C++ 中的填字游戏求解器

C++ 填字游戏求解器 是一个程序，旨在自动使用预定义的单词列表来填充给定的填字游戏网格。

问题陈述

填字游戏由以下几部分组成：

• 一个单元格网格（通常是正方形或矩形），其中一些可能被涂黑。
• 一个包含要放入网格的单词的单词列表。
• 确保单词在网格中水平或垂直放置而不发生冲突的规则。

目标是将列表中的所有单词放入网格中，使得：

• 单词匹配网格的约束（例如，单元格长度和交叉点）。
• 当单词交叉时，没有字母冲突。

示例

输出

Initial Grid:
- - - # - - 
- - - - - - 
- # - - # - 
- - - - - - 
- - - # - - 
Solved Grid:
a - p # - - 
p p e a c h 
p # a - # - 
l g r a p e 
e - - # - - 

说明

1. 问题表示

程序操作于一个网格和一个单词列表。

• 网格是一个二维矩阵，其中：
• "-" 表示可以容纳字母的空单元格。
• "#" 表示不能容纳字母的障碍单元格。
• 单词列表包含要放入网格的所有单词。每个单词必须适合一行或一列的 "-" 单元格序列。

2. 求解策略

程序使用回溯法，这是一种递归技术，其中：

• 单词一个接一个地放入网格中的可用位置。
• 如果单词合适，程序将继续处理下一个单词。
• 如果出现冲突（例如，单词无法放入），程序将撤销前一个单词的放置，并尝试不同的排列。

3. 核心组件

a. 单词放置检查

在放置单词之前，程序会确保其适合当前位置。

• 水平放置：单词必须适合行边界，并且其字符必须与网格中的现有字母或空单元格 ("-") 匹配。
• 垂直放置：单词必须适合列边界，并且其字符必须与网格中的现有字母或空单元格匹配。

此步骤确保放置单词不会违反任何填字游戏规则，例如重叠单词具有冲突的字母。

b. 单词放置

如果单词通过放置检查，

• 它会被写入网格，用单词的字母替换 "-" 单元格。
• 使用一个标记来跟踪在放置过程中修改过的单元格。此标记对于回溯过程至关重要，因为它允许程序仅撤销当前单词放置期间所做的更改。

c. 回溯

回溯确保如果单词无法在任何位置放置，程序可以恢复到以前的状态并尝试替代排列。步骤如下：

• 使用标记删除单词，将网格恢复到以前的状态。
• 尝试将单词放置在下一个可用位置。
• 如果当前单词的所有位置都已用尽，程序将回溯到前一个单词。

这种系统的探索确保了所有可能的单词放置都经过了测试。

4. 递归过程

求解器以递归方式工作：

• 它从列表中的第一个单词开始，并尝试将其放置在网格中的所有有效位置。
• 如果成功，它将移动到下一个单词。
• 如果在放置后续单词时出现冲突，它会回溯并调整早期单词的放置。
• 当所有单词都放置完毕时，递归成功终止；如果无法找到任何排列，则认为失败。

5. 水平和垂直放置处理

程序处理两种方向的单词放置：

水平放置

• 程序识别一行，并检查单词是否适合可用水平位置。
• 它确保单词与现有字母或空单元格匹配。

垂直放置

• 程序识别一列，并检查单词是否适合可用垂直位置。
• 类似的检查确保与现有字母或空单元格兼容。

对于每种方向，程序都会尝试放置，并在必要时回溯。

6. 实用函数

几个辅助 函数 支持求解器：

验证函数

• 这些函数检查单词是否可以在没有冲突的情况下放入特定位置。

放置函数

• 这些函数负责将单词插入网格并跟踪更改。

移除函数

• 这些函数使用标记撤销单词放置，以恢复网格。

7. 边缘情况

求解器足够健壮，可以处理各种场景：

• 障碍单元格 ("#")： 单词不能重叠或穿过障碍单元格，因此放置检查会考虑它们。
• 交叉单词： 当两个单词共享一个单元格时，它们的字母必须匹配。
• 网格边界： 单词不能超出网格的边界。

