NCERT 十一年级数学第三章：三角函数

练习3.1

1. 求与下列角度对应的弧度制度量

(i) 25° (ii) - 47°30′ (iii) 240° (iv) 520°

解决方案

(i) 弧度制角度 = 度制角度 × π/180°

= 25° × π/180°

= 5π/36 弧度

(ii) -47° 30' = -47° - 30 × 1/60

= -47° - 0.5° = -47.5°

弧度制角度 = 度制角度 × π/180°

= -47.5° × π/180°

= -9.5π/36 弧度

(iii) 弧度制角度 = 度制角度 × π/180°

= 240° × π/180°

= 4π/3 弧度

(iv) 弧度制角度 = 度制角度 × π/180°

= 520° × π/180°

= 26π/9 弧度

2. 求与下列弧度制度量对应的度制度量 (使用 π = 22/7)。

(i) 11/16 (ii) - 4 (iii) 5π/3 (iv) 7π/6

解决方案

度制角度 = 弧度制角度 × 180°/π

= 11/16 × 180° × 7/22

= 630/16 °

= 39.375° = 39° + 0.375°

= 39° 0.375° × 60

= 39° 22.56'

= 39° 22.56' = 39° 22' (0.56 × 60)''

= 39° 22' 33.6''

(ii) 度制角度 = 弧度制角度 × 180°/π

= (-4) × 180° × 7/22

= -5040/22 °

= -2520/11 ° =

= -229° (1/11) × 60

= -229° 5' (5/11) × 60

= -229° 5' 27.27''

(iii) 度制角度 = 弧度制角度 × 180°/π

= 5π/3 × 180°/π

= 300°

(iv) 度制角度 = 弧度制角度 × 180°/π

= 7π/6 × 180°/π

= 210°

3. 一个轮子每分钟转动 360 圈。它每秒钟转过多少弧度？

解决方案

轮子每分钟转动的圈数 = 360

轮子每秒钟转动的圈数 = 360/60 = 6

轮子每转动一圈所转过的角度 (弧度制) = 360° = 2π

轮子转动 60 圈所转过的角度 (弧度制) = 2π × 6 = 12π

因此，该轮子每秒钟转过 12π 弧度。

4. 求半径为 100 cm 的圆，其 22 cm 长的弧在圆心处所张角的度制度量 (使用 π = 22/7)。

解决方案

圆弧在圆心处所张的角度 = θ = l/r 弧度

l = 弧长

r = 圆的半径

因此，所需的角度 (度制) = l/r × 180/π

= 22/100 × 180 × 7/22

= 63/5 ° =

= 12° 3/5 × 60

= 12° 36'

因此，半径为 100 cm 的圆，其 22 cm 长的弧在圆心处所张角的度制度量为 12° 36'。

5. 在直径为 40 cm 的圆中，弦的长度为 20 cm。求弦的劣弧的长度。

解决方案

圆的半径 = 40/2 = 20 cm

弦的长度 = 20 cm

设圆心为 O，弦为 AB。

AO = BO = 20 cm (圆的半径)

AB = 20 cm (已知)

因此，AOB 是一个等边三角形。

这意味着所有角度都是 60°。

∠AOB = 60° = 60 × π/180 弧度 = π/3 弧度

设劣弧 AB 的长度为 l

∠AOB = l/r

π/3 = l/20

20π/3 = l

因此，所需弧的长度为 20π/3 cm。

6. 如果在两个圆中，相同长度的弧在圆心处张角分别为 60° 和 75°，求它们的半径之比。

解决方案

设有两个半径分别为 r₁ 和 r₂ 的圆，其圆心处由相同长度 l 的弧张角分别为 θ₁ = 60° 和 θ₂ = 75°。

θ₁ = 60° × π/180° 弧度 = π/3 弧度

θ₂ = 75° × π/180° 弧度 = 5π/12 弧度

l = r₁θ₁

l = r₂θ₂

r₁θ₁ = r₂θ₂

r₁ × π/3 = r₂ × 5π/12

r₁/r₂ = 5/4

因此，所需半径之比为 5 : 4。

7. 求单摆摆动角度的弧度制度量，其长度为 75 cm，摆尖描绘的弧长为

(i) 10 cm (ii) 15 cm (iii) 21 cm

解决方案

半径 = 摆长 = 75 cm

(i) 张角 = 10/r = 10/75

= 2/15 弧度

(ii) 张角 = 15/r = 15/75

= 1/5 弧度

(iii) 张角 = 21/r = 21/75

= 7/25 弧度

练习3.2

求练习 1 到 5 中其他五个三角函数的值。

1. cos x = -1/2, x 在第三象限。

解决方案

cos x = -1/2

sec x = 1/cos x = -2

我们知道

cos² x + sin² x = 1

sin² x = 1 - cos² x

sin² x = 1 - (-1/2)²

sin² x = 1 - 1/4

sin² x = 3/4

sin x = ±√3/2

已知 x 在第三象限。因此，sin x 为负。

sin x = -√3/2

cosec x = 1/sin x = -2/√3

tan x = sin x/cos x

= -√3/2 × (-2/1)

tan x = √3

cot x = 1/tan x = 1/√3

2. sin x = 3/5, x 在第二象限。

解决方案

sin x = 3/5

cosec x = 1/sin x = 5/3

我们知道

cos² x + sin² x = 1

cos² x = 1 - sin² x

cos² x = 1 - (3/5)²

cos² x = 1 - 9/25

cos² x = 16/25

cos x = ±4/5

已知 x 在第二象限。因此，cos x 为负。

cos x = -4/5

sec x = 1/cos x = -5/4

tan x = sin x/cos x

= 3/5 × (-5/4)

