11 年级物理 第 14 章：振动的 NCERT 解决方案

在本文中，我们介绍了NCERT 11年级物理第14章振荡的解决方案。这是任何类型竞争性考试以及会考考试最重要的章节之一。根据最新的2022-23年CBSE教学大纲修订，学科专家开发了这些解决方案。通过阅读Javatpoint的这些解决方案，学生可以快速掌握振荡的基本原理。在11年级，学生开始为JEE Main和JEE Advanced等各种竞争性考试做准备，这些解决方案将为他们的准备提供助力。

振荡是物理学中最基础的章节之一。参考Javatpoint提供的NCERT解决方案将有助于学生理解本章讲授的基本概念。由相关领域具有深厚专业知识的知识渊博的教职员工开发答案。根据CBSE考试模式中为每个主题分配的加权分数，他们确保为学生提供出色的解决方案。

NCERT 11年级物理第14章解决方案

问题 1

以下哪个例子代表周期性运动？

1. 游泳者从河的一岸游到另一岸再游回来，完成一次（往返）行程。
2. 一个自由悬挂的条形磁铁，从N-S方向被位移然后释放。
3. 一个氢分子围绕其质心旋转。
4. 从弓上射出的箭。

解决方案

1. 游泳者来回移动，但周期不固定。因此，运动不是周期的。
2. 悬挂条形磁铁的运动是周期的，因为它以固定的时间间隔围绕其原点振荡。
3. 氢分子围绕质心以等间隔的周期性运动旋转，返回其初始位置。
4. 射出的箭不回头；它只是向前飞。这种运动不是周期的。

问题2

以下哪个例子代表（近似）简谐运动，哪个代表周期性运动但不是简谐运动？

1. 地球绕其轴线的自转。
2. U形管中振荡的汞柱的运动。
3. 一个光滑曲面碗内滚珠的运动，当从略高于最低点的位置释放时。
4. 多原子分子围绕其平衡位置的普遍振动。

解决方案

1. 简谐运动需要往复运动，而地球自转不提供这种运动。因此，它不是简谐运动。
2. 由于这是周期性运动，因此这种运动是简谐运动。
3. 这种振荡运动是周期性的，并且围绕其平均位置周期性，因此被称为简谐运动。
4. 虽然它不总是简谐运动，但多原子分子围绕其平均位置的普遍振荡是周期性的。

问题3

图14.23显示了一个粒子的线性运动的四个 x-t 图。哪些图代表周期性运动？（在周期性运动的情况下）运动的周期是多少？

图14.23

解决方案

1. 鉴于没有重复且运动是单向的，因此不能认为是周期的。
2. 这是周期性运动，因为粒子的运动每两秒重复一次。
3. 这种运动不是周期性的，因为粒子只重复一次，而周期性运动在整个运动过程中都会重复。
4. 因为粒子的运动每两秒重复一次，所以它是周期性运动。

问题4

以下哪个时间函数代表（a）简谐、（b）周期性但非简谐、（c）非周期性运动？给出周期性运动的每个情况的周期（ω 是任何正常数）

1. sin ωt - cos ωt
2. sin³ ωt
3. 3 cos (π/4 - 2ωt)
4. cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt
5. exp (-ω²t²)
6. 1 + ωt + ω²t2

解决方案

a.) 给定的函数是 sinωt-cos ωt

简谐运动 (SHM) 通常由以下方程表示

b.) 给定的函数是 sin³ ωt

设给定的函数为 f(x)，则可写成：

如果我们将方程（iv）与简谐运动的一般方程（i）进行比较，我们会发现每个单独的函数都代表简谐运动。然而，两个波的叠加不是简谐运动。虽然方程（iv）不代表简谐运动的正确方程，但产生的波是周期性的。

d.) 我们给出的函数是 cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt

设给定的函数为 f(x)。

因此，

f(x) = cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt

= cos (ωt + 0 × ∅) + cos (ωt + 3 × ∅) + cos (ωt + 5 × ∅) ...(vii)

比较方程（vii）和（v）后，我们得出结论：虽然每个单独的函数都代表简谐运动，但两个波的叠加则不然。虽然不是简谐运动，但产生的波是周期性的。

因此，给定的函数 cos ωt+cos 3ωt + cos 5ωt 不代表简谐运动。

e.) 给定的函数是 exp (-ω²t²)

