C++ FIFO 推送重排算法

FIFO 推送重标号算法 是一种解决网络流优化中最大流问题的有效方法。该算法是推送-重标号算法的一个变体，旨在确定从指定的源节点到目标（汇）节点通过网络可以发送的最大流量。“推送-重标号” 这个术语指的是算法中涉及的两个主要操作：沿边推送过剩流量和重标号节点以确保可行流。

引言

在 FIFO 推送重标号算法的上下文中，“FIFO”（先进先出）方面在选择要推送的过剩流量时发挥作用。它确保算法在推送节点过剩流量时保持公平的顺序，这有助于提高性能。

推送-重标号算法（包括 FIFO 推送重标号）的基本思想是维护一个预流（preflow），这是一个满足某些约束的中间流分配，并对其进行迭代改进，直到它成为有效的最大流。在每次迭代中，算法将来自有剩余的节点到相邻节点的过剩流量，并重标号节点以保持可行性。

推送-重标号算法

• 推送操作：在 推送-重标号算法 中，推送过剩流量的顺序没有严格定义。它可以基于各种规则，例如选择高度最高的节点或使用“先进先出”（FIFO）顺序。
• 枢轴规则：推送-重标号算法 通常涉及选择一个具有过剩流量的节点，并将流量推送到其一个邻居节点。推送发起节点和目标节点的选择可能因枢轴规则而异。
• 启发式规则：可以使用各种启发式方法和规则来决定何时推送流量以及何时重标号节点。这些规则会影响算法的效率和收敛性。

FIFO 推送重标号算法

• FIFO 队列：FIFO 推送重标号算法的关键区别在于使用先进先出（FIFO）队列来确定在每次迭代中处理具有过剩流量的节点的顺序。
• 推送操作顺序：过剩流量按节点进入队列的顺序推送，确保了具有过剩流量的节点之间推送操作的公平分配。
• 公平性：FIFO 排序为算法增加了一层公平性，可能降低某些节点因过剩流量而“饿死”的可能性。

程序

让我们举一个例子来说明 C++ 中 FIFO 推送重标号算法的用法。

输出

Enter the number of nodes and edges: 4 5
Enter the edges in the format (from to capacity):
0 1 3
0 2 2
1 2 1
1 3 1
2 3 3
Enter the source and sink nodes: 0 3
Maximum Flow: 4

说明

• 图的表示

该算法在一个模拟流网络的有向图上工作。节点代表实体，边代表连接，其容量表示可以通过该边的最大流量。

• 初始化

算法初始化各种数据结构

excess：跟踪每个节点的过剩流量。

height：表示每个节点的高度（距离源的距离）。

seen：在放电操作期间跟踪当前正在考虑的邻居。

activeNodes：一个队列，用于维护需要处理的具有过剩流量的节点。

• 推送操作

主要操作是从具有剩余流量的节点将其“推送”到其邻居节点。这是沿着有可用容量的边进行的。流量在正向和反向边上都会进行调整。

• 重标号操作

当无法推送时（由于高度限制），则对该节点执行“重标号”操作。它会增加其高度，使其能够进行潜在的未来推送。

• 放电操作

放电操作是算法的核心。它会反复尝试将过剩流量从一个节点推出去，直到过剩流量变为零。它包括选择一个邻居来推送流量，或者重标号当前节点。

• FIFO 队列

FIFO 的方面确保节点按先进先出的顺序进行处理。它有助于在处理节点处的过剩流量时保持公平性，从而可能提高算法的整体效率。

• 最大流计算

算法首先用过剩流量和高度初始化源节点。之后，它在队列中对活动节点迭代地执行放电操作，直到没有剩余节点为止。

• 结果

算法完成后，通过检查汇节点的过剩流量来确定最大流。

时间复杂度

• 最坏情况时间复杂度：推送-重标号算法（包括 FIFO 推送重标号）的最坏情况时间复杂度通常被认为是 O(V^3)，其中 V 是图中的顶点数。当算法需要执行大量重标号操作时，会出现这种情况。
• 平均情况时间复杂度：在实践中，平均情况时间复杂度通常优于最坏情况，并且该算法在各种实例上都能表现良好。复杂度取决于图的结构、枢轴规则的选择以及分配给节点的初始高度等因素。

空间复杂度

• 内存使用：算法的空间复杂度主要由用于存储图信息和算法进度的数据结构决定。在提供的代码中，空间复杂度主要由以下因素决定：
• 图表示，需要 O(V + E) 空间，其中 V 是顶点数，E 是边数。
• 用于存储过剩流量（excess）、节点高度（height）和已见节点（seen）的数组，每个数组需要 O(V)
• FIFO 队列（activeNodes），在最坏情况下最多可占用 O(V) 空间。
• 总空间复杂度：综合这些因素，算法的总空间复杂度为 O(V + E)。

