C++ 中打印内部递减模式

引言

模式打印是编程中的一个基本概念，有助于提高逻辑思维和对嵌套循环的理解。一种特殊的模式是内部递减模式，其中每行的元素数量随着向下移动而逐渐减少。

在此模式中，您通常从第一行固定数量的元素开始。对于每一行，元素数量都会减少一个。元素本身可以是数字、字符或符号，具体取决于要求。这种类型的模式在基础编程练习中很受欢迎，通常用于教导学生如何有效地管理循环和条件。

什么是内部递减模式？

例如，您可能想打印如下内容

此模式显示

• 第一行有 5 个数字（从 1 到 5）。
• 第二行有 4 个数字（从 1 到 4）。
• 每一行比前一行少一个数字。

在 C++ 中创建模式的步骤

理解行和列

• 模式中的行数等于起始计数（在此例中为 5）。
• 每一行中的列数随着行号的增加而减少。

使用嵌套循环

• 外循环控制行。
• 内循环在每一行中打印数字。

打印数字的逻辑

• 内循环在每行中运行 n - i 列，其中
• n 是总行数。
• i 是当前行（从 0 开始）。

转到下一行

• 打印完一行后，添加一个换行符以移至下一行。

方法 1：简单方法

示例

输出

Enter the number of rows: 5
1 2 3 4 5 
1 2 3 4 
1 2 3 
1 2 
1   

说明

步骤 1：从用户处获取输入

程序首先要求用户输入行数（n）。此输入决定了模式将有多少行。例如，如果用户输入 5，则模式将有 5 行。这使得程序更加灵活，因为它可以根据用户的输入生成任意大小的模式。

步骤 2：外循环（行）

外循环控制模式中的行数。它从 i = 0 循环到 i < n。每次外循环运行时，它都代表模式的一行。

• 在第一次迭代（i = 0）中，它处理第一行。
• 在第二次迭代（i = 1）中，它处理第二行，依此类推。
• 此循环可确保所有行都逐一打印。

步骤 3：内循环（列）

内循环嵌套在外循环内。它的工作是在每一行中打印数字。

• 内循环从 j = 1 循环到 j <= n - i。
• j 从 1 开始，因为模式中的数字始终从 1 开始。
• 条件 j <= n - i 确保列的数量随着行的进展而减少。

例如

• 在第一行（i = 0）中，内循环从 1 循环到 5（打印 1 2 3 4 5）。
• 在第二行（i = 1）中，内循环从 1 循环到 4（打印 1 2 3 4）。
• 在第三行（i = 2）中，内循环从 1 循环到 3（打印 1 2 3）。

这就是如何管理元素数量的减少。

步骤 4：打印数字

在内循环中，打印每个数字（j）。在打印每个数字后，添加一个空格 (“ ”) 以分隔同一行中的数字。这确保数字并排显示在一行中。

步骤 5：转到下一行

打印完一行中的所有数字后，程序使用 cout << endl; 移至下一行。这确保下一行的数字从新行开始。

步骤 6：重复过程

外循环继续运行，为每一行重复内循环。每一新行，列的数量都会因条件 j <= n - i 而减少。这就是为什么模式看起来像一个三角形，每行后面的数字越来越少。

步骤 7：结束程序

打印完所有行后，程序结束。完整的模式显示在屏幕上。

示例演练

假设用户输入 5

• 第一行：外循环开始（i = 0），内循环从 j = 1 循环到 5。它打印 1 2 3 4 5。
• 第二行：外循环继续（i = 1），内循环从 j = 1 循环到 4。它打印 1、2、3 4。
• 第三行：外循环继续（i = 2），内循环从 j = 1 循环到 3。它打印 1 2 3。
• 第四行：外循环继续（i = 3），内循环从 j = 1 循环到 2。它打印 1 2。
• 第五行：外循环继续（i = 4），内循环从 j = 1 循环到 1。它打印 1。

程序完成，最终输出为完整模式。

复杂度分析

时间复杂度

内部递减模式打印的时间复杂度取决于行数（n）以及总共打印的元素数量。

外循环

外循环运行 n 次，为每一行运行一次。

内循环

• 在第一行中，内循环运行 n 次。
• 在第二行中，它运行 n-1 次。
• 在第三行中，它运行 n-2 次，依此类推。

内循环的总迭代次数是 n 到 1 的数字之和

总迭代次数 = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n * (n + 1) / 2

这简化为时间复杂度为O(n²)。

空间复杂度

该程序仅使用少量变量进行循环和存储输入（n、i、j），因此空间复杂度为 O(1)。

• 没有使用额外的数据结构，如数组或列表。
• 无论输入大小如何，程序都只为变量使用恒定的内存。

方法 2：反向循环递减

此方法对内循环使用反向循环，从每行的最大数量开始并递减到 1。它实现了相同的结果，但提供了对循环管理的另一种视角。

示例

输出

Enter the number of rows: 5
1 2 3 4 5 
1 2 3 4 
1 2 3 
1 2 
1   

说明

步骤 1：从用户处获取输入

程序首先要求用户输入行数（n）。n 的值定义了将打印多少行。

例如，如果用户输入 5，则模式将有 5 行。

步骤 2：外循环（行）

外循环从 1 循环到 n，这意味着它将从 i = 1 循环到 n。

• 变量 i 代表当前行号。
• 对于第一行，i = 1，对于第二行，i = 2，依此类推，直到 n。
• 此循环确保我们处理从第一行到最后一行的所有行。

步骤 3：内循环（反向计数）

内循环从 n 循环到 i，其中 n 是当前行中的最大元素数量。

• 循环从 j = n 开始并递减到 i。
• 变量 j 代表行内的当前位置，从最大数字开始。
• 例如，在第一行中，j 从 n 开始并递减到 1。
• 在第二行中，j 从 n-1 开始并递减到 1。

