方案

(x + y) dy/dx = 1

dy/dx = 1/(x + y)

dx/dy = x + y

dx/dy - x = y

将给定的微分方程与 dx/dy + px = q 进行比较，我们得到

p = -1 且 q = y

I. F = e^{∫p dy} = e^{∫-1 dy} = e^-y

给定微分方程的通解由以下公式给出

x (I. F) = ∫(q × I. F) dy + C

x (e^-y) = ∫(y e^-y) dy + C

x (e^-y) = y ∫e^-y dy - ∫[dy/dy ∫e^-y dy] dy + C

x (e^-y) = -ye^-y + ∫e^-y dy + C

x (e^-y) = -ye^-y - e^-y + C

x = -y - 1 + C/e^-y

x = -y - 1 + Ce^y

因此，这是给定微分方程所需的通解。

11. y dx + (x - y²) dy = 0

解决方案

y dx + (x - y²) dy = 0

y dx = -(x - y²) dy

y dx = (y² - x) dy

dx/dy = (y² - x)/y

dx/dy = y - x/y

dx/dy + x/y = y

将给定的微分方程与 dx/dy + px = q 进行比较，我们得到

p = 1/y 且 q = y

I. F = e^{∫p dy} = e^{∫1/y dy} = e^{log y} = y

给定微分方程的通解由以下公式给出

x (I. F) = ∫(q × I. F) dy + C

x (y) = ∫(y) (y) dy + C

xy = ∫y² dy + C

xy = y³/3 + C

x = y²/3 + C/y

因此，这是给定微分方程所需的通解。

12. (x + 3y²) dy/dx = y (y > 0)

解决方案

(x + 3y²) dy/dx = y

dy/dx = y/(x + 3y²)

dx/dy = (x + 3y²)/y

dx/dy = x/y + 3y

dx/dy - x/y = 3y

将给定的微分方程与 dx/dy + px = q 进行比较，我们得到

p = -1/y 且 q = 3y

I. F = e^{∫p dy} = e^{∫-1/y dy} = e^{-log y} = 1/y

给定微分方程的通解由以下公式给出

x (I. F) = ∫(q × I. F) dy + C

x (1/y) = ∫(3y) (1/y) dy + C

x/y = ∫3 dy + C

x/y = 3y + C

x = 3y² + Cy

因此，这是给定微分方程所需的通解。

对于练习 13 到 15 中给出的每个微分方程，求满足给定条件的特解。

13. dy/dx + 2y tan x = sin x; 当 x = π/3 时 y = 0

解决方案

dy/dx + 2y tan x = sin x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = (2 tan x) 且 q = sin x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫(2 tan x) dx} = e^{2 log (sec x)} = e^{log sec2x} = sec² x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (sec² x) = ∫(sin x sec² x) dx + C

y (sec² x) = ∫(sin x)/cos² x dx + C

y (sec² x) = ∫(sec x tan x) dx + C

y (sec² x) = sec x + C

代入 y = 0 和 x = π/3

0 (sec² x) = sec π/3 + C

0 = 2 + C

C = -2

因此，

y (sec² x) = sec x - 2

y = 1/sec x - 2/sec² x

y = cos x - 2 cos² x

因此，这是给定微分方程所需的特解。

14. (1 + x²) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x²); 当 x = 1 时 y = 0

解决方案

(1 + x²) dy/dx + 2xy = 1/(1 + x²)

两边同除以 (1 + x²)

dy/dx + 2xy/(1 + x²) = 1/(1 + x²)²

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 2x/(1 + x²) 且 q = 1/(1 + x²)²

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫2x/(1 + x2) dx} = e^{log (1 + x2)} = 1 + x²

