C++ 中的 Zenkendorf 定理（非相邻斐波那契表示）

2025 年 5 月 19 日 | 阅读 4 分钟

在本文中，我们将讨论 C++ 中的泽肯多夫定理及其要点、应用和示例。

C++ 中的泽肯多夫定理是什么？

它是泽肯多夫定理，它将任何正整数表示为一些不同的非连续斐波那契数的和。斐波那契序列以 1 和 2 开头，后面的数字是前两个数字的和。它确保了一种不能写入连续斐波那契数的形式，从而确保了唯一性条件。通过将斐波那契序列构建到上限并连续选择小于或等于目标的最大斐波那契数并跳过下一个，C++ 可以执行此操作。泽肯多夫定理的数学之美体现在其在数论、数据编码和算法优化中的应用。

要点

斐波那契序列的定义如下：

F₁ =1, F₂ =2, F_n =F_n-1+F_n-2 (n≥3)。

为了便于表达，此序列使用 F₂ = 2 而不是标准 F₂=1。
非连续约束： 两个斐波那契数不能连续出现在表示中。例如 F₃+F
唯一性： 使用此系统，每个正整数都有一个独特的泽肯多夫表示。

例如

10 可以表示为：F₆+F₄ =8+2。

19 可以表示为：F₇+F₅=13+5。

C++ 应用

泽肯多夫定理的标准 C++ 实现包括：

斐波那契数预先计算到预设阈值，以创建斐波那契序列。
分解数字： 取小于或等于目标数字的最大斐波那契数，并使用迭代过程减去它，该过程保证非连续选择。
效率： 使用二分查找等技术，能够快速识别小于或等于给定数字的最大斐波那契数。

示例 1

让我们举一个例子来说明 C++ 中的泽肯多夫定理。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// Function to generate Fibonacci numbers up to a given limit
vector<int> generateFibonacci(int limit) {
    vector<int> fib = {1, 2};
    while (true) {
        int next = fib[fib.size() - 1] + fib[fib.size() - 2];
        if (next > limit) break;
        fib.push_back(next);
    }
    return fib;
}

// Function to find Zeckendorf representation of a number
vector<int> zeckendorfRepresentation(int num) {
    vector<int> fib = generateFibonacci(num);
    vector<int> result;
    for (int i = fib.size() - 1; i >= 0; --i) {
        if (num >= fib[i]) {
            result.push_back(fib[i]);
            num -= fib[i];
            // Skip the next Fibonacci number to ensure non-consecutive selection
            i--;
        }
    }
    return result;
}

int main() {
    int number;
    cout << "Enter a number: ";
    cin >> number;

    vector<int> representation = zeckendorfRepresentation(number);
    cout << "Zeckendorf representation: ";
    for (int num : representation) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}   

输出

Enter a number: 20
Zeckendorf representation: 13 5 2

说明

斐波那契数生成： 使用 generateFibonacci 函数计算所有小于或等于指定限制的斐波那契数。
查找表示： zeckendorfRepresentation 函数通过以相反顺序迭代斐波那契数来选择满足条件的最大值。
输出： 应用程序打印输入数字的泽肯多夫表示。

示例 2

让我们再举一个例子来说明 C++ 中的泽肯多夫定理。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// Function to generate Fibonacci numbers up to a given limit
vector<int> generateFibonacci(int limit) {
    vector<int> fib = {1, 2}; // Start with F1 = 1, F2 = 2
    while (true) {
        int next = fib[fib.size() - 1] + fib[fib.size() - 2];
        if (next > limit) break;
        fib.push_back(next);
    }
    return fib;
}

// Recursive function to compute Zeckendorf representation
void findZeckendorf(int num, const vector<int>& fib, vector<int>& result, int index) {
    if (num == 0) return;

    // Find the largest Fibonacci number <= num starting from 'index'
    while (index >= 0 && fib[index] > num) {
        index--;
    }

    // Add the Fibonacci number to the result and recurse
    if (index >= 0) {
        result.push_back(fib[index]);
        findZeckendorf(num - fib[index], fib, result, index - 2); // Skip the next Fibonacci number
    }
}

int main() {
    int number;
    cout << "Enter a number: ";
    cin >> number;

    // Generate Fibonacci sequence up to the input number
    vector<int> fib = generateFibonacci(number);

    // Compute Zeckendorf representation
    vector<int> result;
    findZeckendorf(number, fib, result, fib.size() - 1);

    // Display the result
    cout << "Zeckendorf representation: ";
    for (int num : result) {
        cout << num << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}   

输出

Enter a number: 19
Zeckendorf representation: 13 5 1

如果动态给出输入，则：

如果用户输入 19
生成的斐波那契序列
{ 1, 2, 3, 5, 8,13}
递归步骤
最大 ≤ 19 为 13，剩余
19-13=6
最大 ≤ 6 为 5，剩余 6-5=1。
最大 ≤ 1 为 1，剩余 0。
输出：13,5,1。

结论

总之，泽肯多夫定理提供了一种独特而先进的方法，可以使用非连续斐波那契数来描述正整数。它在数论中的基础表明了数学结构和推理如何很好地解决难题。这个定理的 C++ 实现展示了数学概念如何转化为有用的计算机方法。使用迭代减法、递归和斐波那契序列生成等技术，我们可以确定任何整数的泽肯多夫表示。这种表示说明了理论数学和实际计算之间的关系，并且由于其限制和唯一性，在数据编码、算法优化和密码学等领域很有帮助。

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例如

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说明

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如果动态给出输入，则：

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