12 年级数学第 1 章：关系和函数 的 NCERT 解决方案

练习1.1

1. 确定以下关系是否是自反的、对称的和传递的

1. 在集合 A = {1, 2, 3, ..., 13, 14} 中定义的关系 R 为
   R = {(x, y) : 3x - y = 0}
2. 在自然数集合 N 中定义的关系 R 为
   R = {(x, y) : y = x + 5 且 x < 4}
3. 在集合 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 中定义的关系 R 为
   R = {(x, y) : y 可被 x 整除}
4. 在所有整数集合 Z 中定义的关系 R 为
   R = {(x, y) : x - y 是一个整数}
5. 在某个城镇中，人类集合 A 中的关系 R 由以下给出
   1. R = {(x, y) : x 和 y 在同一地点工作}
   2. R = {(x, y) : x 和 y 住在同一地区}
   3. R = {(x, y) : x 恰好比 y 高 7 厘米}
   4. R = {(x, y) : x 是 y 的妻子}
   5. R = {(x, y) : x 是 y 的父亲}

解决方案

(i) A = {1, 2, 3, ..., 13, 14}

R = {(x, y): 3x - y = 0}

因此，R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}。

R 不是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3), ..., (13, 13), (14, 14) ∉ R。

R 不是对称的，因为 (1, 3) ∈ R 但 (3, 1) ∉ R。

R 不是传递的，因为 (1, 3), (3, 9) ∈ R 但 (1, 9) ∉ R。

(ii) R = {(x, y): y = x + 5 且 x < 4}

因此，R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}

R 不是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), ... ∉ R。

R 不是对称的，因为 (1, 6) ∈ R 但 (6, 1) ∉ R。

R 不是传递的，因为没有 (x, y) 和 (y, z) ∈ R 这样的对。

(iii) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

R = {(x, y): y 可被 x 整除}

因此，R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

R 是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3), ..., (6, 6) ∈ R。

R 不是对称的，因为 (1, 2) ∈ R 但 (2, 1) ∉ R。

R 是传递的，因为 (x, y), (y, z) ∈ R 意味着 z 可被 x 整除，所以 (x, z) ∈ R。

(iv) R = {(x, y): x - y 是一个整数}

R 是自反的，因为对于任何整数 x ∈ Z，(x, x) ∈ R，因为 x - x = 0 是一个整数。

R 是对称的，因为对于任何 (x, y) ∈ R，(y - x) = - (x - y) 是一个整数。所以，(y, x) ∈ R。

R 是传递的，因为对于 (x, y), (y, z) ∈ R，

(x - z) = (x - y) + (y - z)，两者都是整数。

所以，(x, z) ∈ R。

(v) (a) R = {(x, y): x 和 y 在同一地点工作}

R 是自反的，因为 (x, x) ∈ R。

R 是对称的，因为对于 (x, y) ∈ R，这意味着 y 和 x 也在同一地点工作。所以，(y, x) ∈ R。

R 是传递的，因为对于 (x, y), (y, z) ∈ R，这意味着 x 和 z 也在同一地点工作。所以，(x, z) ∈ R。

(b) R = {(x, y): x 和 y 住在同一地区}

R 是自反的，因为 (x, x) ∈ R

R 是对称的，因为对于 (x, y) ∈ R，这意味着 y 和 x 也住在同一地区。所以，(y, x) ∈ R。

R 是传递的，因为对于 (x, y), (y, z) ∈ R，这意味着 x 和 z 也住在同一地区。所以，(x, z) ∈ R。

(c) R = {(x, y) : x 恰好比 y 高 7 厘米}

R 不是自反的，因为 (x, x) ∉ R，因为同一个人不可能有不同的身高。

R 不是对称的，因为 (x, y) ∈ R 意味着 y 比 x 高。所以，(y, x) ∉ R。

R 不是传递的，因为 (x, y), (y, z) ∈ R 意味着 y 比 x 高 7 厘米，z 比 y 高 7 厘米，这意味着 z 比 x 高 14 厘米。所以，(x, z) ∉ R。

(d) R = {(x, y): x 是 y 的妻子}

R 不是自反的，因为 (x, x) ∉ R，因为同一个人不能是自己的妻子。

R 不是对称的，因为 (x, y) ∈ R 意味着 x 是 y 的妻子，这意味着 y 是 x 的丈夫。所以，(y, x) ∉ R。

R 不是传递的，因为 (x, y), (y, z) ∈ R 意味着 x 是 y 的妻子，y 是 z 的妻子，这是不可能的。所以，(x, z) ∉ R。

(e) R = {(x, y): x 是 y 的父亲}

R 不是自反的，因为 (x, x) ∉ R，因为同一个人不能是自己的父亲。

R 不是对称的，因为 (x, y) ∈ R 意味着 x 是 y 的父亲，这意味着 y 是 x 的后代。所以，(y, x) ∉ R。

R 不是传递的，因为 (x, y), (y, z) ∈ R 意味着 x 是 y 的父亲，y 是 z 的父亲，这意味着 x 是 z 的祖父。所以，(x, z) ∉ R。

2. 证明在实数集合 R 中定义的关系 R 为

R = {(a, b) : a ≤ b²} 既不是自反的，也不是对称的，也不是传递的。

解决方案

R = {(a, b): a ≤ b²}

对于实数 1/x，

(1/x)² = 1/x² ≤ 1/x

所以，(1/x, 1/x) ∉ R。因此，R 不是自反的。

R 不是对称的，因为 (1, 4) ∈ R 意味着 1 < 4² 但 (4, 1) ∈ R 意味着 4 < 1² 是错误的。所以，(4, 1) ∉ R。

R 不是传递的，因为 (3, 2), (2, 1.5) ∈ R 意味着 3 < 2² 且 2 < (1.5)² 但 (3, 1.5) 意味着 3 < (1.5)² 是错误的。所以，(3, 1.5) ∉ R。

因此，R 既不是自反的，也不是对称的，也不是传递的。

3. 检查在集合 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 中定义的关系 R 为 R = {(a, b) : b = a + 1} 是否是自反的、对称的或传递的。

解决方案

R = {(a, b): b = a + 1}

因此，R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}

R 不是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), ..., (6, 6) ∉ R。

R 不是对称的，因为 (1, 2) ∈ R 但 (2, 1) ∉ R。

R 不是传递的，因为 (1, 2), (2, 3) ∈ R 但 (1, 3) ∉ R。

4. 证明在 R 中定义的关系 R 为 R = {(a, b) : a ≤ b} 是自反和传递的，但不是对称的。

解决方案

R = {(a, b): a ≤ b}

R 是自反的，因为 a = a，所以 (a, a) ∈ R。

R 不是对称的，因为 (a, a + 1) ∈ R 意味着 a ≤ a + 1 但 (a + 1, a) ∈ R 意味着 a + 1 ≤ a 是错误的。所以，(a + 1, a) ∉ R。

R 是传递的，因为 (a, b), (b, c) ∈ R 意味着 a ≤ b ≤ c，这意味着 a ≤ c。所以，(a, c) ∈ R。

因此，R 是自反和传递的，但不是对称的。

5. 检查在 R 中定义的关系 R 为 R = {(a, b) : a ≤ b³} 是否是自反的、对称的或传递的。

解决方案

R = {(a, b): a ≤ b³}

对于实数 1/x，

(1/x)³ = 1/x³ ≤ 1/x

所以，(1/x, 1/x) ∉ R。因此，R 不是自反的。

R 不是对称的，因为 (1, 4) ∈ R 意味着 1 < 4³ 但 (4, 1) ∈ R 意味着 4 < 1³ 是错误的。所以，(4, 1) ∉ R。

R 不是传递的，因为 (3, 1.5), (1.5, 1.2) ∈ R 意味着 3 < (1.5)³ 且 1.5 < (1.2)³ 但 (3, 1.2) 意味着 3 < (1.2)³ 是错误的。所以，(3, 1.2) ∉ R。

因此，R 既不是自反的，也不是对称的，也不是传递的。

6. 证明在集合 {1, 2, 3} 中给出的关系 R 为 R = {(1, 2), (2, 1)} 是对称的，但既不是自反的也不是传递的。

解决方案

设 A = {1, 2, 3}

集合 A 上的关系 R = {(1, 2), (2, 1)}

R 不是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∉ R。

R 是对称的，因为 (1, 2) ∈ R 且 (2, 1) ∈ R。

R 不是传递的，因为 (1, 2), (2, 1) ∈ R 但 (1, 1) ∉ R。

因此，R = {(1, 2), (2, 1)} 是对称的，但既不是自反的也不是传递的。

7. 证明在大学图书馆所有书籍集合 A 中给出的关系 R 为 R = {(x, y) : x 和 y 的页数相同} 是一个等价关系。

解决方案

R = {(x, y): x 和 y 的页数相同}

R 是自反的，因为一本书不可能有不同数量的页数，所以 (x, x) ∈ R。

R 是对称的，因为 (x, y) ∈ R 意味着 x 和 y 的页数相同，这意味着 y 和 x 的页数也相同。所以，(y, x) ∈ R。

R 是传递的，因为 (x, y), (y, z) ∈ R 意味着 x 和 y 的页数相同，y 和 z 的页数相同，这意味着 x 和 z 的页数也相同。所以，(x, z) ∈ R。

