12 年级数学第 13 章：概率 的 NCERT 解决方案

练习 13.1

1. 已知 E 和 F 是两个事件，满足 P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 且 P(E ∩ F) = 0.2，求 P(E|F) 和 P(F|E)。

解决方案

已知

P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 且 P(E ∩ F) = 0.2

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= 0.2/0.3 = 2/3

P(F|E) = P(E ∩ F)/P(E)

= 0.2/0.6 = 2/6

= 1/3

2. 计算 P(A|B)，如果 P(B) = 0.5 且 P(A ∩ B) = 0.32。

解决方案

已知条件如下：

P(B) = 0.5 且 P(A ∩ B) = 0.32

因此，

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

= 0.32/0.5

= 32/50

= 16/25

3. 如果 P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 且 P(B|A) = 0.4，求

(i) P(A ∩ B) (ii) P(A|B) (iii) P(A ∪ B)

解决方案

已知

P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 且 P(B|A) = 0.4

(i) 我们知道

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)

0.4 = P(A ∩ B)/0.8

0.32 = P(A ∩ B)

(ii) 我们知道，

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

= 0.32/0.5

= 32/50

= 16/25

= 0.64

(iii) 我们知道，

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

= 0.8 + 0.5 - 0.32

= 1.3 - 0.32

= 0.98

4. 计算 P(A ∪ B)，如果 2P(A) = P(B) = 5/13 且 P(A|B) = 2/5。

解决方案

已知

2P(A) = P(B) = 5/13 且 P(A|B) = 2/5

2P(A) = 5/13

P(A) = 5/26

我们知道：

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

2/5 = P(A ∩ B)/(5/13)

2/13 = P(A ∩ B)

我们知道：

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

= 5/26 + 5/13 - 2/13

= 5/26 + 3/13

= (5 + 6)/26

= 11/26

5. 如果 P(A) = 6/11, P(B) = 5/11 且 P(A ∪ B) = 7/11，求

(i) P(A∩B) (ii) P(A|B) (iii) P(B|A)

解决方案

已知

P(A) = 6/11, P(B) = 5/11 且 P(A ∪ B) = 7/11

(i) 我们知道，

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

7/11 = 6/11 + 5/11 - P(A ∩ B)

7/11 = 11/11 - P(A ∩ B)

7/11 = 1 - P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = 1 - 7/11

P(A ∩ B) = 4/11

(ii) 我们知道，

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

= (4/11)/(5/11)

= 4/5

(iii) 我们知道，

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)

= (4/11)/(6/11)

= 4/6

= 2/3

在练习6至9中确定 P(E|F)

6. 一枚硬币被抛掷三次，其中

(i) E：第三次抛掷为正面，F：前两次抛掷为正面

(ii) E：至少两次正面，F：至多两次正面

(iii) E：至多两次反面，F：至少一次反面

解决方案

如果一枚硬币被抛掷3次，所有可能结果的样本空间为

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

⇒ 8 种可能结果

(i) 给定事件的结果是

E = {HHH, HTH, THH, TTH}

⇒ 4

F = {HHT, HHH}

⇒ 2

E ∩ F = {HHH}

⇒ 1

P(F) = 2/8 = 1/4

P(E ∩ F) = 1/8

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/8)/(1/4)

= 4/8

= 1/2

(ii) 给定事件的结果是

E = {HHH, HHT, HTH, THH}

⇒ 4

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

⇒ 7

E ∩ F = {HHT, HTH, THH}

⇒ 3

P(F) = 7/8

P(E ∩ F) = 3/8

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (3/8)/(7/8)

= 3/7

(iii) 给定事件的结果是

E = {HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, HHH}

⇒ 7

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

⇒ 7

E ∩ F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}

⇒ 6

P(F) = 7/8

P(E ∩ F) = 6/8 = 3/4

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (3/4)/(7/8)

= 6/7

7. 两枚硬币被抛掷一次，其中

(i) E：一枚硬币出现反面，F：一枚硬币出现正面

(ii) E：没有反面出现，F：没有正面出现

解决方案

如果两枚硬币被抛掷一次，所有可能结果的样本空间为

S = {HH, HT, TH, TT}

⇒ 4 种可能结果

(i) 给定事件的结果是

E = {HT, TH}

⇒ 2

F = {HT, TH}

⇒ 2

E ∩ F = {HT, TH}

⇒ 2

P(F) = 2/4 = 1/2

P(E ∩ F) = 2/4 = 1/2

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/2)/(1/2)

= 1

(ii) 给定事件的结果是

E = {HH}

⇒ 1

F = {TT}

⇒ 1

E ∩ F = ϕ

⇒ 0

P(F) = 1/4

P(E ∩ F) = 0/4 = 0

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= 0/(1/4)

= 0

8. 一个骰子被掷三次，

E：第三次掷出4，F：前两次分别掷出6和5

解决方案

如果一个骰子被掷三次，所有可能结果的样本空间为

S = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), …, (1, 1, 6),

(1, 2, 1), (1, 2, 2), …, (1, 2, 6),

…,

(6, 5, 1), (6, 5, 2), …, (6, 5, 6),

(6, 6, 1), (6, 6, 2), …, (6, 6, 6)}

⇒ 6 × 6 × 6 = 216 种结果

给定事件的结果是

E = {(1, 1, 4), (1, 2, 4), …, (1, 6, 4),

(2, 1, 4), (2, 2, 4), …, (2, 6, 4),

(3, 1, 4), (3, 2, 4), …, (3, 6, 4),

(4, 1, 4), (4, 2, 4), …, (4, 6, 4),

(5, 1, 4), (5, 2, 4), …, (5, 6, 4),

(6, 1, 4), (6, 2, 4), …, (6, 6, 4),

}

⇒ 36

F = {(6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 5, 3), (6, 5, 4), (6, 5, 5), (6, 5, 6)}

⇒ 6

E ∩ F = {(6, 5, 4)}

⇒ 1

P(F) = 6/216 = 1/36

P(E ∩ F) = 1/216

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/216)/(1/36)

= 1/6

9. 母亲、父亲和儿子随机排队拍全家福

E：儿子在排队的一端，F：父亲在中间

解决方案

设母亲、父亲和儿子分别用 M、F 和 S 表示。

如果母亲、父亲和儿子随机排队拍全家福，所有可能排列的样本空间为

S = {MFS, MSF, SFM, SMF, FSM, FMS}

⇒ 6 种结果

给定事件的结果是

E = {MFS, FMS, SMF, SFM}

⇒ 4

F = {MFS, SFM}

⇒ 2

E ∩ F = {MFS, SFM}

⇒ 2

P(F) = 2/6 = 1/3

P(E ∩ F) = 2/6 = 1/3

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/3)/(1/3)

= 1

10. 一个黑色和一个红色的骰子被掷出。

(a) 已知黑色骰子掷出5，求获得总和大于9的条件概率。

(b) 已知红色骰子掷出的数字小于4，求获得总和为8的条件概率。

解决方案

设第一个和第二个观察值分别来自黑色骰子和红色骰子。

当一个红色和一个黑色的骰子被掷出时，可能结果的样本空间为

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

…,

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

⇒ 6 × 6 = 36 种结果

(a) E：总和大于9

E = {(4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 4), (6, 5), (5, 5)}

F：黑色骰子掷出5

F = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

⇒ 6

E ∩ F = {(5, 5), (5, 6)}

⇒ 2

P(F) = 6/36 = 1/6

P(E ∩ F) = 2/36 = 1/18

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/18)/(1/6)

