11 年级数学 第 10 章：直线的 NCERT 解决方案

练习 10.1

1. 在笛卡尔平面上画一个四边形，其顶点为 (- 4, 5), (0, 7), (5, - 5) 和 (- 4, -2)。并求出其面积。

解决方案

设给定的四边形为ABCD，其顶点为 A (4, -5), B (0, -7), C (5, -5) 和 D (-4, -2)。

为了求出四边形 ABCD 的面积，我们将画出对角线 AC。

ABCD 的面积 = ABC 的面积 + BCD 的面积

Ar (ABCD) = Ar (∆ ABC) + Ar (∆ BCD)

我们知道，顶点为 (x₁, y₁), (x₂, y₂) 和 (x₃, y₃) 的三角形面积由以下公式给出

1/2 × |[x₁ (y₂ - y₃) + x₂ (y₃ - y₁) + x₃ (y₁ - y₂)]|

因此，

Ar (∆ ABC) = 1/2 × |[-4 (7 - (-5)) + 0 + 5 (5 - 7)]|

= 1/2 × |[-4(12) + 5(-2)]|

= 1/2 × |[-48 - 10]|

= 1/2 × |(-58)|

= 1/2 × 58

= 29 平方单位

Ar (∆ BCD) = 1/2 × |[-4 (-5 + 2) + 5 (-2 - 5) + (-4) (5 - (-5))]|

= 1/2 × |[-4(-3) + 5(-7) - 4(10)]|

= 1/2 × |[12 - 35 - 40]|

= 1/2 × |[-63]|

= 1/2 × 63

= 63/2 平方单位

因此，Ar (ABCD) = 29 + 63/2 = (58 + 63)/2 = 121/2 平方单位。

因此，给定四边形的面积为 121/2 平方单位。

2. 一个边长为 2a 的等边三角形的底边沿 y 轴放置，且底边的中点在原点。求该三角形的顶点。

解决方案

设给定的边长为 2a 的等边三角形为 ABC。

已知该三角形底边的中点在原点。因此，我们可以画出下图

因为原点 O 是 BC 的中点，

BO = CO

并且，AB = BC = AC = 2a

BC = 2a

BO + CO = 2a

BO + BO = 2a

2BO = 2a

BO = a = CO

C 的坐标将是 (0, a)，B 的坐标将是 (0, -a)。

连接等边三角形顶点和对边中点的线段垂直于该边。所以，A 位于 x 轴上，并且 ∆ AOC 和 ∆ AOB 是直角三角形。

在 ∆ AOC 中应用勾股定理，我们得到

AC² = AO² + CO²

(2a)² = AO² + a²

4a² = AO² + a²

3a² = AO²

AO = √3a 单位

A 的坐标将是 (√3a, 0)

因此，该三角形的顶点是 (√3a, 0), (0, a) 和 (0, -a)。

3. 求 P (x₁, y₁) 和 Q (x₂, y₂) 之间的距离，当

(i) PQ 平行于 y 轴，(ii) PQ 平行于 x 轴。

解决方案

(i) 当 PQ 平行于 y 轴时，P 和 Q 的 x 坐标相同。所以，x₁ = x₂。

因此，P (x₁, y₁) 和 Q (x₂, y₂) 之间的距离

= √[(x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²]

= √[0 + (y₁ - y₂)²]

= √(y₁ - y₂)²

= |y₁ - y₂|

(ii) 当 PQ 平行于 x 轴时，P 和 Q 的 y 坐标相同。所以，y₁ = y₂。

因此，P (x₁, y₁) 和 Q (x₂, y₂) 之间的距离

= √[(x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²]

= √[(x₁ - x₂)² + 0]

= √(x₁ - x₂)²

= |x₁ - x₂|

4. 在 x 轴上找一个点，该点到点 (7, 6) 和 (3, 4) 的距离相等。

解决方案

设给定的点为 A (7, 6)，B (3, 4)，并且在 x 轴上与这两点等距的点为 O (x, y)。

已知点 O 在 x 轴上。因此，它的 y 坐标为零。

因为点 O 与 A 和 B 等距。所以，

A 和 O 之间的距离 = B 和 O 之间的距离

√[(7 - x)² + (6 - y)²] = √[(3 - x)² + (4 - y)²]

两边平方

(7 - x)² + (6 - 0)² = (3 - x)² + (4 - 0)²

(7 - x)² + 6² = (3 - x)² + 4²

49 + x² - 14x + 36 = 9 + x² - 6x + 16

60 = 8x

x = 15/2

因此，所求的点是 (15/2, 0)。

5. 求一条直线的斜率，该直线穿过原点和连接点 P (0, - 4) 与 B (8, 0) 的线段的中点。

解决方案

设连接点 P (0, -4) 和 B (8, 0) 的线段的中点为 (x, y)。

x = (0 + 8)/2 = 8/2 = 4

y = (-4 + 0)/2 = -4/2 = -2

因此，线段 PB 的中点是 (4, -2)。

穿过 (0, 0) 和 (4, -2) 的直线的斜率 = m = (-2 - 0)/(4 - 0) = -1/2

因此，穿过原点和连接点 P (0, - 4) 与 B (8, 0) 的线段中点的直线的斜率是 -1/2。

6. 不使用勾股定理，证明点 (4, 4), (3, 5) 和 (-1, -1) 是一个直角三角形的顶点。

解决方案

设三角形的三个顶点为 A (4, 4), B (3, 5) 和 C (-1, -1)。

穿过 A (4, 4) 和 B (3, 5) 的直线的斜率 = m₁ = (5 - 4)/(3 - 4) = 1/(-1) = -1

穿过 B (3, 5) 和 C (-1, -1) 的直线的斜率 = m₂ = (-1 - 5)/(-1 - 3)

= (-6)/(-4) = 3/2

穿过 A (4, 4) 和 C (-1, -1) 的直线的斜率 = m₃ = (4 + 1)/(4 + 1) = 5/5 = 1

现在，我们可以看到 m₁ × m₃ = 1 × (-1) = -1

因此，直线 AB 和 AC 互相垂直。

所以，该三角形在点 A (4, 4) 处是直角三角形。

因此，(4, 4), (3, 5) 和 (-1, -1) 是一个直角三角形的顶点。

7. 求一条直线的斜率，该直线与 y 轴正方向成 30° 角，逆时针测量。

解决方案

已知该直线与 y 轴正方向成 30° 角，逆时针测量。因此，

该直线与 x 轴正方向所成的角（逆时针测量）= 90° + 30° = 120°

给定直线的斜率 = m = tan 120° = tan (180° - 60°)

= -tan 60°

= -√3

8. 求 x 的值，使得点 (x, - 1), (2, 1) 和 (4, 5) 共线。

解决方案

设给定的点为 A (x, -1), B (2, 1) 和 C (4, 5)。

已知这三个给定的点共线。因此，

线段 AB 的斜率 = m₁ = 线段 BC 的斜率 = m₂

(1 + 1)/(2 - x) = (5 - 1)/(4 - 2)

2/(2 - x) = 4/2

2/(2 - x) = 2

2 = (2 - x)2

1 = 2 - x

x + 1 = 2

x = 1

因此，x = 1。

9. 不使用距离公式，证明点 (- 2, - 1), (4, 0), (3, 3) 和 (-3, 2) 是一个平行四边形的顶点。

解决方案

设给定的点为 A (-2, -1), B (4, 0), C (3, 3) 和 D (-3, 2)。

直线 AB 的斜率 = m₁ = (0 + 1)/(4 + 2) = 1/6

直线 CD 的斜率 = m₂ = (3 - 2)/(3 + 3) = 1/6

m₁ = m₂

因此，AB ∥ CD。

直线 BC 的斜率 = m₃ = (3 - 0)/(3 - 4) = 3/(-1) = -3

直线 AD 的斜率 = m₄ = (2 + 1)/(-3 + 2) = 3/(-1) = -3

m₃ = m₄

因此，BC ∥ AD。

现在，我们可以看到四边形 ABCD 的对边平行。因此，ABCD 是一个平行四边形。

因此，给定的顶点 (-2, -1), (4, 0), (3, 3) 和 (-3, 2) 是一个平行四边形的顶点。

10. 求 x 轴与连接点 (3, -1) 和 (4, -2) 的直线之间的夹角。

解决方案

连接点 (3, -1) 和 (4, -2) 的直线的斜率 = (-2 + 1)/(4 - 3)

= (-1)/1 = -1

设连接点 (3, -1) 和 (4, -2) 的直线的倾角为 θ。

所以，tan θ = -1

tan θ = -tan 45°

tan θ = tan (90° + 45°)

因此，

θ = 135°

因此，x 轴与连接点 (3, -1) 和 (4, -2) 的直线之间的夹角是 135°。

11. 一条直线的斜率是另一条直线斜率的两倍。如果它们之间夹角的正切值为 1/3，求这两条直线的斜率。

解决方案

假设 m₁ 和 m 是两条给定直线的斜率，使得 m₁ = 2m

我们知道，如果 θ 是斜率分别为 m₁ 和 m₂ 的直线 l₁ 和 l₂ 之间的夹角，那么

tan θ = |(m₂ - m₁)/(1 + m₁m₂)|

已知两条直线之间夹角的正切值为 1/3。因此，

1/3 = |(m - 2m)/(1 + 2m₂)|

1/3 = |-m/(1 + 2m₂)|

情况 I

1/3 = -m/(1 + 2m₂)

1 + 2m₂ = -3m

2m₂ +1 + 3m = 0

2m (m + 1) + 1(m + 1) = 0

(2m + 1) (m + 1)= 0

m = -1 或 -1/2

如果 m = -1，那么这两条直线的斜率是 -1 和 -2

如果 m = -1/2，那么这两条直线的斜率是 -1/2 和 -1

情况 II

1/3 = m/(1 + 2m₂)

2m₂ - 3m + 1 = 0

2m₂ - 2m - m + 1 = 0

2m (m - 1) - 1(m - 1) = 0

m = 1 或 1/2

如果 m = 1，那么这两条直线的斜率是 1 和 2

如果 m = 1/2，那么这两条直线的斜率是 1/2 和 1

因此，这两条直线的斜率是 [-1 和 -2] 或 [-1/2 和 -1] 或 [1 和 2] 或 [1/2 和 1]