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (1 + x²) = ∫1/(1 + x²)² (1 + x²) dx + C

y (1 + x²) = ∫1/(1 + x²) dx + C

y (1 + x²) = tan^-1 x + C

代入 y = 0 和 x = 1

0 (1 + 1²) = tan^-1 1 + C

0 = π/4 + C

C = -π/4

因此，

y (1 + x²) = tan^-1 x - π/4

因此，这是给定微分方程所需的特解。

15. dy/dx - 3y cot x = sin 2x; 当 x = π/2 时 y = 2

解决方案

dy/dx - 3y cot x = sin 2x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = -3 cot x 且 q = sin 2x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫-3 cot x dx} = e^{-3 log (sin x)} = 1/sin³x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (1/sin³ x) = ∫sin 2x (1/sin³ x) dx + C

y (cosec³ x) = ∫2 sin x cos x (1/sin³ x) dx + C

y (cosec³ x) = 2 ∫cot x cosec x dx + C

y (cosec³ x) = -2 cosec x + C

y = -2/cosec² x + C/cosec³ x

y = -2 sin² x + C sin³ x

代入 y = 2 和 x = π/2

2 = -2 sin² π/2 + C sin³ π/2

2 = -2 + C

C = 4

因此，

y = -2 sin² x + 4 sin³ x

y = 4 sin³ x + 2 sin² x

因此，这是给定微分方程所需的特解。

16. 求通过原点的曲线方程，已知曲线上任意点 (x, y) 处的切线斜率等于该点坐标之和。

解决方案

令 F (x, y) 是通过原点的曲线。

曲线上点 (x, y) 的斜率由 dy/dx 给出。

已知曲线的切线斜率等于该点坐标之和。因此，

dy/dx = x + y

dy/dx - y = x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = -1 且 q = x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫-1 dx} = e^-x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (e^-x) = ∫(x) (e^-x) dx + C

y (e^-x) = x ∫e^-x dx - ∫[dx/dx ∫e^-x dx] dx + C

y (e^-x) = -x e^-x + ∫e^-x dx + C

y (e^-x) = -x e^-x - e^-x + C

y (e^-x) = -(e^-x) (x + 1 - C/e^-x)

y = -(x + 1 - C/e^-x)

y = -(x + 1 - Ce^x)

y = -x - 1 + Ce^x

Ce^x = x + y + 1

我们知道曲线通过原点。所以，

代入 x = 0 和 y = 0

Ce⁰ = 0 + 0 + 1

C = 1

因此，

e^x = x + y + 1

因此，具有给定斜率并通过原点的曲线方程是

x + y + 1 = e^x.

17. 求通过点 (0, 2) 的曲线方程，已知曲线上任意点的坐标之和超过该点切线斜率的大小 5。

解决方案

令 F (x, y) 为通过给定点的曲线。

令 (x, y) 为曲线 F (x, y) 上的任意点。

曲线在 (x, y) 处的切线斜率由 dy/dx 给出。

已知曲线上任意点的坐标之和超过该点切线斜率的大小 5。因此，

dy/dx + 5 = x + y

dy/dx - y = x - 5

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = -1 且 q = x - 5

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫-1 dx} = e^-x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (e^-x) = ∫(x - 5) e^-x dx + C

y (e^-x) = (x - 5) ∫e^-x dx - ∫[d/dx (x - 5) ∫e^-x dx] dx + C

y (e^-x) = -(x - 5) e^-x + ∫e^-x dx + C

y (e^-x) = -(x - 5) e^-x - e^-x + C

y (e^-x) = -(e^-x) (x - 5 + 1 - C/e^-x)

y = -(x - 4 - C/e^-x)

y = -(x - 4 - Ce^x)

y = -x + 4 + Ce^x

Ce^x = x + y - 4

我们知道曲线通过点 (0, 2)。所以，

代入 x = 0 和 y = 2

Ce⁰ = 0 + 2 - 4

C = -2

因此，

-2e^x = x + y - 4

因此，具有给定斜率并通过原点的曲线方程是

x + y - 4 = -2e^x.