因此，R 是一个等价关系。

8. 证明在集合 A = {1, 2, 3, 4, 5} 中给出的关系 R 为
R = {(a, b) : |a - b| 是偶数} 是一个等价关系。证明 {1, 3, 5} 的所有元素相互关联，{2, 4} 的所有元素相互关联。但 {1, 3, 5} 的任何元素与 {2, 4} 的任何元素都不关联。

解决方案

A = {1, 2, 3, 4, 5}

R = {(a, b): |a - b| 是偶数}

R 是自反的，因为对于任何元素 a ∈ A，|a - a| = 0 是偶数，所以 (a, a) ∈ R。

R 是对称的，因为 (a, b) ∈ R 意味着

|a - b| 是偶数

|-(a - b)| = |b - a| 也是偶数

所以 (b, a) ∈ R。

R 是传递的，因为 (a, b), (b, c) ∈ R 意味着

|a - b| 和 |b - c| 是偶数

|a - b + b - c| 也是偶数

= |a - c| 是偶数

所以 (a, c) ∈ R。

因此，R 是一个等价关系。

{1, 3, 5} 的元素相互关联，因为每个元素都是奇数。任何两个元素之间的差的绝对值将是偶数。

{2, 4} 的元素相互关联，因为每个元素都是偶数。任何两个元素之间的差的绝对值将是偶数。

由于 {1, 3, 5} 的元素是奇数，{2, 4} 的元素是偶数。因此，{1, 3, 5} 的任何元素与 {2, 4} 的任何元素之间都没有关系。两个元素之间（每个集合一个）的差的绝对值将不是奇数。

9. 证明在集合 A = {x ∈ Z : 0 ≤ x ≤ 12} 中的每个关系 R，由以下给出

1. R = {(a, b) : |a - b| 是 4 的倍数}
2. R = {(a, b) : a = b}

是一个等价关系。在每种情况下，找到所有与 1 相关的元素的集合。

解决方案

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

(i) R = {(a, b): |a - b| 是 4 的倍数}

R 是自反的，因为对于任何元素 a ∈ A，|a - a| = 0 是 4 的倍数，所以 (a, a) ∈ R。

R 是对称的，因为 (a, b) ∈ R 意味着

|a - b| 是 4 的倍数

|-(a - b)| = |b - a| 也是 4 的倍数

所以 (b, a) ∈ R。

R 是传递的，因为 (a, b), (b, c) ∈ R 意味着

|a - b| 和 |b - c| 是 4 的倍数

|a - b + b - c| 也是 4 的倍数

= |a - c| 是 4 的倍数

所以 (a, c) ∈ R。

因此，R 是一个等价关系。

与 1 相关的元素集合是 {1, 5, 9}，因为

|1 - 1| = 0 是 4 的倍数

|5 - 1| = 4 是 4 的倍数

|9 - 1| = 8 是 4 的倍数

(ii) R = {(a, b): a = b}

R 是自反的，因为对于任何元素 a ∈ A，a = a，所以 (a, a) ∈ R。

R 是对称的，因为 (a, b) ∈ R 意味着

a = b 意味着 b = a

所以 (b, a) ∈ R。

R 是传递的，因为 (a, b), (b, c) ∈ R 意味着

a = b 且 b = c

这意味着 a = c

所以 (a, c) ∈ R。

因此，R 是一个等价关系。

与 1 相关的元素集合是 {1}，因为只有等于 1 的元素才与 1 相关。

10. 给出关系的一个例子。它是

1. 对称但既不自反也不传递。
2. 传递但既不自反也不对称。
3. 自反和对称但不是传递。
4. 自反和传递但不是对称。
5. 对称和传递但不是自反。

解决方案

(i) A = {1, 2, 3, 4}

R = {(1, 2), (2, 1)}

R 不是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∉ R。

R 是对称的，因为 (1, 2) ∈ R 且 (2, 1) ∈ R。

R 不是传递的，因为 (1, 2), (2, 1) ∈ R 但 (1, 1) ∉ R。

(ii) A = {x ∈ Z: x > 0}

R = {(a, b): a > b}

R 不是自反的，因为对于任何元素 a ∈ A，a > a 是错误的，因为 a = a。所以，(a, a) ∉ R。

R 不是对称的，因为 (a, b) ∈ R 意味着 a > b，这使得 b > a 不可能。所以，(b, a) ∉ R。

R 是传递的，因为 (a, b), (b, c) ∈ R 意味着 a > b 且 b > c，这意味着 a > c。所以，(a, c) ∈ R。

(iii) A = {1, 2, 3}

R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (1, 2), (3, 2), (2, 3)}

R 是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R。

R 是对称的，因为对于所有 a, b ∈ R，(a, b) ∈ R 且 (b, a) ∈ R。

R 不是传递的，因为 (1, 2), (2, 3) ∈ R 但 (1, 3) ∉ R。

(iv) A = {x ∈ Z: x > 0}

R = {(a, b): a² ≥ b²}

R 是自反的，因为 a² ≥ a² 是真的。所以，(a, a) ∈ R。

R 不是对称的，因为 (a, b) ∈ R 意味着 a² ≥ b²，这意味着 b² > a² 是错误的。所以，(b, a) ∉ R。

R 是传递的，因为 (a, b), (b, c) ∈ R 意味着 a² ≥ b² 且 b² ≥ c²，这意味着 a² ≥ c²。所以，(a, c) ∈ R。

(v) A = {1, 2}

R = {(1, 2), (2, 1), (1, 1)}

R 不是自反的，因为 (2, 2) ∉ R。

R 是对称的，因为 (1, 2) ∈ R 且 (2, 1) ∈ R。

R 是传递的，因为 (1, 2), (2, 1) ∈ R 且 (1, 1) ∈ R。

11. 证明在平面点集 A 中给出的关系 R 为 R = {(P, Q) : 点 P 到原点的距离与点 Q 到原点的距离相同} 是一个等价关系。进一步，证明与点 P ≠ (0, 0) 相关的所有点集是以原点为中心，通过 P 的圆。

解决方案

R = {(P, Q): 点 P 到原点的距离与点 Q 到原点的距离相同}

R 是自反的，因为点 P 到原点的距离是固定的且保持不变。所以，(P, P) ∈ R。

R 是对称的，因为 (P, Q) ∈ R 意味着点 P 到原点的距离与点 Q 到原点的距离相同

这意味着点 Q 到原点的距离与点 P 到原点的距离相同。

所以，(Q, P) ∈ R。

R 是传递的，因为 (P, Q), (Q, R) ∈ R 意味着点 P 到原点的距离等于点 Q 到原点的距离，且点 Q 到原点的距离等于点 R 到原点的距离

这意味着点 P 到原点的距离与点 R 到原点的距离相同。

所以，(P, R) ∈ R。

因此，R 是一个等价关系。

与 P ≠ (0, 0) 相关的点集将是那些与 P 到原点距离相同的点，即对于原点 O (0, 0)，集合中每个点的距离都将等于 OP。

因此，这些点集形成一个通过点 P 以原点为中心的圆。

12. 证明在所有三角形集合 A 中定义的关系 R 为 R = {(T₁, T₂) : T₁ 与 T₂ 相似} 是一个等价关系。考虑三个直角三角形 T₁ 边长为 3, 4, 5，T₂ 边长为 5, 12, 13，T₃ 边长为 6, 8, 10。T₁, T₂ 和 T₃ 中哪些三角形相互关联？

解决方案

R = {(T₁, T₂): T₁ 与 T₂ 相似}

R 是自反的，因为任何三角形 T₁ ∈ A 都与自身相似。所以，(T₁, T₁) ∈ R。

R 是对称的，因为 (T₁, T₂) ∈ R 意味着三角形 T₁ 与三角形 T₂ 相似，这意味着三角形 T₂ 也与三角形 T₁ 相似。所以，(T₂, T₁) ∈ R。

R 是传递的，因为 (T₁, T₂), (T₂, T₃) ∈ R 意味着三角形 T₁ 与三角形 T₂ 相似，三角形 T₂ 与三角形 T₃ 相似，这意味着三角形 T₁ 与三角形 T₃ 相似。所以，(T₁, T₃) ∈ R。

因此，R 是一个等价关系。

在三角形 T₁ 和 T₂ 中

3/5 ≠ 4/12

T₁ 和 T₂ 不相似，因此不关联。

在三角形 T₂ 和 T₃ 中

5/6 ≠ 12/8

T₂ 和 T₃ 不相似，因此不关联。

在三角形 T₁ 和 T₃ 中

3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2

T₁ 和 T₃ 相似。

因此，T₁ 和 T₃ 关联。

13. 证明在所有多边形集合 A 中定义的关系 R 为 R = {(P₁, P₂) : P₁ 和 P₂ 边数相同} 是一个等价关系。与边长为 3, 4, 5 的直角三角形 T 相关的所有元素集是什么？