= 1/3

(b) E：获得的总和为8

E = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}

F：红色骰子掷出的数字小于4

F = {(1, 1), (1, 2), (1, 3),

(2, 1), (2, 2), (2, 3),

(3, 1), (3, 2), (3, 3),

(4, 1), (4, 2), (4, 3),

…, (6, 2), (6, 3)}

⇒ 18

E ∩ F = {(6, 2), (5, 3)}

⇒ 2

P(F) = 18/36 = 1/2

P(E ∩ F) = 2/36 = 1/18

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/18)/(1/2)

= 1/9

11. 一个公平的骰子被掷出。考虑事件 E = {1,3,5}, F = {2,3} 和 G = {2,3,4,5}，求

(i) P(E|F) 和 P(F|E)

(ii) P(E|G) 和 P(G|E)

(iii) P((E ∪ F)|G) 和 P((E ∩ F)|G)

解决方案

如果一个公平的骰子被掷一次，可能结果的样本空间为

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6 种结果

(i) E = {1, 3, 5} ⇒ 3 个有利结果

F = {2, 3} ⇒ 2 个有利结果

E ∩ F = {3} ⇒ 1 个有利结果

P(E) = 3/6 = 1/2

P(F) = 2/6 = 1/3

P(E ∩ F) = 1/6

因此，

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/6)/(1/3)

= 3/6

= 1/2

P(F|E) = P(E ∩ F)/P(E)

= (1/6)/(1/2)

= 2/6

= 1/3

(ii) G = {2, 3, 4, 5} ⇒ 4 个有利结果

E ∩ G = {3, 5} ⇒ 2 个有利结果

P(G) = 4/6 = 2/3

P(E ∩ G) = 2/6 = 1/3

因此，

P(E|G) = P(E ∩ G)/P(G)

= (1/3)/(2/3)

= 3/6

= 1/2

P(G|E) = P(E ∩ G)/P(E)

= (1/3)/(1/2)

= 2/3

(iii) E ∪ F = {1, 2, 3, 5} ⇒ 4 个有利结果

(E ∪ F) ∩ G = {2, 3, 5} ⇒ 3 个有利结果

(E ∩ F) ∩ G = {3} ⇒ 1 个有利结果

P((E ∪ F) ∩ G) = 3/6 = 1/2

P((E ∩ F) ∩ G) = 1/6

因此，

P((E ∪ F)|G) = P((E ∪ F) ∩ G)/P(G)

= (1/2)/(2/3)

= 3/4

P((E ∩ F)|G) = P((E ∩ F) ∩ G)/P(G)

= (1/6)/(2/3)

= 3/12

= 1/4

12. 假设每个出生的孩子是男孩或女孩的可能性相同。如果一个家庭有两个孩子，在(i)最小的孩子是女孩，(ii)至少一个是女孩的情况下，两个孩子都是女孩的条件概率是多少？

解决方案

设 B 代表男孩，G 代表女孩。如果一个家庭有两个孩子，可能的孩子样本空间为

S = {BB, BG, GB, GG} ⇒ 4 种结果

其中第一个观察值是年长的孩子，第二个观察值是年幼的孩子。

设 E 为两个孩子都是女孩的事件。

E = {GG} ⇒ 1 个有利结果

(i) 设 F 为最小的孩子是女孩的事件。

F = {BG, GG} ⇒ 2 个有利结果

E ∩ F = {GG} ⇒ 1 个有利结果

P(F) = 2/4 = 1/2

P(E ∩ F) = 1/4

因此，在最小的孩子是女孩的情况下，两个孩子都是女孩的条件概率为

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/4)/(1/2)

= 2/4

= 1/2

(ii) 设 F 为至少一个孩子是女孩的事件。

F = {BG, GB, GG} ⇒ 3 个有利结果

E ∩ F = {GG} ⇒ 1 个有利结果

P(F) = 3/4

P(E ∩ F) = 1/4

因此，在至少一个孩子是女孩的情况下，两个孩子都是女孩的条件概率为

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/4)/(3/4)

= 1/3

13. 一位讲师有一个题库，包含300道简单的判断题、200道困难的判断题、500道简单的选择题和400道困难的选择题。如果从题库中随机抽取一个问题，在已知它是选择题的情况下，它是一道简单问题的概率是多少？

解决方案

设选择一个选择题的事件表示为 F。

设选择一个简单问题的事件表示为 E。

题库中的总问题数 = 300 + 200 + 500 + 400 = 1400

题库中的选择题数量 = 400 + 500 = 900

简单选择题的数量 = 500

P(E ∩ F) = 500/1400 = 5/14

P(F) = 900/1400 = 9/14

因此，在已知是选择题的情况下，随机抽取的问题是一道简单问题的概率是

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (5/14)/(9/14)

= 5/9

14. 已知掷两个骰子出现的数字不同。求事件“骰子上数字之和为4”的概率。

解决方案

当掷两个骰子时，可能结果的样本空间为

S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

…,

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

⇒ 6 × 6 = 36 种结果

设 E 表示骰子上数字之和为4的事件。

设 F 表示掷两个骰子出现的数字不同的事件。

E = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

⇒ 3 个有利结果

F = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}

⇒ 30 个有利结果

E ∩ F = {(1, 3), (3, 1)}

⇒ 2 个有利结果

P(E ∩ F) = 2/36 = 1/18

P(F) = 30/36 = 5/6

因此，在已知两个骰子上的数字不同的情况下，两个骰子上的数字之和为4的概率是

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/18)/(5/6)

= 1/15

15. 考虑掷骰子的实验，如果出现3的倍数，则再掷一次骰子；如果出现任何其他数字，则抛一枚硬币。已知“至少一个骰子显示3”，求事件“硬币显示反面”的条件概率。

解决方案

掷骰子的样本空间 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

抛硬币的样本空间 = {T, H}

那么，给定实验的样本空间将是

S = {(1, H), (1, T), (2, H), (2, T), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, H), (4, T), (5, H), (5, T), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

⇒ 20 种结果

设 E 表示硬币显示反面的事件。

设 F 表示至少一个骰子显示3的事件。

E = {(1, T), (2, T), (4, T), (5, T)}

F = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 3)}

⇒ 7 个有利结果

E ∩ F = ϕ

P(E ∩ F) = 0/20 = 0

P(F) = 7/20

因此，在已知至少一个骰子显示3的情况下，硬币显示反面的概率是

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= 0/(7/20)

= 0

在练习16和17中选择正确答案

16. 如果 P(A) = 1/2, P(B) = 0，那么 P(A|B) 是

(A) 0 (B) 1/2

(C) 未定义 (D) 1

解决方案

已知

P(A) = 1/2

P(B) = 0

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

= P(A ∩ B)/0

= 未定义

因此，P(A|B) 未定义。

因此，(C) 是正确答案。

17. 如果 A 和 B 是两个事件，满足 P(A|B) = P(B|A)，那么

(A) A ⊂ B 但 A ≠ B (B) A = B

(C) A ∩ B = ϕ (D) P(A) = P(B)

解决方案

已知

P(A|B) = P(B|A)

P(A ∩ B)/P(B) = P(A ∩ B)/P(A)