18. 微分方程 x dy/dx - y = 2x² 的积分因子是

(A) e^-x (B) e^-y (C) 1/x (D) x

解决方案

x dy/dx - y = 2x²

两边同除以 x

dy/dx - y/x = 2x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = -1/x 且 q = 2x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫-1/x dx} = e^{-log x}

= e^{log x-1}

= x^-1

= 1/x

因此，(C) 是正确答案。

19. 微分方程的积分因子

(1 - y²) dx/dy + yx = ay (-1 < y < 1) 是

(A) 1/(y² - 1) (B) 1/√(y² - 1) (C) 1/(1 - y²) (D) 1/√(1 - y²)

解决方案

(1 - y²) dx/dy + yx = ay

两边同除以 (1 - y²)

dx/dy + yx/(1 - y²) = ay/(1 - y²)

将给定的微分方程与 dx/dy + px = q 进行比较，我们得到

p = 1/(1 - y²) 且 q = ay/(1 - y²)

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫1/(1 - y2) dx}

= e^{(-1/2) log (1 - y2)}

= e^{log (1 - y2)(-1/2)}

= (1 - y²)^(-1/2)

= 1/(1 - y²)^1/2

= 1/√(1 - y²)

因此，(D) 是正确答案。

杂项练习

1. 对于下面给出的每个微分方程，指出其阶数和次数（如果已定义）。

(i) d²y/dx² + 5d (dy/dx)² - 6y = log x

解决方案

d²y/dx² + 5d (dy/dx)² - 6y = log x

d²y/dx² + 5d (dy/dx)² - 6y - log x = 0

给定微分方程中存在的最高阶导数是 d²y/dx²。

d²y/dx² 的最高次幂是一。

因此，给定的微分方程是二阶一次的。

(ii) (dy/dx)³ - 4 (dy/dx)² + 7y = sin x

解决方案

(dy/dx)³ - 4 (dy/dx)² + 7y = sin x

(dy/dx)³ - 4 (dy/dx)² + 7y - sin x = 0

给定微分方程中存在的最高阶导数是 dy/dx。

dy/dx 的最高次幂是三。

因此，给定的微分方程是一阶三次的。

(iii) d⁴y/dx⁴ - sin (d³y/dx³) = 0

解决方案

d⁴y/dx⁴ - sin (d³y/dx³) = 0

给定微分方程中存在的最高阶导数是 d⁴y/dx⁴。

d⁴y/dx⁴ 的最高次幂是一。

因此，给定的微分方程是四阶一次的。

2. 对于下面给出的每个练习，验证给定的函数（隐式或显式）是相应微分方程的解。

(i) xy = ae^x + be^-x + x² : x d²y/dx² + 2 dy/dx - xy + x² - 2 = 0

解决方案

xy = ae^x + be^-x + x²

两边对 x 微分

d/dx (xy) = d/dx (ae^x + be^-x + x²)

x dy/dx + y dx/dx = ae^x - be^-x + 2x

x dy/dx + y = ae^x - be^-x + 2x

两边对 x 微分

d/dx (x dy/dx + y) = d/d (ae^x - be^-x + 2x)

dy/dx + x d²y/dx² + dy/dx (dx/dx) = a^ex + be^-x + 2

dy/dx + x d²y/dx² + dy/dx = ae^x + be^-x + 2

2 dy/dx + x d²y/dx² = ae^x + be^-x + 2

另外，

xy = ae^x + be^-x + x²

ae^x + be^-x = xy - x²

因此，

2 dy/dx + x d²y/dx² = xy - x² + 2

x d²y/dx² + 2 dy/dx + - xy + x² - 2 = 0

LHS = RHS

因此，已验证给定的函数是给定微分方程的解。

(ii) y = e^x (a cos x + b sin x) : d²y/dx² - 2 dy/dx + 2y = 0

解决方案

y = e^x (a cos x + b sin x)