解决方案

R = {(P₁, P₂): P₁ 和 P₂ 边数相同}

R 是自反的，因为多边形 P₁ ∈ A 的边数与自身相同。所以，(P₁, P₁) ∈ R。

R 是对称的，因为 (P₁, P₂) ∈ R 意味着多边形 P₁ 和 P₂ 的边数相同，这意味着多边形 P₂ 和 P₁ 的边数也相同。所以，(P₂, P₁) ∈ R。

R 是传递的，因为 (P₁, P₂), (P₂, P₃) ∈ R 意味着多边形 P₁ 和 P₂ 的边数相同，多边形 P₂ 和 P₃ 的边数相同，这意味着多边形 P₁ 和 P₃ 的边数也相同。所以，(P₁, P₃) ∈ R。

因此，R 是一个等价关系。

T 是一个边长为 3, 4, 5 的直角三角形，因此，在 A 中与 T 相关的元素集是具有三条边的多边形，即所有三角形的集合。

14. 设 L 是 XY 平面中所有直线的集合，R 是 L 中定义的关系 R = {(L₁, L₂) : L₁ 平行于 L₂}。证明 R 是一个等价关系。找到与直线 y = 2x + 4 相关的所有直线的集合。

解决方案

R = {(L₁, L₂): L₁ 平行于 L₂}

R 是自反的，因为任何直线 L₁ ∈ L 都平行于自身。所以，(L₁, L₁) ∈ R。

R 是对称的，因为 (L₁, L₂) ∈ R 意味着 L₁ 平行于 L₂，这也意味着 L₂ 平行于 L₁。所以，(L₂, L₁) ∈ R。

R 是传递的，因为 (L₁, L₂), (L₂, L₃) ∈ R 意味着 L₁ 平行于 L₂ 且 L₂ 平行于 L₃，这意味着 L₁ 平行于 L₃。所以，(L₁, L₃) ∈ R。

因此，R 是一个等价关系。

与直线 y = 2x + 4 相关的所有直线是与它平行的直线，即与 y = 2x + 4 相关的所有直线集合由 y = 2x + c 给出，其中 c ∈ R (有理数集)。

15. 设 R 是集合 {1, 2, 3, 4} 中给出的关系 R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4,4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}。选择正确答案。

1. R 是自反的和对称的，但不是传递的。
2. R 是自反的和传递的，但不是对称的。
3. R 是对称的和传递的，但不是自反的。
4. R 是一个等价关系。

解决方案

A = {1, 2, 3, 4}

R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}

R 是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R。

R 不是对称的，因为 (1, 2) ∈ R 但 (2, 1) ∉ R。

R 是传递的，因为对于 A 中每个元素 a, b, c，如果 (a, b), (b, c) ∈ R，则 (a, c) ∈ R。

因此，R 是自反和传递的，但不是对称的。

因此，(B) 是正确答案。

16. 设 R 是集合 N 中给出的关系 R = {(a, b) : a = b - 2, b > 6}。选择正确答案。

1. (2, 4) ∈ R
2. (3, 8) ∈ R
3. (6, 8) ∈ R
4. (8, 7) ∈ R

解决方案

R = {(a, b): a = b - 2, b > 6}

(2, 4) ∉ R，因为 b > 6

(3, 8) ∉ R，因为 3 ≠ 8 - 2 = 6

(6, 8) ∈ R，因为 6 = 8 - 2 = 6

(8, 7) ∉ R，因为 8 ≠ 7 - 2 = 5

因此，(C) 是正确答案。

练习1.2

1. 证明函数 f : R∗ → R∗ 定义为 f (x) = 1/x 是单射和满射，其中 R∗ 是所有非零实数的集合。如果定义域 R∗ 被 N 替换，而共定义域保持与 R∗ 相同，结果是否仍然成立？

解决方案

f: R∗ → R∗ 定义为 f (x) = 1/x

检查单射

f (x) = f (y)

1/x = 1/y

x = y

因此，f 是单射。

检查满射

对于任何 y ∈ R∗，存在 x = 1/y ∈ R∗，使得

f (x) = 1/(1/y)

f (x) = y

因此，f 是满射。

所以，函数 f 是单射和满射。

g: N → R∗ 定义为 g (x) = 1/x

检查单射

g (x) = g (y)

1/x = 1/y

x = y

因此，g 是单射。

检查满射

g 不是满射，因为对于 1.2, 1.3, 1.4, ... ∈ R∗，不存在 N 中的 x 使得

g (x) = 1/1.2, g (x) = 1/1.3, ... 等

因此，该函数仅是单射，不再是满射。

2. 检查以下函数的单射性和满射性

1. f : N → N 定义为 f (x) = x²
2. f : Z → Z 定义为 f (x) = x²
3. f : R → R 定义为 f (x) = x²
4. f : N → N 定义为 f (x) = x³
5. f : Z → Z 定义为 f (x) = x³

解决方案

(i) f: N → N 定义为 f (x) = x²

对于 x, y ∈ N，

f (x) = f (y)

x² = y²

x = y

因此，f 是单射。

对于 2 ∈ N，不存在 N 中的 x 使得

f (x) = x² = 2

因此，f 不是满射。

(ii) f: Z → Z 定义为 f (x) = x²

f (-1) = f (1)

(-1)² = 1²

但 -1 ≠ 1

因此，f 不是单射。

对于 -2 ∈ Z，不存在 Z 中的 x 使得

f (x) = x² = -2

因此，f 不是满射。

(iii) f: R → R 定义为 f (x) = x²

f (-1) = f (1)

(-1)² = 1²

但 -1 ≠ 1

因此，f 不是单射。

对于 -2 ∈ R，不存在 R 中的 x 使得

f (x) = x² = -2

因此，f 不是满射。

(iv) f: N → N 定义为 f (x) = x³

对于 x, y ∈ N，

f (x) = f (y)

x³ = y³

x = y

因此，f 是单射。

对于 2 ∈ N，不存在 N 中的 x 使得

f (x) = x³ = 2

因此，f 不是满射。

(v) f: Z → Z 定义为 f (x) = x³

对于 x, y ∈ Z，

f (x) = f (y)

x³ = y³

x = y

因此，f 是单射。

对于 2 ∈ Z，不存在 Z 中的 x 使得

f (x) = x³ = 2

因此，f 不是满射。

3. 证明最大整数函数 f : R → R，定义为 f (x) = [x]，既不是单射也不是满射，其中 [x] 表示小于或等于 x 的最大整数。

解决方案

f: R → R 定义为 f (x) = [x]

检查单射

f (1.5) = [1.5] = 1

f (1.9) = [1.1] = 1

f (1.5) = f (1.9)

但 1.5 ≠ 1.9

因此，f 不是单射。

检查满射

对于 0.5 ∈ R，不存在 R 中的 x 使得

f (x) = 0.7

因为 [x] 是一个整数。

因此，f 不是满射。

因此，最大整数函数既不是单射也不是满射。

4. 证明模函数 f : R → R，定义为 f (x) = |x|，既不是单射也不是满射，其中 |x| 为 x (如果 x 是正数或 0) 且 |x| 为 -x (如果 x 是负数)。

解决方案

f: R → R 定义为 f (x) = |x| =

检查单射

f (-1) = |-1| = 1

f (1) = |1| = 1

f (-1) = f (1)

但 -1 ≠ 1

因此，f 不是单射。

检查满射

对于 -1 ∈ R，不存在 R 中的元素 x 使得

f (x) = |x| = -1

因为 |x| 总是正数。

因此，f 不是满射。

因此，模函数既不是单射也不是满射。

5. 证明符号函数 f : R → R，定义为

既不是单射也不是满射。

解决方案

检查单射

f (1) = 1

f (2) = 1

f (1) = f (2)

但 1 ≠ 2

因此，f 不是单射。

检查满射

f 只取 3 个值 (1, 0, -1)。因此，对于 -2 ∈ R，不存在 R 中的元素 x 使得

f (x) = -2

因此，f 不是满射。

因此，符号函数既不是单射也不是满射。

6. 设 A = {1, 2, 3}，B = {4, 5, 6, 7}，设 f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} 是从 A 到 B 的函数。证明 f 是单射。

解决方案

A = {1, 2, 3} 和 B = {4, 5, 6, 7}

f: A → B 定义为 f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

f (1) = 4

f (2) = 5

f (3) = 6

A 的每个元素在函数 f 中都有一个不同的像。

因此，f 是单射。

7. 在以下每种情况下，说明函数是单射、满射还是双射。证明你的答案。

1. f : R → R 定义为 f (x) = 3 - 4x
2. f : R → R 定义为 f (x) = 1 + x²

解决方案

(i) f: R → R 定义为 f (x) = 3 - 4x

检查单射

取两个元素 x₁, x₂ ∈ R 使得

f (x₁) = f (x₂)

