8 年级数学第 6 章：立方体和立方根 的 NCERT 解决方案

练习 6.1

1. 下列哪些数字不是完全立方数？

(i) 216

答案：是，它是完全立方数

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，看看它是否是完全立方数。

216 = 2 × 108

216 = 2 × 2 × 54

216 = 2 × 2 × 2 × 27

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 9

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

这里，2 和 3 形成三元组。

因此，216 是一个完全立方数。

216 的立方根 = 2 × 3

216 的立方根 = 6

(ii) 128

答案：否，它不是完全立方数

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，看看它是否是完全立方数。

128 = 2 × 64

128 = 2 × 2 × 32

128 = 2 × 2 × 2 × 16

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 8

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

这里，形成了两个三元组。但是，留下了一个 2 并没有形成三元组。

因此，128 不是完全立方数。

(iii) 1000

答案：是，它是完全立方数

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，看看它是否是完全立方数。

1000 = 2 × 500

1000 = 2 × 2 × 250

1000 = 2 × 2 × 2 × 125

1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 25

1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

这里，2 和 5 形成三元组。

因此，1000 是一个完全立方数。

1000 的立方根 = 2 × 5

1000 的立方根 = 10

(iv) 100

答案：否，它不是完全立方数

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，看看它是否是完全立方数。

100 = 2 × 50

100 = 2 × 2 × 25

100 = 2 × 2 × 5 × 5

这里，2 和 5 都不能形成三元组。因此，它不是完全立方数。

(v) 46656

答案：是，它是完全立方数

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，看看它是否是完全立方数。

46656 = 2 × 23328

46656 = 2 × 2 × 11664

46656 = 2 × 2 × 2 × 5832

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2916

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1458

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 729

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 243

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 81

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 27

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 9

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

这里，2 和 3 形成三元组。

因此，46656 是一个完全平方数。

46656 的立方根 = 2 × 2 × 3 × 3

46656 的立方根 = 36

因此，在所有选项中，(ii) 和 (iv) 不是完全立方数。

2. 求使下列每个数字乘以某个最小数字后得到完全立方数。

(i) 243

答案 3

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的乘数以得到完全立方数。

243 = 3 × 81

243 = 3 × 3 × 27

243 = 3 × 3 × 3 × 9

243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3

要形成一个立方体，将给定的数字乘以 3。

243 × 3 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

729 的立方根 = 3 × 3

729 的立方根 = 9

(ii) 256

答案 2

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的乘数以得到完全立方数。

256 = 2 × 128

256 = 2 × 2 × 64

256 = 2 × 2 × 2 × 32

256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 16

256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 8

256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

要形成一个立方体，将给定的数字乘以 2。

256 × 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

512 的立方根 = 2 × 2 × 2

512 的立方根 = 8

(iii) 72

答案 3

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的乘数以得到完全立方数。

72 = 2 × 36

72 = 2 × 2 × 18

72 = 2 × 2 × 2 × 9

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

要形成一个立方体，将给定的数字乘以 3。

72 × 3 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

216 的立方根 = 2 × 3

216 的立方根 = 6

(iv) 675

答案 5

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的乘数以得到完全立方数。

675 = 5 × 135

675 = 5 × 5 × 27

675 = 5 × 5 × 3 × 9

675 = 5 × 5 × 3 × 3 × 3

要形成一个立方体，将给定的数字乘以 5。

675 × 5 = 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3

3375 = 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3

3375 的立方根 = 5 × 3

3375 的立方根 = 15

(v) 100

答案 10

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的乘数以得到完全立方数。

100 = 2 × 50

100 = 2 × 2 × 25

100 = 2 × 2 × 5 × 5

要形成一个立方体，将给定的数字乘以 2 和 5，即 10。

100 × 2 × 5 = 2 × 2 × 5 × 5 × 2 × 5

1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

1000 的立方根 = 2 × 5

1000 的立方根 = 10

3. 求使下列每个数字除以某个最小数字后得到完全立方数。

(i) 81

答案 3

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的除数以得到完全立方数。

81 = 3 × 27

81 = 3 × 3 × 9

81 = 3 × 3 × 3 × 3

要形成一个立方体，将给定的数字除以 3。

81/3 = (3 × 3 × 3 × 3)/3

27 = 3 × 3 × 3

27 的立方根 = 3

(ii) 128

答案 2

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的除数以得到完全立方数。

128 = 2 × 64

128 = 2 × 2 × 32

128 = 2 × 2 × 2 × 16

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 8

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4

128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

要形成一个立方体，将给定的数字除以 2。

128/2 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)/2

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

64 的立方根 = 2 × 2

64 的立方根 = 4

(iii) 135

答案 5

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的除数以得到完全立方数。

135 = 5 × 27

135 = 5 × 3 × 9

135 = 5 × 3 × 3 × 3

要形成一个立方体，将给定的数字除以 5。

135/5 = (5 × 3 × 3 × 3)/ 5

27 = 3 × 3 × 3

27 的立方根 = 3

(iv) 192

答案 3

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的除数以得到完全立方数。

192 = 3 × 64

192 = 3 × 2 × 32

192 = 3 × 2 × 2 × 16

192 = 3 × 2 × 2 × 2 × 8

192 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4

192 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

要形成一个立方体，将给定的数字除以 3。

192/3 = (3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)/3

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

64 的立方根 = 2 × 2

64 的立方根 = 4

(v) 704

答案 11

解释：立方体中的因数形成三元组。让我们对给定数字进行因式分解，找出最小的除数以得到完全立方数。

704 = 2 × 352

704 = 2 × 2 × 176

704 = 2 × 2 × 2 × 88

704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 44

704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 22

704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11

要形成一个立方体，将给定的数字除以 11。

704/11 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11)/11

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

64 的立方根 = 2 × 2

64 的立方根 = 4

4. Parikshit 用 5 厘米、2 厘米、5 厘米的软泥制作了一个长方体。他需要多少个这样的长方体才能形成一个立方体？