12. 一条直线穿过 (x₁, y₁) 和 (h, k)。如果该直线的斜率为 m，证明 k - y₁ = m (h - x₁)。

解决方案

已知该直线的斜率为 'm'。

同时，穿过 (x₁, y₁) 和 (h, k) 的直线的斜率为 (k - y₁)/(h - x₁)

所以，

(k - y₁)/(h - x₁) = m

(k - y₁) = m (h - x₁)

因此，证明完毕。

13. 如果三个点 (h, 0), (a, b) 和 (0, k) 在一条直线上，证明 a/h + b/k = 1。

解决方案

让我们假设给定的点 A (h, 0), B (a, b) 和 C (0, k) 在一条直线上。

那么，AB 的斜率 = BC 的斜率

(b - 0)/(a - h) = (k - b)/(0 - a)

-ab = (k - b) (a - h)

-ab = ka - kh - ab + bh

ka + bh = kh

两边同时除以 kh；我们得到

ka/kh + bh/kh = kh/kh

a/h + b/k = 1

因此，证明完毕。

14. 考虑以下人口和年份图（图 10.10），求直线 AB 的斜率，并用它来求 2010 年的人口将会是多少？

解决方案

我们知道直线 AB 穿过点 A (1985, 92) 和 B (1995, 97)。

它的斜率将是 (97 - 92)/(1995 - 1985) = 5/10 = 1/2

设 y 为 2010 年的人口。那么，根据给定的图表，AB 必须穿过点 C (2010, y)

所以现在，AB 的斜率 = BC 的斜率

1/2 = (y - 97)/(2010 - 1995)

15/2 = y - 97

y = 7.5 + 97 = 104.5

因此，直线 AB 的斜率是 1/2，而在 2010 年，人口将是 104.5 亿。

练习 10.2

在练习 1 到 8 中，求满足给定条件的直线方程。

1. 写出 x 轴和 y 轴的方程。

解决方案

x 轴上每个点的 y 坐标都是 0。

因此，x 轴的方程是 y = 0。

y 轴上每个点的 x 坐标都是 0。

因此，y 轴的方程是 y = 0。

2. 穿过点 (- 4, 3)，斜率为 1/2

解决方案

已知直线穿过点 (-4, 3)，斜率为 m = 1/2

我们知道，点 (x, y) 位于穿过固定点 (x₀, y₀) 且斜率为 m 的直线上，当且仅当其坐标满足方程 y - y₀ = m (x - x₀)

所以，y - 3 = 1/2 (x - (-4))

y - 3 = 1/2 (x + 4)

2(y - 3) = x + 4

2y - 6 = x + 4

x + 4 - (2y - 6) = 0

x + 4 - 2y + 6 = 0

x - 2y + 10 = 0

因此，该直线的方程是 x - 2y + 10 = 0

3. 穿过 (0, 0)，斜率为 m。

解决方案

已知该直线穿过点 (0, 0)，斜率为 m。

我们知道，点 (x, y) 位于穿过固定点 (x₀, y₀) 且斜率为 m 的直线上，当且仅当其坐标满足方程 y - y₀ = m (x - x₀)

所以，y - 0 = m (x - 0)

y = mx

y - mx = 0

因此，该直线的方程是 y - mx = 0。

4. 穿过 (2, 2√3) 并与 x 轴成 75° 角。

解决方案

已知该直线穿过点 (2, 2√3) 并与 x 轴成 θ = 75° 角。

直线的斜率 = m = tan θ = tan 75°

= tan (45° + 30°)

使用公式 tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 - tan A tan B)，我们得到

tan (45° + 30°) = (tan 45° + tan 30°)/(1 - tan 45° tan 30°)

= (1 + 1/√3)/(1 - 1 × 1/√3)

= (1 + 1/√3)/(1 - 1/√3)

= (√3 + 1)/√3 × √3/(√3 - 1)

= (√3 + 1)/(√3 - 1)

有理化，

tan 75° = (√3 + 1)/(√3 - 1) × (√3 + 1)/(√3 + 1)

= (√3 + 1)²/(3 - 1)

= (3 + 2√3 + 1)/2

= (4 + 2√3)/2

= 2(2 + √3)/2

= √3 + 2

我们知道，点 (x, y) 位于穿过固定点 (x₁, y₁) 且斜率为 m 的直线上，当且仅当其坐标满足方程 y - y₁ = m (x - x₁)

所以，y - 2√3 = (√3 + 2) (x - 2)

y - 2√3 = x√3 + 2x - 2√3 - 4

y = x√3 + 2x - 4

y = x(√3 + 2) - 4

y - x(√3 + 2) + 4 = 0

因此，该直线的方程是 y - x(√3 + 2) + 4 = 0。

5. 在 x 轴上与原点左侧相距 3 个单位处相交，斜率为 -2。

解决方案

已知该直线的斜率为 m = -2，且该直线在 x 轴上与原点左侧相距 3 个单位处相交。

我们知道，如果一条斜率为 m 的直线在 x 轴上的截距为 d，则该直线的方程为

y = m(x - d)

d = -3

y = (-2)(x - (-3))

y = (-2) (x + 3)

y = -2x - 6

2x + y + 6 = 0

因此，该直线的方程是 2x + y + 6 = 0。

6. 在 y 轴上与原点上方相距 2 个单位处相交，并与 x 轴正方向成 30° 角。

解决方案

已知该直线与 x 轴正方向成 θ = 30° 角，并在 y 轴上与原点上方相距 2 个单位处相交。

直线的斜率 = m = tan θ = tan 30°

m = 1/√3

我们知道，如果一条斜率为 m 的直线在 y 轴上的截距为 c，则该直线的方程为

y = m(x - c)

c = 2

y = (1/√3)(x - 2)

√3y = x - 2

√3y - x + 2 = 0

因此，该直线的方程是 √3y - x + 2 = 0。

7. 穿过点 (-1, 1) 和 (2, - 4)。

解决方案

已知该直线穿过点 (-1, 1) 和 (2, -4)

我们知道，穿过两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线方程为

y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) × (x - x₁)

y - 1 = (-4 - 1)/(2 - (-1)) × (x - (-1))

y - 1 = (-5)/(2 + 1) × (x + 1)

y - 1 = (-5x - 5)/3

3y - 3 = -5x - 5

5x + 3y + 2 = 0

因此，该直线的方程是 5x + 3y + 2 = 0。

8. 从原点到直线的垂直距离为 5 个单位，且垂线与 x 轴正方向的夹角为 30°。

解决方案

已知直线与原点之间的垂直距离 p = 5 个单位，且垂线与 x 轴正方向的夹角 ω = 30°。

我们知道，法线距离为 p 且法线与 x 轴正方向夹角为 ω 的直线方程由下式给出

x cos ω + y sin ω = p

x cos 30° + y sin 30° = 5

x (√3/2) + y(1/2) = 5

√3x + y = 5(2)

√3x + y = 10

√3x + y - 10 = 0

因此，该直线的方程是 √3x + y - 10 = 0。

9. ∆ PQR 的顶点为 P (2, 1), Q (-2, 3) 和 R (4, 5)。求穿过顶点 R 的中线方程。

解决方案

设 RL 为顶点 R 的中线。

因为 RL 是一条中线。因此，L (x_l, y_l) 将是 PQ 的中点。

使用中点公式，我们有

x_l = (x_p + x_q)/2

= (2 - 2)/2 = 0

y_l = (y_p + y_q)/2

= (1 + 3)/2 = 4/2

= 2

所以，L 是 (0, 2)。

我们知道，穿过两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线方程为

y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) × (x - x₁)

y - 5 = (2 - 5)/(0 - 4) × (x - 4)

y - 5 = (-3)/(-4) × (x - 4)

y - 5 = 3(x - 4)/4

4(y - 5) = 3(x - 4)

4y - 20 = 3x - 12

3x - 4y + 8 = 0

因此，穿过顶点 R 的中线方程是 3x - 4y + 8 = 0。

10. 求穿过 (-3, 5) 并垂直于穿过点 (2, 5) 和 (-3, 6) 的直线的方程。

解决方案

已知该直线穿过点 (-3, 5)，且其垂线穿过点 (2, 5) 和 (-3, 6)。

因此，垂线的斜率是

m = (6 - 5)/(-3 - 2)

= 1/(-5) = -1/5

我们知道，两条非垂直直线互相垂直，当且仅当它们的斜率互为负倒数。因此，该直线的斜率是

M = -m = -(1/m)

= -(-5/1)

= 5

我们知道，点 (x, y) 位于穿过固定点 (x₀, y₀) 且斜率为 m 的直线上，当且仅当其坐标满足方程 y - y₀ = m (x - x₀)

那么，y - 5 = 5(x - (-3))

y - 5 = 5x + 15

5x + 15 - y + 5 = 0

5x - y + 20 = 0

因此，该直线的方程是 5x - y + 20 = 0

11. 一条垂直于连接点 (1, 0) 和 (2, 3) 的线段的直线，将其按 1: n 的比例分割。求该直线的方程。

解决方案

我们知道，将连接点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的线段按 m: n 的比例内部分割的点的坐标是

x 坐标 = (mx₂ + nx₁)/(m + n)

= (1(2) + n(1)/(1 + n)

= (2 + n)/(1 + n)

和 y 坐标 = (my₂ + ny₁)/(m + n)

= (1(3) + n(0))/(1 + n)

= 3/(1 + n)

我们知道，直线的斜率 m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

= (3 - 0)/(2 - 1)

= 3/1 = 3

我们知道，两条非垂直直线互相垂直，当且仅当它们的斜率互为负倒数。

M = -m = -(1/m)

= -(1/3)

= -1/3

我们知道，点 (x, y) 位于穿过固定点 (x₀, y₀) 且斜率为 m 的直线上，当且仅当其坐标满足方程 y - y₀ = m (x - x₀)

y - 3(1 + n) = -1/3 × (x - (2 + n)/(1 + n))

3((1 + n) y - 3) = (-(1 + n) x + 2 + n)