3 - 4x₁ = 3 - 4x₂

-4x₁ = -4x₂

x₁ = x₂

因此，f 是单射。

检查满射

对于任何实数 y ∈ R，存在 (3 - y)/4 ∈ R 使得

f ((3 - y)/4) = 3 - 4(3 - y)/4 = 3 - 3 + y = y

因此，f 是满射。

因此，f 是双射。

(ii) f: R → R 定义为 f (x) = 1 + x²

检查单射

取两个元素 x₁, x₂ ∈ R 使得

f (x₁) = f (x₂)

1 + x₁² = 1 + x₂²

x₁² = x₂²

x₁ = ±x₂

x₁ = x₂ 或 x₁ = -x₂

x₁ = x₂ 或 x₁ ≠ x₂

因此，f 不是单射。

检查满射

对于 -2 ∈ R，不存在 R 中的元素 x 使得

f (x) = -2

因为 f (x) = 1 + x² 对于所有 x ∈ R 都是正数。

因此 f 不是满射。

因此，f 既不是单射也不是满射。

8. 设 A 和 B 是集合。证明 f : A × B → B × A 使得 f (a, b) = (b, a) 是双射函数。

解决方案

f: A × B → B × A 定义为 f (a, b) = (b, a)

检查单射

取 (a₁, b₁), (a₂, b₂) ∈ A × B 使得

f (a₁, b₁) = f (a₂, b₂)

(b₁, a₁) = (b₂, a₂)

b₁ = b₂ 且 a₁ = a₂

(a₁, a₂) = (b₁, b₂)

因此，f 是单射。

检查满射

对于 (b, a) ∈ B × A，存在 (a, b) ∈ A × B 使得

f (a, b) = (b, a)

因此，f 是满射。

因此，f 是双射。

9. 设 f : N → N 定义为 f (n) = 对于所有 n ∈ N。
说明函数 f 是否是双射的。证明你的答案。

解决方案

f: N → N 定义为 f (n) =

检查单射

f (1) = (1 + 1)/2 = 2/2 = 1

f (2) = 2/2 = 1

f (1) = f (2)

但 1 ≠ 2

因此，f 不是单射。

检查满射

对于 n ∈ N，

如果 n 是奇数

n = 2r + 1 对于某个 r ∈ N，存在 4r + 1 ∈ N 使得

f (4r + 1) = (4r + 1 + 1)/2 = 2(2r + 1)/2 = 2r + 1

如果 n 是偶数

n = 2r 对于某个 r ∈ N，存在 4r ∈ N 使得

f (4r) = 4r/2 = 2r

因此，f 是满射。

因此，f 不是双射的。

10. 设 A = R - {3} 且 B = R - {1}。考虑函数 f : A → B 定义为 f (x) = (x - 2)/(x - 3)。f 是否是单射和满射？证明你的答案。

解决方案

A = R - {3} 且 B = R - {1}

f: A → B 定义为 f (x) = (x - 2)/(x - 3)

检查单射

取 A 中任意两个元素 x, y 使得

f (x) = f (y)

(x - 2)/(x - 3) = (y - 2)/(y - 3)

(x - 2)(y - 3) = (y - 2)(x - 3)

xy - 2y - 3x + 6 = xy - 2x - 3y + 6

-3x - 2y = -2x - 3y

3x - 2x = 3y - 2y

x = y

因此，f 是单射。

检查满射

对于 y ∈ B，y ≠ 1。

如果存在 x ∈ A 使得 f (x) = y，则函数 f 是满射。

f (x) = y

(x - 2)/(x - 3) = y

x - 2 = y(x - 3)

x - 2 = xy - 3y

x - xy = 2 - 3y

x(1 - y) = 2 - 3y

x = (2 - 3y)/(1 - y) ∈ A

因此，对于 y ∈ B，存在 (2 - 3y)/(1 - y) ∈ A 使得

f ((2 - 3y)/(1 - y)) = [(2 - 3y)/(1 - y) - 2]/[(2 - 3y)/(1 - y) - 3]

= [(2 - 3y - 2 - 2y)/(1 - y)]/[(2 - 3y - 3 - 3y)/(1 - y)]

= -y/-1 = y

因此，f 是满射。

因此，函数 f 既是单射也是满射。

11. 设 f : R → R 定义为 f (x) = x⁴。选择正确答案。

1. f 是单射满射
2. f 是多对一满射
3. f 是单射但不是满射
4. f 既不是单射也不是满射

解决方案

f: R → R 定义为 f (x) = x⁴

检查单射

f (-1) = (-1)⁴ = 1

f (1) = (1)⁴ = 1

f (-1) = f (1)

(-1)⁴ = 1⁴

但 -1 ≠ 1

因此，f 不是单射。

检查满射

对于 -2 ∈ R，不存在 R 中的 x 使得

f (x) = x⁴ = -2

因此，f 不是满射。

因此，正确答案是 (D)。

12. 设 f : R → R 定义为 f (x) = 3x。选择正确答案。

1. f 是单射满射
2. f 是多对一满射
3. f 是单射但不是满射
4. f 既不是单射也不是满射

解决方案

f: R → R 定义为 f (x) = 3x

检查单射

取 x, y ∈ R 使得

f (x) = f (y)

3x = 3y

x = y

因此，f 是单射。

检查满射

对于 y ∈ R，存在 y/3 ∈ R 使得

f (y/3) = 3 × y/3 = y

因此，f 是满射。

因此，正确答案是 (A)。

练习1.3

1. 设 f: {1, 3, 4} → {1, 2, 5} 且 g: {1, 2, 5} → {1, 3} 由 f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1)} 和 g = {(1, 3), (2, 3), (5, 1)} 给出。写出 gof。

解决方案

f: {1, 3, 5} → {1, 2, 5} 且 g: {1, 2, 5} → {1, 3} 由以下给出

f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1)} 和 g = {(1, 3) (2, 3), (5, 1)}

f (1) = 2 且 g(2) = 3

gof = g(f (1)) = g(2) = 3

f (3) = 5 且 g(5) = 1

gof (3) = g(f (3)) = g(5) = 1

f (4) = 1 且 g(1) = 1

gof (4) = g(f (4)) = g(1) = 3

因此，gof = {(1, 3), (3, 1), (4, 3)}

2. 设 f, g 和 h 是从 R 到 R 的函数。证明
(f + g) oh = foh + goh
(f . g) oh = (foh) . (goh)

解决方案

(f + g) oh = (f + g)(h (x))

= f (h (x)) + g(h (x))

= foh + goh

LHS = RHS 因此，证明了 (f + g) oh = foh + goh

(f . g) oh = f.g(h (x))

= f(h (x)). g(h (x))

= (foh) . (goh)

= RHS

LHS = RHS 因此，证明了 (f . g) oh = (foh) . (goh)

3. 找到 gof 和 fog，如果

1. f (x) = |x| 且 g (x) = |5x - 2|
2. f (x) = 8x³ 且 g (x) = x^1/3

解决方案

(i) f (x) = |x| 且 g (x) = |5x - 2|

gof (x) = g(f (x)) = g(|x|)

= |5|x| - 2|

fog (x) = f(g (x)) = f (|5x - 2|)

= ||5x - 2|| = |5x - 2|

(ii) f (x) = 8x³ 且 g (x) = x^1/3

gof (x) = g(f (x)) = g(8x³)

= (8x³)^1/3 = 2x

fog (x) = f(g (x)) = f (x^1/3)

= 8(x^1/3)³ = 8x

4. 如果 f (x) = (4x + 3)/(6x - 4)，x ≠ 2/3，证明 f o f (x) = x 对于所有 x ≠ 2/3。f 的逆函数是什么？

解决方案

f (x) = (4x + 3)/(6x - 4)，x ≠ 2/3

fof (x) = f(f (x)) = f ((4x + 3)/(6x - 4))

= [4(4x + 3)/(6x - 4) + 3]/[6(4x + 3)/(6x - 4) - 4]

= [(16x + 12 + 18x - 12)/(6x - 4)]/[(24x + 18 - 24x + 16)/(6x - 4)]

= 34x/34 = x

因此，fof (x) = x 对于所有 x ≠ 2/3。

因此，fof = 1。给定的函数 f 是可逆的，其逆函数是 f 本身。

5. 说明以下函数是否有逆函数，并给出理由

1. f: {1, 2, 3, 4} → {10} 且
   f = {(1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10)}
2. g: {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4} 且
   g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
3. h: {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13} 且
   h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}

解决方案

(i) f: {1, 2, 3, 4} → {10} 定义为

f = {(1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10)}

f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 10

因此，f 是一个多对一函数。

因此，f 不是单射，这意味着它没有逆函数。

(ii) g: {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4} 定义为

g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}

g(5) = g(7) = 4

因此，g 是一个多对一函数。

因此，g 不是单射，这意味着它没有逆函数。

(iii) h: {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13} 定义为

h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}

集合 {2, 3, 4, 5} 的每个元素在函数 h 下都有一个不同的像。

因此，h 是单射。

对于集合 {7, 9, 11, 13} 中的每个元素 y，存在一个元素 x ∈ {2, 3, 4, 5} 使得 h(x) = y。

因此，h 是满射。

因此，h 是单射和满射，这意味着它有逆函数。

6. 证明 f: [-1, 1] → R，定义为 f (x) = x/(x + 2) 是单射。找到函数 f: [-1, 1] → 值域 f 的逆函数。

(提示：对于 y ∈ 值域 f，y = f (x) = x/(x + 2)，对于 [-1, 1] 中的某个 x，即 x = 2y/(1 - y))