1/P(B) = 1/P(A)

P(A) = P(B)

因此，(D) 是正确答案。

练习 13.2

1. 如果 P(A) = 3/5 且 P(B) = 1/5，如果 A 和 B 是独立事件，求 P(A ∩ B)。

解决方案

已知

P(A) = 3/5 且 P(B) = 1/5

A 和 B 是独立事件。

因此，

P(A ∩ B) = P(A)·P(B) = (3/5)·(1/5) = 3/25

2. 从一副52张的扑克牌中随机不放回地抽取两张牌。求两张牌都是黑色的概率。

解决方案

一副牌中的总牌数 = 52

一副牌中的黑牌数 = 26

设 E 表示第一次抽到黑牌的事件。

设 F 表示第二次抽到黑牌的事件。

P(E) = 26/52 = 1/2

因为牌不放回，

牌堆中剩余的牌数 = 51

在第一次抽到黑牌的情况下，牌堆中的黑牌数 = 25

P(F) = 25/51

因此，两张牌都是黑色的概率是

P(E)·P(F) = (1/2) × (25/51) = 25/102

3. 通过检查随机不放回抽取的三个橙子来检验一箱橙子。如果三个橙子都是好的，则该箱橙子被批准出售，否则被拒绝。求一箱包含15个橙子，其中12个是好的，3个是坏的，将被批准出售的概率。

解决方案

设给定事件表示为

A：第一个抽出的橙子是好的

B：第二个抽出的橙子是好的

C：第三个抽出的橙子是好的

箱子里的橙子总数 = 15

好橙子的数量 = 12

P(A) = 12/15 = 4/5

因为橙子不放回，

箱子里的橙子数 = 14

在第一个抽出的橙子是好的情况下，好橙子的数量 = 11

P(B) = 11/14

因为橙子不放回，

箱子里的橙子数 = 13

在第一个抽出的橙子是好的情况下，好橙子的数量 = 10

P(C) = 10/13

因此，抽出所有好橙子的概率 = P(A)·P(B)·P(C)

= (4/5) × (11/14) × (10/13)

= 44/91

因此，该箱被批准出售的概率是 44/91。

4. 抛掷一枚公平的硬币和一个无偏的骰子。设 A 为事件“硬币出现正面”，B 为事件“骰子出现3”。检查 A 和 B 是否为独立事件。

解决方案

抛掷一枚公平硬币的可能结果 = {H, T}

掷一个公平骰子的可能结果 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

因此，给定实验的所有可能结果的样本空间为

S = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)}

⇒ 12 种可能结果

A：硬币出现正面

A = {(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6)} ⇒ 6 个有利结果

B：骰子出现3

B = {(H, 3), (T, 3)} ⇒ 2 个有利结果

P(A) = 6/12 = 1/2

P(B) = 2/12 = 1/6

A ∩ B = {(H, 3)} ⇒ 1 个有利结果

P(A ∩ B) = 1/12

P(A)·P(B) = (1/2) × (1/6)

= 1/12 = P(A ∩ B)

因此，A 和 B 是独立事件。

5. 一个骰子标有红色1、2、3和绿色4、5、6，被抛掷。设 A 为事件“数字是偶数”，B 为事件“数字是红色”。A 和 B 是否独立？

解决方案

如果一个公平的骰子被掷一次，所有可能结果的样本空间为

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ 6 种可能结果

A：数字是偶数

A = {2, 4, 6} ⇒ 3 种可能结果

P(A) = 3/6 = 1/2

B：数字是红色

B = {1, 2, 3} ⇒ 3 种可能结果

P(B) = 3/6 = 1/2

A ∩ B = {2}

P(A ∩ B) = 1/6

P(A)·P(B) = (1/2) × (1/2)

= 1/4 ≠ P(A ∩ B)

因此，A 和 B 不是独立事件。

6. 设 E 和 F 是两个事件，P(E) = 3/5, P(F) = 3/10 且 P(E ∩ F) = 1/5。E 和 F 是否独立？

解决方案

已知

P(E) = 3/5

P(F) = 3/10

P(E ∩ F) = 1/5

现在，

P(E)·P(F) = (3/5) × (3/10)

= 9/50 ≠ P(E ∩ F)

因此，E 和 F 不是独立事件。

7. 已知事件 A 和 B 满足 P(A) = 1/2, P(A ∪ B) = 3/5 且 P(B) = p。如果它们 (i) 互斥 (ii) 独立，求 p。

解决方案

已知

P(A) = 1/2

P(A ∪ B) = 3/5

P(B) = p

(i) 已知事件 A 和 B 互斥。因此，

A ∩ B = ϕ

P(A ∩ B) = 0

现在，

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

3/5 = 1/2 + p + 0

3/5 - 1/2 = p

1/10 = p

(ii) 已知事件 A 和 B 独立。因此，

P(A)·P(B) = P(A ∩ B)

现在，

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

3/5 = 1/2 + p - P(A)·P(B)

1/10 = p - (1/2)p

1/10 = p/2

p = 1/5

8. 设 A 和 B 是独立事件，P(A) = 0.3 且 P(B) = 0.4。求

(i) P(A ∩ B) (ii) P(A ∪ B)

(iii) P(A|B) (iv) P(B|A)

解决方案

已知

P(A) = 0.3 且 P(B) = 0.4

(i) 我们知道事件 A 和 B 是独立事件。因此，

P(A)·P(B) = P(A ∩ B)

(0.3)(0.4) = P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = 0.12

(ii) 我们知道，

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

= 0.3 + 0.4 - 0.12

= 0.7 - 0.12

= 0.58

(iii) 我们知道，

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

= 0.12/0.4 = 0.3

(iv) 我们知道，

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)

= 0.12/0.3 = 0.4

9. 如果 A 和 B 是两个事件，满足 P(A) = 1/4, P(B) = 1/2 且 P(A ∩ B) = 1/8，求 P(非A 且 非B)。

解决方案

已知

P(A) = 1/4, P(B) = 1/2 且 P(A ∩ B) = 1/8

现在，

P(非A 且 非B) = P(A' ∩ B')

= P((A ∪ B)')

= 1 - P(A ∪ B)

= 1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)]

= 1 - [1/4 + 1/2 - 1/8]

= 1 - [3/4 - 1/8]

= 1 - 5/8

= 3/8

10. 事件 A 和 B 满足 P(A) = 1/2, P(B) = 7/12 且 P(非A 或 非B) = 1/4。判断 A 和 B 是否独立。

解决方案

已知

P(A) = 1/2, P(B) = 7/12 且 P(非A 或 非B) = 1/4

现在，

P(A)·P(B) = (1/2) × (7/12)

= 7/24

P(非A 或 非B) = P(A' ∪ B')

= P((A ∩ B)') = 1/4

因此，

P(A ∩ B) = 1 - P((A ∩ B)')

= 1 - 1/4

= 3/4 ≠ 7/24 = P(A)·P(B)

因此，事件 A 和 B 不是独立事件。

11. 已知两个独立事件 A 和 B，满足 P(A) = 0.3, P(B) = 0.6。求

(i) P(A 且 B) (ii) P(A 且 非B)

(iii) P(A 或 B) (iv) P(既非A 也非B)

解决方案

已知

P(A) = 0.3, 且 P(B) = 0.6

(i) A 和 B 是独立事件。

因此，

P(A 且 B) = P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

= (0.3) (0.6)