tan x = -3/4

cot x = 1/tan x = -4/3

3. cot x = 3/4, x 在第三象限。

解决方案

cot x = 3/4

tan x = 1/cot x = 4/3

我们知道

1 + tan² x = sec² x

sec² x = 1 + (4/3)²

sec² x = 1 + 16/9

sec² x = 25/9

sec x = ±5/3

已知 x 在第三象限。因此，sec x 为负。

sec x = -5/3

cos x = 1/sec x = -3/5

我们知道

1 + cot² x = cosec² x

cosec² x = 1 + (3/4)²

cosec² x = 1 + 9/16

cosec² x = 25/16

cosec x = ±5/4

已知 x 在第三象限。因此，cosec x 为负。

cosec x = -5/4

sin x = 1/cosec x = -4/5

4. sec x = 13/5, x 在第四象限。

解决方案

sec x = 13/5

cos x = 1/sec x = 5/13

我们知道

1 + tan² x = sec² x

tan² x = sec² x - 1

tan² x = (13/5)² - 1

tan² x = 169/25 - 1

tan² x = 144/25

tan x = ±12/5

已知 x 在第四象限。因此，tan x 为负。

tan x = -12/5

cot x = 1/tan x = -5/12

我们知道

sin² x + cos² x = 1

sin² x = 1 - cos² x

sin² x = 1 - (5/13)²

sin² x = 1 - 25/169

sin² x = 144/169

sin x = ±12/13

已知 x 在第四象限。因此，sin x 为负。

sin x = -12/13

cosec x = 1/sin x = -13/12

5. tan x = -5/12, x 在第二象限。

解决方案

tan x = -5/12

cot x = 1/tan x = -12/5

我们知道

1 + tan² x = sec² x

sec² x = 1 + (-5/12)²

sec² x = 1 + 25/144

sec² x = 169/144

sec x = ±13/12

已知 x 在第二象限。因此，sec x 为负。

sec x = -13/12

cos x = 1/sec x = -12/13

我们知道

1 + cot² x = cosec² x

cosec² x = 1 + (-12/5)²

cosec² x = 1 + 144/25

cosec² x = 169/25

cosec x = ±13/5

已知 x 在第三象限。因此，cosec x 为正。

cosec x = 13/5

sin x = 1/cosec x = 5/13

求练习 6 到 10 中三角函数的值。

6. sin 765°

解决方案

sin 765° = sin (720° + 45°)

= sin (2 × 360° + 45°)

= sin (2π + 45°)

我们知道 sin x 的值每隔 2π 就会重复。因此，

sin (2π + 45°) = sin 45°

= 1/√2

因此，sin 765° = 1/√2。

7. cosec (-1410°)

解决方案

cosec (-1410°) = cosec (-1440° + 30°)

= cosec (-4 × 360° + 30°)

= cosec (-4π + 30°)

我们知道 cosec x 的值每隔 2π 就会重复。因此，

cosec (-4π + 30°) = cosec (2 × 2π + (-4π + 30°))

= cosec (30°)

= 2

因此，cosec (-1410°) = 2。

8. tan 19π/3

解决方案

tan 19π/3 = tan (18π/3 + π/3)

= tan (6π + π/3)

我们知道 tan x 的值每隔 π 就会重复。因此，

tan (6π + π/3) = tan π/3

= √3

因此，tan 19π/3 = √3。

9. sin (-11π/3)

解决方案

sin (-11π/3) = sin (-12π/3 + π/3)

= sin (-4π + π/3)

我们知道 sin x 的值每隔 2π 就会重复。因此，

sin (-4π + π/3) = sin (2 × 2π + (-4π + π/3))

= sin (π/3)

= √3/2

因此，sin (-11π/3) = √3/2。

10. cot (-15π/4)

解决方案

cot (-15π/4) = cot (-16π/4 + π/4)

= cot (-4π + π/4)

我们知道 cot x 的值每隔 π 就会重复。因此，

cot (-4π + π/4) = cot (4 × π + (-4π + π/4))

= cot (π/4)

= 1

因此，cot (-15π/4) = 1。

练习3.3

证明

1. sin² π/6 + cos² π/3 - tan² π/4 = -1/2

解决方案

LHS = sin² π/6 + cos² π/3 - tan² π/4

= (1/2)² + (1/2)² - 1²

= 1/4 + 1/4 - 1

= 1/2 - 1

= -1/2 = RHS

因此，证明完毕。

2. 2 sin² π/6 + cosec² (7π/6) cos² π/3 = 3/2

解决方案

LHS = 2 sin² π/6 + cosec² (7π/6) cos² π/3

= 2 × (1/2)² + cosec² (6π/6 + π/6) × (1/2)²

= 2 × 1/4 + cosec² (π + π/6) × 1/4

= 1/2 + cosec² π/6 × 1/4

= 1/2 + 4 × 1/4

= 1/2 + 1 = 3/2 = RHS

因此，证明完毕。

3. cot² π/6 + cosec 5π/6 + 3tan² π/6 = 6

解决方案

LHS = cot² π/6 + cosec 5π/6 + 3tan² π/6

= (√3)² + cosec (6π/6 - π/6) + 3(1/√3)²

= 3 + cosec (π - π/6) + 3 × 1/3

= 4 + cosec π/6

= 4 + 2

= 6 = RHS

因此，证明完毕。

4. 2 sin² 3π/4 + 2 cos² π/4 + 2sec² π/3 = 10

解决方案

LHS = 2 sin² 3π/4 + 2 cos² π/4 + 2sec² π/3

= 2 sin² (4π/4 - π/4) + 2(1/√2)² + 2(2)²

= 2 sin² (π - π/4) + 2(1/2) + 2(4)

= 2 sin² π/4 + 1 + 8

= 2(1/√2)² + 9

= 2(1/2) + 9

= 1 + 9 = 10 = RHS

因此，证明完毕。

5. 求值

(i) sin 75° (ii) tan 15°

解决方案

(i) sin 75° = sin (45° + 30°)

使用恒等式 sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y，我们得到

sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

= (1/√2) × (√3/2) + (1/√2) × (1/2)