解决方案

f: [-1, 1] → R 定义为 f (x) = x/(x + 2)

设 f (x) = f (y)

x/(x + 2) = y/(y + 2)

x(y + 2) = y(x + 2)

xy + 2x = xy + 2y

2x = 2y

x = y

因此，f 是单射。

函数 f: [-1, 1] → 值域 f 显然是一个满射函数。

因此，函数 f: [-1, 1] → 值域 f 既是单射也是满射，这意味着函数 f: [-1, 1] → 值域 f 的逆函数存在。

设函数 g: 值域 f → [-1, 1] 是 f: [-1, 1] → 值域 f 的逆函数。

设 y 是值域 f 的任意元素。

所以，

y = f (x) 对于 x ∈ [-1, 1]

y = x/(x + 2)

xy + 2y = x

xy - x = -2y

x(y - 1) = -2y

x(1 - y) = 2y

x = 2y/(1 - y)，y ≠ 1

g: 值域 f → [-1, 1] 定义为

g (y) = 2y/(1 - y)，y ≠ 1

因此，

gof (x) = g(f (x)) = g (x/(x + 2)) = 2(x/(x + 2))/(1 - x/(x + 2))

= [2x/(x + 2)]/[(x + 2 - x)/(x + 2)]

= 2x/(x + 2 - x)

= 2x/2 = x

fog (x) = f(g (x)) = f (2y/(1 - y)) = [2y/(1 - y)]/[2y/(1 - y) + 2]

= [2y(1 - y)]/[(2y + 2 - 2y)/(1 - y)]

= 2y/(2y - 2y + 2)

= 2y/2 = y

因此，gof = I_{[-1, 1]} 且 fog = I_{值域 f}

因此，f^-1 = g

f^-1 (y) = 2y/(1 - y)，y ≠ 1

7. 考虑 f: R → R 定义为 f (x) = 4x + 3。证明 f 是可逆的。找到 f 的逆函数。

解决方案

f: R → R 定义为

f (x) = 4x + 3

设 f (x) = f (y)

4x + 3 = 4y + 3

4x = 4y

x = y

因此，f 是单射。

对于某个 y ∈ R，设 y = 4x + 3

4x = y - 3

x = (y - 3)/4 ∈ R

对于 y ∈ R，存在 x = (y - 3)/4 ∈ R 使得

f (x) = f ((y - 3)/4) = 4 (y - 3)/4 + 3 = y - 3 + 3 = y

因此，f 是满射。

因此，f 既是单射也是满射，这意味着 f 的逆函数存在。

设函数 g: R → R 定义为 g (y) = (y - 3)/4

gof (x) = g(f (x)) = g(4x + 3) = [(4x + 3) - 3]/4

= 4x/4 = x

fog (y) = f(g (y)) = f ((y - 3)/4) = 4 (y - 3)/4 + 3 = y - 3 + 3 = y

因此，gof = I_R 且 fog = I_R

因此，f 的逆函数由 f^-1 (y) = g (y) = (y - 3)/4 给出。

8. 考虑 f: R₊ → [4, ∞) 定义为 f (x) = x² + 4。证明 f 是可逆的，其逆函数 f^-1 由 f^-1 (y) = √(y - 4) 给出，其中 R₊ 是所有非负实数的集合。

解决方案

f: R₊ → [4, ∞) 定义为 f (x) = x² + 4。

设 f (x) = f (y)

x² + 4 = y² + 4

x² = y²

x = y 因为 x, y ∈ R₊

因此，f 是单射。

对于 y ∈ [4, ∞)，设 y = x² + 4

x² = y - 4

x = √(y - 4)

对于 y ∈ [4, ∞)，存在 x = √(y - 4) ∈ R 使得

f (x) = f (√(y - 4)) = (√(y - 4))² + 4 = y - 4 + 4 = y

因此，f 是满射。

因此，f 既是单射也是满射，这意味着 f 的逆函数存在。

设函数 g: [4, ∞) → R₊ 定义为 g (y) = √(y - 4)

gof (x) = g(f (x)) = g(x² + 4) = √[(x² + 4) - 4] = √x² = x

fog (y) = f(g (y)) = f (√(y - 4)) = √(y - 4)² + 4 = y - 4 + 3 = y

因此，gof = I_R+ 且 fog = I_R+

因此，f 的逆函数由 f^-1 (y) = g (y) = √(y - 4) 给出。

9. 考虑 f: R₊ → [-5, ∞) 定义为 f (x) = 9x² + 6x - 5。证明 f 是可逆的，其逆函数 f^-1 为 f^-1 (y) = (√(y + 6) - 1)/3。

解决方案

f: R₊ → [-5, ∞) 定义为 f (x) = 9x² + 6x - 5

设 y 是 [-5, ∞) 的任意元素

设 y = 9x² + 6x - 5

y = 9x² + 6x + 1 - 1 - 5

y = (3x)² + 2(3x)(1) + 1² - 6

y = (3x + 1)² - 6

(3x + 1)² = y + 6

3x + 1 = √(y + 6) 因为 y ≥ -5 意味着 y + 6 > 0

3x = √(y + 6) - 1

x = (√(y + 6) - 1)/3

因此，f 是满射。

设函数 g: [-5, ∞) → R₊ 定义为 g (y) = (√(y + 6) - 1)/3

gof (x) = g(f (x)) = g (9x² + 6x - 5) = g ((3x + 1)² - 6)

= (√((3x + 1)² - 6 + 6) - 1)/3

= (√(3x + 1)² - 1)/3

= (3x + 1 - 1)/3

= 3x/3 = x

fog (y) = f(g (y)) = f ([√(y + 6) - 1]/3)

= [3(√(y + 6) - 1)/3 + 1]² - 6

= (√(y + 6))² - 6 = y + 6 - 6

= y

因此，gof = I_R+ 且 fog = I_{[-5, ∞)}

因此，f 是可逆的，f 的逆函数由 f^-1 (y) = g (y) = (√(y + 6) - 1)/3 给出。

10. 设 f: X → Y 是一个可逆函数。证明 f 有唯一的逆函数。
(提示：假设 g₁ 和 g₂ 是 f 的两个逆函数。那么对于所有 y ∈ Y，fog₁ (y) = I_Y (y) = fog₂ (y)。利用 f 的单射性)。

解决方案

设 f: X → Y 是一个可逆函数。

让我们假设 f 有两个逆函数 g₁ 和 g₂，那么对于所有 y ∈ Y，

fog₁ (y) = I_Y (y) = fog₂ (y)

f(g₁ (y)) = f(g₂ (y))

g₁ (y) = g₂ (y)

g₁ = g₂

因此，g 是单射。

因此，f 有唯一的逆函数。

11. 考虑 f: {1, 2, 3} → {a, b, c} 由 f (1) = a, f (2) = b 和 f (3) = c 给出。找到 f^-1 并证明 (f^-1)^-1 = f。

解决方案

f: {1, 2, 3} → {a, b, c} 由以下给出

f (1) = a, f (2) = b 和 f (3) = c

让我们定义 g: {a, b, c} → {1, 2, 3} 为 g (a) = 1, g (b) = 2 和 g (c) = 3，那么

fog (a) = f(g (a)) = f (1) = a

fog (b) = f(g (b)) = f (2) = b

fog (c) = f(g (c)) = f (3) = c

gof (1) = g(f (1)) = g (a) = 1

gof (2) = g(f (2)) = g (b) = 2

gof (3) = g(f (3)) = g (c) = 3

因此，goh = I_x 且 hog = I_y，X = {1, 2, 3} 且 Y = {a, b, c}

g 的逆函数存在

g^-1 = (f^-1)^-1 = h

f = h

因此，f = (f^-1)^-1

12. 设 f: X → Y 是一个可逆函数。证明 f^-1 的逆函数是 f，即 (f^-1)^-1 = f。

解决方案

f: X → Y 是一个可逆函数，那么存在一个函数 g: Y → X 使得 gof = I_X 且 fog = I_Y

f^-1 = g

gof = I_X 且 fog = I_Y

f^-1of = I_X 且 fof^-1 = I_Y

因此，f^-1: Y → X 是可逆的，f 是 f^-1 的逆函数，即 (f^-1)^-1 = f。

13. 如果 f: R → R 定义为 f (x) = (3 - x³)^1/3，那么 fof (x) 是

1. 1/x³
2. x³
3. x
4. (3 - x³)

解决方案

f: R → R 定义为 f (x) = (3 - x³)^1/3

fof (x) = f(f (x)) = f ((3 - x³)^1/3)

