C++ 中的施泰纳树近似

Steiner 树问题 (STP) 是一个经典的图优化问题，它以其组合形式提出了独特的挑战。在其最基本的形式中，问题如下：给定一个加权图 G=(V,E)，其中 V 是顶点集，E 是边集，以及 V 的一个子集 S⊆V，称为终端节点或终端。我们希望找到连接所有终端节点的最小权重树。然而，解决方案不仅需要使用树的终端顶点——非终端顶点，称为 Steiner 点，也可以被合并以最小化树的总权重。

• 首先，为了更好地理解 Steiner 树问题，区分与 Steiner 树问题密切相关的问题（例如最小生成树 (MST) 问题）是很有用的。MST 问题的目标是连接图的所有顶点，使得边的权重之和最小，前提是没有环。众所周知，MST 问题可以通过 Kruskal 算法或 Prim 算法等著名算法在多项式时间内解决。然而，Steiner 树问题增加了额外的复杂性，因为顶点也可以包含非终端顶点，以允许一种非常不同类型的树。
• 其计算复杂度是 Steiner 树问题的关键难点。然而，在一般图中找到 Steiner 树的最小权重已知是 NP 难的。换句话说，除非 P=NP，否则没有已知的多项式时间算法能够解决 Steiner 树问题的所有实例。因此，对于大型图，精确解决此问题在计算上是不可行的。相反，研究人员和从业者会转向近似算法，这些算法可以在比最优解少得多的时间内提供近似解。
• Steiner 树问题的每个版本都不同，其中一个版本包括欧几里得 Steiner 树问题，其中顶点表示欧几里得平面中的点，目标是最小化顶点之间的距离之和，即欧几里得距离。还讨论了图中的 Steiner 树问题，它更适合离散系统（如通信网络或电路设计）的实际情况。

应用

Steiner 树问题不仅仅是理论计算机科学中的一个理论问题；它在许多现实世界领域中都有许多实际应用，特别是在网络设计、计算生物学和 VLSI（超大规模集成）电路设计中。基于其核心原则，即最小化连接一组终端的成本，可选择性地包括非终端节点，我们的方法为现实世界中出现的几乎任何优化问题提供了一个灵活且计算高效的框架。

网络设计

• 通信网络的设计和优化是 Steiner 树问题最突出的应用之一。在许多情况下，电信公司需要连接许多终端，例如城市、数据中心或通信塔，并希望最大程度地降低铺设电缆或建立它们之间的无线连接的成本。虽然网络不需要直接将节点连接到节点，但包含中间节点（集线器或路由器）可以降低成本。
• 比方说，一家公司必须构建一个光纤网络来连接城市。直接连接每个城市与其他每个城市将极其昂贵。然而，与其考虑所需电缆的总长度，不如通过选择一部分中间城镇或城市作为枢纽，可以大大减少长度。在这种情况下，Steiner 树问题的解决方案将提供一个最优的网络布局，其中连接成本最小化。
• 第二种常见情况是交通网络的设计，例如高速公路或铁路。这里的问题是一样的：以最便宜的方式连接一组终端（城市或车站），可能使用中间点来降低总体建设成本。Steiner 树问题，应用于寻找电信或交通网络设计的问题，是一个强大的工具，可以以最低成本优化网络设计。

VLSI 电路设计

• 在 VLSI 电路设计中，STP 被广泛用于最小化芯片上功能模块之间互连轨道的长度和长度分布。现代计算机芯片包含数百万甚至数十亿个晶体管，为电连接提供有效路径的尝试意味着如何布线这些连接的决定对于改进芯片的整体设计和功能至关重要，无论是减少能量损耗还是提高信号通过给定电路的传播速率。
• 在 VLSI 设计中，目标是以最小的净互连长度互连终端（逻辑点，例如门或存储单元）。与网络设计一样，可以通过使用放置在中间位置的 Steiner 点来实现最小的线长。在这种情况下，解决 Steiner 树问题使工程师能够开发改进的芯片拓扑，从而开发出更快、功耗更低的设备。

计算生物学

• 另一个使用 Steiner 树问题的领域是计算生物学，其中问题代表连接物种的进化树。系统发育树构建是一种流行的尝试确定各种生物自其最后一个共同祖先以来如何变化的方法。密切相关的物种将以一种方式“拟合”到树上，使它们尽可能地与进化上不同的邻居相连，这意味着物种之间的变化（例如基因突变）尽可能少。
• 在这里，物种是终端顶点，Steiner 点被假定描绘了共同祖先。通过解决 Steiner 树问题，研究人员可以估计正确的进化树，从而描绘特定物种群之间的关系。这对于揭示进化过程并量化进化载体和祖先的特性具有明显的意义。
• 这些应用阐明了 Steiner 树问题在解决现实生活中几个优化问题方面的多样性。在网络构建、VLSI 电路布局和进化生物学等领域，该问题为降低成本提供了基本框架。

编码

输入图

所使用的图有 7 个顶点，具有以下加权边：

• (0, 1) = 3
• (0, 2) = 4
• (1, 3) = 5
• (1, 4) = 6
• (2, 4) = 8
• (3, 5) = 7
• (4, 5) = 2
• (5, 6) = 9
• (2, 6) = 12

必须连接的终端节点是 {0, 3, 6}

输出

 
Minimum Spanning Tree edges: 
Edge selected: 0 - 1 with weight 3 
Edge selected: 4 - 5 with weight 2 
Edge selected: 1 - 3 with weight 5 
Edge selected: 5 - 6 with weight 9 
Edge selected: 0 - 2 with weight 4 
  
Total weight of MST: 23