3(1 + n) y - 9 = -(1 + n) x + 2 + n

(1 + n) x + 3(1 + n) y - n - 9 - 2 = 0

(1 + n) x + 3(1 + n) y - n - 11 = 0

因此，该直线的方程是 (1 + n) x + 3(1 + n) y - n - 11 = 0

12. 求一条在坐标轴上截距相等且穿过点 (2, 3) 的直线的方程。

解决方案

我们知道，在 x 轴和 y 轴上分别截距为 a 和 b 的直线方程是

x/a + y/b = 1

已知该直线在坐标轴上截距相等。因此，

a = b

x/a + y/a = 1

1/a × (x + y) = 1

x + y = a

代入 x = 2 和 y = 3，因为给定的点是 (2, 3)。

2 + 3 = a

a = 5

所以，方程将是

x + y - 5 = 0

13. 求穿过点 (2, 2) 且在坐标轴上截距之和为 9 的直线方程。

解决方案

我们知道，在 x 轴和 y 轴上分别截距为 a 和 b 的直线方程是

x/a + y/b = 1

已知截距之和为 9。因此，

a + b = 9

a = 9 - b

所以，

x/a + y/b = 1

x/(9 - b) + y/b = 1

[bx + y(9 - b)]/b(9 - b) = 1

bx + 9y - by = 9b - b²

b² - 9b + bx + 9y - by = 0

代入 x = 2 和 y = 2，因为直线穿过 (2, 2)。

b² - 9b + b(2) + 9(2) - b(2) = 0

b² - 9b + 2b + 18 - 2b = 0

b² - 9b + 18 = 0

b² - 3b - 6b + 18 = 0

b(b - 3) - 6(b - 3) = 0

(b - 3) (b - 6) = 0

(b - 3) = 0 ⇒ b = 3

或

(b - 6) = 0 ⇒ b = 6

当 b = 3 时，

a = 9 - b = 9 - 3

a = 6

那么，方程将是

x/3 + y/6 = 1

(2x + y)/6 = 1

2x + y = 6

2x + y - 6 = 0

当 b = 6 时，

a = 9 - b = 9 - 6

a = 3

那么，方程将是

x/6 + y/3 = 1

(x + 2y)/6 = 1

x + 2y = 6

x + 2y - 6 = 0

因此，该直线的方程是 2x + y - 6 = 0 或 x + 2y - 6 = 0。

14. 求穿过点 (0, 2) 并与 x 轴正方向成 2π/3 角的直线方程。同时，求与它平行且在 y 轴上与原点下方相距 2 个单位处相交的直线方程。

解决方案

已知该直线穿过点 (0, 2) 并与 x 轴正方向成 θ = 2π/3 角。

直线的斜率 = m = tan θ = tan 2π/3

m = -√3

我们知道，点 (x, y) 位于穿过固定点 (x₀, y₀) 且斜率为 m 的直线上，当且仅当其坐标满足方程 y - y₀ = m (x - x₀)

y - 2 = -√3(x - 0)

y - 2 = -√3x

√3x + y - 2 = 0

与上述方程中的直线平行且在 y 轴上与原点下方相距 2 个单位处相交的直线。因此，

它穿过点 (0, -2)，其斜率为 m = -√3。因此，其方程将是

y - (-2) = -√3(x - 0)

y + 2 = -√3x

√3x + y + 2 = 0

因此，该直线的方程是 √3x + y - 2 = 0，与其平行的直线方程是 √3x + y + 2 = 0。

15. 从原点到一条直线的垂线在该直线上与点 (-2, 9) 相交，求该直线的方程。

解决方案

所求直线的垂线穿过点 (0, 0) 和 (-2, 9)。

这条垂线的斜率 m₁ = (9 - 0) /(-2 - 0)

m₁ = -9/2

我们知道，两条非垂直直线互相垂直，当且仅当它们的斜率互为负倒数。

m₂ = -(1/m₁) = -(-2/9)

m₂ = 2/9

我们知道，点 (x, y) 位于穿过固定点 (x₀, y₀) 且斜率为 m 的直线上，当且仅当其坐标满足方程 y - y₀ = m (x - x₀)

y - 9 = 2/9 × (x - (-2))

9(y - 9) = 2(x + 2)

9y - 81 = 2x + 4

2x + 4 - 9y + 81 = 0

2x - 9y + 85 = 0

因此，该直线的方程是 2x - 9y + 85 = 0。

16. 铜棒的长度 L（单位：厘米）是其摄氏温度 C 的线性函数。在一个实验中，如果当 C = 20 时 L = 124.942，当 C = 110 时 L = 125.134，用 C 表示 L。

解决方案

我们假设 L 沿 x 轴，C 沿 y 轴。

已知当 C = 20 时 L = 124.942，当 C = 110 时 L = 125.134，所以我们在 XY 平面上有两个点 (124.942, 20) 和 (125.134, 110)。

我们知道，穿过点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线方程由下式给出

y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) × (x - x₁)

C - 20 = (110 - 20)/(125.134 - 124.942) × (L - 124.942)

C - 20 = 90/(0.192) × (L - 124.942)

0.192(C - 20) = 90 (L - 124.942)

L - 124.942 = 0.192(C - 20)/90

L = 0.192(C - 20)/90 + 124.942

因此，L 和 C 之间所需的关系是 L = 0.192(C - 20)/90 + 124.942。

17. 一家牛奶店的老板发现，他每周能以 14 卢比/升的价格卖出 980 升牛奶，以 16 卢比/升的价格卖出 1220 升牛奶。假设销售价格和需求之间存在线性关系，他每周能以 17 卢比/升的价格卖出多少升牛奶？

解决方案

我们假设每升的销售价格沿 x 轴，需求沿 y 轴。

已知如果每升销售价格 = 14 卢比，那么需求 = 980 升；当每升销售价格 = 16 卢比时，需求 = 1220 升，所以我们在 XY 平面上有两个点 (14, 980) 和 (16, 1220)。

我们知道，穿过点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线方程由下式给出

y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) × (x - x₁)

y - 980 = (1220 - 980)/(16 - 14) × (x - 14)

y - 980 = 240/2 × (x - 14)

y - 980 = 120(x - 14)

y = 120(x - 14) + 980

设每升销售价格 = x = 17

y = 120(17 - 14) + 980

y = 120(3) + 980

y = 360 + 980 = 1340

因此，老板每周能以 17 卢比/升的价格卖出 1340 升牛奶。

18. P (a, b) 是坐标轴之间一条线段的中点。证明该直线的方程是 x/a + y/b = 2。

解决方案

设所求线段为 AB。

A 是 (0, y)，B 是 (x, 0)，因为该线段位于坐标轴之间。

线段 AB 的中点由 ((x + 0)/2, (0 + y)/2) 给出。

已知 P (a, b) 是线段 AB 的中点。因此，

a = x/2

x = 2a

并且

b = y/2

y = 2b

所以，A 是 (0, 2b)，B 是 (2a, 0)

我们知道，穿过点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线方程由下式给出

y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) × (x - x₁)

y - 2b = (0 - 2b)/(2a - 0) × (x - 0)

y - 2b = (-2b)x/2a

y - 2b = -bx/a

2b - y = bx/a

a(2b - y) = bx

2ab - ay = bx

bx + ay = 2ab

两边同时除以 ab

bx/ab + ay/ab = 2ab/ab

x/a + y/b = 2

因此，证明完毕。

19. 点 R (h, k) 将坐标轴之间的一条线段按 1: 2 的比例分割。求该直线的方程。

解决方案

设所求线段为

1. A 是 (0, y)，B 是 (x, 0)，因为该线段位于坐标轴之间。

我们知道，将连接点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的线段按 m : n 的比例内部分割的点的坐标是 ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))。

已知点 R (h, k) 将线段 AB 按 1 : 2 的比例分割。因此，

h = (1(0) + 2(x))/(1 + 2)

h = 2x/3

x = 3h/2

并且

k = (1(y) + 2(0))/(1 + 2)

k = y/3

y = 3k

我们知道，穿过点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线方程由下式给出

y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) × (x - x₁)

y - 3k = (0 - 3k)/(3h/2 - 0) × (x - 0)

y - 3k = (-3k)x/(3h/2)

(3h/2) × (y - 3k) = -3kx

3hy/2 - 9hk/2 = -3kx

3hy - 9hk = -6kx

6kx + 3hy = 9hk

两边同时除以 9hk

6kx/9hk + 3hk/9hk = 9hk/9hk

2x/3h + 1/3 = 1

因此，该线段的方程由 2x/3h + 1/3 = 1 给出。

20. 利用直线方程的概念，证明三个点 (3, 0), (- 2, - 2) 和 (8, 2) 共线。

解决方案

我们需要证明给定的三个点 (3, 0), (-2, -2) 和 (8, 2) 共线。如果穿过点 (3, 0) 和 (-2, -2) 的直线也穿过 (8, 2)，那么这三个点将共线。

我们知道，穿过点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线方程由下式给出

y - y₁ = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) × (x - x₁)

y - 0 = (-2 - 0)/(-2 - 3) × (x - 3)

y = (-2)/(-5) × (x - 3)

5y = 2(x - 3)

5y = 2x - 6

2x - 5y - 6 = 0

用 x = 8 和 y = 2 检查左侧

2(8) - 5(2) - 6

= 16 - 10 - 6

= 0

= RHS

因此，穿过 (3, 0) 和 (-2, -2) 的直线 2x - 5y - 6 = 0 也穿过点 (8, 2)。

因此，证明了点 (3, 0), (-2, -2) 和 (8, 2) 共线。

练习 10.3

1. 将以下方程化为斜截式，并求出它们的斜率和 y 截距。

(i) x + 7y = 0, (ii) 6x + 3y - 5 = 0, (iii) y = 0.

解决方案

(i) 方程是 x + 7y = 0

斜截式表示为 y = mx + c，其中 m 是斜率，c 是 y 截距。

所以，上述方程可以表示为

y = -1/7x + 0

因此，上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m = -1/7，c = 0。

(ii) 方程是 6x + 3y - 5 = 0

斜截式表示为 y = mx + c，其中 m 是斜率，c 是 y 截距。

所以，上述方程可以表示为

3y = -6x + 5

y = -6/3x + 5/3

y = -2x + 5/3

因此，上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m = -2，c = 5/3。

(iii) 方程是 y = 0

斜截式由 y = mx + c 给出，其中 m 是斜率，c 是 y 截距。

y = 0 × x + 0

因此，上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m = 0，c = 0。

2. 将以下方程化为截距式，并求出它们在坐标轴上的截距。

(i) 3x + 2y - 12 = 0, (ii) 4x - 3y = 6, (iii) 3y + 2 = 0.