= [3 - ((3 - x³)^1/3)³]^1/3

= [3 - 3 + x³]^1/3

= (x³)^1/3

= x

因此，(C) 是正确答案。

14. 设 f: R - {-4/3} → R 是一个函数，定义为 f (x) = 4x/(3x + 4)。f 的逆函数是映射 g: 值域 f → R - {-4/3}，由以下给出

1. g (y) = 3y/(3 - 4y)
2. g (y) = 4y/(4 - 3y)
3. (C) g (y) = 4y/(3 - 4y)
4. g (y) = 3y/(4 - 3y)

解决方案

f: R - {-4/3} → R 定义为 f (x) = 4x/(3x + 4)

设 y 是值域 f 的任意元素，那么存在 x ∈ R - {-4/3} 使得

f (x) = y

y = 4x/(3x + 4)

y(3x + 4) = 4x

3xy + 4y = 4x

4x - 3xy = 4y

x(4 - 3y) = 4y

x = 4y/(4 - 3y)

设存在函数 g: 值域 f → R - {-4/3} 定义为 g (y) = 4y/(4 - 3y)

gof (x) = g(f (x)) = g (4x/(3x + 4))

= 4(4x/(3x + 4))/(4 - 3(4x/(3x + 4)))

= [16x/(3x + 4)]/[(4(3x + 4) - 12x)/(3x + 4)]

= 16x/(12x + 16 - 12x)

= 16x/16 = x

fog (y) = f(g (y)) = f (4y/(4 - 3y))

= 4(4y/(4 - 3y))/(3(4y/(4 - 3y)) + 4)

= [16y/(4 - 3y)]/[(12y + 4(4 - 3y))/(4 - 3y)]

= 16y/(12y + 16 - 12y)

= 16y/16 = y

因此，gof = I_{R - [-4/3]} 且 fog = I_{值域 f}

因此，f 的逆函数是映射 g: 值域 f → R - {-4/3}，由 g (y) = 4y/(4 - 3y) 给出。

因此，(B) 是正确答案。

练习1.4

1. 确定以下每个定义是否给出了二元运算。如果 * 不是二元运算，请给出理由。

1. 在 Z⁺ 上，定义 * 为 a * b = a - b
2. 在 Z⁺ 上，定义 * 为 a * b = ab
3. 在 R 上，定义 * 为 a * b = ab²
4. 在 Z⁺ 上，定义 * 为 a * b = |a - b|
5. 在 Z⁺ 上，定义 * 为 a * b = a

解决方案

(i) 在 Z⁺ 上，* 定义为 a * b = a - b

考虑在 * 下的 (1, 2)

1 * 2 = 1 - 2 = -1

(1, 2) 在 * 下的像是 -1 ∉ Z⁺。

因此，* 不是二元运算。

(ii) 在 Z⁺ 上，* 定义为 a * b = ab

对于每个 a, b ∈ Z⁺，存在一个唯一的元素 ab ∈ Z⁺。

因此，* 是一个二元运算。

(iii) 在 R 上，* 定义为 a * b = ab²

对于每个 a, b ∈ Z⁺，存在一个唯一的元素 ab² ∈ Z⁺。

因此，* 是一个二元运算。

(iv) 在 Z⁺ 上，* 定义为 a * b = |a - b|

对于每个 a, b ∈ Z⁺，存在一个唯一的元素 |a - b| ∈ Z⁺。

因此，* 是一个二元运算。

(v) 在 Z⁺ 上，* 定义为 a * b = a

对于每个 a, b ∈ Z⁺，存在一个唯一的元素 a ∈ Z⁺。

因此，* 是一个二元运算。

2. 对于下面定义的每个二元运算 *，确定 * 是否是可交换或结合的。

1. 在 Z 上，定义 a * b = a - b
2. 在 Q 上，定义 a * b = ab + 1
3. 在 Q 上，定义 a * b = ab/2
4. 在 Z⁺ 上，定义 a * b = 2^ab
5. 在 Z⁺ 上，定义 a * b = a^b
6. 在 R - {-1} 上，定义 a * b = a/(b + 1)

解决方案

(i) 在 Z 上，* 定义为 a * b = a - b

考虑在 * 下的 (1, 2) ∈ Z

1 * 2 = 1 - 2 = -1

考虑在 * 下的 (2, 1) ∈ Z

2 * 1 = 2 - 1 = 1

1 * 2 ≠ 2 * 1

因此，运算 * 不可交换。

现在，

(1 * 2) * 3 = (1 - 2) - 3 = -1 - 3 = -4

1 * (2 * 3) = 1 - (2 - 3) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2

(1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3)

因此，运算 * 不结合。

(ii) 在 Q 上，* 定义为 a * b = ab + 1

我们知道

对于所有 a, b ∈ Q，ab = ba

对于所有 a, b ∈ Q，ab + 1 = ba + 1

a * b = ab + 1

b * a = ba + 1

所以，

对于所有 a, b ∈ Q，a * b = b * a。

因此，运算 * 可交换。

现在，

(1 * 2) * 3 = (1 × 2 + 1) × 3 + 1 = (2 + 1) (3) + 1 = 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10

1 * (2 * 3) = 1 × (2 × 3 + 1) + 1 = (6 + 1) + 1 = 8

(1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3)

因此，运算 * 不结合。

(iii) 在 Q 上，* 定义为 a * b = ab/2

我们知道

对于所有 a, b ∈ Q，ab = ba

对于所有 a, b ∈ Q，ab/2 = ba/2

a * b = ab/2

b * a = ba/2

所以，

对于所有 a, b ∈ Q，a * b = b * a。

因此，运算 * 可交换。

现在，

(a * b) * c = (ab/2) * c = (ab/2)c/2 = abc/4

a * (b * c) = a * (bc/2) = a(bc/2)/2 = abc/4

(a * b) * c = a * (b * c)

因此，运算 * 结合。

(iv) 在 Z⁺ 上，* 定义为 a * b = 2^ab

我们知道

对于所有 a, b ∈ Z⁺，ab = ba

对于所有 a, b ∈ Z⁺，2^ab = 2^ba

a * b = 2^ab

b * a = 2^ba

所以，

对于所有 a, b ∈ Z⁺，a * b = b * a

因此，运算 * 可交换。

现在，

(1 * 2) * 3 = (2^{1 × 2}) * 3 = 4 * 3 = 2^{4 × 3} = 2¹²

1 * (2 * 3) = 1 * (2^{2 × 3}) = 1 * 2⁶ = 1 * 64 = 2^{64 × 1} = 2⁶⁴

(1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3)

因此，运算 * 不结合。

(v) 在 Z⁺ 上，* 定义为 a * b = a^b

考虑在 * 下的 (1, 2) ∈ Z⁺

1 * 2 = 1² = 1

考虑在 * 下的 (2, 1) ∈ Z⁺

2 * 1 = 2¹ = 2

1 * 2 ≠ 2 * 1

因此，运算 * 不可交换。

现在，

(2 * 3) * 4 = 2³ * 4 = 8 * 4 = 8⁴ = 2¹²

2 * (3 * 4) = 2 * 3⁴ = 2 * 81 = 2⁸¹

(2 * 3) * 4 ≠ 2 * (3 * 4)

因此，运算 * 不结合。

(vi) 在 R - {-1} 上，* 定义为 a * b = a/(b + 1)

考虑在 * 下的 (1, 2) ∈ R - {-1}

1 * 2 = 1/(2 + 1) = 1/3

考虑在 * 下的 (2, 1) ∈ r - {-1}

2 * 1 = 2/(1 + 1) = 2/2 = 1

1 * 2 ≠ 2 * 1

因此，运算 * 不可交换。

现在，

(1 * 2) * 3 = 1/(2 + 1) * 3 = 1/3 * 3 = (1/3)/(3 + 1) = (1/3)/4 = 1/12

1 * (2 * 3) = 1 * 2/(3 + 1) = 1 * 2/4 = 1 * 1/2 = 1/(1/2 + 1) = 1/(3/2) = 2/3

(1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3)

因此，运算 * 不结合。

3. 考虑在集合 {1, 2, 3, 4, 5} 上的二元运算 v 定义为 a v b = min {a, b}。写出运算 v 的运算表。

解决方案

在集合 {1, 2, 3, 4, 5} 上的二元运算 v 定义为对于所有 a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}，a v b = min {a, b}

因此，运算表将是

4. 考虑在集合 {1, 2, 3, 4, 5} 上的二元运算 *，由以下乘法表给出。

1. 计算 (2 * 3) * 4 和 2 * (3 * 4)
2. * 是否可交换？
3. 计算 (2 * 3) * (4 * 5)。

(提示：使用下表)

解决方案

(i) (2 * 3) * 4 = 1 * 4 = 1

2 * (3 * 4) = 2 * 1 = 1

(ii) 对于任何 a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}，我们有 a * b = b * a。因此，运算 * 可交换。

(iii) (2 * 3) = 1 且 (4 * 5) = 1

(2 * 3) * (4 * 5) = 1 * 1 = 1

5. 设 *' 是在集合 {1, 2, 3, 4, 5} 上的二元运算，定义为 a *' b = a 和 b 的最大公约数 (H.C.F.)。运算 *' 是否与练习 4 中定义的运算 * 相同？证明你的答案。