= 0.18

(ii) P(A 且 非B) = P(A ∩ B')

= P(A) - P(A ∩ B)

= 0.3 - 0.18

= 0.12

(iii) P(A 或 B) = P(A ∪ B)

= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

= 0.3 + 0.6 - 0.18

= 0.9 - 0.18

= 0.72

(iv) P(既非A 也非B) = P(A' ∩ B')

= P((A ∪ B)')

= 1 - P(A ∪ B)

= 1 - 0.72

= 0.28

12. 一个骰子被掷三次。求至少一次得到奇数的概率。

解决方案

如果一个骰子被掷三次，所有可能结果的样本空间为

S = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4), (1, 1, 5), (1, 1, 6),

(1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6),

(1, 3, 1), (1, 3, 2), (1, 3, 3), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 3, 6),

…,

(1, 6, 1), (1, 6, 2), (1, 6, 3), (1, 6, 4), (1, 6, 5), (1, 6, 6),

(2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6),

(2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 2, 4), (2, 2, 5), (2, 2, 6),

(2, 3, 1), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6),

…,

(2, 6, 1), (2, 6, 2), (2, 6, 3), (2, 6, 4), (2, 6, 5), (2, 6, 6),

(3, 1, 1), (3, 1, 2), (3, 1, 3), (3, 1, 4), (3, 1, 5), (3, 1, 6),

…,

(3, 6, 1), (3, 6, 2), (3, 6, 3), (3, 6, 4), (3, 6, 5), (3, 6, 6),

(4, 1, 1), (4, 1, 2), (4, 1, 3), (4, 1, 4), (4, 1, 5), (4, 1, 6),

…,

(4, 6, 1), (4, 6, 2), (4, 6, 3), (4, 6, 4), (4, 6, 5), (4, 6, 6),

(5, 1, 1), (5, 1, 2), (5, 1, 3), (5, 1, 4), (5, 1, 5), (5, 1, 6),

…,

…,

(6, 6, 1), (6, 6, 2), (6, 6, 3), (6, 6, 4), (6, 6, 5), (6, 6, 6)}

⇒ 6 × 6 × 6 = 216 种可能结果

设 E 表示至少一次得到奇数的事件。

E = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4), (1, 1, 5), (1, 1, 6),

(1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6),

(1, 3, 1), (1, 3, 2), (1, 3, 3), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 3, 6),

…,

(1, 6, 1), (1, 6, 2), (1, 6, 3), (1, 6, 4), (1, 6, 5), (1, 6, 6),

(2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6),

(2, 2, 1), (2, 2, 3), (2, 2, 5),

(2, 3, 1), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 3, 6),

…,

(2, 6, 1), (2, 6, 3), (2, 6, 5),

(3, 1, 1), (3, 1, 2), (3, 1, 3), (3, 1, 4), (3, 1, 5), (3, 1, 6),

…,

(3, 6, 1), (3, 6, 2), (3, 6, 3), (3, 6, 4), (3, 6, 5), (3, 6, 6),

(4, 1, 1), (4, 1, 2), (4, 1, 3), (4, 1, 4), (4, 1, 5), (4, 1, 6),

…,

(4, 6, 1), (4, 6, 3), (4, 6, 5),

(5, 1, 1), (5, 1, 2), (5, 1, 3), (5, 1, 4), (5, 1, 5), (5, 1, 6),

…,

…,

(6, 6, 1), (6, 6, 3), (6, 6, 5)}

⇒ 189

P(E) = 189/216 = 7/8

13. 从一个装有10个黑球和8个红球的盒子中，随机有放回地抽取两个球。求以下概率：

(i) 两个球都是红球。

(ii) 第一个球是黑球，第二个球是红球。

(iii) 一个是黑球，另一个是红球。

解决方案

盒子里的总球数 = 10 + 8 = 18

盒子里的红球数 = 8

盒子里的黑球数 = 10

(i) P(抽到红球) = 8/18 = 4/9

P(两个球都是红球) = 4/9 × 4/9 = 16/81

(ii) P(第一个球是黑球) = 10/18 = 5/9

P(第二个球是红球) = 8/18 = 4/9

P(第一个球是黑球，第二个球是红球) = 5/9 × 4/9 = 20/81

(iii) P(第一个球是红球) = 8/18 = 4/9

P(第二个球是黑球) = 10/18 = 5/9

P(第一个球是红球，第二个球是黑球) = 4/9 × 5/9 = 20/81

P(一个球是红球，另一个是黑球) = 20/81 + 20/81 = 40/81

14. A 和 B 独立解决特定问题的概率分别为1/2和1/3。如果两人都独立尝试解决问题，求以下概率：

(i) 问题被解决 (ii) 恰好其中一人解决问题。

解决方案

P(问题由 A 解决) = P(A) = 1/2

P(问题由 B 解决) = P(B) = 1/3

(i) 已知问题由 A 和 B 独立解决，因此

P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

= (1/2) × (1/3) = 1/6

问题被解决的概率 = P(A ∪ B)

= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

= 1/2 + 1/3 - 1/6

= 4/6

= 2/3

(ii) P(A 未解决问题) = P(A') = 1 - P(A)

= 1 - 1/2 = 1/2

P(B 未解决问题) = P(B') = 1 - P(B)

= 1 - 1/3 = 2/3

恰好其中一人解决问题的概率 = P(A)·P(B') + P(A')·P(B)

= (1/2) (2/3) + (1/2) (1/3)

= 1/3 + 1/6

= 3/6

= 1/2

15. 从一副洗好的52张牌中随机抽取一张牌。在下列哪种情况下，事件 E 和 F 是独立的？

(i) E：“抽出的牌是黑桃” F：“抽出的牌是A”

(ii) E：“抽出的牌是黑色” F：“抽出的牌是K”

(iii) E：“抽出的牌是K或Q” F：“抽出的牌是Q或J”。

解决方案

(i) 一副52张牌中的黑桃数 = 13

P(E) = 13/52 = 1/4

一副52张牌中的A牌数 = 4

P(F) = 4/52 = 1/13

一副牌中的黑桃A数 = 1

P(E ∩ F) = 1/52

P(E)·P(F) = (1/4) × (1/13)

= 1/52 = P(E ∩ F)

因此，E 和 F 是独立事件。

(ii) 一副牌中的黑牌数 = 26

P(E) = 26/52 = 1/2

一副牌中的K牌数 = 4

P(F) = 4/52 = 1/13

一副牌中的黑桃K数 = 2

P(E ∩ F) = 2/52 = 1/26

P(E)·P(F) = (1/2) × (1/13)

= 1/26 = P(E ∩ F)

因此，E 和 F 是独立事件。

(iii) 一副牌中的K牌数 = 4

一副牌中的Q牌数 = 4

P(E) = (4 + 4)/52 = 8/52

= 2/13

一副牌中的J牌数 = 4

P(F) = (4 + 4)/52 = 8/52

= 2/13

P(E ∩ F) = (4 + 4)/52 = 8/52

= 2/13

P(E)·P(F) = (2/13) × (2/13)

= 4/169 ≠ P(E 2∩ F)