答案： 20 个长方体

解释：长方体的边 = 5 厘米 × 2 厘米 × 5 厘米

要形成一个立方体，需要边长为 5 厘米、2 厘米和 2 厘米的长方体，即 2 × 2 × 5 = 20 个长方体

= 5 × 2 × 5 × 2 × 2 × 5

= 5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2

练习 6.2

1. 用质因数分解法求下列各数的立方根。

(i) 64

答案 4

解释： 64 的质因数分解是

64 = 2 × 32

64 = 2 × 2 × 16

64 = 2 × 2 × 2 × 8

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 4

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了两个 2 的三元组。

64 的立方根 = 2 × 2

64 的立方根 = 4

(ii) 512

答案 8

解释： 512 的质因数分解是

512 = 2 × 256

512 = 2 × 2 × 128

512 = 2 × 2 × 2 × 64

512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 32

512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 16

512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 8

512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4

512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了三个 2 的三元组。

512 的立方根 = 2 × 2 × 2

512 的立方根 = 8

(iii) 10648

答案 22

解释： 10648 的质因数分解是

10648 = 2 × 5324

10648 = 2 × 2 × 2662

10648 = 2 × 2 × 2 × 1331

10648 = 2 × 2 × 2 × 11 × 121

10648 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了两个 2 和 11 的三元组。

10648 的立方根 = 2 × 11

10648 的立方根 = 22

(iv) 27000

答案 30

解释： 27000 的质因数分解是

27000 = 3 × 9000

27000 = 3 × 3 × 3000

27000 = 3 × 3 × 3 × 1000

27000 = 3 × 3 × 3 × 2 × 500

27000 = 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 250

27000 = 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 ×125

27000 = 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 × 25

27000 = 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了三个 2、3 和 5 的三元组。

27000 的立方根 = 3 × 2 × 5

27000 的立方根 = 30

(v) 15625

答案 25

解释： 15625 的质因数分解是

15625 = 5 × 3125

15625 = 5 × 5 × 625

15625 = 5 × 5 × 5 × 125

15625 = 5 × 5 × 5 × 5 × 25

15625 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了两个 5 的三元组。

15625 的立方根 = 5 × 5

15625 的立方根 = 25

(vi) 13824

答案 24

解释： 13824 的质因数分解是

13824 = 2 × 6912

13824 = 2 × 2 × 3456

13824 = 2 × 2 × 2 × 1728

13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 864

13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 432

13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 216

13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 108

13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 54

13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 27

13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 9

13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了四个 2 和 3 的三元组。

13824 的立方根 = 2 × 2 × 2 × 3

13824 的立方根 = 24

(vii) 110592

答案 48

解释： 110592 的质因数分解是

110592 = 2 × 55296

110592 = 2 × 2 × 27648

110592 = 2 × 2 × 2 × 13824

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 6912

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3456

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1728

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 864

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 432

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 216

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 108

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 54

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 27

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 9

110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了五个 2 和 3 的三元组。

110592 的立方根 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

110592 的立方根 = 48

(viii) 46656

答案 36

解释： 46656 的质因数分解是

46656 = 2 × 23328

46656 = 2 × 2 × 11664

46656 = 2 × 2 × 2 × 5832

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2916

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1458

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 729

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 243

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 81

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 27

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 9

46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了四个 2 和 3 的三元组。

46656 的立方根 = 2 × 2 × 3 × 3

46656 的立方根 = 36

(ix) 175616

答案 56

解释： 175616 的质因数分解是

175616 = 2 × 87808

175616 = 2 × 2 × 43904

175616 = 2 × 2 × 2 × 21952

175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 10976

175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5488

175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2744

175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1372

175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 686

175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 343

175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 49

175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了四个 2 和 7 的三元组。

175616 的立方根 = 2 × 2 × 2 × 7

175616 的立方根 = 56

(x) 91125

答案 45

解释： 91125 的质因数分解是

91125 = 5 × 18225

91125 = 5 × 5 × 3645

91125 = 5 × 5 × 5 × 729

91125 = 5 × 5 × 5 × 3 × 243

91125 = 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 81

91125 = 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 27

91125 = 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3 × 9

91125 = 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

立方体中的因数形成三元组。这里，创建了三个 5 和 3 的三元组。

91125 的立方根 = 5 × 3 × 3

91125 的立方根 = 45

2. 判断对错。

(i) 任何奇数的立方都是偶数。

答案：假

解释：任何奇数的立方都是奇数。

(ii) 完全立方数不以两个零结尾。

答案：真

解释：完全立方数以三个零结尾。

(iii) 如果一个数字的平方以 5 结尾，那么它的立方以 25 结尾。

答案：假

说明

不总是如此。

例如：

35 的平方 = 1225

35 的立方 = 42875

这里，立方以 75 结尾。因此，上述说法不正确。

(iv) 没有完全立方数以 8 结尾。

答案：假

解释： 8 是数字 2 的完全立方。

(v) 一个两位数的立方可能是一个三位数。

答案：假

解释：一个两位数的立方可以是四位数、五位数或六位数。因此，上述说法不正确。

(vi) 一个两位数的立方可能有七位或更多位数。

答案：假

解释：最大的两位数是 99。99 的立方是一个六位数。因此，上述说法不正确。

(vii) 一个个位数的立方可能是一个个位数。

答案：真

解释：一个位的立方可以是各位数。

例如：

1 的立方 = 1

2 的立方 = 8