解决方案

在集合 {1, 2, 3, 4, 5} 上的二元运算 *' 定义为 a *' b = a 和 b 的最大公约数。因此，运算 *' 的运算表将是

运算 *' 的运算表与运算 * 的运算表相同。

因此，运算 *' 与运算 * 相同。

6. 设 * 是 N 上的二元运算，定义为 a * b = a 和 b 的最小公倍数 (L.C.M.)。找到

1. 5 * 7, 20 * 16
2. * 是否可交换？
3. * 是否结合？
4. 找到 * 在 N 中的单位元。
5. N 中哪些元素对于运算 * 是可逆的？

解决方案

N 上的二元运算 * 定义为 a * b = a 和 b 的最小公倍数。

(i) 5 * 7 = 5 和 7 的最小公倍数 = 35

20 * 16 = 20 和 16 的最小公倍数 = 80

(ii) 对于所有 a, b ∈ N，a 和 b 的最小公倍数 = b 和 a 的最小公倍数

因此，a * b = b * a

(iii) 对于 a, b, c ∈ N，我们有

(a * b) * c = (a 和 b 的最小公倍数) * c = a, b 和 c 的最小公倍数

a * (b * c) = a * (b 和 c 的最小公倍数) = a, b 和 c 的最小公倍数

(a * b) * c = a * (b * c)

因此，运算 * 结合。

(iv) 对于所有 a ∈ N，a 和 1 的最小公倍数 = 1 和 a 的最小公倍数

a * 1 = 1 * a

因此，* 在 N 中的单位元是 1。

(v) N 中的元素 a 对于运算 * 是可逆的，如果存在 N 中的元素 b，使得 a * b = e = b * a。

现在，e = 1。所以，

a 和 b 的最小公倍数 = 1 = b 和 a 的最小公倍数

这只有在 a 和 b 都等于 1 时才可能。

因此，1 是在运算 * 下 N 中唯一的可逆元素。

7. 在集合 {1, 2, 3, 4, 5} 上定义的 * 运算为 a * b = a 和 b 的最小公倍数，它是一个二元运算吗？证明你的答案。

解决方案

在集合 {1, 2, 3, 4, 5} 上的运算 * 定义为 a * b = a 和 b 的最小公倍数。

运算 * 的运算表将是

3 * 2 = 2 * 3 = 6 ∉ {1, 2, 3, 4, 5}

5 * 2 = 2 * 5 = 10 ∉ {1, 2, 3, 4, 5}

3 * 5 = 5 * 3 = 15 ∉ {1, 2, 3, 4, 5}

3 * 4 = 4 * 3 = 12 ∉ {1, 2, 3, 4, 5}

5 * 4 = 4 * 5 = 20 ∉ {1, 2, 3, 4, 5}

因此，运算 * 不是二元运算。

8. 设 * 是 N 上的二元运算，定义为 a * b = a 和 b 的最大公约数。* 是否可交换？* 是否结合？这个二元运算在 N 上是否存在单位元？

解决方案

N 上的二元运算 * 定义为 a * b = a 和 b 的最大公约数

对于所有 a, b ∈ N，a 和 b 的最大公约数 = b 和 a 的最大公约数。

所以，a * b = b * a

因此，运算 * 可交换。

对于 a, b, c ∈ N

(a * b) * c = (a 和 b 的最大公约数) * c = a, b 和 c 的最大公约数

a * (b * c) = a * (b 和 c 的最大公约数) = a, b 和 c 的最大公约数

所以，(a * b) * c = a * (b * c)

因此，运算 * 结合。

现在，如果对于所有 a ∈ N，a * i = a = i * a，那么元素 i ∈ N 将是运算 * 的单位元。

但对于任何 a ∈ N，a * i = a = i * a 都不成立。

因此，运算 * 在 N 中没有单位元。

9. 设 * 是有理数集 Q 上的二元运算，定义如下

1. a * b = a - b
2. a * b = a² + b²
3. a * b = a + ab
4. a * b = (a - b)²
5. a * b = ab/4
6. a * b = ab²

找出哪些二元运算是可交换的，哪些是结合的。

解决方案

(i) Q 上的运算 * 定义为 a * b = a - b

1/2 * 1/3 = 1/2 - 1/3 = (3 - 2)/6 = 1/6

1/3 * 1/2 = 1/3 - 1/2 = (2 - 3)/6 = -1/6

1/2 * 1/3 ≠ 1.3 * 1/2

因此，运算 * 不可交换。

对于 1/2, 1/3, 1/4 ∈ Q

(1/2 * 1/3) * 1/4 = (1/2 - 1/3) * 1/4 = 1/6 * 1/4

= 1/6 - 1/4 = (2 - 3)/12 = -1/12

1/2 * (1/3 * 1/4) = 1/2 * (1/3 - 1/4) = 1/2 * (4 - 3)/12

= 1/2 * 1/12 = 1/2 - 1/12 = (6 - 1)/12 = 5/12

(1/2 * 1/3) * 1/4 ≠ 1/2 * (1/3 * 1/4)

因此，运算 * 不结合。

(ii) Q 上的运算 * 定义为 a * b = a² + b²

对于 a, b ∈ Q

a * b = a² + b²

b * a = b² + a²

显然，a² + b² = b² + a²

a * b = b * a

因此，运算 * 可交换。

对于 1, 2, 3 ∈ Q

(1 * 2) * 3 = (1² + 2²) * 3 = (1 + 4) * 3 = 5 * 3

= 5² + 3² = 25 + 9 = 34

1 * (2 * 3) = 1 * (2² + 3²) = 1 * (4 + 9) = 1 * 13

= 1² + 13² = 1 + 169 = 170

(1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3)

因此，运算 * 不结合。

(iii) Q 上的运算 * 定义为 a * b = a + ab

1 * 2 = 1 + 1 × 2 = 1 + 2 = 3

2 * 1 = 2 + 2 × 1 = 2 + 2 = 4

1 * 2 ≠ 2 * 1

因此，运算 * 不可交换。

对于 1, 2, 3 ∈ Q

(1 * 2) * 3 = (1 + 1 × 2) * 3 = (1 + 2) * 3 = 3 * 3

= 3 + 3 × 3 = 3 + 9 = 12

1 * (2 * 3) = 1 * (2 + 2 × 3) = 1 * (2 + 6) = 1 * 8

= 1 + 1 × 8 = 1 + 8 = 9

(1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3)

因此，运算 * 不结合。

(iv) Q 上的运算 * 定义为 a * b = (a - b)²

对于 a, b ∈ Q

a * b = (a - b)²

b * a = (b - a)²

(b - a)² = [-(a - b)]² = (a - b)²

a * b = b * a

因此，运算 * 可交换。

对于 1, 2, 3, ∈ Q

(1 * 2) * 3 = (1 - 2)² * 3 = (-1)² * 3 = 1 * 3

= (1 - 3)² = (-2)² = 4

1 * (2 * 3) = 1 * (2 - 3)² = 1 * (-1)² = 1 * 1

= (1 - 1)² = 0² = 0

(1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3)

因此，运算 * 不结合。

(v) Q 上的运算 * 定义为 a * b = ab/4

对于 a, b ∈ Q

a * b = ab/4

b * a = ba/4

ab = ba

ab/4 = ba/4

a * b = b * a

因此，运算 * 可交换。

对于 a, b, c ∈ Q

(a * b) * c = ab/4 * c = abc/4(4) = abc/16

a * (b * c) = a * bc/4 = abc/4(4) = abc/16

(a * b) * c = a * (b * c)

因此，运算 * 结合。

(vi) Q 上的运算 * 定义为 a * b = ab²

对于 1/2, 1/3 ∈ Q

1/2 * 1/3 = 1/2 × (1/3)² = 1/2 × 1/9 = 1/18

1/3 * 1/2 = 1/3 × (1/2)² = 1/3 × 1/4 = 1/12

1/2 * 1/3 ≠ 1/3 * 1/2

因此，运算 * 不可交换。

对于 1/2, 1/3, 1/4 ∈ Q

(1/2 * 1/3) * 1/4 = 1/2 × (1/3)² * 1/4 = 1/2 × 1/9 * 1/4 = 1/18 * 1/4

= 1/18 × (1/4)² = 1/18 × 1/16 = 1/288

1/2 * (1/3 * 1/4) = 1/2 * (1/3 × (1/4)²) = 1/2 * (1/3 × 1/16) = 1/2 * 1/48

= 1/2 × (1/48)² = 1/2 × 1/2304 = 1/4608

(1/2 * 1/3) * 1/4 ≠ 1/2 * (1/3 * 1/4)

因此，运算 * 不结合。

10. 找出上述运算中哪些具有恒等元。

解决方案

如果对于所有 a ∈ Q，元素 e ∈ Q 是 Q 上的运算 * 的恒等元，则

a * e = e = e * a。

在上述六个运算中，没有这样的元素。

因此，这六个运算都没有恒等元。

11. 设 A = N × N，且 * 是 A 上定义的二元运算 (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d)
证明 * 是可交换的和结合的。如果存在，找出 A 上 * 的恒等元。