解决方案

(i) 方程是 3x + 2y - 12 = 0

直线的截距式方程由 x/a + y/b = 1 给出，其中 a 和 b 分别是 x 轴和 y 轴上的截距。

所以，3x + 2y = 12

两边同时除以 12

3x/12 + 2y/12 = 12/12

x/4 + y/6 = 1

因此，上述方程是 x/a + y/b = 1 的形式，其中 a = 4, b = 6

因此，x 轴上的截距是 4，y 轴上的截距是 6。

(ii) 方程是 4x - 3y = 6

直线的截距式方程由 x/a + y/b = 1 给出，其中 a 和 b 分别是 x 轴和 y 轴上的截距。

所以，4x - 3y = 6

两边同时除以 6

4x/6 - 3y/6 = 6/6

2x/3 - y/2 = 1

x/(3/2) + y/(-2) = 1

因此，上述方程是 x/a + y/b = 1 的形式，其中 a = 3/2, b = -2

因此，x 轴上的截距是 3/2，y 轴上的截距是 -2。

(iii) 方程是 3y + 2 = 0

直线的截距式方程由 x/a + y/b = 1 给出，其中 a 和 b 分别是 x 轴和 y 轴上的截距。

所以，3y = -2

两边同时除以 -2

3y/(-2) = -2/-2

3y/(-2) = 1

y/(-2/3) = 1

因此，上述方程是 x/a + y/b = 1 的形式，其中 a = 0, b = -2/3

因此，x 轴上的截距是 0，y 轴上的截距是 -2/3。

3. 将以下方程化为法线式。求它们从原点出发的垂直距离以及垂线与 x 轴正方向的夹角。

(i) x - √3y + 8 = 0, (ii) y - 2 = 0, (iii) x - y = 4.

解决方案

(i) 方程是 x - √3y + 8 = 0

直线的法线式方程由 x cos θ + y sin θ = p 给出，其中 θ 是垂线与 x 轴正方向的夹角，p 是从原点出发的垂直距离。

所以，x - √3y + 8 = 0

x - √3y = -8

两边同时除以 √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2

x/2 - √3y/2 = -8/2

(-1/2)x + (√3/2)y = 4

现在，x cos θ = x(-1/2)

cos θ = -cos 60°

cos θ = cos (180° - 60°)

cos θ = cos 120°

并且

y sin θ = y (√3/2)

sin θ = sin 60°

sin θ = sin (180° - 60°)

sin θ = 120°

上述方程是 x cos θ + y sin θ = p 的形式，其中 θ = 120°，p = 4。

因此，直线从原点出发的垂直距离 = 4，垂线与 x 轴正方向的夹角 = 120°

(ii) 方程是 y - 2 = 0

直线的法线式方程由 x cos θ + y sin θ = p 给出，其中 θ 是垂线与 x 轴正方向的夹角，p 是从原点出发的垂直距离。

所以，0.x + y = 2

两边同时除以 √(0² + 1²) = √1 = 1

0(x) + 1(y) = 2

现在，x cos θ = x(0)

cos θ = cos 90°

并且

y sin θ = y(1)

sin θ = sin 90°

上述方程是 x cos θ + y sin θ = p 的形式，其中 θ = 90°，p = 2。

因此，直线从原点出发的垂直距离 = 2，垂线与 x 轴正方向的夹角 = 90°

(iii) 方程是 x - y = 4

直线的法线式方程由 x cos θ + y sin θ = p 给出，其中 θ 是垂线与 x 轴正方向的夹角，p 是从原点出发的垂直距离。

所以，x - y = 4

两边同时除以 √(1² + 1²) = √2

x/√2 - y/√2 = 4/√2

(1/√2)x + (-1/√2)y = 2√2

现在，x cos θ = x(1/√2)

cos θ = cos 45°

并且

y sin θ = y(-1/√2)

sin θ = -sin 45°

sin θ = sin (360° - 45°)

sin θ = sin 315°

cos 45° = cos (360° + 45°)

所以，cos θ = cos 315°

上述方程是 x cos θ + y sin θ = p 的形式，其中 θ = 315°，p = 2√2。

因此，直线从原点出发的垂直距离 = 2√2，垂线与 x 轴正方向的夹角 = 315°

4. 求点 (-1, 1) 到直线 12(x + 6) = 5(y - 2) 的距离。

解决方案

12(x + 6) = 5(y - 2)

12x + 72 = 5y - 10

12x - 5y + 82 = 0

将上述方程与直线的一般方程 Ax + By + C = 0 比较，我们得到 A = 12, B = -5, C = 82。

直线到点 (-1, 1) 的垂直距离 (d) 将是

d = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)

d = |12 × (-1) + (-5) × 1 + 82|/√(12² + (-5)²)

= |-12 - 5 + 82|/√(144 + 25)

= |65|/√169

= 5 单位

因此，距离是 5 个单位。

5. 在 x 轴上找出那些点，它们到直线 x/3 + y/4 = 1 的距离为 4 个单位。

解决方案

x/3 + y/4 = 1

(4x + 3y)/12 = 1

4x + 3y = 12

4x + 3y - 12 = 0

将上述方程与直线的一般方程 Ax + By + C = 0 比较，我们得到 A = 4, B = 3, C = -12。

设在 x 轴上且到该直线距离为 4 个单位的点为 (a, 0)。

6. 求平行线之间的距离

(i) 15x + 8y - 34 = 0 和 15x + 8y + 31 = 0
(ii) l (x + y) + p = 0 和 l (x + y) - r = 0。

解决方案

(i) 平行线 Ax + By + C₁ = 0 和 Ax + By + C₂ = 0 之间的距离 (d) 由下式给出

d = |(C₁ - C₂)/√(A² + B²)|

d = |(-34 - 31)/√(15² + 8²)|

= |-65/√(225 + 64)|

= |-65/√289|

= 65/17

(ii) 给定的直线是

l(x + y) + p = 0 和 l(x + y) - r = 0

lx + ly + p = 0 和 lx + ly - r = 0

平行线 Ax + By + C₁ = 0 和 Ax + By + C₂ = 0 之间的距离 (d) 由下式给出

d = |(C₁ - C₂)/√(A² + B²)|

d = |(p - (-r))/√(l² + l²)|

= |(p + r)/√(2l²)|

= |p + r|/l√2

7. 求平行于直线 3x - 4y + 2 = 0 并穿过点 (-2, 3) 的直线方程。

解决方案

3x - 4y + 2 = 0

4y = 3x + 2

y = (3x + 2)/4

y = 3x/4 + 1/2

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

因此，给定直线的斜率是 3/4。

平行线有相同的斜率，所以平行线的斜率 = 3/4

斜率为 m 且穿过 (x₁, y₁) 的直线方程由下式给出

y - y₁ = m(x - x₁)

斜率为 3/4 且穿过 (-2, 3) 的直线方程是

y - 3 = 3/4 × (x - (-2))

4(y - 3) = 3(x + 2)

4y - 12 = 3x + 6

3x - 4y = -18

因此，方程是 3x - 4y = -18。

8. 求垂直于直线 x - 7y + 5 = 0 且 x 截距为 3 的直线方程。

解决方案

x - 7y + 5 = 0

7y = x + 5

y = (x + 5)/7

y = x/7 + 5/7

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

因此，给定直线的斜率是 1/7。

垂直于上述直线的斜率 = -1/m

= -(7/1) = -7

斜率为 m 且 x 截距为 d 的直线方程由下式给出

y = m(x - d)

斜率为 -7 且 x 截距为 3 的直线方程

y = (-7)(x - 3)

y = -7x + 21

7x + y = 21

因此，方程是 7x + y = 21。

9. 求直线 √3x + y = 1 和 x + √3y = 1 之间的夹角。

解决方案

√3x + y = 1 和 x + √3y = 1

y = 1 - √3x 和 y = (1 - x)/√3

y = -√3x + 1 和 y = -x/√3 + 1/√3

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

直线 √3x + y = 1 的斜率是 m₁ = -√3，直线 x + √3y = 1 的斜率是 m₂ = -1/√3。

设两条直线之间的夹角为 θ

tan θ = |(m₁ - m₂)/(1 + m₁m₂)|

tan θ = |(-√3 - (-1/√3))/(1 + (-√3)(-1/√3))|

tan θ = |(-√3 + 1/√3)/(1 + 1)|

tan θ = |((-3 + 1)/√3)/2|

tan θ = |-2/2√3|

tan θ = |-1/√3|

tan θ = 1/√3

tan θ = tan 30°

θ = 30°

因此，给定直线之间的夹角是 30°。

10. 穿过点 (h, 3) 和 (4, 1) 的直线与直线 7x - 9y - 19 = 0 成直角相交。求 h 的值。

解决方案

设穿过 (h, 3) 和 (4, 1) 的直线的斜率为 m₁

m₁ = (1 - 3)/(4 - h) = -2/(4 - h)

设直线 7x - 9y - 19 = 0 的斜率为 m₂

7x - 9y - 19 = 0

9y = 7x - 19

y = (7x - 19)/9

y = 7x/9 - 19/9

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

所以，m₂ = 7/9

给定的直线是垂直的。因此，

m₁ × m₂ = -1

-2/(4 - h) × 7/9 = -1

-14 = -9(4 - h)

14 = 36 - 9h

9h = 22

h = 22/9

11. 证明穿过点 (x₁, y₁) 并平行于直线 Ax + By + C = 0 的直线是 A (x - x₁) + B (y - y₁) = 0。

解决方案

设直线 Ax + By + C = 0 的斜率为 m

Ax + By + C = 0

By = C - Ax

y = (C - Ax)/B

y = -A/Bx - C/B

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

所以，m = -A/B

穿过点 (x₁, y₁) 且斜率为 m = -A/B 的直线方程是

y - y₁ = m (x - x₁)

y - y₁= -A/B (x - x₁)

B (y - y₁) = -A (x - x₁)

A(x - x₁) + B(y - y₁) = 0

所以，穿过点 (x₁, y₁) 并平行于直线 Ax + By + C = 0 的直线是 A (x - x₁) + B (y - y₁) = 0

因此，证明完毕。

12. 两条穿过点 (2, 3) 的直线以 60^o 的角度相交。如果一条直线的斜率是 2，求另一条直线的方程。

解决方案

已知：m₁ = 2

设第一条直线的斜率为 m₁

设另一条直线的斜率为 m₂。

两条直线之间的夹角是 60°。

所以，

tan θ = |(m₁ - m₂)/(1 + m₁m₂)|

tan 60° = |(2 - m₂)/(1 + 2m₂)|

√3 = ± (2 - m₂)/(1 + 2m₂)

当 √3 = (2 - m₂)/(1 + 2m₂) 时

√3 = (2 - m₂)/(1 + 2m₂)