因此，E 和 F 不是独立事件。

16. 在一所宿舍里，60%的学生读印地语报纸，40%读英语报纸，20%读印地语和英语报纸。随机选择一名学生。

(a) 求她既不读印地语报纸也不读英语报纸的概率。

(b) 如果她读印地语报纸，求她读英语报纸的概率。

(c) 如果她读英语报纸，求她读印地语报纸的概率。

解决方案

设 H 表示学生读印地语报纸的事件。

设 E 表示学生读英语报纸的事件。

P(H) = 60% = 60/100 = 3/5

P(E) = 40% = 40/100 = 2/5

P(E ∩ H) = 20% = 20/100 = 1/5

(a) 学生既不读印地语报纸也不读英语报纸的概率

= P(E' ∩ H')

= P((E ∪ H)')

= 1 - P(E ∪ H)

= 1 - [P(E) + P(H) - P(E ∩ H)]

= 1 - [2/5 + 3/5 - 1/5]

= 1 - 4/5

= 1/5

(b) 在她读印地语报纸的情况下，她读英语报纸的概率 = P(E|H)

= P(E ∩ H)/P(H)

= (1/5)/(3/5)

= 1/3

(c) 在她读英语报纸的情况下，她读印地语报纸的概率 = P(H|E)

= P(E ∩ H)/P(E)

= (1/5)/(2/5)

= 1/2

在练习17和18中选择正确答案。

17. 掷一对骰子时，每个骰子都得到偶数质数的概率是

(A) 0 (B) 1/3 (C) 1/12 (D) 1/36

解决方案

当掷两个骰子时，总结果数是 6 × 6 = 36

设 E 表示每个骰子都出现偶数质数的事件。

E = {(2, 2)} ⇒ 1 个有利结果

P(E) = 1/36

因此，(D) 是正确答案。

18. 两个事件 A 和 B 将是独立的，如果

(A) A 和 B 互斥

(B) P(A′B′) = [1 - P(A)][1 - P(B)]

(C) P(A) = P(B)

(D) P(A) + P(B) = 1

解决方案

我们知道两个事件 A 和 B 是独立事件，如果 P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

考虑选项(A)，

A ∩ B = ϕ

因为 A 和 B 是互斥事件。

P(A ∩ B) = 0

但是 P(A)·P(B) ≠ 0，因为 0 < P(A), P(B) < 1

因此，(A) 不是正确答案。

考虑选项(B)，

P(A' ∩ B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]

P((A ∪ B)') = 1 - P(A) - P(B) + P(A)·P(B)

1 - P(A ∪ B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)·P(B)

1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)] = 1 - P(A) - P(B) + P(A)·P(B)

1 - P(A) - P(B) + P(A ∩ B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)·P(B)

P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

因此，(B) 是正确答案。

练习13.3

1. 一个罐子里有5个红球和5个黑球。随机取出一个球，记下颜色后放回罐中。此外，将2个与所取颜色相同的球放入罐中，然后随机取出一个球。第二个球是红色的概率是多少？

解决方案

罐子里的红球数 = 5

罐子里的黑球数 = 5

实验开始时罐子里的球数 = 10

如果第一个球是红色

P(抽出的球是红色) = 5/10 = 1/2

向罐子中加入两个红球

P(抽出的球是红色) = 7/12

如果第一个球是黑色

P(抽出的球是黑色) = 5/10 = 1/2

向罐子中加入两个黑球

P(抽出的球是红色) = 5/12

因此，

P(第二个抽出的球是红色) = (1/2) × (7/12) + (1/2) × (5/12)

= 7/24 + 5/24

= 12/24

= 1/2

2. 一个袋子里有4个红球和4个黑球，另一个袋子里有2个红球和6个黑球。随机选择其中一个袋子，并从袋子中取出一个球，发现是红色的。求这个球是从第一个袋子中取出的概率。

解决方案

设选择第一个袋子和第二个袋子的事件分别表示为 E 和 F。

P(E) = 1/2

P(F) = 1/2

设 R 表示抽到红球的事件。

P(从第一个袋子中抽到红球) = 4/8 = 1/2 = P(R|E)

P(从第二个袋子中抽到红球) = 2/8 = 1/4 = P(R|F)

在球是红色的情况下，从第一个袋子中抽出球的概率 = P(E|R)

P(E|R) = P(E)·P(R|E)/[P(E)·P(R|E) + P(F)·P(R|F)]

= (1/2) (1/2)/[(1/2) (1/2) + (1/2) (1/4)]

= (1/4)/[1/4 + 1/8]

= (1/4)/(3/8)

= 2/3

3. 在一所大学的学生中，已知60%住在宿舍，40%是走读生（不住在宿舍）。去年的成绩报告显示，所有住在宿舍的学生中有30%获得A级成绩，而走读生中有20%在年度考试中获得A级成绩。在年底，从大学中随机选择一名学生，他获得了A级成绩，那么该学生是住宿生的概率是多少？

解决方案

设 E 表示所选学生是住宿生的事件。

设 F 表示所选学生是走读生的事件。

设 A 表示所选学生获得A级成绩的事件。

P(E) = 60% = 60/100 = 0.6

P(F) = 40% = 40/100 = 0.4

P(获得A级成绩的学生是住宿生) = P(A|E) = 30% = 30/100 = 0.3

P(获得A级成绩的学生是走读生) = P(A|F) = 20% = 20/100 = 0.2

因此，在学生获得A级成绩的情况下，所选学生是住宿生的概率 = P(E|A)

P(E|A) = P(E)·P(A|E)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F)]

= (0.6) (0.3)/[(0.6) (0.3) + (0.4) (0.2)]

= 0.18/[0.18 + 0.08]

= 0.18/[0.26]

= 18/26

= 9/13

4. 在回答多项选择题时，学生要么知道答案，要么猜测。设他知道答案的概率是3/4，他猜测的概率是1/4。假设猜测答案的学生答对的概率是1/4。在学生答对的情况下，他知道答案的概率是多少？

解决方案

设 E 表示学生知道答案的事件。

设 F 表示学生猜测答案的事件。

设 A 表示学生回答正确的事件。

P(E) = 3/4

P(F) = 1/4

P(在知道答案的情况下，学生答对) = P(A|E) = 1

P(在猜测的情况下，学生答对) = P(A|F) = 1/4

因此，在答案正确的情况下，学生猜测答案的概率 = P(E|A)

P(E|A) = P(E)·P(A|E)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F)]

= (3/4) (1)/[(3/4) (1) + (1/4) (1/4)]

= (3/4)/[3/4 + 1/16]

= (3/4)/(13/16)

= 12/13

5. 一项实验室血液测试在检测某种疾病时，如果疾病确实存在，其有效率为99%。然而，该测试对0.5%的健康人也会产生假阳性结果（即，如果一个健康人接受测试，那么有0.005的概率测试会显示他有病）。如果0.1%的人口实际上患有该疾病，那么一个人在测试结果为阳性的情况下，他患有该疾病的概率是多少？

解决方案

设 E 表示该人患有该疾病的事件。

设 F 表示该人没有患该疾病的事件。

设 A 表示测试结果为阳性的事件。

P(E) = 0.1% = 0.1/100 = 0.001

P(F) = 1 - P(E) = 1 - 0.001 = 0.999

P(在人患有疾病的情况下，结果为阳性) = P(A|E) = 99% = 99/100 = 0.99

P(在人没有疾病的情况下，结果为阳性) = P(A|F) = 0.005

因此，在测试结果为阳性的情况下，一个人患有该疾病的概率 = P(E|A)