设给定的函数为 f(x)。因此，

f(x) = exp (-ω²t²)

给定的函数是一个指数函数。指数函数中没有围绕固定点的重复运动。由于它们不是周期性的，所以它们不属于简谐运动。然而，并非所有简谐运动都是周期性的。

因此，给定的函数 exp (-ω²t²) 不代表简谐运动。

f.) 我们给出函数 1 + ωt + ω²t²

设给定的函数为 f(x)。因此，

f(x) = 1 + ωt + ω²t²

给定的函数是二次函数。与围绕固定点的运动不同，二次方程不会重复。它们也不是简谐运动，因为它们不是周期性的。

因此，给定的函数 1 + ωt + ω²t² 不代表简谐运动。

问题5

一个粒子在相距10厘米的A和B两点之间进行线性简谐运动。以从A到B的方向为正方向，并给出粒子在以下情况下的速度、加速度和力的符号：

1. 在A端
2. 在B端
3. 在AB的中点，朝A方向移动
4. 在离B 2厘米处，朝A方向移动
5. 在离A 3厘米处，朝B方向移动
6. 在离B 4厘米处，朝A方向移动

解决方案

在A和B之间，有一个粒子在进行简谐运动。A和B相距10厘米。

A方向是正方向，从A到B。

a.) A和B是下方图片中的两个端点，O代表它们的中点。

在极端点A和B，如果粒子在这些位置之间进行简谐运动，粒子是静止的。极端点的速度为零。

在A点，粒子有向O方向运动的趋势，以继续运动。因此，O是加速度的方向。沿AB向右移动。沿AO经历正加速度。由于加速度沿右方向运动，力也为正。

因此，在极端点A的速度为零。存在正的力和加速度。

b.) 下图描绘了A和B两个端点的中点O。

在极端点A和B，如果粒子在这些位置之间进行简谐运动，粒子是静止的。极端点的速度为零。

粒子开始向O移动，在B点是为了继续运动。因此，O是加速度的方向。沿AB向右移动。沿BO向左加速。与加速度方向一致，力也为负。

因此，在极端点B的速度为零。存在负加速度和力。

c.) 下图描绘了A和B两个端点的中点O。

粒子正在进行简谐运动。O点代表粒子的平均位置。该点的速度最大。粒子沿与B相反的方向移动，速度为负。

在其平均位置，没有净力。因此，其平均位置的加速度也为零。

因此，O点的速度最大。没有加速度或力。

A和B是两个端点，O代表下方图中的中点

粒子从B点向O点移动。与通常从A到B的正面方向不同，运动是相反的方向。

因此，粒子的速度、加速度和力都是负的。

A和B是两个端点，O代表下方图中的中点。

粒子从A点向O点移动。从A点到B点的运动是正方向。

因此，粒子的速度、加速度和力都是正的。

A和B是两个端点，O代表下方图中的中点。

粒子从B点向O点移动。与通常从A到B的正面方向不同，运动是相反的方向。

因此，粒子的速度、加速度和力都是负的。

问题6

以下哪个加速度 a 和粒子位移 x 之间的关系涉及简谐运动？

1. a = 0.7x
2. a = -200x²
3. a = -10x
4. a = 100x³

解决方案

我们知道简谐运动的条件，即加速度与粒子位移成反比。

因此，如果我们取 a 作为执行简谐运动的物体的加速度，x 作为位移，那么我们可以写出方程：

a = -kx (k 是任何常数) . . . (i)

a.) a = 0.7x

如果我们将上述方程与方程（i）进行比较，我们会注意到它们的格式不同。因此，我们得出结论，它不是简谐运动。

b.) a = -200 x²

如果我们将上述方程与方程（i）进行比较，我们会注意到它们的格式不同。因此，我们得出结论，它不是简谐运动。

c.) a = -10 x

如果我们将上述方程与方程（i）进行比较，我们会注意到方程是同一类型的。因此，我们得出结论，它是简谐运动。

d.) a = 100 x³

如果我们将上述方程与方程（i）进行比较，我们会注意到它们的格式不同。因此，我们得出结论，它不是简谐运动。

问题7

执行简谐运动的粒子的运动由位移函数描述：

x(t) = A cos (ωt + φ )