√3 (1 + 2m₂) = 2 - m₂

√3 + 2√3m₂ = 2 - m₂

2√3m₂ + m₂ = 2 - √3

m₂ (2√3 + 1) = (2 - √3)

m₂ = (2 - √3)/(2√3 + 1)

当 √3 = -(2 - m₂)/(1 + 2m₂) 时

√3 = -(2 - m₂)/(1 + 2m₂)

√3 (1 + 2m₂) = -(2 - m₂)

√3 + 2√3m₂ = m₂ - 2

m₂ - 2√3m₂ = 2 + √3

m₂ (1 - 2√3) = (2 + √3)

m₂ = (2 + √3)/(1 - 2√3)

m₂ = -(2 + √3)/(2√3 - 1)

情况 I： m₂ = (2 - √3)/(2√3 + 1)

穿过点 (2, 3) 且斜率为 m­₂ 的直线方程将是

y - 3 = (2 - √3)/(2√3 + 1) × (x - 2)

(2√3 + 1)(y - 3) = (2 - √3) × (x - 2)

(2√3 + 1)y - 3(2√3 + 1) = x(2 - √3) - 2(2 - √3)

(2√3 + 1)y + x(√3 - 2) = -4 + 2√3 + 6√3 - 3

(2√3 + 1)y + (√3 - 2)x = 8√3 - 1

因此，另一条直线的方程是 (2√3 + 1)y + x(√3 - 2) = 8√3 - 1。

情况 II： m₂ = -(2 + √3)/(2√3 - 1)

y - 3 = -(2 + √3)/(2√3 - 1) × (x - 2)

(2√3 - 1)(y - 3) = (2 + √3) × (2 - x)

(2√3 - 1)y - 3(2√3 - 1) = 2(2 + √3) - (2 + √3)x

(2√3 - 1)y - (2 + √3)x = 4 + 2√3 + 6√3 - 3

(2√3 - 1)y - (2 + √3)x = 8√3 + 1

因此，另一条直线的方程是 (2√3 - 1)y - (2 + √3)x = 8√3 + 1。

13. 求连接点 (3, 4) 和 (-1, 2) 的线段的垂直平分线方程。

解决方案

线段的垂直平分线以 90° 角平分该线段。

线段 AB 的端点给出为 A (3, 4) 和 B (-1, 2)。

设 AB 的中点为 (x, y)。

x = (3 - 1)/2 = 2/2 = 1

y = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3

(x, y) 是 (1, 3)。

设直线 AB 的斜率为 m₁

m₁ = (2 - 4)/(-1 - 3)

= -2/(-4)

= 1/2

设垂直于 AB 的直线的斜率为 m₂

m₂ = -1/m

= -1/(1/2)

= -2

穿过 (1, 3) 且斜率为 -2 的直线方程是

(y - 3) = -2 (x - 1)

y - 3 = -2x + 2

2x + y = 5

因此，所求的直线方程是 2x + y = 5。

14. 求从点 (-1, 3) 到直线 3x - 4y - 16 = 0 的垂足坐标。

解决方案

我们假设从 (-1, 3) 到直线 3x - 4y - 16 = 0 的垂足坐标为 (a, b)

设连接 (-1, 3) 和 (a, b) 的直线的斜率为 m₁

m₁ = (b - 3)/(a + 1)

设直线 3x - 4y - 16 = 0 的斜率为 m₂

4y = 3x - 16

y = (3x - 16)/4

y = 3x/4 - 4

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

所以，m₂ = 3/4

给定的两条直线是垂直的。因此，

m₁ × m₂ = -1

(b - 3)/(a + 1) × 3/4 = -1

3(b - 3) = -4(a + 1)

3b - 9 = -4a - 4

4a + 3b = 5

4a = 5 - 3b

a = (5 - 3b)/4

我们知道 (a, b) 也位于直线 3x - 4y = 16 上。

所以，

3a - 4b = 16

3 × (5 - 3b)/4 - 4b = 16

(15 - 9b)/4 = 16 + 4b

15 - 9b = 4(16 + 4b)

15 - 9b = 64 + 16b

-49 = 25b

b = -49/25

然后，

a = (5 - 3(-49)/25)/4

= (5 + 147/25)/4

= (125 + 147)/4(25)

= 272/4(25)

a = 68/25

因此，垂足的坐标是 (68/25, -49/25)。

15. 从原点到直线 y = mx + c 的垂线与该直线在点 (-1, 2) 处相交。求 m 和 c 的值。

解决方案

从原点出发的垂线与给定直线在 (-1, 2) 处相交。

该直线的方程是 y = mx + c

连接点 (0, 0) 和 (-1, 2) 的直线垂直于给定直线。

所以，连接 (0, 0) 和 (-1, 2) 的直线的斜率 = 2/(-1) = -2

给定直线的斜率是 m。

m × (-2) = -1

m = 1/2

因为点 (-1, 2) 位于给定直线上，

y = mx + c

2 = 1/2 × (-1) + c

c = 2 + 1/2 = 5/2

因此，m 和 c 的值分别是 1/2 和 5/2。

16. 如果 p 和 q 分别是从原点到直线 x cos θ − y sin θ = k cos 2θ 和 x sec θ + y cosec θ = k 的垂线长度，证明 p² + 4q² = k²。

解决方案

x cos θ - y sin θ = k cos 2θ

x sec θ + y cosec θ = k

从点 (x₁, y₁) 到直线 Ax + By + C = 0 的垂直距离 (d) 由下式给出

d = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)

将 x cos θ - y sin θ - k cos 2θ = 0 与 Ax + By + C = 0 比较，我们得到

A = cos θ, B = -sin θ, C = -k cos 2θ

已知 p 是从 (0, 0) 到直线 x cos θ - y sin θ - k cos 2θ = 0 的垂线长度

p = |cos θ (0) + (-sin θ)(0) + (-k cos 2θ)|/√(cos θ) ² + (-sin θ)²)

= |-k cos 2θ|/√(cos² θ + sin² θ)

= k cos 2θ

两边平方

p² = k² cos² 2θ … 方程 (I)

将 x sec θ + y cosec θ - k = 0 与 Ax + By + C = 0 比较，我们得到

A = sec θ, B = cosec θ, C = -k

已知 q 是从 (0, 0) 到直线 x sec θ + y cosec θ - k = 0 的垂线长度

q = |sec θ (0) + (cosec θ)(0) + (-k)|/√(sec θ) ² + (cosec θ)²)

= |-k|/√(sec² θ + cosec² θ)

= |-k|/√(1/cos² θ + 1/sin² θ)

= k/√((sin² θ + cos² θ)/(cos² θ sin² θ))

= k cos θ sin θ

两边同时乘以 2

2q = k 2 cos θ sin θ

2q = k sin 2θ

两边平方

4q² = k² sin² 2θ … 方程 (II)

将方程 (I) 和 (II) 相加

p² + 4q² = k² cos² 2θ + k² sin² 2θ

p² + 4q² = k² (cos² 2θ + sin² 2θ)

p² + 4q² = k²

因此，证明完毕。

17. 在顶点为 A (2, 3), B (4, -1) 和 C (1, 2) 的三角形 ABC 中，求从顶点 A 出发的高的方程和长度。

解决方案

设 AD 是三角形 ABC 从顶点 A 出发的高。

D 位于 BC 上，且 AD ⊥ BC。

给定的三角形顶点是 A (2, 3), B (4, -1) 和 C (1, 2)

设直线 BC 的斜率 = m₁

m₁ = (- 1 - 2)/(4 - 1)

m₁ = -1

设直线 AD 的斜率为 m₂

AD 垂直于 BC。

m₁ × m₂ = -1

-1 × m₂ = -1

m₂ = 1

穿过点 (2, 3) 且斜率为 1 的直线方程将是

y - 3 = 1 × (x - 2)

y - 3 = x - 2

y - x = 1

因此，从顶点 A 出发的 ∆ ABC 的高的方程是 y - x = 1

BC 的方程将是

y + 1 = -1 × (x - 4)

y + 1 = -x + 4

x + y - 3 = 0

从点 (x₁, y₁) 到直线 Ax + By + C = 0 的垂直距离 (d) 由下式给出

d = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)

将 x + y - 3 = 0 与 Ax + By + C = 0 比较，我们得到

A = 1, B = 1, C = -3

AD 的长度 = 从 A (2, 3) 到 BC 的垂直距离

= d = |1(2) + 1(3) + (-3)|/√(1² + 1²)

= |2 + 3 - 3|/√(1 + 1)

= |2|/√2

= √2 单位

因此，从顶点 A 出发的高的方程和长度分别是 y - x = 1 和 √2 单位。

18. 如果 p 是从原点到一条直线的垂线长度，该直线在坐标轴上的截距分别为 a 和 b，那么证明 1/p² = 1/a² + 1/b²。

解决方案

在坐标轴上截距分别为 a 和 b 的直线方程将是

x/a + y/b = 1

(bx + ay)/ab = 1

bx + ay = ab

bx + ay - ab = 0

从点 (x₁, y₁) 到直线 Ax + By + C = 0 的垂直距离 (d) 由下式给出

d = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)

将 bx + ay - ab = 0 与 Ax + By + C = 0 比较，我们得到

A = b, B = a, C = -ab

已知 p 是从 (0, 0) 到直线 bx + ay - ab = 0 的垂线长度。

p = |b(0) + a(0) + (-ab)|/√(b² + a²)

p = |-ab|/√(a² + b²)

两边平方

p² = a²b²/(a² + b²)

1/p² = (a² + b²)/a²b²

1/p² = a²/a²b² + b²/a²b²

1/p² = 1/b² + 1/a²

因此，证明完毕。

杂项练习

1. 求 k 的值，使得直线 (k-3) x - (4 - k²) y + k² -7k + 6 = 0

(a) 平行于 x 轴，
(b) 平行于 y 轴，
(c) 穿过原点。

解决方案

(k - 3) x - (4 - k²) y + k² - 7k + 6 = 0

(4 - k²)y = (k - 3) x + k² - 7k + 6

y = [(k - 3) x + k² - 7k + 6]/(4 - k²)

y = (k - 3)x/(4 - k²) + (k² - 7k + 6)/(4 - k²)

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

所以，m = (k - 3)/(4 - k²)