优点

C++ 中的 FIFO 推送重标号算法有几个优点。FIFO 推送重标号算法的一些主要优点如下：

1. 效率：FIFO 推送重标号算法以其在网络中查找最大流的效率而闻名。通过在推送阶段的队列中维护先进先出顺序，该算法在实践中通常能达到良好的性能。
2. 适应性：该算法可以适应各种类型的网络，并能处理结构不规则的图。其多功能性使其适用于广泛的现实世界问题，包括那些具有动态特性的问题。
3. 公平性：在推送阶段使用 FIFO 队列为算法引入了公平性。它有助于更均匀地分配节点之间的过剩流量推送，从而可能避免某些节点被“饿死”。
4. 实现简单性：与某些其他最大流算法相比，FIFO 推送重标号算法的实现相对简单。主要操作（推送、重标号 和 放电）概念清晰，便于实现和理解。
5. 并行化：推送-重标号算法（包括 FIFO 推送重标号）可以高效地并行化。这使其适用于在并行计算架构上实现，利用多核处理器或分布式计算环境。

应用

C++ 中的 FIFO 推送重标号算法有几个应用。FIFO 推送重标号算法的一些主要应用如下：

1. 网络流优化：FIFO 推送重标号算法的主要应用是优化资源在网络中的流。它包括交通网络、通信网络和供应链管理。该算法有助于找到将货物、信息或其他资源从源头移动到目的地的最有效方式。
2. 循环问题：在循环问题中，目标是在满足特定约束的网络中找到一个可行流。它可以应用于设计和优化交通在公路网络中的循环或产品在制造过程中的循环等系统。
3. 图像分割：图像分割 涉及将图像划分为区域或对象。最大流算法可用于解决某些图像分割问题，目标是根据特定标准识别和分离不同的区域。
4. 任务分配：在项目管理或任务分配场景中，该算法可用于优化将资源或任务分配给不同个人或团队，确保项目的有效完成。
5. 电信网络设计：该算法可用于设计和优化电信网络，在考虑容量约束的情况下，确定在不同网络节点之间传输数据的最有效方式。
6. 航空公司调度：在航空公司调度中，最大流算法有助于优化航班时刻表，考虑飞机容量、机场容量以及不同地点之间航空旅行需求等因素。
7. 灌溉系统中的水流：该算法可应用于优化灌溉系统中的水流，确保水能够有效地分配到不同的田地，同时遵守容量限制并最大限度地减少浪费。
8. 生物医学应用：在生物医学研究中，该算法可用于分析生物网络，如代谢途径或基因调控网络。它可以帮助模拟和优化生物系统内物质或信息的流动。
9. 云计算中的资源分配：在云计算环境中，该算法可以帮助优化将计算资源分配给不同的任务或服务，同时考虑容量约束和工作负载变化。

缺点

C++ 中的 FIFO 推送重标号算法有几个缺点。FIFO 推送重标号算法的一些主要缺点如下：

1. 最坏情况时间复杂度：FIFO 推送重标号算法的最坏情况时间复杂度可能相对较高，尤其是在某些类型的图上。在实践中，该算法平均表现良好，但在关键应用中，最坏情况可能令人担忧。
2. 对初始高度的敏感性：算法的性能可能对分配给节点的初始高度敏感。高度初始化选择不当可能会导致重标号操作增加，从而影响算法的整体效率。
3. 枢轴规则的选择：算法的性能受在推送和重标号操作期间选择节点的枢轴规则的影响。不同的规则可能导致不同的收敛速率和整体效率。
4. 内存要求：尤其是在具有大型图的情况下，该算法可能需要大量内存。过剩流量、高度和其他数据结构的存储可能会导致内存使用量增加，这在资源受限的环境中可能是一个问题。
5. 并非总是最快的算法：虽然 FIFO 推送重标号算法在许多情况下都很高效，但它可能并非总是最大流问题最快的算法。根据网络的特性，像 Edmonds-Karp 算法或 Dinic 算法这样的其他算法可能比它表现更好。
6. 动态网络中的复杂性：将算法适应动态网络（容量或网络结构随时间变化）可能会增加复杂性。维护预流和动态调整算法可能需要额外的考虑。
7. 可能导致“饿死”：在某些情况下，FIFO 推送重标号算法可能会出现称为“饿死”的现象，即某些节点可能会反复接收过剩流量，从而限制了算法的整体进展。
8. 并非总是适用于稀疏图：该算法在稀疏图上的性能可能不是最优的，在稀疏图中，每个迭代只有一小部分边处于活动状态。在这种情况下，像 Ford-Fulkerson 算法（具有适当的增广路径）这样的其他算法可能更有效。

结论

总之，FIFO 推送重标号算法是解决网络优化中最大流问题的强大而有效的方法。其主要优点包括适应各种网络结构的能力、过剩流量分配的公平性、实现简单性以及在现实世界应用中的实际性能。

该算法的效率、对动态网络的适应性以及并行化潜力使其成为解决复杂优化问题的宝贵工具。它的应用范围广泛，包括网络设计、交通规划、资源分配等。保证收敛到最优解也增强了其可靠性。

简而言之，FIFO 推送重标号算法作为一种多功能且有效的解决最大流问题的工具，为高效资源分配和流量优化至关重要的领域的发展做出了贡献。