C++ 中的莫里斯遍历进行前序遍历

二叉树遍历是计算机科学中的一项基本操作，对于搜索、排序和表达式求值等众多应用至关重要。在各种二叉树遍历类型中，前序遍历因其“先根”方法而占有重要地位。在前序遍历中，操作顺序很简单：首先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。前序遍历的传统实现依赖于递归或显式数据结构（如堆栈）来在遍历过程中维护状态。尽管有效，但这些方法具有固有的空间要求，这在内存受限的环境中可能是一个限制因素。

Morris 遍历，以Joseph M. Morris的名字命名，它提供了一种巧妙的方法来解决空间复杂性问题。Morris 遍历最初是为了中序遍历而开发的，它是一种通过在遍历过程中临时修改二叉树来消除对辅助存储的需求的技术。该方法利用线索二叉树，创建临时“线索”或链接以返回到父节点，而无需使用堆栈或递归。这些线索一旦完成其目的就会被移除，确保保留树的原始结构。

这种空间高效的方法也可以应用于前序遍历，这也是本文的重点。前序遍历与中序遍历不同，它按照遇到的顺序访问节点，从根节点开始。这使得它在需要保留树的层次结构或决策过程的应用中特别有用。例如，前序遍历用于表达式树以评估前缀或在某些基于图的算法中，其中节点优先级基于遍历顺序。

Morris 遍历用于前序遍历的主要优势在于其能够在O(1)的辅助空间中进行遍历，同时保持O(n)的时间复杂度，其中 (n) 是二叉树中的节点数。这比传统方法有了显著的改进，传统方法通常需要 O(h) 空间，其中 h 是树的高度。空间使用的减少使得 Morris 遍历在具有严格内存限制的系统（如嵌入式系统）或涉及极大型数据集且最小化资源消耗至关重要的场景中特别有价值。

然而，理解 Morris 遍历需要转变观念。该算法通过在进行中建立和移除线索来临时修改树。尽管这些修改不是永久性的，但它们使树在遍历过程中成为线索化的。这种特性既是优点也是缺点——虽然它允许高效遍历，但它也增加了实现的复杂性和调试的难度，尤其是对于初学者而言。Morris 遍历是一种创新的算法，它牺牲了简单性和速度以换取空间效率。虽然它在内存受限的环境中提供了显著的优势，但其局限性包括临时树修改、执行时间增加、实现复杂性以及对某些树结构和场景的适用性受限。对于内存限制不那么严格或优先考虑实现简单性的用例，传统的递归或迭代方法可能更合适。然而，理解 Morris 遍历的优点和缺点可以帮助开发人员做出明智的决定，何时何地有效地使用该算法。

在本文中，我们将探讨如何用C++ 实现 Morris 遍历进行前序遍历。我们将讨论其基本原理、分步执行以及它与传统方法的比较。在本文结束时，您将对如何利用 Morris 遍历进行前序遍历、其实际优势以及在实际应用中的权衡有一个深入的了解。无论您是计算机科学专业的学生、专业开发人员，还是仅仅是算法设计方面的爱好者，本次 Morris 遍历的探索都将为您提供有关高效二叉树遍历技术的宝贵见解。

Morris 遍历：思路

Morris 遍历的关键概念是利用树的结构本身，通过创建节点之间的临时线索（链接）来实现。这消除了对辅助空间的需求。一旦完成节点的遍历，就会移除这些临时线索以恢复原始结构。

1. 关键步骤
2. 从根节点开始。
   • 对于每个节点
     如果左子节点为 NULL，则处理节点（在前序遍历中，访问它）并移动到右子节点。
   • 如果左子节点不为 NULL
     找到当前节点的**中序前驱**（左子树中最右边的节点）。
   • 如果前驱节点的右指针为 NULL
   • 创建从前驱节点到当前节点的临时线索。
   • 访问当前节点（前序遍历操作）。
   • 移动到左子节点。
   • 如果前驱节点的右指针已设置为当前节点（线索已存在）
   • 移除临时线索（恢复树）。
   • 移动到右子节点。
   • 通过以这种方式对树进行线索化，Morris 遍历避免了对堆栈或递归的需求。