P(E|A) = P(E)·P(A|E)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F)]

= (0.001) (0.99)/[(0.001) (0.99) + (0.999) (0.005)]

= (0.00099)/[0.00099 + 0.004995]

= (0.00099)/(0.005985)

= 990/5985

= 22/133

6. 有三枚硬币。一枚是两面都是正面的硬币，另一枚是有偏见的硬币，出现正面的概率是75%，第三枚是无偏见的硬币。随机选择三枚硬币中的一枚并抛掷，结果显示正面，那么它是那枚两面都是正面的硬币的概率是多少？

解决方案

设 E 表示选择两面都是正面的硬币的事件。

设 F 表示选择有偏见的硬币的事件。

设 G 表示选择无偏见的硬币的事件。

设 A 表示硬币出现正面的事件。

P(E) = 1/3

P(F) = 1/3

P(G) = 1/3

P(在硬币是两面都是正面的情况下，硬币出现正面) = P(A|E) = 1

P(在硬币是有偏见的情况下，硬币出现正面) = P(A|F) = 75% = 3/4

P(在硬币是无偏见的情况下，硬币出现正面) = P(A|G) = 1/2

因此，在硬币显示正面的情况下，它是两面都是正面的硬币的概率 = P(E|A)

= P(E)·P(A|E)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F) + P(G)·P(A|G)]

= (1/3) (1)/[(1/3) (1) + (1/3) (3/4) + (1/3) (1/2)]

= (1/3)[1/3 + 1/4 + 1/6]

= (1/3)/(9/12)

= 4/9

7. 一家保险公司为2000名摩托车司机、4000名汽车司机和6000名卡车司机投保。发生事故的概率分别为0.01、0.03和0.15。其中一名被保险人发生了事故。他是摩托车司机的概率是多少？

解决方案

设 E 表示被保险人是摩托车司机的事件。

设 F 表示被保险人是汽车司机的事件。

设 G 表示被保险人是卡车司机的事件。

设 A 表示被保险人发生事故的事件。

被保险司机总数 = 2000 + 4000 + 6000 = 12000

P(E) = 2000/12000 = 1/6

P(F) = 4000/12000 = 1/3

P(G) = 6000/12000 = 1/2

P(在他是摩托车司机的情况下，被保险人发生事故) = P(A|E) = 0.01

P(在他是汽车司机的情况下，被保险人发生事故) = P(A|F) = 0.03

P(在他是卡车司机的情况下，被保险人发生事故) = P(A|G) = 0.15

因此，在被保险人发生事故的情况下，该司机是摩托车司机的概率 = P(E|A)

= P(E)·P(A|E)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F) + P(G)·P(A|G)]

= (1/6) (0.01)/[(1/6) (0.01) + (1/3) (0.03) + (1/2) (0.15)]

= (0.01/6)/[(0.01/6) + 0.01 + (0.15)/2]

= (0.01/6)/[0.52/6]

= 0.01/0.52

= 1/52

8. 一家工厂有两台机器A和B。过去的记录显示，机器A生产了60%的产品，机器B生产了40%的产品。此外，机器A生产的产品中有2%是次品，机器B生产的产品中有1%是次品。所有的产品都放在一个库存中，然后从中随机选择一个产品，发现是次品。它是由机器B生产的概率是多少？

解决方案

设 E 表示产品由机器 A 生产的事件。

设 F 表示产品由机器 B 生产的事件。

设 X 表示生产的产品是次品的事件。

P(E) = 60% = 60/100 = 3/5

P(F) = 40% = 40/100 = 2/5

P(X|E) = P(在产品由机器 A 生产的情况下，它是次品) = 2% = 2/100 = 1/50

P(X|F) = P(在产品由机器 B 生产的情况下，它是次品) = 1% = 1/100

因此，在产品是次品的情况下，它是由机器 B 生产的概率 = P(F|X)

P(F|X) = P(F)·P(X|F)/[P(E)·P(X|E) + P(F)·P(X|F)]

= (2/5) (1/100)/[(3/5) (1/50) + (2/5) (1/100)]

= (1/250)/[(3/250) + (1/250)]

= (1/250)/[4/250]

= 1/4

9. 两个团体正在竞争一家公司的董事会职位。第一组和第二组获胜的概率分别为0.6和0.4。此外，如果第一组获胜，推出新产品的概率是0.7；如果第二组获胜，相应的概率是0.3。求新产品是由第二组推出的概率。

解决方案

设 E 表示第一组赢得竞争的事件。

设 F 表示第二组赢得竞争的事件。

设 A 表示推出了新产品的事件。

P(E) = 0.6

P(F) = 0.4

P(A|E) = P(在第一组获胜的情况下，推出新产品) = 0.7

P(A|F) = P(在第二组获胜的情况下，推出新产品) = 0.3

因此，在产品是次品的情况下，它是由机器 B 生产的概率 = P(F|A)

P(F|A) = P(F)·P(A|F)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F)]

= (0.4) (0.3)/[(0.6) (0.7) + (0.4) (0.3)]

= (0.12)/[0.42 + 0.12]

= (0.12)/(0.54)

= 12/54

= 2/9

10. 假设一个女孩掷骰子。如果她得到5或6，她就抛硬币三次并记录正面的次数。如果她得到1、2、3或4，她就抛硬币一次并记录是正面还是反面。如果她恰好得到一次正面，她掷出1、2、3或4的概率是多少？

解决方案

设 E 表示骰子显示5或6的事件。

设 F 表示骰子显示1、2、3或4的事件。

设 A 表示恰好得到一次正面的事件。

P(E) = 2/6 = 1/3

P(F) = 4/6 = 2/3

P(A|E) = P(在骰子掷出5或6的情况下，硬币恰好出现一次正面) = 3/8

P(A|F) = P(在骰子掷出1、2、3或4的情况下，硬币恰好出现一次正面) = 1/2

因此，在恰好得到一次正面的情况下，骰子掷出1、2、3或4的概率 = P(F|A)

P(F|A) = P(F)·P(A|F)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F)]

= (2/3) (1/2)/[(1/3) (3/8) + (2/3) + (1/2)]

= (1/3)/[(1/8) + (1/3)]

= (1/3)/(11/24)

= 8/11

11. 一家制造商有三名机器操作员A、B和C。第一名操作员A生产1%的次品，而另外两名操作员B和C分别生产5%和7%的次品。A在岗时间为50%，B在岗时间为30%，C在岗时间为20%。生产了一个次品，它是由A生产的概率是多少？

解决方案

设 E 表示产品由操作员 A 生产的事件。

设 F 表示产品由操作员 B 生产的事件。

设 G 表示产品由操作员 C 生产的事件。

设 X 表示生产的产品是次品的事件。

P(E) = 50% = 50/100 = 0.5

P(F) = 30% = 30/100 = 0.3

P(G) = 20% = 20/100 = 0.2

P(X|E) = P(在产品由操作员 A 生产的情况下，它是次品) = 1% = 1/100 = 0.01

P(X|F) = P(在产品由操作员 B 生产的情况下，它是次品) = 5% = 5/100 = 0.05

P(X|G) = P(在产品由操作员 C 生产的情况下，它是次品) = 7% = 7/100 = 0.07

因此，在产品是次品的情况下，它是由操作员 A 生产的概率 = P(E|X)