(a) 如果给定直线平行于 x 轴，则

直线的斜率 = x 轴的斜率

(k - 3)/(4 - k²) = 0

k - 3 = 0

k = 3

(b) 如果给定直线平行于 y 轴，则

直线的斜率 = y 轴的斜率

(k - 3)/(4 - k²) = 未定义

如果分母为 0，则 (k - 3)/(4 - k²) 未定义。

4 - k² = 0

k² = 4

k = ±2

(c) 如果给定直线通过原点，则坐标 (0, 0) 将满足方程

(k - 3)(0) - (4 - k²)(0) + k² - 7k + 6 = 0

k² - 7k + 6 = 0

k² - k - 6k + 6 = 0

k(k - 1) - 6(k - 1) = 0

(k - 1)(k - 6) = 0

(k - 6) = 0 ⇒ k = 6

或

(k - 1) = 0 ⇒ k = 1

2. 如果方程 x cos θ + y sin θ = p 是直线 √3x + y + 2 = 0 的法线式，求 θ 和 p 的值。

解决方案

√3x + y + 2 = 0

-√3x - y = 2

两边同除以 √((√-3)² + (-1)²) = 2

-√3x/2 - y/2 = 2/2

x(-√3/2) + y(-1/2) = 1

将上述方程与 x cos θ + sin θ = p 比较，我们得到

cos θ = -√3/2

cos θ = -cos 30°

sin θ = -1/2

sin θ = -sin 30°

且 p = 1

因为 cos θ 和 sin θ 均为负值。所以，

θ = 180° + 30° = 210°

因此，θ 的值为 210°，p 的值为 1

3. 求直线方程，该直线在坐标轴上的截距之和为 1，截距之积为 -6。

解决方案

设在坐标轴上的截距分别为 a 和 b。

a + b = 1

a = 1 - b

ab = -6

(1 - b)b = -6

b - b² = -6

b² - b - 6 = 0

b² - 3b + 2b - 6 = 0

b(b - 3) + 2(b - 3) = 0

(b - 3)(b + 2) = 0

(b - 3) = 0 ⇒ b = 3

或

(b + 2) = 0 ⇒ b = -2

当 b = 3 时

a = 1 - 3

a = -2

当 b = -2 时

a = 1 + 2

a = 3

我们知道，在 a 轴和 b 轴上的截距分别为 a 和 b 的直线方程为

x/a + y/b = 1

(bx + ay)/ba = 1

bx + ay = ba

bx + ay - ba = 0

因此，

情况 I：a = -2 且 b = 3

直线方程为

3x + (-2)y - (3)(-2) = 0

3x - 2y + 6 = 0

3x - 2y = -6

情况 II：a = 3 且 b = -2

直线方程为

3x + (-2)y - (3)(-2) = 0

3x - 2y + 6 = 0

3x - 2y = -6-2x + 3y - (-2)(3) = 0

-2x + 3y + 6 = 0

2x - 3y = 6

因此，所求的直线方程为 2x - 3y = 6 和 -3x + 2y = 6。

4. y 轴上哪些点到直线 x/3 + y/4 = 1 的距离为 4 个单位？

解决方案

x/3 + y/4 = 1

(4x + 3y)/12 = 1

4x + 3y = 12

4x + 3y - 12 = 0

设 y 轴上到直线 4x + 3y - 12 = 0 的距离为 4 的点为 (0, b)。

将上述方程与直线一般方程 Ax + By + C = 0 比较，我们得到

A = 4, B = 3, 且 C = -12

我们知道，从点 (x₁, y₁) 到直线 Ax + By + C = 0 的垂直距离 (d) 由以下公式给出

d = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)

该点为 (0, b)，到直线的距离为 4 个单位。

4 = |4(0) + 3(b) - 12|/√(4² + 3²)

4 = |3b - 12|/√(16 + 9)

4 = |3b - 12|/5

20 = ± (3b - 12)

所以，

20 = 3b - 12

3b = 32

b = 32/3

或

20 = -3b + 12

3b = -8

b = -8/3

因此，所求的点为 (0, 32/3) 和 (0, -8/3)。

5. 求从原点到连接点 (cosθ, sin θ) 和 (cos φ, sin φ) 的直线的垂直距离。

解决方案

连接点 (cos θ, sin θ) 和 (cos φ, sin φ) 的直线方程为

y - sin θ = (sin φ - sin θ)/(cos φ - cos θ) × (x - cos θ)

(y - sin θ)(cos φ - cos θ) = (sin φ - sin θ)(x - cos θ)

y(cos φ - cos θ) - sin θ (cos φ - cos θ) = x(sin φ - sin θ) - cos θ (sin φ - sin θ)

y(cos φ - cos θ) + x(sin θ - sin φ) + cos θ sin φ - cos θ sin θ + sin θ cos θ - sin θ cos φ = 0

x(sin θ - sin φ) + y(cos φ - cos θ) + sin(φ - θ) = 0

将上述方程与 Ax + By + C = 0 比较，我们得到

A = sin θ - sin φ, B = cos φ - cos θ, 且 C = sin(φ - θ)

我们知道，从点 (x₁, y₁) 到直线 Ax + By + C = 0 的垂直距离 (d) 由以下公式给出

d = |Ax₁ + By₁ + C|/√(A² + B²)

该点为 (0, 0)，所以到直线的距离为

d = |(sin θ - sin φ)(0) + (cos φ - cos θ)(0) + sin(φ - θ)|/√((sin θ - sin φ)² + (cos φ - cos θ)²)

= |sin(φ - θ)|/√(sin² θ + sin² φ - 2 sin θ sin φ + cos² θ + cos² φ - 2 cos θ cos φ)

= |sin(φ - θ)|/√(sin² θ + sin² φ + cos² θ + cos² φ - 2(cos θ cos φ + sin θ sin φ))

= |sin(φ - θ)|/√(1 + 1 - 2(cos (φ - θ)))

= |sin(φ - θ)|/√2(1 - cos (φ - θ))

= |sin(φ - θ)|/√2(2 sin² (φ - θ)/2)

= |(sin(φ - θ))/2 sin² (φ - θ)/2|

6. 求平行于 y 轴且通过直线 x - 7y + 5 = 0 和 3x + y = 0 交点的直线方程。

解决方案

我们知道，任何平行于 y 轴的直线方程形式为

x = a

给定的直线是

x - 7y + 5 = 0

3x + y = 0

⇒ y = -3x

将 y = -3x 代入 x - 7y + 5 = 0

x - 7(-3x) + 5 = 0

x + 21x + 5 = 0

22x + 5 = 0

22x = -5

x = -5/22

所以，y = -3(-5/22)

y = 15/22

所以，(-5/22, 15/22) 是两条给定直线的交点。

如果 x = a 通过此点，则 -5/22 = a。因此，所求方程为

x = -5/22

7. 求一条垂直于直线 x/4 + y/6 = 1 的直线方程，该直线通过原直线与 y 轴的交点。

解决方案

x/4 + y/6 = 1

(6x + 4y)/24 = 1

6x + 4y = 24

2(3x + 2y) = 24

3x + 2y = 12

2y = 12 - 3x

y = 6 - 3x/2

y = x(-3/2) + 6

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

所以，m = -3/2

因此，垂直于给定直线的直线的斜率 = -1/m

= -1/(-3/2) = 2/3

设给定直线与 y 轴的交点为 (0, y)。

3x + 2y = 12

3(0) + 2y = 12

2y = 12

y = 6

因此，给定直线与 y 轴的交点为 (0, 6)。

通过点 (0, 6) 且斜率为 2/3 的直线方程为

y - 6 = 2/3 × (x - 0)

3(y - 18) = 2x

3y - 18 = 2x

2x - 3y + 18 = 0

因此，所求的直线方程为 2x - 3y + 18 = 0。

8. 求由直线 y - x = 0, x + y = 0 和 x - k = 0 围成的三角形的面积。

解决方案

y - x = 0 … (I)

x + y = 0 … (II)

x - k = 0 … (III)

直线 (I) 和 (II) 的交点

y - x = 0

y = x

将 y = x 代入 (II)

x + x = 0

2x = 0

x = 0

所以，y = 0

因此，直线 (I) 和 (II) 相交于 (0, 0)

直线 (II) 和 (III) 的交点

x + y = 0

x = -y

将 x = -y 代入 (III)

-y - k = 0

y = -k

所以，x = k

因此，直线 (II) 和 (III) 相交于 (k, -k)。

直线 (I) 和 (III) 的交点

y - x = 0

y = x

将 y = x 代入 (III)

y - k = 0

y = k

所以，x = k

因此，直线 (I) 和 (III) 相交于 (k, k)。

所以，由三条直线围成的三角形的顶点为 (0, 0), (k, -k) 和 (k, k)。

我们知道，顶点为 (x₁, y₁), (x₂, y₂) 和 (x₃, y₃) 的三角形面积由以下公式给出

1/2 × |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

给定三角形的面积 = 1/2 × |0(-k - k) + k(k - 0) + k(0 - (-k))|

= 1/2 × |0 + k² + k²|

= 1/2 × |2k²|

= k² 平方单位

9. 求 p 的值，使得三条直线 3x + y - 2 = 0, px + 2 y - 3 = 0 和 2x - y - 3 = 0 可能相交于一点。

解决方案

3x + y - 2 = 0 … (I)

px + 2y - 3 = 0 … (II)

2x - y - 3 = 0 … (III)

直线 (I) 和 (III) 的交点

3x + y = 2

y = 2 - 3x

将 y = 2 - 3x 代入 (III)

2x - 2 + 3x = 3

5x = 5

x = 1

所以，y = 2 - 3

y = -1

因此，直线 (I) 和 (III) 相交于 (1, -1)。

因为三条直线都相交于一点。所以，直线 (I) 和 (III) 的交点将满足直线 (II) 的方程。

p(1) + 2(-1) - 3 = 0

p - 5 = 0

p = 5

10. 如果三条直线方程为 y = m₁x + c₁, y = m₂x + c₂ 和 y = m₃x + c₃ 共点，证明 m1 (c₂ - c₃) + m₂ (c₃ - c₁) + m₃ (c₁ - c₂) = 0。

解决方案

y = m₁x + c₁ … (I)

y = m₂x + c₂ … (II)

y = m₃x + c₃ … (III)

从 (II) 中减去 (I)

y - y = (m₂x + c₂) - (m₁x + c₁)

0 = m₂x + c₂ - m₁x - c₁

0 = x(m₂ - m₁) + c₂ - c₁

x(m₁ - m₂) = c₂ - c₁

x = (c₂ - c₁)/(m₁ - m₂)