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (ae^x cos x + be^x sin x)

dy/dx = a (e^x d/dx (cos x) + cos x d/dx (e^x)) + b (e^x d/dx (sin x) + sin x d/dx (e^x))

dy/dx = a (-e^x sin x + e^x cos x) + b (e^x cos x + e^x sin x)

dy/dx = -ae^x sin x + ae^x cos x + be^x cos x + be^x sin x

dy/dx = (a + b) e^x cos x + (b - a) e^x sin x

两边对 x 微分

d/dx (dy/dx) = d/dx [(a + b) e^x cos x + (b - a) e^x sin x]

d²y/dx² = (a + b) [e^x d/dx (cos x) + cos x d/dx (e^x)] + (b - a) [e^x d/dx (sin x) + sin x d/dx (e^x)]

d²y/dx² = (a + b) (-e^x sin x + e^x cos x) + (b - a) (e^x cos x + e^x sin x)

d²y/dx² = -ae^x sin x + ae^x cos x - be^x sin x + be^x cos x + be^x cos x + be^x sin x - ae^x cos x - ae^x sin x

d²y/dx² = -2ae^x sin x + 2be^x cos x

d²y/dx² = 2e^x (b cos x - a sin x)

现在，

左边 = d²y/dx² - 2 dy/dx + 2y

= 2e^x (b cos x - a sin x) - 2e^x [(a + b) cos x + (b - a) sin x] + 2y

= 2e^x [b cos x - a sin x - a cos x - b cos x - b sin x + a sin x] + 2y

= 2e^x [-a cos x - b sin x] + 2y

= -2e^x (a cos x + b sin x) + 2y

= -2y + 2y

= 0

= RHS

因此，已验证给定的函数是给定微分方程的解。

(iii) y = x sin 3x : d²y/dx² + 9y - 6 cos 3x = 0

解决方案

y = x sin 3x

两边对 x 微分

dy/dx = d/dx (x sin 3x)

dy/dx = x (cos 3x) (3) + sin 3x dx/dx

dy/dx = 3x cos 3x + sin 3x

两边对 x 微分

d/dx (dy/dx) = d/dx (3x cos 3x + sin 3x)

d²y/dx² = 3 d/dx (x cos 3x) + 3 cos 3x

d²y/dx² = 3 (-x (sin 3x) (3) + cos 3x dx/dx) + 3 cos 3x

d²y/dx² = 3 (-3x sin 3x + cos 3x) + 3 cos 3x

d²y/dx² = -9x sin 3x + 3 cos 3x + 3 cos 3x

d²y/dx² = -9x sin 3x + 6 cos 3x

d²y/dx² + 9x sin 3x - 6 cos 3x = 0

d²y/dx² + 9y - 6 cos 3x = 0

LHS = RHS

因此，已验证给定的函数是给定微分方程的解。

(iv) x² = 2y² log y : (x² + y²) dy/dx - xy = 0

解决方案

x² = 2y² log y

两边对 x 微分

d/dx (x²) = 2 d/dx (y² log y)

2x = 2 (y² (1/y) dy/dx + log y (2y) dy/dx)

2x = 2 (y + 2y log y) dy/dx

x = (y + 2y log y) dy/dx

dy/dx = x/(y + 2y log y)

现在，

左边 = (x² + y²) dy/dx - xy

= (x² + y²) x/(y + 2y log y) - xy

= (2y² log y + y²)x/(y + 2y log y) - xy

= y(2y log y + 1)x/(2y log y + y) - xy

= xy - xy

= 0

= RHS

因此，已验证给定的函数是给定微分方程的解。

3. 证明 x² - y² = c (x² + y²)² 是微分方程 (x³ - 3xy²) dx = (y³ - 3x²y) dy 的通解，其中 c 是一个参数。

解决方案

(x³ - 3xy²) dx = (y³ - 3x²y) dy

dy/dx = (x³ - 3xy²)/(y³ - 3x²y)

令 F (x, y) = (x³ - 3xy²)/(y³ - 3x²y)

F (λx, λy) = (λ³x³ - 3λxλ²y²)/(λ³y³ - 3λ²x²λy)

