C++ 贝塞尔插值

2025年3月22日 | 阅读4分钟

在本文中，我们将讨论 C++ 中的贝塞尔插值及其公式、算法和实现。

插值

一种用于估计已知值之间的未知值的估算方法是插值。插值是从一组离散的已知数据点生成新数据点的过程。

插值的一个用例是它可以降低计算成本。当确定给定数字所需的公式（函数）过于复杂或计算成本过高时，我们更喜欢使用插值。原始函数用于计算少量数据点；插值可用于估计其余数据点。这些可能不完全准确，但非常接近。

在这种情况下，简单性和较低的计算成本基本上抵消了插值误差损失。

贝塞尔插值

贝塞尔插值用于估计制表值中心点附近参数 (x) 的 y=f(x)。当处理偶数个等距参数时，此方法非常有用。为了计算插值，使用了偶数个参数的 Guass 正向公式和 Guass 第三公式的算术平均值。

贝塞尔插值公式

它具有以下公式：

f(u) = {(f(0)+f(1))/2} + {u - ½}?f(0) + {u(u-1)/2!}{(?² f(-1) + ?² f(0))/2} + {u(u-1)(u - ½)/3!}?³f(-1) + {u(u+1)(u-1)(u-2)/4!}{(?⁴f(-2) + ?⁴f(-1))/2}+..

过程

步骤 1

[taking inputs from the user]
Read x [the number of elements]
for i = 0 to x - 1 repeat
Read a[i]
[End of 'for' loop]
for i = 0 to n - 1 
Read b[i][0]
Read v 

步骤 2

[Bessel's Interpolation]
for x = 1 to m - 1 
 for y = 0 to m - i - 1 
Set b[y][x] <- b[y + 1][x- 1] - b[y][x -1]
[End of 'for' loop]
[End of 'for' loop]
for I = 0 to m- 1 
for j = 0 to m - i - 1 
print b[i][j]
[End of 'for' loop]
Move to the next line
[End of 'for' loop]
Set sum <-  (b[2] [0] + b[3][0]) / 2
if n Mod 2 != 0 then
Set k<-n/2
else
Set k + n / 2 - 1
[End of 'if']
Setu u <-  (v - x[k]) / (x[1] - x[0])
for i = 1 to n - 1 repeat
if i Mod 2!=0 then
Set sum <- sum + ((u - 0.5) * cal_u(u, i - 1) * y[k][i]) / factorial(i)
else
Set sum <- sum+(cal_u(u, i)* (y[k][i] + y[-- k][i]) /(factoria1(i)*2))
[End of 'if']
[End of 'for' loop]
Print v, sum
[End of Bessel's interpolation]

步骤 3

[function cal_u]
if n = 0 then
return 1
Set tmp <- u
for i = 1 to n / 2 repeat
set tmp <- tmp*(u - i)
for i = 1 to(n / 2) - 1 repeat
Set tmp<-  tmp * (u + i)
return tmp
[End of function 'cal_u']

步骤 4

[function 'factorial']
Set fact <- 1
Set i <- 2
for i = 2 to n repeat
Set fact <- fact * i
return fact
[End of function 'factorial']

示例

让我们举一个例子来说明 C++ 中的贝塞尔插值。

#include<iostream>
using namespace std;
class Bessel {
private:
    float x[10], y[10][10], u, v, sum;
    int k, n;
public:
    float cal_u(float u, int n);
    int factorial(int n);
    void accept();
    void bessels_interpolation();
};
float Bessel::cal_u(float u, int n) {
    float temp = 1;
    int i;
    if (n == 0)
        return 1;
    temp = u;
    for (i = 1; i <= n / 2; i++)
        temp *= (u - i);
    for (i = 1; i < n / 2; i++)
        temp *= (u + i);
    return temp;
}
int Bessel::factorial(int n) {
    int fact = 1, i;
    for (i = 2; i <= n; i++)
        fact *= i;
    return fact;
}
void Bessel::accept() {
    int i;
    cout << "Enter the number of elements: ";
    cin >> n;
    cout << "Enter the values of x: ";
    for (i = 0; i < n; i++)
        cin >> x[i];
    cout << "\nEnter the value of y: ";
    for (i = 0; i < n; i++)
        cin >> y[i][0];
    cout << "Enter the value of Interpolation: ";
    cin >> v;
}
void Bessel::bessels_interpolation() {
    int i, j;
    for (i = 1; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n - i; j++)
            y[j][i] = y[j + 1][i - 1] - y[j][i - 1];
    }
    sum = (y[2][0] + y[3][0]) / 2;
    if (n % 2 != 0)
        k = n / 2;
    else
        k = n / 2 - 1;
    u = (v - x[k]) / (x[1] - x[0]);
    for (i = 1; i < n; i++) {
        if (i % 2 != 0)
            sum += ((u - 0.5) * cal_u(u, i - 1) * y[k][i] / factorial(i));
        else
            sum += (cal_u(u, i - 1) * (y[k][i] + y[--k][i]) / (factorial(i) * 2));
    }
    cout << "Value at " << v << ": " << sum;
}
int main() {
    Bessel b;
    b.accept();
    b.bessels_interpolation();
    return 0;
}

输出

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贝塞尔插值公式

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