8. 输出

程序输出：

• 如果找到解决方案，则输出已解决的网格，显示所有单词都已按照填字游戏规则放置。
• 如果单词的任何排列都无法填充网格，则输出表明失败的消息。

复杂度分析

时间复杂度

1. 单词放置

对于每个单词，求解器尝试网格中的每种可能位置，以确定单词是否适合。这涉及：

• 检查所有行和列。
• 验证水平和垂直放置。

如果网格的维度为 m×n 且有 k 个单词，则为一个单词检查位置的最大数量约为 m×n。每个位置都需要将单词的长度 l 与网格单元格进行比较。

每次单词放置的成本：O(m×n×l)。

2. 回溯

在最坏的情况下，求解器会探索 k 个单词的所有可能排列。对于每个单词：

• 有 O(m×n) 种放置选项。
• 程序以递归方式尝试每个选项，导致分支因子为 O(m×n)。
• 因此，最坏情况下的时间复杂度为：O((m×n) k×l)

空间复杂度

1. 网格存储

网格表示为 m×n 的二维 数组。网格所需的空间为 O(m×n)。

2. 单词列表

k 个单词的列表存储为数组或 vector，所需的空间与其总长度成正比：O(k×l)。

3. 标记数组

对于每个单词放置，一个标记数组会跟踪哪些网格单元格被修改。标记数组的大小等于单词的长度：O(l)。

总空间复杂度

将所有组件相加，总空间复杂度为 O(m×n+k×l+k+l)。

对于大型网格，网格存储 O(m×n) 是主导因素。

填字游戏的优点

1. 自动化和效率

• 求解器自动化了手动填充填字游戏网格的繁琐任务，节省了时间和精力。
• 它系统地探索所有可能的解决方案，确保不会遗漏任何有效的配置。

2. 灵活性 (Flexibility)

• 可以处理不同大小和结构的网格，包括具有障碍单元格或预定义字母的复杂谜题。
• 可以处理各种长度的单词列表，满足各种谜题要求。

3. 可扩展性

• 程序可以通过最少的更改进行扩展，以支持更大的网格或额外的规则。
• 模块化设计允许轻松调整以处理更复杂的填字游戏功能。

4. 回溯准确性

• 回溯确保探索了单词的所有可能排列，为可解谜题提供了可靠的结果。
• 无效的配置会提前被修剪，从而减少计算浪费。

5. 可重用性

• 网格验证和单词放置等组件可以在其他程序中使用，例如填字游戏生成器或基于单词的游戏。

填字游戏的缺点

1. 指数时间复杂度

• 回溯算法具有指数复杂度，对于大型网格或长单词列表效率低下。
• 解决具有众多约束的复杂谜题可能需要大量计算时间。

2. 内存使用

• 更大的网格和更长的单词列表消耗更多内存，尤其是在处理递归堆栈和网格状态时。
• 对于巨大的谜题，这可能导致性能瓶颈甚至内存耗尽。

3. 实际用途有限

• 大多数填字游戏都是为娱乐而手动解决的，这限制了自动求解器的实际应用。
• 它可能无法处理以人为本的细微差别，例如拼图设计中的审美偏好。

4. 调试难度

• 由于调用堆栈深度和状态变化的动态性质，递归回溯可能难以调试。
• 验证或回溯逻辑中的错误可能导致不正确的解决方案或无限递归。

5. 依赖输入质量

• 求解器依赖于格式正确的网格和有效的单词列表。不正确的输入（例如，不兼容的单词长度）可能导致程序失败或产生无意义的结果。
• 对于具有不可解约束的糟糕设计的谜题，它无法生成有意义的解决方案。

填字游戏的特性

1. 基于回溯的问题解决

• 递归探索：求解器使用回溯来探索单词在网格中的所有可能放置。
• 分支修剪：一旦检测到无效放置，求解器就会回溯，通过避免不必要的检查来节省计算工作。

2. 灵活的网格处理

• 动态网格尺寸：程序可以处理不同大小的网格，确保不同填字游戏的多功能性。
• 障碍单元格支持：它尊重障碍单元格 ("#")，确保单词不会重叠或穿过它们。

3. 有效性检查

• 水平和垂直验证：确保单词适合网格边界并且不与现有字母冲突。
• 字母匹配：通过检查共享单元格是否包含匹配的字母来支持交叉单词。
• 边界管理：防止单词超出网格尺寸。

4. 高效的撤销机制

• 基于标记的跟踪：在单词放置期间跟踪修改过的网格单元格，从而在回溯时进行有效删除。
• 选择性恢复：确保只撤销相关更改，从而保持网格对其他单词的完整性。