F (λx, λy) = (λ³x³ - 3λ³xy²)/(λ³y³ - 3λ³x²y)

F (λx, λy) = λ³ (x³ - 3xy²)/λ³ (y³ - 3x²y)

F (λx, λy) = (x³ - 3xy²)/(y³ - 3x²y)

F (λx, λy) = F (x, y)

所以，

F (λx, λy) = λ⁰ F (x, y)

因此，给定的微分方程是齐次方程。

令 y = vx

两边对 x 微分

dy/dx = v + x dv/dx

v + x dv/dx = dy/dx

v + x dv/dx = (x³ - 3xy²)/(y³ - 3x²y)

v + x dv/dx = (x³ - 3x(vx)²)/((vx)³ - 3x²(vx))

v + x dv/dx = (x³ - 3v²x³)/(v³x³ - 3vx³)

v + x dv/dx = x³ (1 - 3v²)/x³ (v³ - 3v)

v + x dv/dx = (1 - 3v²)/(v³ - 3v)

x dv/dx = (1 - 3v²)/(v³ - 3v) - v

x dv/dx = [1 - 3v² - v⁴ + 3v²]/(v³ - 3v)

x dv/dx = [1 - v⁴]/(v³ - 3v)

(v³ - 3v)/(1 - v⁴) dv = dx/x

两边积分

∫(v³ - 3v)/(1 - v⁴) dv = ∫dx/x

∫v³/(1 - v⁴) dv - 3 ∫v/(1 - v⁴) dv = log x + log C

令 1 - v⁴ = t

d/dv (1 - v⁴) = dt/dv

-4v³ = dt/dv

v³ = (-1/4) dt/dv

所以，

-(1/4) ∫1/t dt - 3 ∫v/(1 - (v²)²) dv = log x + log C

-(1/4) log t - 3 ∫v/(1 - (v²)²) dv = log x + log C

令 v² = u

d/dv (v²) = du/dv

2v = du/dv

-(1/4) log t - (3/2) ∫1/(1 - u²) du = log x + log C

-(1/4) log t - (3/4) log |(1 + u)/(1 - u)| = log Cx

-(1/4) [log t + 3 log |(1 + u)/(1 - u)|] = log Cx

-(1/4) [log t + log |(1 + u)/(1 - u)|³] = log Cx

-(1/4) [log (1 - v⁴) + log |(1 + v²)/(1 - v²)|³] = log Cx

-(1/4) log (1 - v⁴)((1 + v²)/(1 - v²))³ = log Cx

log (1 - v⁴)((1 + v²)/(1 - v²))³ = -4 log Cx

log (1 - v⁴)((1 + v²)/(1 - v²))³ = log (Cx)^-4

(1 - v²)(1 + v²) ((1 + v²)/(1 - v²))³ = (Cx)^-4

(1 + v²)⁴/(1 - v²)² = (Cx)^-4

(1 + (y/x)²)⁴/(1 - (y/x)²)² = (Cx)^-4

(1 + y²/x²)⁴/(1 - y²/x²)² = (Cx)^-4

[(x² + y²)/x²]⁴/[(x² - y²)/x²)]² = (Cx)^-4

(x² + y²)⁴/x⁴(x² - y²)² = 1/(Cx)⁴

(x² + y²)⁴/(x² - y²)² = 1/C⁴

C⁴ (x² + y²)⁴ = (x² - y²)²

c (x² + y²)⁴ = (x² - y²)²

其中 c = C⁴。

因此，证明完毕。

4. 求微分方程 dy/dx + √(1 - y²)/(1 - x²) = 0 的通解。

解决方案

dy/dx + √(1 - y²)/(1 - x²) = 0

dy/dx = -√(1 - y²)/(1 - x²)

dy/√(1 - y²) = -dx/√(1 - x²)