解决方案

A = N × N

A 上的运算 * 定义为 (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d)

对于 (a, b), (c, d) ∈ A

(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d)

(c, d) * (a, b) = (c + a, d + b)

c + a = a + c 且 b + d = d + b

(a, b) * (c, d) = (c, d) * (a, b)

因此，运算 * 可交换。

对于 (a, b), (c, d), (e, f) ∈ A

((a, b) * (c, d)) * (e, f) = (a + c, b + d) * (e, f) = (a + c + e, b + d + f)

(a, b) * ((c, d) * (e, f)) = (a, b) * (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)

((a, b) * (c, d)) * (e, f) = (a, b) * ((c, d) * (e, f))

因此，运算 * 结合。

如果 a * e = e = e * a，其中 a = (a₁, a₂) ∈ A，则元素 e = (e₁, e₂) ∈ A 将是运算 * 的恒等元，但这对于 A 中的任何元素都不成立。

因此，运算 * 不具有任何恒等元。

12. 判断下列陈述是真还是假。并说明理由。

1. 对于集合 N 上的任意二元运算 *，对于所有 a ∈ N，a * a = a
2. 如果 * 是 N 上的可交换二元运算，那么 a * (b * c) = (c * b) * a

解决方案

(i) N 上的二元运算 * 定义为 a * b = a + b

对于 a = b = 3 ∈ N

3 * 3 = 3 + 3 = 6 ≠ 3

因此，给定陈述为假。

(ii) 左侧 = a * (b * c) = a * (c * b)，因为运算 * 是可交换的

a * (c * b) = (c * b) * a = 右侧，因为运算 * 是可交换的

因此，给出的陈述是正确的。

13. 考虑 N 上的二元运算 * 定义为 a * b = a³ + b³。选择正确答案。

1. * 既结合又可交换
2. * 可交换但不可结合
3. * 可结合但不可交换
4. * 既不可交换也不可结合

解决方案

N 上的运算 * 定义为 a * b = a³ + b³

对于 a, b ∈ N

a * b = a³ + b³

b * a = b³ + a³

显然，a³ + b³ = b³ + a³

a * b = b * a

因此，运算 * 可交换。

对于 1, 2, 3 ∈ N

(1 * 2) * 3 = (1³ + 2³) * 3 = (1 + 8) * 3 = 9 * 3

= 9³ + 3³ = 729 + 27 = 756

1 * (2 * 3) = 1 * (2³ + 3³) = 1 * (8 + 27) = 1 * 35

= 1³ + 35³ = 1 + 42875 = 42876

(1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3)

因此，运算 * 不结合。

因此，正确答案是 (B)。

杂项练习

1. 证明函数 f : R → {x ∈ R : - 1 < x < 1}，定义为 f (x) = x/(1 + |x|)，x ∈ R 是一对一且满射的函数。

解决方案

f: R → {x ∈ R: -1 < 1} 定义为 f (x) = x/(1 + |x|)，x ∈ R

检查单射

取 x, y ∈ R 使得

f (x) = f (y)

x/(1 + |x|) = y/(1 + |y|)

如果 x 为正，y 为负

x/(1 + x) = y/(1 - y)

x(1 - y) = y(1 + x)

x - xy = y + xy

2xy = x - y

2xy 为负，因为 y 为负，即 2xy < 0

但是，x > 0 且 y < 0，所以 x > y，这意味着 x - y > 0

因此，2xy ≠ x - y

如果 x 为负，y 为正

x/(1 - x) = y/(1 + y)

x + xy = y - xy

2xy = y - x

2xy 为负，因为 x 为负，即 2xy < 0

但是，y > 0 且 x < 0，所以 y > x，这意味着 y - x > 0

因此，2xy ≠ y - x

如果 x 和 y 都为正

f (x) = f (y)

x/(1 + x) = y/(1 + y)

x + xy = y + x

x = y

如果 x 和 y 都为负

f (x) = f (y)

x/(1 - x) = y/(1 - y)

x - xy = y - xy

x = y

因此，f 是单射。

检查满射

对于 y ∈ R 且 -1 < y < 1

如果 y 为负，存在 x = y/(1 + y) ∈ R 使得

f (x) = f (y/(1 + y))

= (y/(1 + y))/(1 + |y/(1 + y)|)

= (y/(1 + y))/(1 - y/(1 + y))

= y/(1 + y - y) = y

如果 y 为正，存在 x = y/(1 - y) ∈ R 使得

f (x) = f (y/(1 - y))

= (y/(1 - y))/(1 + |y/(1 - y)|)

= (y/(1 - y))/(1 + y/(1 - y))

= y/(1 - y + y) = y

因此，f 是满射。

因此，给定函数 f 既是一对一又是满射的。

2. 证明函数 f : R → R，定义为 f (x) = x³ 是内射的。

解决方案

f: R → R 定义为 f (x) = x³

取 x, y ∈ R 使得

f (x) = f (y)

x³ = y³

两边取立方根

x = y

因此，f 是内射的。

3. 给定一个非空集合 X，考虑 P(X)，它是 X 的所有子集的集合。在 P(X) 中定义关系 R 如下：对于 P(X) 中的子集 A, B，当且仅当 A ⊂ B 时，ARB。R 是 P(X) 上的等价关系吗？请说明理由。

解决方案

我们知道每个集合都是它自身的子集，所以对于所有 A ∈ P(X)，ARA。

因此，关系 R 是自反的。

设 ARB 意味着 A ⊂ B。这种蕴含对于 B ⊂ A 不可能。

如果 A = B + {x}，那么 A ⊂ B 但 B ⊄ A。

因此，关系 R 不是对称的。

如果 ARB 且 BRC，那么可以推断 A ⊂ B 且 B ⊂ C，这意味着 A ⊂ C。

所以，ARC。

因此，关系 R 是传递的。

所以，R 不是等价关系。

4. 找出从集合 {1, 2, 3,......, n} 到其自身的满射函数的总数。

解决方案

从集合 {1, 2, 3, …, n} 到其自身的满射函数的数量将等于 n 个元素 1, 2, 3, …, n 的排列数。

因此，从集合 {1, 2, 3, …, n} 到其自身的满射函数的总数为 n!。

5. 设 A = {- 1, 0, 1, 2}，B = {- 4, - 2, 0, 2}，且 f, g : A → B 是定义为 f (x) = x² - x，x ∈ A 和 g (x) = 2|x - 1/2| - 1，x ∈ A 的函数。f 和 g 相等吗？
请说明理由。(提示：可以注意，如果对于所有 a ∈ A，两个函数 f : A → B 和 g : A → B 使得 f (a) = g(a)，则它们被称为相等函数)。

解决方案

A = {-1, 0, 1, 2} 且 B = {-4, -2, 0, 2}

f, g: A → B 定义为

f (x) = x² - x 且 g (x) = 2 |x - 1/2| - 1, x ∈ A。

f (-1) = (-1)² - (-1) = 1 + 1 = 2

g (-1) = 2 |-1 - 1/2| - 1 = 2 |-3/2| - 1

= 2 (3/2) - 1 = 3 - 1 = 2

f (-1) = g (-1)

f (0) = 0² - 0 = 0

g (0) = 2|0 - 1/2| - 1 = 2(1/2) - 1 = 1 - 1 = 0

f (0) = g (0)

f (1) = 1² - 1 = 0

g (1) = 2|1 - 1/2| - 1 = 2(1/2) - 1 = 1 - 1 = 0

f (1) = g (1)

因此，对于所有 a ∈ A，f (a) = g (a)。

因此，函数 f 和 g 相等。

6. 设 A = {1, 2, 3}。那么包含 (1, 2) 和 (1, 3) 且是自反、对称但不传递的关系的数量是

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

解决方案

A = {1, 2, 3}

包含 (1, 2) 和 (1, 3) 且是自反、对称但不传递的最小关系 = R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)}

R 是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R。

R 是对称的，因为对于 (1, 2), (1, 3) ∈ R，(2, 1), (3, 1) ∈ R 也成立。

R 不是传递的，因为 (3, 1), (1, 2) ∈ R 但 (3, 2) ∉ R。

因此，包含 (1, 2) 和 (1, 3) 且是自反、对称但不传递的关系的数量是 1。

因此，正确答案是 A。

7. 设 A = {1, 2, 3}。那么包含 (1, 2) 的等价关系的数量是

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

解决方案

A = {1, 2, 3}

包含 (1, 2) 的最小等价关系 = R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3)}

R 是自反的，因为 (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R。

R 是对称的，因为如果 (1, 2) ∈ R，那么 (2, 1) ∈ R。

R 是传递的，因为如果 (2, 1), (1, 2) ∈ R，那么 (2, 2) ∈ R。

R 是一个等价关系。

唯一其他可能包含 (1, 2) 的等价关系是通用关系。

因此，包含 (1, 2) 的等价关系的数量是 2。

因此，正确答案是 B。