C++ 程序实现 Coppersmith Freivald 算法

在本文中，我们将讨论 Coppersmith Freivald 算法在 C++ 中的实现。但在介绍其实现之前，我们必须了解 Coppersmith Freivald 算法。

什么是 Coppersmith Freivald 算法？

Coppersmith Freivald 算法是一种随机算法，用于检查矩阵乘法。它能够以高概率验证两个矩阵 A 和 B 的乘积 C 是否正确，只需使用 O(1) 算术运算。

其关键思想是，我们不必检查矩阵乘积 C = AB 的每个元素，而是可以通过选择一个随机向量 x 并检查 Cx = ABx 来概率性地验证 C = AB 是否成立。

Freivalds 算法的关键思想是：

1. 选择一个随机的 n x 1 向量 v。
2. 计算 u = Av 和 w = Cu。
3. 计算 w' = Bv。
4. 检查 u 是否等于 w'。如果相等，则 C = A x B 的概率很高。如果不相等，则 C ≠ A x B。

通过重复使用不同的随机向量 v，可以使此算法返回错误结果的概率非常小。主要优点是它允许在 O(n^2) 时间内验证矩阵乘法，而不是显式地将 A 和 B 相乘的 O(n^3) 成本。

总之，Freivalds 算法是一种快速的随机算法，用于概率性地检查两个矩阵的乘积是否正确计算。其效率使其在实践中非常有用。

该算法的工作原理如下：

Freivalds 算法是一种概率算法，可以有效地验证矩阵乘法结果是否正确。以下是该算法的总结：

Freivalds 算法的关键思想是，如果 C 等于 A x B，那么对于任何随机选择的向量 v，A x v 应该总是等于 B x v。该算法允许在 O(n^2) 时间内验证矩阵乘法结果 C，而不是通过在 O(n^3) 时间内显式地将 A 和 B 相乘。

给定 n x n 矩阵 A、B 和声称的乘积矩阵 C，Freivalds 算法的工作方式如下：

• 随机生成一个包含 0 和 1 的 n x 1 向量 v。
• 通过执行快速矩阵向量乘法，计算 u = A x v 和 w = C x v。
• 同时计算 w' = B x v。
• 检查 u 是否等于 w'。如果相等，则 C = A x B 的概率很高。如果不相等，则 C ≠ A x B。
• 使用新的随机向量重复步骤 1-4 多次以减少错误。

Freivalds 算法可以利用快速矩阵向量运算和随机性，快速验证矩阵乘法以检测不正确的声明。这种效率使其适用于重新计算 A x B 难以实现的大型矩阵。

示例代码

下面是一个 C++ 程序，用于实现 Coppersmith Freivald 算法，用于矩阵乘法的概率验证，并附带示例输出：

输出

Enter matrix dimension n: 2
Enter matrix A: 
1  2
3  4
Enter matrix B:  
5  7
11 13
Enter possible solution X:
1  2 
3  4
Verified, AX = B