= P(E)·P(X|E)/[P(E)·P(X|E) + P(F)·P(X|F) + P(G)·P(X|G)]

= (0.5) (0.01)/[(0.5) (0.01) + (0.3) (0.05) + (0.2) (0.07)]

= (0.005)/[0.005 + 0.015 + 0.014]

= (0.005)/[0.034]

= 5/34

12. 一副52张的扑克牌中丢失了一张。从剩下的牌中抽出两张，发现都是方块。求丢失的牌是方块的概率。

解决方案

设 E 表示丢失的牌是方块的事件。

设 F 表示丢失的牌不是方块的事件。

设 A 表示抽出的牌是方块的概率。

P(E) = 13/52 = 1/4

P(F) = 1 - P(E) = 1 - 13/52 = 39/52 = 3/4

如果丢失的牌是方块

牌堆中剩下的方块牌 = 12

牌堆中剩下的总牌数 = 51

从12张方块牌中抽出两张的方法数 = ¹²C₂

从51张牌中抽出两张的方法数 = ⁵¹C₂

P(A|E) = P(在丢失的牌是方块的情况下，抽出两张方块牌) = ¹²C₂/⁵¹C₂

= [(12!)/(2!)(10!)]/[51!/(2!)(49!)]

= (11 × 12)/(50 × 51) = 22/425

如果丢失的牌不是方块

牌堆中剩下的方块牌 = 13

牌堆中剩下的总牌数 = 51

从13张方块牌中抽出两张的方法数 = ¹³C₂

从51张牌中抽出两张的方法数 = ⁵¹C₂

P(A|F) = P(在丢失的牌不是方块的情况下，抽出两张方块牌) = ¹³C₂/⁵¹C₂

= [(13!)/(2!)(11!)]/[51!/(2!)(49!)]

= (12 × 13)/(50 × 51) = 26/425

因此，丢失的牌是方块的概率 = P(E|A)

P(E|A) = P(E)·P(A|E)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F)]

= (1/4) (22/425)/[(1/4) (22/425) + (3/4)/(26/425)]

= (11/850)/[11/850 + 39/850]

= (11/850)/[50/850]

= 11/50

13. A 说真话的概率是4/5。抛一枚硬币。A 报告说出现正面。实际上是正面的概率是

(A) 4/5 (B) 1/2 (C) 1/5 (D) 2/5

解决方案

设 E 表示 A 说真话的事件。

设 F 表示 A 没说真话的事件。

设 X 表示硬币出现正面的事件。

P(E) = 4/5

P(F) = 1 - P(E) = 1 - 4/5 = 1/5

无论 A 是否说真话，出现正面的概率总是相同的。

P(X|E) = 1/2

P(X|F) = 1/2

因此，在实际上是正面的情况下，A 说真话的概率 = P(E|X) = P(E)·P(X|E)/[P(E)·P(X|E) + P(F)·P(X|F)]

= (4/5) (1/2)/[(4/5) (1/2) + (1/5)(1/2)]

= (2/5)/[(2/5) + (1/10)]

= (2/5)/[(2/5) + (1/10)]

= (2/5)/[5/10]

= 20/25

= 4/5

14. 如果 A 和 B 是两个事件，满足 A ⊂ B 且 P(B) ≠ 0，那么下列哪个是正确的？

(A) P(A|B) = P(B)/P(A) (B) P(A|B) < P(A)

(C) P(A|B) ≥ P(A) (D) 以上都不是

解决方案

已知 A ⊂ B。因此，

A ∩ B = A

P(A ∩ B) = P(A)

现在，

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = P(A)/P(B)

我们知道

P(B) ≤ 1

1/P(B) ≥ 1

两边同时乘以 P(A)

P(A)/P(B) ≥ P(A)

因此，

P(A|B) = P(A)/P(B) ≥ P(A)

P(A|B) ≥ P(A)

因此，(C) 是正确答案。

杂项练习

1. A 和 B 是两个事件，满足 P(A) ≠ 0。求 P(B|A)，如果

(i) A 是 B 的子集 (ii) A ∩ B = φ

解决方案

已知：P(A) ≠ 0

(i) 如果 A 是 B 的子集，那么

A ∩ B = A

P(A ∩ B) = P(A)

现在，

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)

= P(A)/P(A)

= 1

(ii) A ∩ B = ϕ

然后，

P(A ∩ B) = 0

现在，

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)

= 0/P(A)

= 0

2. 一对夫妇有两个孩子，

(i) 如果已知至少一个孩子是男性，求两个孩子都是男性的概率。

(ii) 如果已知年长的孩子是女性，求两个孩子都是女性的概率。

孩子是女性。

解决方案

设 B 表示男孩，G 表示女孩。

当夫妇有两个孩子时，所有可能性的样本空间为

S = {BB, BG, GB, GG}

其中第一个观察值代表年长的孩子，第二个观察值代表年幼的孩子。

(i) 设 E 表示两个孩子都是男性的事件。

设 F 表示至少一个孩子是男性的事件。

E = {BB}

F = {BB, BG, GB}

E ∩ F = {BB}

P(F) = 3/4

P(E ∩ F) = 1/4

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/4)/(3/4)

= 1/3

(ii) 设 E 表示两个孩子都是女性的事件。

设 F 表示年长的孩子是女性的事件。

E = {GG}

F = {GB, GG}

E ∩ F = {GG}

P(F) = 2/4 = 1/2

P(E ∩ F) = 1/4

P(E|F) = P(E ∩ F)/P(F)

= (1/4)/(1/2)

= 1/2

3. 假设5%的男性和0.25%的女性有白发。随机选择一个有白发的人。这个人是男性的概率是多少？假设男性和女性人数相等。

解决方案

有白发的人的百分比 = 有白发的男性的百分比 + 有白发的女性的百分比

= 5% + 0.25%

= 5.25%

P(选择一个有白发的男性) = 5%/5.25%

= 20/21

4. 假设90%的人是右撇子。在一个10人的随机样本中，至多6人是右撇子的概率是多少？

解决方案

一个人是右撇子的概率 = p = 90% = 90/100 = 0.9

一个人是左撇子的概率 = q = 10% = 10/100 = 0.1

超过6人是右撇子的概率由下式给出，

¹⁰∑_{r = 7} ¹⁰C_rp^rq^{n - r}

= ¹⁰∑_{r = 7} ¹⁰C_r(9/10)^r(1/10)^{10 - r}

因此，在一个10人的随机样本中，至多6人是右撇子的概率 = 1 - ¹⁰∑_{r = 7} ¹⁰C_r(9/10)^r(1/10)^{10 - r}

5. 如果随机选择一个闰年，它包含53个星期二的几率是多少？

解决方案

我们知道，一个闰年有52周零2天。

每周包含一个星期二。因此，闰年有53个星期二的概率将是最后两天中有一天是星期二的概率。

最后两天的可能组合可以是

星期日和星期一，

星期一和星期二，

星期二和星期三，

星期三和星期四，

星期四和星期五，

星期五和星期六，

星期六和星期日

⇒ 7 种可能结果。

包含星期二的可能组合数 = 2

⇒ 2 个有利结果

P(闰年有53个星期二) = 2/7

6. 假设我们有四个盒子A、B、C和D，里面装有彩色弹珠，如下所示

随机选择其中一个盒子，并从中取出一个弹珠。如果弹珠是红色的，它从盒子A、盒子B、盒子C中取出的概率分别是多少？

解决方案

设 R 表示取出红色弹珠的事件。

设 A 表示从盒子 A 中取出的事件。

设 B 表示从盒子 B 中取出的事件。

设 C 表示从盒子 C 中取出的事件。

设 D 表示从盒子 D 中取出的事件。

所有袋子中的弹珠总数 = 40

所有袋子中的红色弹珠数 = 1 + 6 + 8 = 15

P(R) = 15/40 = 3/8

选择每个袋子的概率是1/4，因为有4个袋子。

P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/4

盒子 A 中的弹珠数 = 10

盒子 A 中的红色弹珠数 = 1

P(选择盒子 A，并取出红色弹珠) = P(A ∩ R) = (1/4) × (1/10)