两边积分

∫dy/√(1 - y²) = -∫dx/√(1 - x²)

sin^-1 y = -sin^-1 x + C

C = sin^-1 x + sin^-1 y

因此，这是给定微分方程的通解。

5. 证明微分方程 dy/dx + (y² + y + 1)/(x² + x + 1) = 0 的通解由 (x + y + 1) = A (1 - x - y - 2xy) 给出，其中 A 是参数。

解决方案

dy/dx + (y² + y + 1)/(x² + x + 1) = 0

dy/dx = -(y² + y + 1)/(x² + x + 1)

dy/(y² + y + 1) = -dx/(x² + x + 1)

dy/(y² + y + 1) + dx/(x² + x + 1) = C

两边积分

∫dy/(y² + y + 1) + ∫dx/(x² + x + 1) = C

∫dy/(y² + y + 1/4 - 1/4 + 1) + ∫dx/(x² + x + 1/4 - 1/4 + 1) = C

∫dy/[(y + 1/2)² - 3/4] + ∫dx/[(x + 1/2)² - 3/4] = C

∫dy/[(y + 1/2)² - (√3/2)²] + ∫dx/[(x + 1/2)² - (√3/2)²] = C

(2/√3) tan^-1 |(y + 1/2)/(√3/2)| + (2/√3) tan^-1 |(x + 1/2)/(√3/2)| = C

tan^-1 |(y + 1/2)/(√3/2)| + tan^-1 |(x + 1/2)/(√3/2)| = C√3/2

tan^-1 [(2y + 1)/√3] + tan^-1 [(2x + 1)/√3] = C√3/2

tan^-1 [((2y + 1)/√3 + (2x + 1)/√3)/(1 - (2y + 1)/√3 (2x + 1)/√3)] = C√3/2

tan^-1 [((2y + 2x + 2)/√3)/(1 - (4xy + 2x + 2y + 1)/3] = C√3/2

tan^-1 [((2y + 2x + 2)/√3)/(3 - 4xy + 2x + 2y + 1)/3] = C√3/2

tan^-1 [√3(2y + 2x + 2)/(-4xy - 2x - 2y + 2)] = C√3/2

√3(2y + 2x + 2)/2(-2xy - x - y + 1) = tan (C√3/2)

√3(2y + 2x + 2)/2(-2xy - x - y + 1) = B

其中 B = tan (C√3/2)

(2y + 2x + 2)/(-2xy - x - y + 1) = 2B/√3

(y + x + 1)/(-2xy - x - y + 1) = B/√3

其中 A = B/√3

(x + y + 1) = A (1 - x - y - 2xy)

因此，证明完毕。

6. 求通过点 (0, π/4) 的曲线方程，其微分方程为 sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0。