= √3/2√2 + 1/2√2

= (√3 + 1)/2√2

因此，sin 75° = (√3 + 1)/2√2。

(ii) tan 15° = tan (45° - 30°)

使用恒等式 tan (x - y) = (tan x - tan y)/(1 + tan x tan y)，我们得到

因此，tan 15° = (√3 - 1)/(√3 + 1)。

证明下列等式

6. cos (π/4 - x) cos (π/4 - y) - sin (π/4 - x) sin (π/4 - y) = sin (x + y)

解决方案

LHS =

乘以并除以 2

= 1/2 × [2{cos (π/4 - x) cos (π/4 - y) - sin (π/4 - x) sin (π/4 - y)}]

= 1/2 × [2 cos (π/4 - x) cos (π/4 - y) - 2 sin (π/4 - x) sin (π/4 - y)]

使用恒等式 -

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)

-2 sin A sin B = cos (A + B) - cos (A - B)

我们得到

1/2 × [2 cos (π/4 - x) cos (π/4 - y) - 2 sin (π/4 - x) sin (π/4 - y)]

= 1/2 × [cos (π/4 - x + π/4 - y) + cos (π/4 - x + π/4 - y)] (cos (A - B) 已抵消)

= 1/2 × [2 cos (π/4 - x + π/4 - y)]

= cos (π/2 - (x + y))

我们知道 cos (π/2 - θ) = sin θ。因此，

cos (π/2 - (x + y)) = sin (x + y) = RHS

因此，证明完毕。

7. tan (π/4 + x)/tan (π/4 - x) = ((1 + tan x)/(1 - tan x))²

解决方案

LHS = tan (π/4 + x)/tan (π/4 - x)

使用恒等式 -

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 - tan A tan B)

tan (A - B) = (tan A - tan B)/(1 + tan A tan B)

我们得到

tan (π/4 + x)/tan (π/4 - x)

= (tan π/4 + tan x)/(1 - tan π/4 tan x) × (1 + tan π/4 tan x)/(tan π/4 - tan x)

= (1 + tan x)/(1 - tan x) × (1 + tan x)/(1 - tan x)

= (1 + tan x)²/(1 - tan x)² = RHS

因此，证明完毕。

8. (cos (π + x) cos (-x))/(sin (π - x) cos (π/2 + x)) = cot² x

解决方案

LHS = (cos (π + x) cos (-x))/(sin (π - x) cos (π/2 + x))

= (-cos x) cos x/sin x (-sin x)

= cos² x/sin² x

= (cos x/sin x)²

= cot² x = RHS

因此，证明完毕。

9. cos (3π/2 + x) cos (2π + x) [cot (3π/2 - x) + cot (2π + x)] = 1

解决方案

LHS = cos (3π/2 + x) cos (2π + x) [cot (3π/2 - x) + cot (2π + x)]

此处，

cos (3π/2 + x) = cos (4π/2 - π/2 + x)

= cos (2π - (π/2 - x))

= cos (π/2 - x)

= sin x

cot (3π/2 - x) = cot (4π/2 - π/2 - x)

= cot (2π - (π/2 + x))

= -cot (π/2 + x)

= tan x

现在，LHS = sin x cos (2π + x) [tan x + cot(2π + x)]

= sin x cos x [tan x + cot x]

= sin x cos x [sin x/ cos x + cos x/sin x]

= sin x cos x [(sin² x + cos² x)/sin x cos x]

= sin² x + cos² x = 1 = RHS

因此，证明完毕。

10. sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cos x

解决方案

LHS = sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x

乘以并除以 2

sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x

= 1/2 × 2[sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x]

= 1/2 × [2 sin (n + 1)x sin (n + 2)x + 2 cos (n + 1)x cos (n + 2)x]

使用恒等式 -

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)

-2 sin A sin B = cos (A + B) - cos (A - B)

我们得到

1/2 × [2 sin (n + 1)x sin (n + 2)x + 2 cos (n + 1)x cos (n + 2)x]

= 1/2 × [-{cos (n + 1 + n + 2)x - cos (n + 1 - n - 2)x} + cos (n + 1 + n + 2)x + cos (n + 1 - n - 2)x]

= 1/2 × [2 cos (n + 1 - n - 2)x] (cos (A + B) 已抵消)

= 1/2 × [2 cos (-x)]

= 1/2 × 2 cos x

= cos x = RHS

因此，证明完毕。

11. cos (3π/4 + x) - cos (3π/4 - x) = -√2 sin x

解决方案

LHS = cos (3π/4 + x) - cos (3π/4 - x)

使用恒等式 cos A - cos B = -2 sin ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)，我们得到

= -2 sin [(3π/4 + x + 3π/4 - x)/2] sin [(3π/4 + x - 3π/4 + x)/2]

= -2 sin [(3π/2)/2] sin [2x/2]

= -2 sin 3π/4 sin x

此处，

sin 3π/4 = sin (π - π/4)

= sin π/4

现在，LHS = -2 sin π/4 sin x

= -2 (1/√2) sin x

= -√2 sin x = RHS

因此，证明完毕。

12. sin² 6x - sin² 4x = sin 2x sin 10x

解决方案

LHS = sin² 6x - sin² 4x

= (sin 6x + sin 4x) (sin 6x - sin 4x)

使用恒等式 -

sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

sin A - sin B = 2 cos ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)

我们得到

(sin 6x + sin 4x) (sin 6x - sin 4x)

= [2 sin ((6x + 4x)/2) cos ((6x - 4x)/2)] [2 cos ((6x + 4x)/2) sin ((6x - 4x)/2)]

= [2 sin (10x/2) cos (2x/2)] [2 cos (10x/2) sin (2x/2)]

= 4 sin 5x cos x cos 5x sin x

= (2 sin 5x cos 5x)(2 sin x cos x)