C++ 中的莫里斯遍历进行前序遍历

下面是 Morris 遍历实现前序遍历的 C++ 代码：

代码实现

输出

Morris Preorder Traversal: 1, 2, 4, 5, 3   

分步执行

让我们逐步讲解前面所示二叉树的 Morris 前序遍历。

二叉树结构

执行

• 从 1 开始。由于 1 有一个左子节点（2），找到中序前驱（左子树中最右边的节点，即 5）。
• 从 5 创建到 1 的线索。
• 访问 1 并移动到 2。
• 在 2 处，找到其中序前驱（4）。
• 从 4 创建到 2 的线索。
• 访问 2 并移动到 4。
• 在 4 处，没有左子节点。访问 4 并通过线索移动到 2。移除线索。
• 回到 2，移动到 5（右子节点）。访问 5 并通过线索返回到 1。移除线索。
• 回到 1，移动到 3（右子节点）。访问 3。

复杂度分析

时间复杂度

• 每个节点被访问两次（一次在处理它时，一次在恢复树时）。
• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是节点的数量。

空间复杂度

• 除指针变量外，不使用任何额外空间。
• 空间复杂度：O(1)。

Morris 遍历的应用

Morris 遍历是一种强大的算法，旨在无需使用递归堆栈或辅助数据结构的额外内存即可遍历二叉树。这种创新的方法通过临时修改树来促进导航，在计算机科学的多个领域都有应用。虽然它最常因能够以恒定空间实现中序和前序遍历而闻名，但该算法的优点远远超出了基本遍历的范畴。下面，我们将探讨 Morris 遍历的实际应用及其在理论和实践中的价值。

1. 内存受限环境

Morris 遍历最突出的用例之一是内存受限的系统。传统的递归和迭代树遍历方法通常依赖于调用堆栈或显式堆栈数据结构，导致 O(h) 空间复杂度，其中 h 是树的高度。相比之下，Morris 遍历以 O(1) 的辅助空间运行，无论树的大小或高度如何。 . 然而，理解 Morris 遍历的优点和缺点可以帮助开发人员做出明智的决定，何时何地有效地使用该算法。

这使其特别适用于

• 嵌入式系统：在嵌入式设备中，内存通常稀缺，优化每个字节的使用至关重要。Morris 遍历允许高效的树遍历，而无需大型数据结构，非常适合嵌入式应用。
• 低功耗或移动设备：在内存有限的设备（如智能手机或物联网设备）上实现算法时，Morris 遍历可确保二叉树操作保持高效，而不会产生内存开销。

2. 大型数据集的高效预处理

在处理表示为二叉树的海量数据集时，高效遍历可以在运行时和资源消耗方面产生显著差异。Morris 遍历由于其原地性质，非常适合预处理大型数据集。没有堆栈或递归意味着该算法在保持 O(n) 时间复杂度的同时最小化了内存使用。

在诸如

• 大数据处理：树通常是组织层次数据的基本数据结构。Morris 遍历可以帮助执行高效的操作，例如以特定顺序提取数据，同时避免过多的内存消耗。
• 数据库索引：二叉搜索树 (BST) 等二叉树广泛用于数据库索引。使用 Morris 遍历执行空间高效的遍历可以优化查询和索引过程。

3. 原地树分析

由于 Morris 遍历不依赖于外部数据结构，因此特别适合对二叉树进行原地分析。临时修改（线索）在树本身内部创建，并在继续之前进行恢复。这使得该算法非常适合树结构在遍历过程中不能或不应复制的场景。

应用包括

• 完整性检查：Morris 遍历可用于验证树的结构或属性，例如它是否满足二叉搜索树属性，而无需修改或复制树。
• 树摘要：对于计算摘要或聚合（例如，总节点数，最小值/最大值）等任务，Morris 遍历可确保在直接在树上执行这些分析时最小化内存使用。