将 x = (c₂ - c₁)/(m₁ - m₂) 代入 (I)

y = m₁ (c₂ - c₁)/(m₁ - m₂) + c₁

y = (m₁(c₂ - c₁) + c₁(m₁ - m₂))/(m₁ - m₂)

y = (m₁c₂ - m₁c₁ + m₁c₁ - m₂c₁)/(m₁ - m₂)

y = (m₁c₂ - m₂c₁)/(m₁ - m₂)

所以，点 ((c₂ - c₁)/(m₁ - m₂), (m₁c₂ - m₂c₁)/(m₁ - m₂)) 是直线 (I) 和 (II) 的交点。

因为三条给定的直线是共点的。所以，直线 (I) 和 (II) 的交点将满足直线 (III) 的方程。

(m₁c₂ - m₂c₁)/(m₁ - m₂) = m₃(c₂ - c₁)/(m₁ - m₂) + c₃

(m₁c₂ - m₂c₁)/(m₁ - m₂) = (m₃c₂ - m₃c₁ + c₃(m₁ - m₂))/(m₁ - m₂)

m₁c₂ - m₂c₁ = m₃c₂ - m₃c₁ + m₁c₃ - m₂c₃

m₁c₂ - m₁c₃ + m₂c₃ - m₂c₁ + m₃c₁ - m₃c₂ = 0

m(c₂ - c₃) + m₂(c₃ - c₁) + m₃(c₁ - c₂) = 0

因此，证明完毕。

11. 求通过点 (3, 2) 且与直线 x - 2y = 3 成 45° 角的直线方程。

解决方案

设所求直线的斜率为 m₁。

x - 2y = 3

2y = x - 3

y = x/2 - 3/2

上述方程是 y = mx + c 的形式，其中 m 是直线的斜率。

因此，给定直线的斜率 m₂ = 1/2。

我们知道，如果 θ 是斜率分别为 m₁ 和 m₂ 的直线 l₁ 和 l₂ 之间的锐角，那么

tan θ = |(m₂ - m₁)/(1 + m₁m₂)|

tan 45° = |(1/2 - m₁)/(1 + m₁/2)|

1 = |{(1 - 2m₁)/2}/{(2 + m₁)/2}|

1 = |(1 - 2m₁)/(2 + m₁)|

1 = ± (1 - 2m₁)/(2 + m₁)

情况 I

1 = (1 - 2m₁)/(2 + m₁)

2 + m₁ = 1 - 2m₁

3m₁ = -1

m₁ = -1/3

通过 (3, 2) 且斜率为 -1/3 的直线方程为

y - 2 = (-1/3) (x - 3)

3(y - 2) = 3 - x

3y - 6 = 3 - x

x + 3y = 9

情况 II

1 = -(1 - 2m₁)/(2 + m₁)

2 + m₁ = 2m₁ + 1

m₁ = 3

通过 (3, 2) 且斜率为 3 的直线方程为

y - 2 = (3) (x - 3)

y - 2 = 3x - 9

3x - y = 7

因此，直线方程为 x + 3y = 9 和 3x - y = 7。

12. 求通过直线 4x + 7y - 3 = 0 和 2x - 3y + 1 = 0 的交点且在坐标轴上有相等截距的直线方程。

解决方案

在坐标轴上有相等截距的直线方程为

x/a + y/b = 1

a = b

(x + y)/a = 1

x + y = a

给定的直线是

4x + 7y - 3 = 0

2x - 3y + 1 = 0

两条给定直线的交点

4x + 7y - 3 = 0

4x = 3 - 7y

x = (3 - 7y)/4

将 x 的值代入 2x - 3y + 1 = 0

2(3 - 7y)/4 - 3y + 1 = 0

3/2 - 7y/2 - 3y + 1 = 0

-(7y + 6y)/2 = -(3 + 2)/2

13y/2 = 5/2

13y = 5

y = 5/13

所以, x = (3 - 7(5/13))/4 = (39 - 35)/13(4)

x = 1/13

因此，两条给定直线的交点是 (1/13, 5/13)。

方程 x + y = a 也通过这个点。因此，

1/13 + 5/13 = a

6/13 = a

因此，

x + y = 6/13

13x + 13y = 6

因此，所求的直线方程为 13x + 13y = 6。

13. 证明通过原点且与直线 y = mx + c 成 θ 角的直线方程为 y/x = (m ± tan θ)/(1 ∓ m tan θ)。

解决方案

设 y = m₁x 为通过原点的直线方程。那么，

m₁ = y/x

已知该直线与直线 y = mx + c 成 θ 角。因此，

tan θ = |(m₁ - m)/(1 + m₁m)|

tan θ = |(y/x - m)/(1 + ym/x)|

tan θ = ± (y/x - m)/(1 + ym/x)

情况 I

tan θ = (y/x - m)/(1 + ym/x)

tan θ + (ym tan θ)/x = y/x - m

m + tan θ = y/x × (1 - m tan θ)

y/x = (m + tan θ)/(1 - m tan θ)

情况 II

tan θ = -(y/x - m)/(1 + ym/x)

tan θ + (ym tan θ)/x = m - y/x

m - tan θ = y/x × (1 + m tan θ)

y/x = (m - tan θ)/(1 + m tan θ)

因此, y/x = (m ± tan θ)/(1 ∓ m tan θ)。

14. 连接 (-1, 1) 和 (5, 7) 的直线被直线 x + y = 4 以什么比例分割？

解决方案

连接点 (-1, 1) 和 (5, 7) 的直线方程为

y - 1 = (7 - 1)/(5 + 1) × (x + 1)

y - 1 = x + 1

x - y + 2 = 0

x = y - 2

将 x = y - 2 代入 x + y = 4

y - 2 + y = 4

2y = 6

y = 3

所以，x = 1

因此，直线 x - y + 2 = 0 与直线 x + y = 4 相交于 (1, 3)。

设点 (1, 3) 分割直线 x - y + 2 = 0 的比例为 1 : k。

使用定比分点公式，我们得到

1 = (k(-1) + 1(5))/(1 + k)

1 + k = -k + 5

2k = 4

k = 2

并且

3 = (k(1) + 1(7))/(1 + k)

3 + 3k = k + 7

2k = 4

k = 2

因此，连接点 (-1, 1) 和 (5, 7) 的直线被直线 x + y = 4 以 1: 2 的比例分割。

15. 求直线 4x + 7y + 5 = 0 从点 (1, 2) 沿直线 2x - y = 0 的距离。

解决方案

2x - y = 0 … (I)

4x + 7y + 5 = 0 … (II)

从 (I) 中，我们有 2x = y

将 y = 2x 代入 (II)

4x + 7(2x) + 5 = 0

4x + 14x + 5 = 0

18x + 5 = 0

18x = -5

x = -5/18

所以，y = 2(-5/18)

y = -5/9

所以，两条给定直线相交于点 (-5/18, -5/9)。

(1, 2) 和 (-5/18, -5/9) 之间的距离 = √{(1 + 5/18)² + (2 + 5/9)²}

= √(23²/18² + 23²/9²)

= √(23/9)²(1/4 + 1)

= 23/9 × √(5/4)

= 23√5/18 单位

因此，所求距离为 23√5/18 单位。

16. 求一条直线必须从点 (-1, 2) 以何种方向绘制，使其与直线 x + y = 4 的交点距离此点 3 个单位。

解决方案

设通过点 (-1, 2) 的直线为 y = mx + c

所以，

2 = m(-1) + c

2 = -m + c

c = m + 2

将 c 的值代入方程

y = mx + m + 2

给定方程为 x + y = 4

将 y 的值代入给定方程。

x + mx + m + 2 = 4

x(1 + m) = 2 - m

x = (2 - m)/(m + 1)

因此，y = m(2 - m)/(m + 1) + m + 2

y = m × [(2 - m)/(m + 1) + 1] + 2

y = m[2 - m + m + 1]/(m + 1) + 2

y = (3m + 2m + 2)/(m + 1)

y = (5m + 2)/(m + 1)

因此，((2 - m)/(m + 1), (5m + 2)/(m + 1)) 是两条直线的交点。

此点距离 (-1, 2) 3 个单位。因此，

3 = √(((2 - m)/(m + 1) + 1)² + ((5m + 2)/(m + 1) - 2)²)

两边平方

9 = (2 - m + m + 1)²/(m + 1)² + (5m + 2 - 2m - 2)²/(m + 1)²

9 = 1/(m + 1)² × [9 + 9m²]

9(m + 1)² = 9(1 + m²)

9(m² + 1 + 2m) = 9(1 + m²)

9(m² + 1) + 18m = 9(m² + 1)

18m = 0

m = 0

因此，所求直线的斜率必须为零。

因此，该直线必须平行于 x 轴。

17. 一个直角三角形的斜边两端点为 (1, 3) 和 (-4, 1)。求该三角形的直角边（相互垂直的边）的方程。

解决方案

设直角三角形为 ABC，其中 ∠C = 90°

m 是直线 AC 的斜率

则 BC 的斜率 = -1/m

A 点为 (1, 3) 时，AC 的方程为

y - 3 = m(x - 1)

B 点为 (-4, 1) 时，BC 的方程为

y - 1 = (-1/m)(x + 4)

x + 4 = m(1 - y)

如果 m = 0,

直角边的方程为

y - 3 = 0

并且

x + 4 = 0

如果 m = ∞,

直角边的方程为

(y - 3)/m = x - 1

x - 1 = 0

并且

1 - y = (x + 4)/m

1 - y = 0

18. 假设直线 x + 3y = 7 为平面镜，求点 (3, 8) 关于该直线的镜像点。

解决方案

设给定点为 A (3, 8)，其镜像点为 B (a, b)。

x + 3y = 7 是线段 AB 的垂直平分线。

AB 的斜率 = m = (b - 8)/(a - 3)

给定直线的斜率 = -1/3

m × (-1/3) = -1

(b - 8)/(a - 3) × (-1/3) = -1

(b - 8) = 3(a - 3)

b - 8 = 3a - 9

3a - b = 1

b = 3a - 1

线段 AB 的中点为

((a + 3)/2, (b + 8)/2)