使用恒等式 sin 2A = 2 sin A cos A，我们得到

LHS = sin 10x sin 2x = RHS

因此，证明完毕。

13. cos² 2x - cos² 6x = sin 4x sin 8x

解决方案

LHS = cos² 2x - cos² 6x = (cos 2x + cos 6x) (cos 2x - cos 6x)

使用恒等式 -

cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

cos A - cos B = -2 sin ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)

我们得到

(cos 2x + cos 6x) (cos 2x - cos 6x)

= [2 cos ((2x + 6x)/2) cos ((2x - 6x)/2)] [-2 sin ((2x + 6x)/2) sin ((2x - 6x)/2)]

= [2 cos ((8x)/2) cos ((-4x)/2)] [-2 sin ((8x)/2) sin ((-4x)/2)]

= [2 cos 4x cos (-2x)] [-2 sin 4x sin (-2x)]

= [2 cos 4x cos 2x] [2 sin 4x sin 2x]

= [2 sin 4x cos 4x] [2 sin 2x cos 2x]

使用恒等式 sin 2A = 2 sin A cos A，我们得到

LHS = sin 2(4x) sin 2(2x)

= sin 8x sin 4x = RHS

因此，证明完毕。

14. sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x

解决方案

LHS = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x

= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x

使用恒等式 sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

(sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x

= 2 sin ((2x + 6x)/2) cos ((2x - 6x)/2) + 2 sin 4x

= 2 sin ((8x)/2) cos ((-4x)/2) + 2 sin 4x

= 2 sin 4x cos (-2x) + 2 sin 4x

= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x

= 2 sin 4x (cos 2x + 1)

使用恒等式 cos 2x = 2 cos² x - 1，我们得到

LHS = 2 sin 4x (2 cos² x - 1 + 1)

= 2 sin 4x (2 cos² x)

= 4 cos² x sin 4x = RHS

因此，证明完毕。

15. cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x - sin 3x)

解决方案

LHS = cot 4x (sin 5x + sin 3x)

= cos 4x/sin 4x × [sin 5x + sin 3x]

使用恒等式 sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

cos 4x/sin 4x × [sin 5x + sin 3x]

= cos 4x/sin 4x × [2 sin ((5x + 3x)/2) cos ((5x - 3x)/2)]

= cos 4x/sin 4x × [2 sin ((8x)/2) cos ((2x)/2)]

= cos 4x/sin 4x × [2 sin 4x cos x]

= 2 cos 4x cos x

RHS = cot x (sin 5x - sin 3x)

= cos x/sin x × [sin 5x - sin 3x]

使用恒等式 sin A - sin B = 2 cos ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)，我们得到

cos x/sin x × [sin 5x - sin 3x]

= cos x/sin x × [2 cos ((5x + 3x)/2) sin ((5x - 3x)/2)]

= cos x/sin x × [2 cos ((8x)/2) sin ((2x)/2)]

= cos x/sin x × [2 cos 4x sin x]

= 2 cos 4x cos x

因为 LHS = RHS。

因此，证明完毕。

16. (cos 9x - cos 5x)/(sin 17x - sin 3x) = - (sin 2x)/(cos 10x)

解决方案

LHS = (cos 9x - cos 5x)/(sin 17x - sin 3x)

使用恒等式 -

cos A - cos B = -2 sin ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)

sin A - sin B = 2 cos ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)

我们得到

(cos 9x - cos 5x)/(sin 17x - sin 3x)

= [-2 sin ((9x + 5x)/2) sin ((9x - 5x)/2)]/[2 cos ((17x + 3x)/2) sin ((17x - 3x)/2)]

= [-2 sin ((14x)/2) sin ((4x)/2)]/[2 cos ((20x)/2) sin ((14x)/2)]

= [-2 sin 7x sin 2x]/[2 cos 10x sin 7x]

= -(sin 2x)/(cos 10x) = RHS

因此，证明完毕。

17. (sin 5x + sin 3x)/(cos 5x + cos 3x) = tan 4x

解决方案

LHS = (sin 5x + sin 3x)/(cos 5x + cos 3x)

使用恒等式 -

cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

我们得到

(sin 5x + sin 3x)/(cos 5x + cos 3x)

= [2 sin ((5x + 3x)/2) cos ((5x - 3x)/2)]/[2 cos ((5x + 3x)/2) cos ((5x - 3x)/2)]

= [2 sin ((8x)/2) cos ((2x)/2)]/[2 cos ((8x)/2) cos ((2x)/2)]

= [2 sin 4x cos x]/[2 cos 4x cos x]

= sin 4x/cos 4x = tan 4x = RHS

因此，证明完毕。

18. (sin x - sin y)/(cos x + cos y) = tan ((x - y)/2)

解决方案

LHS = (sin x - sin y)/(cos x + cos y)

使用恒等式 -

cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

sin A - sin B = 2 cos ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)

我们得到

(sin x - sin y)/(cos x + cos y)

= [2 cos ((x + y)/2) sin ((x - y)/2)]/[2 cos ((x + y)/2) cos ((x - y)/2)]

= sin ((x - y)/2)/cos ((x - y)/2)

= tan ((x - y)/2) = RHS

因此，证明完毕。

19. (sin x + sin 3x)/(cos x + cos 3x) = tan 2x

解决方案

LHS = (sin x + sin 3x)/(cos x + cos 3x)

使用恒等式 -

cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

我们得到

(sin x + sin 3x)/(cos x + cos 3x)

= [2 sin ((x + 3x)/2) cos ((x - 3x)/2)]/[2 cos ((x + 3x)/2) cos ((x - 3x)/2)]

= [2 sin ((4x)/2) cos ((-2x)/2)]/[2 cos ((4x)/2) cos ((-2x)/2)]

= [2 sin (2x) cos (-x)]/[2 cos (2x) cos (-x)]