解决方案

sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0

两边同除以 cos x cos y

(sin x cos y dx + cos x sin y dy)/cos x cos y = 0

tan x dx = -tan y dy

两边积分

∫tan x dx = -∫tan y dy

log (sec x) = -log (sec y) + log C

log (sec x) + log (sec y) = log C

log (sec x sec y) = log C

sec x sec y = C

因为曲线通过点 (0, π/4)，代入 x = 0 和 y = π/4。

sec 0 sec π/4 = C

√2 = C

因此，

sec x sec y = √2

sec y = √2/sec x

sec y = √2 cos x

因此，所需曲线方程为 cos y = sec x/√2。

7. 求微分方程 (1 + e^2x) dy + (1 + y²) e^x dx = 0 的特解，已知当 x = 0 时 y = 1。

解决方案

(1 + e^2x) dy + (1 + y²) e^x dx = 0

(1 + e^2x) dy = -(1 + y²) e^x dx

dy/(1 + y²) = -(e^x/(1 + e^2x)) dx

两边积分

∫dy/(1 + y²) = -∫(e^x/(1 + e^2x)) dx

tan^-1 y = -∫(e^x/(1 + e^2x)) dx

令 e^x = t

d/dx (e^x) = dt/dx

e^x = dt/dx

所以，

tan^-1 y = -∫1/(1 + t²) dt

tan^-1 y = -tan^-1 t + C

tan^-1 y + tan^-1 t = C

tan^-1 y + tan^-1 e^x = C

代入 x = 0 和 y = 1

tan^-1 1 + tan^-1 e⁰ = C

π/4 + tan^-1 1 = C

π/4 + π/4 = C

π/2 = C

因此，

tan^-1 y + tan^-1 e^x = π/2

因此，这是给定微分方程所需的特解。

8. 解微分方程 y e^x/y dx = (xe^x/y + y²) dy (y ≠ 0)。

解决方案

y e^x/y dx = (xe^x/y + y²) dy

y e^x/y dx/dy = xe^x/y + y²

y e^x/y dx/dy - xe^x/y = y²

e^x/y (y dx/dy - x) = y²

e^x/y (y dx/dy - x)/y² = 1

令 e^x/y = t

d/dy (e^x/y) = dt/dy

e^x/y [y dx/dy - x dy/dy]/y² = dt/dy

e^x/y [y dx/dy - x]/y² = dt/dy

所以，

dt/dy = 1

dt = dy

两边积分

∫dt = ∫dy

t = y + C

e^x/y = y + C

e^x/y - y = C

因此，这是给定微分方程的要求解。

9. 求微分方程 (x - y) (dx + dy) = dx - dy 的特解，已知当 x = 0 时 y = -1。（提示：令 x - y = t）

解决方案

(x - y) (dx + dy) = dx - dy

(x - y) dx + (x - y) dy = dx - dy

(x - y) dy + dy = dx - (x - y) dx

(x - y + 1) dy = (1 - x + y) dx

(x - y + 1) dy/dx = (1 - x + y)

令 x - y = t

d/dx (x - y) = dt/dx

1 - dy/dx = dt/dx

dy/dx = 1 - dt/dx

所以，

(t + 1) (1 - dt/dx) = (1 - t)

1 - dt/dx = (1 - t)/(1 + t)

dt/dx = 1 - (1 - t)/(1 + t)

dt/dx = (1 + t - 1 + t)/(1 + t)

dt/dx = 2t/(1 + t)

(1 + t)/t dt = 2 dx

(1/t + 1) dt = 2 dx

两边积分

∫(1/t + 1) dt = 2 ∫dx

log t + t = 2x + C

log (x - y) + x - y = 2x + C

log (x - y) - x - y = C

代入 x = 0 和 y = -1

log (0 + 1) - 0 + 1 = C

1 = C

因此，

log (x - y) - x - y = 1

因此，这是给定微分方程所需的特解。

10. 解微分方程 [e^-2√x/√x - y/√x] dx/dy = 1 (x ≠ 0)。

解决方案

[e^-2√x/√x - y/√x] dx/dy = 1

dy/dx = e^-2√x/√x - y/√x

dy/dx + y√x = e^-2√x/√x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 1/√x 且 q = e^-2√x/√x

1. F = e^{∫p dx} = e^{∫1/√x dx} = e^2√x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (e^2√x) = ∫(e^-2√x/√x) (e^2√x) dx + C

y (e^2√x) = ∫1/√x dx + C

y (e^2√x) = 2√x + C

因此，这是给定微分方程所需的通解。

11. 求微分方程 dy/dx + y cot x = 4x cosec x (x ≠ 0) 的特解，已知当 x = π/2 时 y = 0。

解决方案

dy/dx + y cot x = 4x cosec x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = cot x 且 q = 4x cosec x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫cot x dx} = e^{log (sin x)} = sin x