4. 在非递归环境中的遍历

Morris 遍历完全消除了递归，使其适用于递归深度有限或递归解决方案可能导致堆栈溢出的环境。

例子包括

• 实时系统：由于递归深度不同，递归算法有时会引入执行时间的不确定性。Morris 遍历确保恒定的内存使用和可预测的执行时间。
• 不支持尾调优优化的语言：某些编程语言不会高效地优化递归调用，这会导致堆栈使用量增加和潜在的溢出。Morris 遍历通过仅依赖迭代操作来避免此问题。

5. 算法教学与学习

Morris 遍历是计算机科学教育中的宝贵教学工具。它向学生介绍了高级概念，例如

• 线索二叉树：理解 Morris 遍历自然需要了解线索二叉树，这是一种使用指针在节点之间创建临时链接的概念。
• 空间优化技术：该算法展示了算法如何在不牺牲正确性或效率的情况下被设计为最小化内存使用。
• 算法设计中的权衡：通过研究 Morris 遍历，学生学会平衡简单性、空间效率以及调试或实现中的潜在复杂性之间的权衡。

6. 二叉树重建

Morris 遍历可以在遍历过程中辅助重建二叉树的结构。通过使用线索临时修改树并在之后进行恢复，Morris 遍历确保原始树保持不变。此属性在以下场景中很有用：

• 树转换：执行镜像或展平树等操作通常需要高效的遍历方法。Morris 遍历确保在这些过程中对节点进行空间高效的访问。
• 遍历验证：Morris 遍历有助于验证遍历（例如，中序或前序）的输出是否与树的预期结构一致。

7. 空间高效的图状遍历

虽然 Morris 遍历主要用于二叉树，但其原理可以启发在图论中涉及树或树状结构的图问题的空间高效方法。例如

• 生成树运算：在某些生成树算法中，空间高效遍历对于优化大型图的性能至关重要。
• 表达式树：Morris 遍历在以内存高效的方式评估或简化表达式树方面特别有价值，这在编译器和解释器中有应用。

8. 云计算中的优化

在云环境中，高效的资源利用至关重要。Morris 遍历可用于涉及层次结构或树状结构的系统，例如分布式文件系统或数据库中的查询规划器。通过最小化内存使用，它有助于降低成本并提高分布式系统的性能。

9. 高级研究的基础

最后，Morris 遍历为树基算法的高级研究奠定了基础。它临时线索的创新使用启发了针对更复杂问题的修改和扩展，包括

• 增强型树遍历：将 Morris 遍历与其他树结构（如 AVL 或红黑树）结合，可以产生更复杂的算法。
• 混合遍历：通过将 Morris 遍历与传统方法集成，研究人员探索了平衡空间效率和运行时性能的混合方法。

Morris 遍历是一种了不起的算法，它为二叉树遍历提供了一种空间高效的解决方案。其应用包括内存受限系统、实时分析、大型数据集预处理以及云计算等。通过消除对堆栈或递归的需求，Morris 遍历可确保最佳的资源利用，同时保持原始树结构的完整性。作为一种实用工具和高级算法研究的基础，Morris 遍历在计算机科学领域仍然是一个宝贵的资产。

Morris 遍历的局限性

Morris 遍历是一种巧妙的算法，它允许在 O(1) 辅助空间下进行二叉树遍历，无需递归或堆栈。虽然它因其空间效率和在树中临时线索的优雅使用而受到赞誉，但它并非没有局限性。这些限制源于算法的方法以及遍历过程中修改二叉树的实际影响。下面，我们将讨论 Morris 遍历的关键局限性以及使用它所面临的挑战。

1. 树的临时修改

Morris 遍历的一个决定性特征是在树中创建临时线索。这些线索允许算法在不使用额外内存的情况下返回到父节点。然而，这个过程会暂时修改树的结构，即使原始结构在遍历完成后会得到恢复。

影响

• 并发问题：如果树在并发系统中被使用，其中多个操作同时在树上执行，那么临时修改可能会导致不一致和竞态条件。
• 树的完整性：尽管线索在遍历后会被移除，但如果不小心处理实现，总有潜在的意外副作用的风险。移除线索的错误可能会破坏树的结构。
• 不适用于持久化数据结构：在树必须保持不变（例如，在函数式编程范例或持久化数据结构中）的应用中，Morris 遍历不能使用，因为它会在遍历过程中更改树。