= sin 2x/cos 2x = tan 2x = RHS

因此，证明完毕。

20. (sin x - sin 3x)/(sin² x - cos² x) = 2 sin x

解决方案

LHS = (sin x - sin 3x)/(sin² x - cos² x)

使用恒等式 sin A - sin B = 2 cos ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)，我们得到

(sin x - sin 3x)/(sin² x - cos² x)

= [2 cos ((x + 3x)/2) sin ((x - 3x)/2)]/(sin² x - cos² x)

= [2 cos ((4x)/2) sin ((-2x)/2)]/(sin² x - cos² x)

= [2 cos (2x) sin (-x)]/(sin² x - cos² x)

= [-2 cos 2x sin x]/[-(cos² x - sin² x)]

使用恒等式 cos² x - sin² x = cos 2x，我们得到

LHS = (2 cos 2x sin x)/(cos 2x)

= 2 sin x = RHS

因此，证明完毕。

21. (cos 4x + cos 3x + cos 2x)/(sin 4x + sin 3x + sin 2x) = cot 3x

解决方案

LHS = (cos 4x + cos 3x + cos 2x)/(sin 4x + sin 3x + sin 2x)

= (cos 4x + cos 2x + cos 3x)/(sin 4x + sin 2x + sin 3x)

使用恒等式 -

cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

我们得到

=[(cos 4x + cos 2x) + cos 3x]/[(sin 4x + sin 2x) + sin 3x]

= [2 cos ((4x + 2x)/2) cos ((4x - 2x)/2) + cos 3x]/[2 sin ((4x + 2x)/2) cos ((4x - 2x)/2) + sin 3x]

= [2 cos (6x)/2) cos ((2x)/2) + cos 3x]/[2 sin ((6x)/2) cos ((2x)/2) + sin 3x]

= [2 cos 3x cos x + cos 3x]/[2 sin 3x cos x + sin 3x]

= cos 3x (2 cos x + 1)/sin 3x (2 cos x + 1)

= cos 3x/sin 3x = cot 3x = RHS

因此，证明完毕。

22. cot x cot 2x - cot 2x cot 3x - cot 3x cot x = 1

解决方案

LHS = cot x cot 2x - cot 2x cot 3x - cot 3x cot x

= cot x cot 2x - cot 3x (cot 2x + cot x)

= cot x cot 2x - cot (2x + x) (cot 2x + cot x)

使用恒等式 cot (A + B) = (cot A cot B - 1)/(cot A + cot B)，我们得到

cot x cot 2x - cot (2x + x) (cot 2x + cot x)

= cot x cot 2x - [(cot 2x cot x - 1)/(cot 2x + cot x)] × (cot 2x + cot x)

= cot x cot 2x - (cot 2x cotx - 1)

= cot x cot 2x - cot 2x cotx + 1

= 1 = RHS

因此，证明完毕。

23. tan 4x = (4 tan x (1 - tan² x))/(1 - 6 tan² x + tan⁴ x)

解决方案

LHS = tan 4x = tan 2(2x)

使用恒等式 tan 2A = 2 tan A/(1 - tan² A)，我们得到

tan 2(2x) = 2 tan 2x/(1 - tan² 2x)

现在，tan 2x = 2 tan x/(1 - tan² x)。因此，

LHS = 2 [2 tan x/(1 - tan² x)]/[1 - (2 tan x/(1 - tan² x))²]

= [4 tan x/(1 - tan² x)]/[1 - (4 tan² x/(1 - tan² x)²)]

= [4 tan x/(1 - tan² x)]/[((1 - tan² x)² - 4 tan² x)/(1 - tan² x)²]

= 4 tan x/(1 - tan² x) × (1 - tan² x)²/{(1 - tan² x)² - 4 tan² x}

= (4 tan x (1 - tan² x))/(1 + tan⁴ x - 2 tan²x - 4 tan² x)

= (4 tan x (1 - tan² x))/(1 - 6 tan² x + tan⁴ x) = RHS

因此，证明完毕。

24. cos 4x = 1 - 8 sin² x cos²x

解决方案

LHS = cos 4x = cos 2(2x)

使用恒等式 cos 2A = 1 - 2 sin² A，我们得到

cos 2(2x) = 1 - 2 sin² 2x

使用恒等式 sin 2A = 2 sin A cos A，我们得到

1 - 2 sin² 2x = 1 - 2 × (2 sin x cos x)²

= 1 - 2 × (4 sin² x cos² x)

= 1 - 8 sin² x cos² x = RHS

因此，证明完毕。

25. cos 6x = 32 cos⁶ x - 48 cos⁴ x + 18 cos² x - 1

解决方案

LHS = cos 6x = cos 3(2x)

使用恒等式 cos 3A = 4 cos³ A - 3 cos A，我们得到

cos 3(2x) = 4 cos³ 2x - 3 cos 2x

使用恒等式 cos 2A = 2 cos² A - 1，我们得到

4 cos³ 2x - 3 cos 2x

= 4 × (2 cos² x - 1)³ - 3(2 cos² x - 1)

= 4 × [2³ cos⁶ x - 1 + 3(2 cos² x)(1)² - 3(2 cos² x)²(1)] - 6 cos² x + 3

= 4 × [8 cos⁶ x - 1 + 6 cos² x - 12 cos⁴ x] - 6 cos² x + 3

= 32 cos⁶ x - 4 + 24 cos² x - 48 cos⁴ x - 6 cos² x + 3

= 32 cos⁶ x - 48 cos⁴ x + 18 cos² x - 1 = RHS

因此，证明完毕。

练习3.4

求下列方程的特解和通解

1. tan x = √3

解决方案

tan x = √3 (已知)

我们知道

tan π/3 = √3

我们也知道 tan 的值每隔 π 就会重复。因此，

tan (π/3) = tan (π + π/3)