给定微分方程的通解由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y (sin x) = ∫(4x cosec x) (sin x) dx + C

y sin x = 4 ∫x dx + C

y sin x = 4 x²/2 + C

y sin x = 2x² + C

代入 x = π/2 和 y = 0

0 sin π/2 = 2 (π/2)² + C

0 = 2 (π²)/4 + C

0 = π²/2 + C

C = -π²/2

因此，

y sin x = 2x² - π²/2

因此，这是给定微分方程所需的特解。

12. 求微分方程 (x + 1) dy/dx = 2 e^-y - 1 的特解，已知当 x = 0 时 y = 0。

解决方案

(x + 1) dy/dx = 2e^-y - 1

dy/(2e^-y - 1) = dx/(x + 1)

dy/e^-y(2 - 1/e^-y) = dx/(x + 1)

e^y/(2 - e^y) dy = dx/(x + 1)

两边积分

∫e^y/(2 - e^y) dy = ∫dx/(x + 1)

∫e^y/(2 - e^y) dy = log (x + 1) + log C

令 2 - e^y = t

d/dy (2 - e^y) = dt/dy

-e^y = dt/dy

所以，

-∫1/t dt = log (x + 1) + log C

-log t = log C (x + 1)

-log (2 - e^y) = log C (x + 1)

log (2 - e^y)^-1 = log C (x + 1)

log (1/(2 - e^y)) = log C (x + 1)

1/(2 - e^y) = C (x + 1)

2 - e^y = 1/C(x + 1)

代入 x = 0 和 y = 0

2 - e⁰ = 1/C(0 + 1)

2 - 1 = 1/C

1 = 1/C

C = 1

因此，

2 - e^y = 1/(x + 1)

因此，这是给定微分方程所需的特解。

13. 微分方程 (y dx - x dy)/y = 0 的通解是

(A) xy = C (B) x = Cy² (C) y = Cx (D) y = Cx²

解决方案

(y dx - x dy)/xy = 0

(y/xy) dx - (x/xy) dy = 0

(1/x) dx - (1/y) dy = 0

(1/x) dx = (1/y) dy

两边积分

∫(1/x) dx = ∫(1/y) dy

log x = log y + log c

log x - log y = log c

log (x/y) = log c

x/y = c

cy = x

y = x/c

y = Cx

其中 C = c。

因此，(C) 是正确答案。

14. 形如 dx/dy + P₁x = Q₁ 的微分方程的通解是

(A) y e^{∫P1 dy} = ∫(Q₁ e^{∫P1 dy}) dy + C

(B) y e^{∫P1 dx} = ∫(Q₁ e^{∫P1 dx}) dx + C

(C) x e^{∫P1 dy} = ∫(Q₁ e^{∫P1 dy}) dy + C

(D) x e^{∫P1 dx} = ∫(Q₁ e^{∫P1 dx}) dx + C

解决方案

dx/dy + P₁x = Q₁

将给定的微分方程与 dx/dy + px = q 进行比较，我们得到

p = P₁ 且 q = Q₁

I. F = e^{∫p dy} = e^{∫P1 dy}

所以，给定微分方程的通解将由以下公式给出

x (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

x e^{∫P1 dy} = ∫(Q₁ e^{∫P1 dy}) dx + C

因此，(C) 是正确答案。

15. 微分方程 e^x dy + (y e^x + 2x) dx = 0 的通解是

(A) x e^y + x² = C (B) x e^y + y² = C

(C) y e^x + x² = C (B) y e^y + x² = C

解决方案

e^x dy + (y e^x + 2x) dx = 0

e^x dy = -(y e^x + 2x) dx

e^x dy/dx = -y e^x - 2x

e^x dy/dx + y e^x = -2x

e^x (dy/dx + y) = -2x

dy/dx + y = -2x/e^x

dy/dx + y = -2x e^-x

将给定的微分方程与 dy/dx + py = q 进行比较，我们得到

p = 1 且 q = -2x e^-x

I. F = e^{∫p dx} = e^{∫1 dx} = e^x

所以，给定微分方程的通解将由以下公式给出

y (I. F) = ∫(q × I. F) dx + C

y e^x = ∫(-2x e^-x) (e^x) dx + C

y e^x = -2 ∫x dx + C

y e^x = -2 x²/2 + C

y e^x = -x² + C

y e^x + x² = C

因此，(C) 是正确答案。