如果粒子在初始（t = 0）位置是 1 厘米，其初始速度是 ω 厘米/秒，那么它的振幅和初始相位角是多少？粒子的角频率是 π s^-1。如果不是使用余弦函数，而是使用正弦函数来描述简谐运动：x = B sin (ωt + α)，那么对于上述初始条件，粒子的振幅和初始相位是多少。

解决方案

问题8

弹簧秤的刻度范围从 0 到 50 千克。刻度的长度为 20 厘米。悬挂在该秤上的物体，在被位移并释放后，以 0.6 秒的周期振荡。物体的重量是多少？

解决方案

刻度可以读取的最大质量为，M = 50 千克

弹簧的最大位移=刻度长度，l = 20 厘米 = 0.2 米

周期，T = 0.6 秒

问题9

一根弹簧，弹簧常数为 1200 N m^-1，安装在水平桌面上，如图 14.24 所示。一个 3 千克的质量被连接到弹簧的自由端。然后将质量横向拉动 2.0 厘米并释放。

图14.24

确定

1. 振荡的频率
2. 质量的最大加速度，以及
3. 质量的最大速度。

解决方案

问题10

在练习题 14.9 中，让我们以弹簧未拉伸时的质量位置为 x = 0，并以从左到右的方向为 x 轴的正方向。给出振荡质量的 x 作为时间 t 的函数，如果我们在开始秒表（t = 0）时，质量是

1. 在平均位置，
2. 在最大拉伸位置，以及
3. 在最大压缩位置。这些简谐运动的函数在频率、振幅或初始相位方面有何不同？

解决方案

质量横向移动的距离，a = 2.0 厘米

振荡的角频率

(a) 由于时间是从平均位置开始计数的，

使用关系式 x = a sin ωt

我们得到，x = 2 sin 20 t

(b) 在最大拉伸位置，物体位于最右侧位置，初始相位为 π / 2 弧度。然后，

(c) 在最大压缩位置，物体位于最左侧位置，初始相位为 3π / 2 弧度。

函数在振幅和频率上都没有差异。它们在初始相位上不同。

问题11

图 14.25 对应于两个圆周运动。每个图上都标有圆的半径、旋转周期、初始位置和旋转方向（即顺时针或逆时针）。

图14.25

在每种情况下，求出旋转粒子 P 的半径向量的 x 投影所对应的简谐运动。

解决方案

a.) 周期，t = 2 秒

振幅，A = 3 厘米

在时间 t = 0 时，半径向量 OP 与正 x 轴成 π / 2 角，这意味着：

相位角 ϕ = + π / 2

因此，OP 的 x 投影在时间 t 上的简谐运动方程由位移方程给出

因此，x = - 3 sin (πt) 厘米

b.) 周期，t = 4 秒

振幅，a = 2 米

在时间 t = 0 时，OP 沿逆时针方向与 x 轴成 π 角

因此，

相位角 ϕ = +π

因此，OP 的 x 投影在时间 t 上的简谐运动方程给出为

x = - 2 cos {(π / 2) t}m

问题12

为以下每个简谐运动绘制相应的参考圆。标出粒子的初始（t = 0）位置、圆的半径和旋转粒子的角速度。为简单起见，在每种情况下，旋转方向可固定为逆时针：（x 以厘米为单位，t 以秒为单位）。

解决方案

问题13

图 (a) 显示了一个力常数为 k 的弹簧，一端被牢固夹紧，另一端连接一个质量为 m 的物体。施加在自由端上的力 F 拉伸了弹簧。图 (b) 显示了相同的弹簧，两端自由，并连接到两端的质量 m 上。图 (b) 中弹簧的每一端都受到相同的力 F 的拉伸。