= tan 4π/3

因此，特解为 x = π/3 和 4π/3。

现在，tan x = tan π/3。所以，

x = nπ + π/3，其中 n ∈ Z

因此，通解为 x = nπ + π/3，其中 n ∈ Z。

2. sec x = 2

解决方案

sec x = 2 (已知)

我们知道

sec π/3 = 2

我们也知道 sec 的值每隔 2π 就会重复。因此，

sec (π/3) = sec (2π - π/3)

= sec 5π/3

因此，特解为 x = π/3 和 5π/3。

现在，sec x = sec π/3。因此，

cos x = cos π/3

所以，

x = 2nπ ± π/3，其中 n ∈ Z

因此，通解为 x = 2nπ ± π/3，其中 n ∈ Z。

3. cot x = -√3

解决方案

cot x = -√3 (已知)

我们知道

cot π/6 = √3

cot (π - π/6) = -cot π/6 = -√3

且 cot (π - π/6) = cot 5π/6

我们也知道 cot 的值每隔 π 就会重复。因此，

cot (π - π/6) = cot (π + π - π/6)

= cot (2π - π/6)

= -cot 11π/6

因此，特解为 x = 5π/6 和 11π/6。

现在，cot x = cot 5π/6。因此，

tan x = tan 5π/6

所以，

x = nπ + 5π/6，其中 n ∈ Z

因此，通解为 x = nπ + 5π/6，其中 n ∈ Z。

4. cosec x = -2

解决方案

cosec x = -2 (已知)

我们知道

cosec π/6 = 2

cosec (π + π/6) = -cosec π/6 = -2

且 cosec (π + π/6) = cosec 7π/6

另外，

cosec (2π - π/6) = -cosec π/6 = -2

且 cosec (2π - π/6) = cosec 11π/6

因此，特解为 x = 7π/6 和 11π/6。

现在，cosec x = cosec 7π/6。因此，

sin x = sin 7π/6

所以，

x = nπ + (-1)ⁿ 7π/6，其中 n ∈ Z

因此，通解为 x = nπ + (-1)ⁿ 7π/6，其中 n ∈ Z。

求下列各方程的通解

5. cos 4x = cos 2x

解决方案

cos 4x = cos 2x

cos 4x - cos 2x = 0

使用恒等式 cos A - cos B = -2 sin ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)，我们得到

-2 sin ((A + B)/2) sin ((A - B)/2) = 0

-2 sin ((4x + 2x)/2) sin ((4x - 2x)/2) = 0

-2 sin ((6x)/2) sin ((2x)/2) = 0

-2 sin 3x sin x = 0

sin 3x sin x = 0

现在，sin 3x = 0 或 sin x = 0。

因此，

3x = nπ 或 x = nπ，其中 n ∈ Z

因此，通解为

x = nπ/3

或

x = nπ

其中 n ∈ Z。

6. cos 3x + cos x - cos 2x = 0

解决方案

cos 3x + cos x - cos 2x = 0

使用 cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

2 cos ((3x + x)/2) cos ((3x - x)/2) - cos 2x = 0

2 cos ((4x)/2) cos ((2x)/2) - cos 2x = 0

2 cos 2x cos x - cos 2x = 0

cos 2x (2 cos x - 1) = 0

现在，cos 2x = 0 或 2 cos x - 1 = 0。

cos 2x = 0 或 cos x = 1/2 = cos π/3

因此，

2x = (2n + 1)π/2 或 x = 2nπ ± π/3，其中 n ∈ Z

因此，通解为

x = (2n + 1)π/4

或

x = 2nπ ± π/3

其中 n ∈ Z。

7. sin 2x + cos x = 0

解决方案

sin 2x + cos x = 0

使用恒等式 sin 2A = 2 sin A cos A，我们得到

2 sin x cos x + cos x = 0

cos x (2 sin x + 1) = 0

现在，cos x = 0 或 2 sin x + 1 = 0。

cos x = 0 或 sin x = -1/2 = -sin π/6

-sin π/6 = sin (π + π/6) = sin 7π/6

因此，

x = (2n + 1)π/2 或 x = nπ + (-1)ⁿ 7π/6，其中 n ∈ Z

因此，通解为

x = (2n + 1)π/2

或

x = nπ + (-1)ⁿ 7π/6

其中 n ∈ Z。

8. sec² 2x = 1 - tan 2x

解决方案

sec² 2x = 1 - tan 2x

使用恒等式 sec² A = 1 + tan² A，我们得到

1 + tan² 2x = 1 - tan 2x

tan² 2x + tan 2x = 0

tan 2x (tan 2x + 1) = 0

现在，tan 2x = 0 或 tan 2x + 1 = 0

tan 2x = 0 或 tan 2x = -1 = -tan π/4

-tan π/4 = tan (π - π/4) = tan 3π/4

因此，

2x = nπ + 0 或 2x = nπ + 3π/4，其中 n ∈ Z

因此，通解为

x = nπ/2

或

x = nπ/2 + 3π/8

其中 n ∈ Z。

9. sin x + sin 3x + sin 5x = 0

解决方案

sin x + sin 3x + sin 5x = 0

sin x + sin 5x + sin 3x = 0

使用恒等式 sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

2 sin ((x + 5x)/2) cos ((x - 5x)/2) + sin 3x = 0

2 sin ((6x)/2) cos ((-4x)/2) + sin 3x = 0

2 sin 3x cos (-2x) + sin 3x = 0

2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0

sin 3x (2 cos 2x + 1) = 0

现在，sin 3x = 0 或 2 cos 2x + 1 = 0

sin 3x = 0 或 cos 2x = -1/2 = -cos π/3

-cos π/3 = cos (π - π/3) = cos 2π/3

因此，

3x = nπ 或 2x = 2nπ ± 2π/3，其中 n ∈ Z

因此，通解为

x = nπ/3

或

x = nπ ± π/3

其中 n ∈ Z。

杂项练习

证明

1. 2 cos π/13 cos 9π/13 + cos 3π/13 + cos 5π/13 = 0

解决方案

LHS = 2 cos π/13 cos 9π/13 + cos 3π/13 + cos 5π/13

使用恒等式 cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

2 cos π/13 cos 9π/13 + cos 3π/13 + cos 5π/13

= 2 cos π/13 cos 9π/13 + [2 cos ((3π/13 + 5π/13)/2) cos ((3π/13 - 5π/13)/2)]