步骤 4：打印数字

在内循环中，打印数字 (n - j + 1)。

• 此公式确保数字随着 j 的减小而减小。
• 例如，在第一行中，j = n 给出 1，j = n-1 给出 2，依此类推。
• 数字以空格分隔打印。

步骤 5：转到下一行

打印完一行中的所有数字后，程序使用 cout << endl; 移至下一行。

• 这会创建一个新行，模式继续。

步骤 6：重复过程

外循环从 i = 2 继续到 n，每次递减打印的列数。

• 对于第二行，i = 2，内循环从 n-1 循环到 1，打印 1 2 3 4。
• 对于第三行，i = 3，内循环打印 1 2 3。
• 此模式继续直到最后一行，最后一行只打印 1。

步骤 7：结束程序

打印完所有行后，程序完成，完整的模式显示在屏幕上。

n = 5 的示例演练

1. 第一行（i = 1）：打印从 5 到 1 的数字。
2. 第二行（i = 2）：打印从 4 到 1 的数字。
3. 第三行（i = 3）：打印从 3 到 1 的数字。
4. 第四行（i = 4）：打印从 2 到 1 的数字。
5. 第五行（i = 5）：打印数字 1。

程序以反向递减的顺序显示整个模式，并且此方法保持逻辑清晰高效。

复杂度分析

时间复杂度

• 外循环运行 n 次，对于外循环的每次迭代，内循环都从 n 循环到 i。
• 内循环的总迭代次数为
• 总和 = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1 = n * (n + 1) / 2

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度

• 该程序使用常数空间用于变量（i、j 和 n）。
• 没有使用额外的空间。
• 空间复杂度：O(1)

方法 3：单循环递减方法

单循环递减方法是一种模式打印技术，我们使用单个循环来减少每一行打印的元素数量。而不是从固定范围打印数字（例如从 n 递减），我们根据当前行逐渐减小范围。此方法简化了逻辑并减少了对嵌套循环的需要，使其在时间和空间复杂度方面都更有效。

示例

输出

Enter the number of rows: 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1 2 3 4 5 6 7 8 
1 2 3 4 5 6 7 
1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 
1 2 3 4 
1 2 3 
1 2 
1   

说明

步骤 1：从用户处获取输入

• 程序首先提示用户输入行数（n）。
• 例如，如果用户输入 5，则模式将有 5 行。

步骤 2：外循环（行）

• 外循环从 n 递减到 1。
• 此循环将有助于从顶部（最大行）到底部打印行。
• 变量 i 代表当前行号。
• 对于 i = n，它打印具有最大元素数量的最大行。
• 对于 i = n-1，它打印具有较少元素的第二大行。
• 这会一直持续到 i = 1。

步骤 3：内循环（打印数字）

• 内循环在每一行中从 1 循环到 i。
• 变量 j 代表行内的当前位置。
• 对于第一行（i = n），j 从 1 循环到 n。
• 对于第二行（i = n-1），j 从 1 循环到 n-1，依此类推。
• 这确保我们只打印每一行所需的数字。

步骤 4：打印数字

• 在内循环中，数字按顺序从 1 打印到 i。
• 空格分隔每个数字以提高清晰度。
• 例如，在第一行中，打印从 1 到 n 的数字。
• 在第二行中，打印从 1 到 n-1 的数字，依此类推。
• 打印完每一行的数字后，程序打印 endl 以移至下一行。

步骤 5：完成行

外循环继续将 i 从 n 递减到 1。

i 的每次迭代都确保每一行打印的数字更少。

例如

• 第一行（i = n）：1 2 3 4 5
• 第二行（i = n-1）：1 2 3 4
• 第三行（i = n-2）：1 2 3
• 第四行（i = n-3）：1 2
• 第五行（i = 1）：1

这样，我们每一行打印的数字都更少。

步骤 6：程序结束

• 打印完所有行后，程序结束，完整的模式显示出来。

复杂度分析

时间复杂度

• 外循环从 n 递减到 1，即 n 次迭代。
• 对于每一行，内循环从 1 循环到 i。
• 总操作次数
• 总和 = 1 + 2 + 3 + ... + n = n * (n + 1) / 2 = O(n²)

时间复杂度：O(n²)

空间复杂度

• 程序使用恒定空间用于变量（i、j 和 n）。
• 除了这些变量之外，没有使用额外的空间。
• 空间复杂度：O(1)