C++ 中的洛布数

在本文中，我们将讨论 Lobb 数 及其不同方法、示例、时间复杂度和空间复杂度。

Lobb 数

通过以某种方式排列 n+m 个开括号，可以形成有效的平衡括号序列。这在组合数学中被称为 Lobb 数 Lm,n。m 和 n 都是参数化 Lobb 数的非负整数，其中 n≥m≥0。

公式如下

Lobb 数的另一个用途是确定将 n+m 个 +1 和 n−m 个 -1 值排列成序列的方法数，使得序列的所有部分和都不是 2。平衡括号问题（其中序列的总和必须始终为非负数）可以被限制为这个问题。

示例

让我们举一个例子来说明 C++ 中的 Lobb 数。

输出

Enter values for n and m: 5 3
Lobb Number L(5, 3) = 35   

复杂度分析

• 时间复杂度：O(2n(m+n))
• 辅助空间：O((2n)(m+n))

说明

此代码通过应用动态规划技术来确定 Lobb 数 Lm,n，从而计算二项式系数 C(n,k)。为了保存 C(i,j) 的值（其中 i 和 j 的范围分别为 0 到 n 和 k），binomialCoefficient 函数会创建一个二维表。lobbNumber 函数使用公式 Lm,n = (2m+1)×C(2n,m+n)/(m+n+1) 来计算 Lobb 数。main 函数在接收用户输入的 n 和 m 后报告确定的 Lobb 数。

高效方法：空间优化

在之前的方法中，使用二维数组计算二项式系数，每个值完全依赖于其前一行和后一行。这种认识使我们能够通过将计算值存储在一维数组中而不是二维数组中来节省空间，因为当前行的计算只需要前一行的数据。

实现步骤

1. 创建一维向量用于存储： 应初始化大小为 K+1 的一维向量 C，其中 K 是二项式系数 C(n,k) 中 k 的最大值。在迭代过程中，此向量将包含当前行的值。
2. 设置基本情况： 在二项式系数的基本情况中，向量中的第一个值始终初始化为 1，即对于所有 i，C(i,0)=1。
3. 遍历子问题： 使用嵌套循环遍历二项式系数表的行和列。每个子问题的当前值通过查阅存储在一维向量中的前一行值来确定。为了在计算过程中保留前一行的数据，向量应该从最后一个元素向第一个元素更新。
4. 返回最终答案： 循环后，最终的二项式系数值 C(n,k) 将保存在 C[K] 中。此值表示从 n 个项目中选择 k 个项目的方法数。

示例

让我们举一个例子来说明 C++ 中的 Lobb 数。

输出

Enter values for n and m: 5 3
35   

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)
• 辅助空间：O(k)

说明

此 C++ 程序计算组合数 Lobb 数 Lm,n。函数 binomialCoefficient 使用动态规划计算二项式系数 C(n,k)，其中 n 是总数，k 是要选择的元素数。Lobb 数使用 calculateLobbNumber 函数和公式 Lm,n = (2m+1)×C(2n,m+n)/(m+n+1) 来确定。程序要求用户在 main 函数中输入 n 和 m 值，然后输出使用这些输入确定的 Lobb 数。