= 2 cos π/13 cos 9π/13 + [2 cos ((8π/13)/2) cos ((-2π/13)/2)]

= 2 cos π/13 cos 9π/13 + [2 cos 4π/13 cos (-π/13)]

= 2 cos π/13 cos 9π/13 + 2 cos 4π/13 cos π/13

= 2 cos π/13 (cos 9π/13 + cos 4π/13)

使用恒等式 cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

= 2 cos π/13 (cos 9π/13 + cos 4π/13)

= 2 cos π/13 [2 cos ((9π/13 + 4π/13)/2) cos ((9π/13 - 4π/13)/2)

= 2 cos π/13 [2 cos ((13π/13)/2) cos ((5π/13)/2)

= 2 cos π/13 2 cos π/2 cos 5π/26

我们知道 cos π/2 = 0

因此，LHS = 2 cos π/13 × 0 × cos 5π/26 = 0 = RHS

因此，证明完毕。

2. (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x - cos x) cos x = 0

解决方案

LHS = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x - cos x) cos x

= sin 3x sin x + sin² x + cos 3x cos x - cos² x

= cos 3x cos x + sin 3x sin x - (cos² x - sin² x)

使用恒等式

cos A cos B + sin A sin B = cos (A - B)

cos² A - sin² A = cos 2A

我们得到

cos 3x cos x + sin 3x sin x - (cos² x - sin² x)

= cos (3x - x) - (cos 2x)

= cos 2x - cos 2x = 0 = RHS

因此，证明完毕。

3. (cos x + cos y)² + (sin x - sin y)² = 4 cos² ((x + y)/2)

解决方案

LHS = (cos x + cos y)² + (sin x - sin y)²

= cos² x + cos² y + 2 cos x cos y + sin² x + sin² y - 2 sin x sin y

= [sin² x + cos² x] + [sin² y + cos² y] + 2 (cos x cos y - sin x sin y)

使用恒等式

cos A cos B - sin A sin B = cos (A + B)

sin² A + cos² A = 1

我们得到

[sin² x + cos² x] + [sin² y + cos² y] + 2 (cos x cos y - sin x sin y)

= 1 + 1 + 2 (cos (x + y))

= 2 + 2 (cos (x + y))

= 2 [1 + cos (x + y)]

使用恒等式 cos 2A = 2 cos² A - 1，我们得到

2 [1 + cos (x + y)]

= 2 [1 + 2 cos² (x + y)/2 - 1]

= 2 [2 cos² (x + y)/2]

= 4 cos² ((x + y)/2) = RHS

因此，证明完毕。

4. (cos x - cos y)² + (sin x - sin y)² = 4 sin² (x - y)/2

解决方案

LHS = (cos x - cos y)² + (sin x - sin y)²

= cos² x + cos² y - 2 cos x cos y + sin² x + sin² y - 2 sin x sin y

= [sin² x + cos² x] + [sin² y + cos² y] - 2 (cos x cos y + sin x sin y)

使用恒等式

cos A cos B + sin A sin B = cos (A - B)

sin² A + cos² A = 1

我们得到

[sin² x + cos² x] + [sin² y + cos² y] - 2 (cos x cos y + sin x sin y)

= 1 + 1 - 2 (cos (x - y))

= 2 - 2 (cos (x - y))

= 2 [1 - cos (x - y)]

使用恒等式 cos 2A = 1 - 2 sin² A，我们得到

2 [1 - cos (x - y)]

= 2 [1 - 1 + 2 sin² (x - y)/2]

= 2 [2 sin² (x - y)/2]

= 4 sin² ((x - y)/2) = RHS

因此，证明完毕。

5. sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x

解决方案

LHS = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x

= (sin x + sin 5x) + (sin 3x + sin 7x)

使用恒等式 sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

(sin x + sin 5x) + (sin 3x + sin 7x)

= [2 sin ((x + 5x)/2) cos ((x - 5x)/2)] + [2 sin ((3x + 7x)/2) cos ((3x - 7x)/2)]

= [2 sin ((6x)/2) cos ((-4x)/2)] + [2 sin ((10x)/2) cos ((-4x)/2)]

= [2 sin 3x cos (-2x)] + [2 sin 5x cos (-2x)]

= 2 sin 3x cos 2x + 2 sin 5x cos 2x

= 2 cos 2x (sin 3x + sin 5x)

使用恒等式 sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

2 cos 2x (sin 3x + sin 5x)

= 2 cos 2x [2 sin ((3x + 5x)/2) cos ((3x - 5x)/2)]

= 2 cos 2x [2 sin ((8x)/2) cos ((-2x)/2)]

= 2 cos 2x [2 sin 4x cos (-x)]

= 2 cos 2x (2 sin 4x cos x)

= 4 cos x cos 2x sin 4x= RHS

因此，证明完毕。

6. ((sin 7x + sin 5x) + (sin 9x + sin 3x))/((cos 7x + cos 5x) + (cos 9x + cos 3x)) = tan 6x

解决方案

LHS = ((sin 7x + sin 5x) + (sin 9x + sin 3x))/((cos 7x + cos 5x) + (cos 9x + cos 3x))

使用恒等式

sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

cos A + cos B = 2 cos ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)

我们得到

((sin 7x + sin 5x) + (sin 9x + sin 3x))

= 2 sin ((7x + 5x)/2) cos ((7x - 5x)/2) + 2 sin ((9x + 3x)/2) cos ((9x - 3x)/2)