(a) 两种情况下弹簧的最大伸长量是多少？

(b) 如果释放图 (a) 中的质量和图 (b) 中的两个质量，在每种情况下振荡的周期是多少？

解决方案

(a) 图 (a) 中弹簧的最大伸长量为 x。

作用在另一个质量上的反作用力是由每个质量上的力产生的。两个质量似乎相对于彼此固定。

(b) 在图 (a) 中，质量上的恢复力为 F = -kx，其中 x 是弹簧的伸长量。

对于块体的质量 (m)，力表示为

问题14

火车头汽缸盖中的活塞行程（振幅的两倍）为 1.0 米。如果活塞以 200 弧度/分钟的角频率进行简谐运动，其最大速度是多少？

解决方案

问题15

月球表面的重力加速度为 1.7 m s^-2。如果月球上简单的单摆在地球表面的周期是 3.5 秒，那么月球表面的单摆周期是多少？（地球表面的 g 为 9.8 m s^-2）

解决方案

月球表面的重力加速度，g' = 1.7 m s^-2

地球表面的重力加速度，g = 9.8 m s²

地球上单摆的周期，T = 3.5 秒

因此，月球表面单摆的周期是 8.4 秒。

问题16

回答以下问题

a.) 简谐运动中粒子的周期取决于粒子的力常数 k 和质量 m

单摆近似执行简谐运动。那么为什么单摆的周期与摆的质量无关？

b.) 对于小角度振荡，单摆的运动近似为简谐运动。对于更大的振荡角度，更复杂的分析表明 T 大于

通过定性论证来理解这个结果。

c.) 一个戴着手表的人从塔顶坠落。在自由落体期间，手表能给出正确的时间吗？

d.) 在自由落体状态下安装的单摆的振荡频率是多少？

解决方案

a.) 单摆的弹簧常数 k 与质量成反比。分母和分子中的 m 将相互抵消。因此，摆锤的质量对单摆的周期没有影响。

b.) 该术语描述了基本单摆摆锤上作用的恢复力。

F = -mg sin θ

其中，

F 是恢复力

m 是摆锤的质量

g 是重力加速度

θ 是位移角

当 θ 很小时，sin θ ≈ θ。

那么单摆周期的表达式为

当 θ 很大时，sin θ < θ。因此，上述方程将不适用。周期 T 将会增加。

(c) 手表是靠弹簧作用而不是重力加速度来工作的。因此，手表将显示准确的时间。

(d) 在自由落体期间，小屋的重力加速度将为零。因此，基本单摆的振荡频率也将为零。

问题17

一个长度为 l、质量为 M 的摆锤的单摆悬挂在一辆汽车中。汽车以恒定的速度 v 在半径为 R 的圆周轨道上行驶。如果摆在平衡位置附近径向方向上进行小振荡，其周期是多少？

解决方案

汽车的圆周运动加上重力引起的加速度将使单摆的摆锤受到向心加速度。

重力加速度 = g

其中，

v 是汽车的恒定速度

R 是轨道的半径

有效加速度 (g') 给出为

问题18

底面积为 A、高度为 h 的圆柱形软木塞，其密度为 ρ1，漂浮在密度为 ρ1 的液体中。软木塞被轻微压下然后释放。证明软木塞上下简谐振荡，周期为

其中 ρ 是软木塞的密度。（忽略液体粘度引起的阻尼）

解决方案

软木塞的底面积 = A

软木塞的高度 = h

液体的密度 = ρ₁

软木塞的密度 = ρ

在平衡状态下

软木塞的重量 = 漂浮软木塞排开的液体的重量

设软木塞被位移了很小的距离 x

因此，将排出一些额外的水，其体积为

结果，一个额外的向上推力作用并给予软木塞恢复力。

推力 = 恢复力，F = 排开的额外水的重量

F = -(体积 × 密度 × g)

体积 = 面积 × 软木塞位移的距离

体积 = Ax

因此，F = -Ax × ρ₁g . . . (i)

根据力定律

其中，

m = 软木塞的质量

= 软木塞的体积 × 密度

= 软木塞的底面积 × 软木塞的高度 × 软木塞的密度

= Ahρ

因此，周期表达式变为

问题 19

一个连接着汞的U形管的一端连接到抽气泵，另一端连接到大气。两列之间维持着很小的压差。证明，当抽气泵被移除时，U形管中的汞柱将执行简谐运动。

解决方案

U形管的横截面积 = A

汞柱的密度 = ρ

重力加速度 = g

设恢复力为 F

∴F = 某高度汞柱的重量

F = -(体积 × 密度 × g)

