C++ 程序检查矩阵是否正交

在本文中，我们将讨论一个 C++ 程序，用于检查矩阵是否为正交矩阵，并给出其输出。但在进入程序之前，我们必须了解正交矩阵。

正交矩阵是指其转置矩阵与其逆矩阵相同的矩阵。如果有一个方阵，如果它的转置和逆矩阵彼此可比较，即A^T = A^-1，我们可以认为它是一个正交矩阵。在这种情况下，A^T 代表矩阵 A 的转置，A^-1 代表矩阵 A 的逆。基于这个定义，正交矩阵还有另一个不同的定义，如下所述：

A^T = A^-1

• 所有正交矩阵都必须是可逆的。转置保留了行列式。对于任何正交矩阵，行列式的值只能是 +1 或 -1。
• 所有正交矩阵都必须是方阵，但并非每个方阵都必须是正交矩阵。

检查给定矩阵是否为正交矩阵的步骤

需要采取各种步骤来确定矩阵是否为正交矩阵。我们将为此使用一个方阵 A。所涉及的步骤如下：

步骤 1：在这一步中，我们将找到给定矩阵的行列式。如果矩阵 A 的行列式为 1，则该矩阵是正交矩阵。

步骤 2：在这一步中，我们将找到该矩阵的转置版本及其逆矩阵。

步骤 3：如果矩阵 A 的转置与矩阵 A 的逆矩阵的乘积是单位矩阵，即A^T*A^-1 = I，则该矩阵称为正交矩阵。否则，它将不再是正交矩阵。I 表示单位矩阵。

正交矩阵的行列式

如果计算正交矩阵的行列式，它始终为+1或-1。现在，我们将解释这一点。我们将为此使用一个正交矩阵 A。我们可以从其定义中确定。

A*A^T = I

现在，我们将计算上述方程两边的行列式，并得到以下结果：

det(I) = det(A*A^T)

我们知道，如果计算单位矩阵的行列式，我们得到1。此外，如果A和B是矩阵，则det(AB) = detA*detB。所以，

AA^T= AA^-1

正如我们所看到的，AA^-1 = I，其中 I 是一个单位矩阵，其秩与矩阵 A 相同。

因此，AA^-1= I。

同样，我们可以证明A^T A = I。

我们可以从前两个表达式中得到以下表达式：

A^TA = AA^T = I。

示例

让我们用一个 C++ 程序来检查矩阵是否为正交矩阵。

方法 1

输出

 The given matrix is an Orthogonal Matrix

方法 2

结合三次遍历是一种最优解。我们不显式地查找转置，而是使用array[j][k]而不是array[k][j]。此外，我们不在计算乘积时显式地计算乘积，而是在计算乘积时检查同一性。

示例

让我们再用一个 C++ 程序来检查矩阵是否为正交矩阵。

输出

The given matrix is an Orthogonal Matrix

正交矩阵的应用

正交矩阵有多种应用或用途，其中一些列举如下：

• 我们可以使用正交矩阵执行多通道信号处理。
• 我们可以使用正交矩阵执行多变量时间序列分析。
• 该矩阵可用于各种线性代数方法。
• 该矩阵可用于QR 分解。