= 2 sin ((12x)/2) cos ((2x)/2) + 2 sin ((12x)/2) cos ((6x)/2)

= 2 sin 6x cos x + 2 sin 6x cos 3x

= 2 sin 6x (cos x + cos 3x)

((cos 7x + cos 5x) + (cos 9x + cos 3x))

= 2 cos ((7x + 5x)/2) cos ((7x - 5x)/2) + 2 cos ((9x + 3x)/2) cos ((9x - 3x)/2)

= 2 cos ((12x)/2) cos ((2x)/2) + 2 cos ((12x)/2) cos ((6x)/2)

= 2 cos 6x cos x + 2 cos 6x cos 3x

= 2 cos 6x (cos x + cos 3x)

现在，

((sin 7x + sin 5x) + (sin 9x + sin 3x))/((cos 7x + cos 5x) + (cos 9x + cos 3x))

= 2 sin 6x (cos x + cos 3x)/2 cos 6x (cos x + cos 3x)

= sin 6x/cos 6x = tan 6x = RHS

因此，证明完毕。

7. sin 3x + sin 2x - sin x = 4 sin x cos x/2 cos 3x/2

解决方案

LHS = sin 3x + sin 2x - sin x

使用恒等式 sin A - sin B = 2 cos ((A + B)/2) sin ((A - B)/2)，我们得到

= sin 3x + (sin 2x - sin x)

= sin 3x + [2 cos ((2x + x)/2) sin ((2x - x)/2)]

= sin 3x + [2 cos ((3x)/2) sin ((x)/2)]

= sin 3x + [2 cos ((3x)/2) sin ((x)/2)]

使用恒等式 sin 2A = 2 sin A cos A，我们得到

sin 3x + [2 cos ((3x)/2) sin ((x)/2)]

= 2 sin 3x/2 cos 3x/2 + [2 cos ((3x)/2) sin ((x)/2)]

= 2 cos 3x/2 (sin 3x/2 + sin x/2)

使用恒等式 sin A + sin B = 2 sin ((A + B)/2) cos ((A - B)/2)，我们得到

2 cos 3x/2 (sin 3x/2 + sin x/2)

= 2 cos 3x/2 (2 sin ((3x/2 + x/2)/2) cos ((3x/2 - x/2)/2))

= 2 cos 3x/2 (2 sin ((4x/2)/2) cos ((2x/2)/2))

= 2 cos 3x/2 (2 sin x cos x/2)

= 4 sin x cos x/2 cos 3x/2 = RHS

因此，证明完毕。

求下列各项中的 sin x/2, cos x/2 和 tan x/2

8. tan x = -4/3, x 在第二象限

解决方案

已知 x 在第二象限。因此，

π/2 < x < π

两边除以 2

π/4 < x/2 < π/2

x/2 位于第一象限，因此 sin x/2, cos x/2, tan x/2 都为正。

我们知道 sec² A = 1 + tan² A，所以

sec² x = 1 + tan² x

sec² x = 1 + (-4/3)²

sec² x = 1 + 16/9

sec² x = 25/9

sec x = ±5/3

cos x = ±3/5

cos x = -3/5 因为 x 在第二象限。

我们知道 cos2A = 2 cos² A - 1，所以

cos x = 2 cos² x/2 - 1

-3/5 = 2 cos² x/2 - 1

2/5 = 2 cos² x/2

1/5 = cos² x/2

cos x/2 = 1/√5

现在，

sin² x/2 + cos² x/2 = 1

sin² x/2 + (1/√5)² = 1

sin² x/2 = 1 - 1/5

sin² x/2 = 4/5

sin x/2 = 2/√5

现在，

tan x/2 = sin x/2/cos x/2

= 2/√5 × √5/1

tan x/2 = 2

9. cos x = -1/3, x 在第三象限

解决方案

已知 x 在第三象限。因此，

π < x < 3π/2

两边除以 2

π/2 < x/2 < 3π/4

x/2 位于第二象限，因此 cos x/2, tan x/2 为负，而 sin x/2 为正。

我们知道 cos2A = 1 - 2 sin² A，所以

cos x = 1 - 2 sin² x/2

-1/3 = 1 - 2 sin² x/2

2 sin² x/2 =2/3

sin² x/2 = 2/3

sin x/2 = √2/√3

我们知道 cos2A = 2 cos² A - 1，所以

cos x = 2 cos² x/2 - 1

-1/3 = 2 cos² x/2 - 1

2/3 = 2 cos² x/2

1/3 = cos² x/2

cos x/2 = -1/√3

现在，

tan x/2 = sin x/2/cos x/2

= √2/√3 × -√3/1

tan x/2 = -√2

10. sin x = 1/4, x 在第二象限

解决方案

已知 x 在第二象限。因此，

π/2 < x < π

两边除以 2

π/4 < x/2 < π/2

x/2 位于第一象限，因此 sin x/2, cos x/2, tan x/2 都为正。

我们知道 cos² A = 1 - sin² A，所以

cos² x = 1 - (1/4)²

cos²x = 1 - 1/16

cos² x = 15/16

cos x = ±√15/4

cos x = -√15/4 因为 x 在第二象限。

我们知道 cos2A = 2 cos² A - 1，所以

cos x = 2 cos² x/2 - 1

-√15/4 = 2 cos² x/2 - 1

(4 - √15)/4 = 2 cos² x/2

(4 - √15)/8 = cos² x/2

cos x/2 = √(4 - √15)/2√2

现在，

sin² x/2 + cos² x/2 = 1

sin² x/2 + (√(4 - √15)/2√2)² = 1

sin² x/2 = 1 - (4 - √15)/8

sin² x/2 = (4 + √15)/8

sin x/2 = √(4 + √15)/2√2

现在，

tan x/2 = sin x/2/cos x/2

= √(4 + √15)/2√2 × 2√2/√(4 - √15)

tan x/2 = √(4 + √15)/√(4 - √15)