C++ 格子约简算法

2025 年 3 月 24 日 | 4 分钟阅读

格约化 是一种数学技术，用于数值分析、计算几何和密码学中处理高维设置中的格。格是一种欧几里德空间网格状结构，由数学中一组基向量的整数组合组成。约化格的基向量更短且几乎正交，这简化了许多计算机问题。

格约化算法搜索格的“最优”或“约化”基，以解决某些问题，例如下面列出的问题。

使用整数线性代数的程序。
密码分析是指针对基于格的密码学算法（如 LWE 和 NTRU）的攻击。
近似丢番图方法。
最短向量问题 (SVP) 或最近向量问题 (CVP)。

Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) 算法是一种流行的格约化方法，它在多项式时间内为任何给定格找到约化基。Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) 算法在多项式时间内约化格的基。目标是将提供的基更改为更短、更正交且更易于访问的基。

 
If the input is: 
A basic B= {b 1,b 2,...,b n}, where each bi is a vector in Rn
A Constant δ where ¼< δ<1 typically δ=0.75
Then the output is:
A basis vector that is "nearly orthogonal" and has minimal Euclidean norms is a reduced basis B ′.   

关键概念

格是由属于 n 维空间中点群的基向量的整数系数线性分布组合形成的。
产生格 L(B) 的向量集 B={b 1,b 2,...,b n} 称为格基。
缩减基：新计算的格基具有更小、更正交的基向量，这导致格的结构简化。
可以使用著名的 LLL 格约化算法计算给定维度的格的缩减近正交基。由于其效率和效力，它在密码学应用中得到了广泛应用。

算法伪代码 Gram-Schmidt 正交化

 
Algorithm LLL (B, δ):
    Input: 
        - A basis B = {b_1, b_2, ..., b_n} in R^n
        - Reduction parameter δ (e.g., δ = 0.75)

    1. Compute Gram-Schmidt orthogonalization B* = {b_1^*, b_2^*, ..., b_n^*}
    
    2. Set k = 1
    
    3. While k < n:
        a. For j = k-1 to 1:
            i. Compute μ_k,j = (b_k ⋅ b_j^*) / (b_j^* ⋅ b_j^*)
            ii. Size reduce b_k:
                b_k ← b_k - round(μ_k,j) * b_j
                
        b. Recompute Gram-Schmidt orthogonalization for updated B
        
        c. Check Lovász condition:
            If ||b_k^*||^2 < (δ - μ_k,k-1^2) * ||b_{k-1}^*||^2:
                i. Swap b_k and b_{k-1}
                ii. Recompute Gram-Schmidt orthogonalization
                iii. Set k = max(k-1, 1)
            Else:
                i. Set k = k + 1
                
    4. Output reduced basis B   

示例

让我们举一个例子来说明 C++ 中的格约化算法。

 
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>

// Function to compute dot product of two vectors
double dotProduct(const std::vector<double>& v1, const std::vector<double>& v2) {
    double dot = 0.0;
    for (size_t i = 0; i < v1.size(); ++i) {
        dot += v1[i] * v2[i];
    }
    return dot;
}

// Gram-Schmidt orthogonalization
std::vector<std::vector<double>> gramSchmidt(const std::vector<std::vector<double>>& basis) {
    size_t n = basis.size();
    std::vector<std::vector<double>> orthoBasis(n, std::vector<double>(basis[0].size(), 0.0));
    
    for (size_t i = 0; i < n; ++i) {
        orthoBasis[i] = basis[i];  // Start with original vector
        
        // Subtract projections on previously computed orthogonal vectors
        for (size_t j = 0; j < i; ++j) {
            double projection = dotProduct(orthoBasis[j], basis[i]) / dotProduct(orthoBasis[j], orthoBasis[j]);
            for (size_t k = 0; k < orthoBasis[i].size(); ++k) {
                orthoBasis[i][k] -= projection * orthoBasis[j][k];
            }
        }
    }
    
    return orthoBasis;
}

// Function to perform LLL lattice reduction
void LLL(std::vector<std::vector<double>>& basis, double delta = 0.75) {
    size_t n = basis.size();
    size_t dim = basis[0].size();  // Dimension of each vector
    std::vector<std::vector<double>> orthoBasis = gramSchmidt(basis);

    size_t k = 1;
    while (k < n) {
        // Size reduction step
        for (size_t j = k - 1; j < k; --j) {
            double mu = dotProduct(basis[k], orthoBasis[j]) / dotProduct(orthoBasis[j], orthoBasis[j]);
            for (size_t i = 0; i < dim; ++i) {
                basis[k][i] -= round(mu) * basis[j][i];
            }
        }

        // Recompute the orthogonalization for the modified vectors
        orthoBasis = gramSchmidt(basis);

        // Lovász condition check
        double lhs = dotProduct(orthoBasis[k], orthoBasis[k]);
        double rhs = (delta - pow(dotProduct(orthoBasis[k - 1], orthoBasis[k]) / dotProduct(orthoBasis[k - 1], orthoBasis[k - 1]), 2))
                     * dotProduct(orthoBasis[k - 1], orthoBasis[k - 1]);

        if (lhs >= rhs) {
            k++;
        } else {
            // Swap basis vectors b_k and b_(k-1)
            std::swap(basis[k], basis[k - 1]);
            orthoBasis = gramSchmidt(basis);  // Recompute Gram-Schmidt for the new basis
            k = std::max(k - 1, static_cast<size_t>(1));  // Ensure k doesn't go below 1
        }
    }
}

int main() {
    // Example lattice basis (3D space example)
    std::vector<std::vector<double>> basis = {
        {1, 1, 1},
        {1, 0, 2},
        {0, 0, 1}
    };
    
    LLL(basis);
    
    // Output reduced basis
    std::cout << "Reduced basis:" << std::endl;
    for (const auto& vec : basis) {
        for (double x : vec) {
            std::cout << x << " ";
        }
        std::cout << std::endl;
    }
    
    return 0;
}   

输出

 
Reduced basis:
0 0 1 
0 -1 0 
1 0 0

结论

总之，计算数论中的 Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) 方法是基于格密码学中的一种卓越算法。LLL 方法将其转换为近似正交形式，从而可以近似解决最短向量问题 (SVP) 和最近向量问题 (CVP) 等难题。由于其多项式时间特性，它在大规模应用中被证明是有用的。在 C++ 中实现 LLL 算法时，需要对向量和矩阵操作进行操作。不当的内存管理可能会导致许多问题，例如段错误。通过反复应用 Gram-Schmidt 正交化和尺寸约化过程，可以保持算法的正确性和效率。LLL 约化在应用数学和理论数学中仍然是一种有用的技术，并且在不断发展的基于格的密码学领域中非常重要。

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