此点将满足垂直平分线 x + 3y = 7。所以，

(a + 3)/2 + 3(b + 8)/2 = 7

(3b + 24 + a + 3) = 14

a + 3b = -13

代入 b = 3a - 1

a + 3(3a - 1) = -13

a + 9a - 3 = -13

10a = -10

a = -1

因此，b = -3 - 1

b = -4

因此，给定点关于直线 x + 3y = 7 的镜像点是 (-1, -4)。

19. 如果直线 y = 3x + 1 和 2y = x + 3 与直线 y = mx + 4 的夹角相等，求 m 的值。

解决方案

y = 3x + 1

该直线的斜率 = m₁ = 3

2y = x + 3

y = (1/2)x + 3/2

该直线的斜率 = m₂ = 1/2

y = mx + 4

该直线的斜率 = m₃ = m

已知 y = 3x + 1 和 2y = x + 3 与直线 y = mx + 4 的夹角相等。因此，

|(m₁ - m₃)/(1 + m₁m₃)| = |(m₂ - m₃)/(1 + m₂m₃)|

|(3 - m)/(1 + 3m)| = |(1/2 - m)/(1 + m/2)|

|(3 - m)/(1 + 3m)| = |{(1 - 2m)/2}/{(2 + m)/2}|

|(3 - m)/(1 + 3m)| = |(1 - 2m)/(2 + m)|

(3 - m)/(1 + 3m) = ± (1 - 2m)/(2 + m)

情况 I

(3 - m)/(1 + 3m) = (1 - 2m)/(2 + m)

(3 - m)(2 + m) = (1 - 2m)(1 + 3m)

6 - 2m + 3m - m² = 1 - 2m + 3m - 6m²

6 + m - m² = 1 + m - 6m²

5m² + 5 = 0

5(m² + 1) = 0

m² = -1

m = √-1

这个 m 的值不是实数。因此，舍弃 (3 - m)/(1 + 3m) = (1 - 2m)/(2 + m) 的情况。

情况 II

(3 - m)/(1 + 3m) = -(1 - 2m)/(2 + m)

(3 - m)(2 + m) = -(1 - 2m)(1 + 3m)

6 - 2m + 3m - m² = -1 + 2m - 3m + 6m²

6 + m - m² = -1 - m + 6m²

7m² - 2m - 7 = 0

使用二次公式，

m = (2 ± √(4 - 4(-49)))/2(7)

m = (2 ± √4(1 + 49))/14

m = 2[1 ± 5√2]/14

m = (1 ± 5√2)/7

20. 如果一个动点 P (x, y) 到直线 x + y - 5 = 0 和 3x - 2y + 7 = 0 的垂直距离之和总是 10。证明 P 必须在一条直线上移动。

解决方案

P (x, y) 到直线 x + y - 5 = 0 的垂直距离为

d₁ = |x + y - 5|/√(1² + 1²)

d₁ = |x + y - 5|/√2

P (x, y) 到直线 3x - 2y + 7 = 0 的垂直距离为

d₂ = |3x - 2y + 7|/√(3² + 2²)

d₂ = |3x - 2y + 7|/√13

已知一个动点 P (x, y) 到直线 x + y - 5 = 0 和 3x - 2y + 7 = 0 的垂直距离之和总是 10。因此，

d₁ + d₂ = 10

|x + y - 5|/√2 + |3x - 2y + 7|/√13 = 10

{√13|x + y - 5| + √2|3x - 2y + 7|}/√26 = 10

√13|x + y - 5| + √2|3x - 2y + 7| = 10√26

将 x + y - 5 和 3x - 2y + 7 视为正数，

√13(x + y - 5) + √2(3x - 2y + 7) = 10√26

x√13 + y√13 - 5√5 + 3x√2 - 2y√2 + 7√2 = 10√26

x(√13 + 3√2) + y(√13 - 2√2) + (7√2 - 5√13 - 10√26) = 0

这是一条直线的方程。

对于 (x + y - 5) 和 (3x - 2y + 7) 的任何符号组合，都可以得到一个方程。

因此，点 P 必须在一条直线上移动。

21. 求与平行直线 9x + 6y - 7 = 0 和 3x + 2y + 6 = 0 等距的直线方程。

解决方案

设与给定直线 9x + 6y - 7 = 0 和 3x + 2y + 6 = 0 等距的直线上的点为 P (a, b)。

P (a, b) 到直线 9x + 6y - 7 = 0 的垂直距离为

d₁ = |9a + 6b - 7|/√(9² + 6²)

d₁ = |9a + 6b - 7|/√117

d₁ = |9a + 6b - 7|/3√13

P (a, b) 到直线 3x + 2y + 6 = 0 的垂直距离为

d₂ = |3a + 2b + 6|/√(3² + 2²)

d₂ = |3a + 2b + 6|/√13

由于 P (a, b) 与两条给定直线等距。因此，

d₁ = d₂

|9a + 6b - 7|/3√13 = |3a + 2b + 6|/√13

|9a + 6b - 7| = 3|3a + 2b + 6|

9a + 6b - 7 = ± 3(3a + 2b + 6)

情况 I

9a + 6b - 7 = 3(3a + 2b + 6)

9a + 6b - 7 = 9a + 6b + 18

-7 = 18

这是不可能的。所以，舍弃 9a + 6b - 7 = 3(3a + 2b + 6)。

情况 II

9a + 6b - 7 = -3(3a + 2b + 6)

9a + 6b - 7 = -9a - 6b - 18

18a + 12b + 11 = 0

因此，与两条给定直线等距的所求直线方程为 18a + 12b + 11 = 0。

22. 一束光线通过点 (1, 2) 在 x 轴上的点 A 处反射，反射光线通过点 (5, 3)。求 A 的坐标。

解决方案

设点 A 的坐标为 (a, 0)。

绘制图形。

作一条垂直于 x 轴的线 AL。

我们知道入射角 = 反射角

∠BAL = ∠CAL = ϕ

∠CAX = ϕ

现在，

∠OAB = 180° - (θ + 2ϕ) = 180° - [θ + 2(90° - θ)]

∠OAB = 180° - θ - 180° + 2θ

∠OAB = θ

所以，∠BAX = 180° - θ

直线 AC 的斜率 = (3 - 0)/(5 - a)

tan θ = 3/(5 - a)

直线 AB 的斜率 = (2 - 0)/(1 - a)

tan (180° - θ) = 2/(1 - a)

-tan θ = 2/(1 - a)

tan θ = 2/(a - 1)

因此，

3/(5 - a) = 2/(a - 1)

3a - 3 = 10 - 2a

5a = 13

a = 13/5

因此，点 A 的坐标是 (13/5, 0)。

23. 证明从点 (√(a² - b²), 0) 和 (-√(a² - b²), 0) 向直线 (x/a) cos θ + (y/b) sin θ = 1 所作垂线的长度之积为 b²。

解决方案

给定直线是

(x/a) cos θ + (y/b) sin θ = 1

(bx cos θ + ay sin θ)/ab = 1

bx cos θ + ay sin θ = ab

bx cos θ + ay sin θ - ab = 0

从点 (√(a² - b²), 0) 到直线 bx cos θ + ay sin θ - ab = 0 的垂线长度为

d₁ = |b cos θ √(a² - b²) + a sin θ (0) - ab|/√(b² cos² θ + a² sin² θ)

d₁ = |b cos θ √(a² - b²) - ab|/√(b² cos² θ + a² sin² θ)

从点 (√-(a² - b²), 0) 到直线 bx cos θ + ay sin θ - ab = 0 的垂线长度为

d₂ = |b cos θ (-√(a² - b²)) + a sin θ (0) - ab|/√(b² cos² θ + a² sin² θ)

d₂ = |-(b cos θ √(a² - b²) + ab)|/√(b² cos² θ + a² sin² θ)

d₂ = |b cos θ √(a² - b²) + ab|/√(b² cos² θ + a² sin² θ)

现在，垂线距离的乘积是

d₁ × d₂ = |b cos θ √(a² - b²) - ab|/√(b² cos² θ + a² sin² θ) × |b cos θ √(a² - b²) + ab|/√(b² cos² θ + a² sin² θ)

= |{b cos θ √(a² - b²) - ab} {b cos θ √(a² - b²) + ab}|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= |(b cos θ √(a² - b²))² - (ab)²|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= |b² cos² θ (a² - b²) - a²b²|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= |a²b² cos² θ - b⁴ cos² θ - a²b²|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= b²|a² cos² θ - b² cos² θ - a²|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= b²|a² cos² θ - b² cos² θ - a²(1)|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= b²|a² cos² θ - b² cos² θ - a²(sin² θ + cos² θ)|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= b²|a² cos² θ - b² cos² θ - a²sin² θ - a² cos² θ|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= b²|-b² cos² θ - a²sin² θ|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= b²|-(b² cos² θ + a²sin² θ)|/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= b²(b² cos² θ + a²sin² θ)/(b² cos² θ + a² sin² θ)

= b²

因此，证明完毕。

24. 一个人站在由方程 2x - 3y + 4 = 0 和 3x + 4y - 5 = 0 表示的两条直路的交叉口，想要在最短时间内到达方程为 6x - 7y + 8 = 0 的路径。求他应该遵循的路径方程。

解决方案

2x - 3y + 4 = 0 … (I)

3x + 4y - 5 = 0 … (II)

6x - 7y + 8 = 0 … (III)

已知该人站在直线 (I) 和 (II) 的交点处。因此，

2x - 3y + 4 = 0

2x = 3y - 4

x = (3y - 4)/2

将 x 的值代入方程 (II)

3(3y - 4)/2 + 4y - 5 = 0

(9y - 12)/2 + 4y = 5

(9y - 12 + 8y)/2 = 5

(17y - 12)/2 = 5

17y - 12 = 10

17y = 22

y = 22/17

所以, x = (3(22/17) - 4)/2

= (66 - 68)/17/2

= -2/17(2)

x = -1/17

因此，这个人站在 (-1/17, 22/17)。

为了到达方程 (III) 的路径，这个人必须从他当前的位置沿着一条垂直路径前进。

6x - 7y + 8 = 0

7y = 6x + 8

y = (6/7)x + 8/7

该直线的斜率 = m = 6/7

垂直于此直线的直线的斜率 = -1/m = -7/6

通过 (-1/17, 22/17) 且斜率为 -7/6 的直线方程为

y - 22/17 = (-7/6)(x + 1/17)

(17y - 22)/17 = (-7/6) (17x + 1)/17

6(17y - 22) = -7(17x + 1)

102y - 132 = -119x - 7

119x + 102y - 125 = 0

因此，这个人应该遵循的路径是 119x + 102y - 125 = 0。