F = - (A × 2h × ρ × g)

= -2Aρgh

= -k × 一侧的位移（h）

其中，

2h 是两臂中汞柱的高度

k 是一个常数，由下式给出：

其中，

m 是汞柱的质量

设 l 为 U 形管中总汞的长度

汞的质量，m = 汞的体积 x 汞的密度

= Alρ

故，

因此，汞柱以 的周期执行简谐运动。

问题 20

一个体积为 V 的气室，其颈部横截面积为 A，球的质量为 m，正好能放入其中并可以无摩擦地上下移动。证明当球被稍微向下压并释放时，它会执行简谐运动。假设空气的压强-体积变化是等温的，求出振荡周期的表达式 [参见图]。

解决方案

气室的体积 = V

颈部的横截面积 = A

球的质量 = m

在 C 位置，球被插入颈部。

在气室中，球下方的气压等于大气压。

通过稍微增加压强（增加一个小的量 p），球被向下推并前进到 D 位置。

距离 CD =y

随着压强升高，气室的体积收缩。

气室内的空气体积会减小，导致压强升高。气室内的空气体积减小，

从方程（i）可以看出，F ∝ y，并且负号表示力指向平衡位置。

如果消除了增加的压强，球将在气室颈部以 C 为平均位置进行简谐运动。

在简谐运动中，恢复力由下式给出，F = -ky . . . (ii)

通过比较方程（i）和（ii）

问题 21

您正在乘坐一辆质量为 3000 千克的汽车。假设您正在检查其悬架系统的振荡特性。当整个汽车放在上面时，悬架会下沉 15 厘米。此外，振幅在一次完整振荡期间减少了 50%。估算（a）每个车轮的弹簧常数 k 和（b）阻尼常数 b 的值，假设每个车轮支撑 750 千克。

解决方案

汽车的质量为 = 3000 千克

位移为 = 15 厘米

每个车轮支撑的质量 = 750 千克

每次完整振荡后，振幅减少 = 50%

a.)

设 k 为一个弹簧的弹簧常数。

因此，四个弹簧的总弹簧常数将是 = 4k 并联

问题 22

证明对于线性简谐运动中的粒子，在一个振荡周期内的平均动能等于同一周期内的平均势能。

答案

设执行简谐运动的粒子的质量为 m。因此，粒子在任何瞬时 t 的位移由简谐运动方程给出。

问题 23

一个质量为 10 千克的圆盘通过连接到其中心的电线悬挂。通过旋转圆盘并释放电线来扭转电线。发现扭转振荡的周期为 1.5 秒。圆盘的半径为 15 厘米。确定电线的扭转弹簧常数。（扭转弹簧常数 α 定义为关系式 J = -α θ，其中 J 是恢复力偶，θ 是扭转角）。

解决方案

圆盘的质量 = 10 千克

扭转振荡的周期 = 1.5 秒

圆盘的半径 = 15 厘米 = 0.15 米

恢复力偶，J = -αθ

问题 24

一个物体以 5 厘米的振幅和 0.2 秒的周期描述简谐运动。当位移为 (a) 5 厘米 (b) 3 厘米 (c) 0 厘米时，求出物体的加速度和速度。

答案

给定物体的振幅，A = 5 厘米 = 00.5 米

物体的周期为，T = 0.2 秒

a.) 对于位移，x = 5 厘米 = 0.05 米

加速度由下式给出

b.) 对于位移，x=3 厘米=0.03 米

加速度由下式给出

c.) 对于位移，x = 0

加速度由下式给出

问题 25

一个连接到弹簧的质量可以在没有摩擦或阻尼的情况下，以角速度 ω 在水平面上自由振荡。它被拉到距离 x0 处，并在 t = 0 时以速度 v0 向中心推。根据参数 ω、x0 和 v0，确定所得振幅。\[提示：从方程 x = a cos (ωt + θ) 开始，并注意初始速度为负。\]

答案

根据题目，对于振荡质量，位移方程由下式给出：

x = A cos (ωt + θ)

其中，

A 是振幅

x 是位移

θ 是相位常数