= 1/40

盒子 B 中的弹珠数 = 10

盒子 B 中的红色弹珠数 = 6

P(选择盒子 B，并取出红色弹珠) = P(B ∩ R) = (1/4) × (6/10)

= 3/20

盒子 C 中的弹珠数 = 10

盒子 C 中的红色弹珠数 = 8

P(选择盒子 C，并取出红色弹珠) = P(C ∩ R) = (1/4) × (8/10)

= 1/5

P(A|R) = P(在弹珠是红色的情况下，从盒子 A 中取出) = P(A ∩ R)/P(R)

= (1/40)/(15/40)

= 1/15

P(B|R) = P(在弹珠是红色的情况下，从盒子 B 中取出) = P(B ∩ R)/P(R)

= (3/20)/(15/40)

= 2/5

P(C|R) = P(在弹珠是红色的情况下，从盒子 C 中取出) = P(C ∩ R)/P(R)

= (1/5)/(15/40)

= 8/15

因此，在取出红色弹珠的情况下，从盒子A、B和C中取出弹珠的概率分别为1/15、2/5和8/15。

7. 假设病人患心脏病的几率是40%。又假设冥想和瑜伽课程可将心脏病风险降低30%，而处方某种药物可将其几率降低25%。在某个时间点，病人可以以相等的概率选择两种方案中的任何一种。已知在经历两种方案中的一种后，随机选择的病人患上了心脏病。求该病人参加了冥想和瑜伽课程的概率是多少？

解决方案

设 E 表示随机选择的人参加了冥想和瑜伽课程的事件。

设 F 表示随机选择的人接受了药物处方课程的事件。

设 A 表示随机选择的人患上心脏病的事件。

P(A) = 40% = 40/100 = 0.4

已知病人参加冥想和瑜伽课程或药物处方课程的概率相等。所以，

P(E) = P(F) = 1/2 = 0.5

如果病人做冥想和瑜伽，心脏病的风险 = 40% × (100% - 30%)

= 40% × 70%

= 28%

P(A|E) = P(在被选中的人参加了冥想和瑜伽课程的情况下，他们患上了心脏病) = 28% = 0.28

如果病人做冥想和瑜伽，心脏病的风险 = 40% × (100% - 25%)

= 40% × 75%

= 30%

P(A|F) = P(在被选中的人参加了药物处方课程的情况下，他们患上了心脏病) = 30% = 0.3

因此，在病人患上心脏病的情况下，该病人参加了冥想和瑜伽课程的概率 = P(E|A)

P(E|A) = P(E)·P(A|E)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F)]

= (0.5) (0.28)/[(0.5) (0.28) + (0.5) (0.3)]

= 0.140/[0.140 + 0.15]

= 0.140/(0.290)

= 14/29

8. 如果一个二阶行列式的每个元素都是零或一，那么行列式的值为正的概率是多少？（假设行列式的各个条目是独立选择的，每个值被假定为概率1/2）。

解决方案

已知二阶行列式中的每个元素都是0或1。

一个二阶行列式有 2 × 2 = 4 个元素。

选择一个行列式的总方式数 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

行列式的值只在以下情况下为正

⇒ 3 个有利结果

P(行列式的值为正) = 3/16

9. 一个电子组件由两个子系统组成，分别是A和B。根据之前的测试程序，假定以下概率是已知的

P(A 失败) = 0.2

P(仅 B 失败) = 0.15

P(A 和 B 都失败) = 0.15

评估以下概率

(i) P(A 失败 | B 已失败) (ii) P(仅 A 失败)

解决方案

设 A 表示子系统 A 失败的事件。

设 B 表示子系统 B 失败的事件。

已知

P(A 失败) = P(A) = 0.2

P(A 和 B 都失败) = P(A ∩ B) = 0.15

P(仅 B 失败) = P(B) - P(A ∩ B)

0.15 = P(B) - P(A ∩ B)

0.15 = P(B) - 0.15

0.3 = P(B)

(i) P(A 失败 | B 已失败) = P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

= 0.15/0.3 = 0.5

(ii) P(仅 A 失败) = P(A) - P(A ∩ B) = 0.2 - 0.15 = 0.05

10. 袋 I 包含3个红球和4个黑球，袋 II 包含4个红球和5个黑球。从袋 I 中取出一个球转移到袋 II，然后从袋 II 中取出一个球。发现抽出的球是红色的。求转移的球是黑色的概率。

解决方案

设 E 表示转移了一个红球的事件。

设 F 表示转移了一个黑球的事件。

设 A 表示抽出了一个红球的事件。

P(A|E) = P(在转移了一个红球的情况下，抽出红球) = 5/10 = 1/2

P(A|F) = P(在转移了一个黑球的情况下，抽出红球) = 4/10 = 2/5

因此，

P(在抽出的球是红色的情况下，转移的球是黑球) = P(F|A)

P(F|A) = P(F)·P(A|F)/[P(E)·P(A|E) + P(F)·P(A|F)]

= (4/7) (2/5)/[(3/7) (1/2) + (4/7) (2/5)]

= (8/35)/[3/14 + 8/35]

= (8/35)/[31/70]

= 16/31

在下列各项中选择正确答案

11. 如果 A 和 B 是两个事件，满足 P(A) ≠ 0 且 P(B | A) = 1，那么

(A) A ⊂ B (B) B ⊂ A (C) B = φ (D) A = φ

解决方案

已知

P(A) ≠ 0

P(B|A) = 1

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)

1 = P(A ∩ B)/P(A)

P(A) = P(A ∩ B)

因此，

A ⊂ B

因此，(A) 是正确答案。

12. 如果 P(A|B) > P(A)，那么下列哪个是正确的

(A) P(B|A) < P(B) (B) P(A ∩ B) < P(A)·P(B)
(C) P(B|A) > P(B) (D) P(B|A) = P(B)

解决方案

P(A|B) > P(A)

P(A ∩ B)/P(B) > P(A)

P(A ∩ B) > P(A)·P(B)

P(A|B) > P(A)·P(B)

因此，(C) 是正确答案。

13. 如果 A 和 B 是任意两个事件，满足 P(A) + P(B) - P(A 和 B) = P(A)，那么

(A) P(B|A) = 1 (B) P(A|B) = 1
(C) P(B|A) = 0 (D) P(A|B) = 0

解决方案

P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A)

P(B) - P(A ∩ B) = 0

P(B) = P(A ∩ B)

P(A ∩ B)/P(B) = 1

P(A|B) = 1

因此，(B) 是正确答案。