2. 实现复杂性

与传统的递归或迭代方法相比，Morris 遍历的实现更加复杂。查找中序前驱（或左子树中最右边的节点）和管理临时线索的过程需要额外的逻辑，这会使代码更难理解和维护。

影响

• 较高的学习曲线：对于计算机科学或数据结构领域的初学者来说，理解和实现 Morris 遍历比使用标准的递归或基于堆栈的遍历方法更具挑战性。
• 易出错：如果实现不小心，临时线索机制可能会导致微妙的错误，例如忘记移除线索或错误地识别中序前驱。
• 调试挑战：与传统方法相比，调试 Morris 遍历代码更困难，因为该算法会临时修改树。跟踪遍历不同阶段的树状态需要特别注意。

3. 适用性有限

虽然 Morris 遍历在内存受限环境方面表现出色，但它不一定总是通用应用程序的最佳选择。其空间优化是以管理临时线索和修改树的额外开销为代价的。

其不足之处

• 非二叉树：Morris 遍历是专门为二叉树设计的。未经重大修改，它不能直接应用于每个节点有多个子节点（例如，n 元树）的树。
• 深度很高的树：在非常深的二叉树中，查找中序前驱可能变得计算成本很高，因为它可能涉及遍历树的多个级别。这种开销可能会抵消避免堆栈的好处。
• 当有额外内存时：如果内存限制不是问题，那么像递归遍历或基于堆栈的迭代遍历这样的传统方法通常更简单易懂和易于调试。

4. 执行时间增加

Morris 遍历旨在优化空间，但这通常是以牺牲执行时间为代价的，因为要查找中序前驱和管理临时线索会产生额外开销。

影响

• 多次节点访问：在 Morris 遍历中，一些节点会被访问多次——一次用于创建线索，一次用于移除线索。与每次只访问一个节点的传统方法相比，这会增加遍历的总执行时间。
• 前驱搜索开销：对于每个有左子节点的节点，算法必须定位中序前驱，这可能涉及遍历多个节点。在最坏的情况下，这会给遍历过程增加一个线性因子，尤其是在不平衡树中。

5. 不总是直观的

对于熟悉标准遍历技术的程序员来说，Morris 遍历使用线索的方式可能感觉不直观。该算法需要进行思维上的转变，才能理解临时线索是如何被创建、使用和移除的。

影响

• 算法复杂性：理解中序前驱如何确定以及线索如何管理，对于不熟悉高级树遍历技术的新开发人员来说可能是一个障碍。
• 特殊情况：处理边缘情况，例如只有单个子节点的树、完全倾斜的树或空树，可能会增加实现的复杂性。

6. 对遍历期间修改的支持有限

在许多实际应用中，树遍历不仅是为了访问节点；它还涉及修改树或执行依赖于辅助结构的操作。Morris 遍历不适合此类场景。

示例

• 动态树更新：如果在遍历期间添加或删除了节点，Morris 遍历创建的临时线索可能会干扰这些操作，导致未定义行为。
• 增强型树：在节点存储附加信息（例如，高度、平衡因子或聚合值）的树中，Morris 遍历不提供在遍历期间更新这些值的有效机制。

7. 与线索二叉树的兼容性

讽刺的是，尽管 Morris 遍历使用了线索二叉树的概念，但它与已线索化的树（即具有永久线索的树）不直接兼容。在这种情况下，算法引入的临时线索可能与现有线索冲突，使该方法无法使用。

8. 调试和错误恢复

在实际的软件开发中，调试和从错误中恢复的能力至关重要。Morris 遍历临时修改树的过程使此过程复杂化。

示例

• 中间状态：在遍历期间，树以带有线索的中间状态存在，这可能无法准确反映其原始结构。这使得在遍历进行时检查或调试树更加困难。
• 错误恢复：如果在遍历期间发生错误（例如，由于程序崩溃或异常），树可能会留下带有剩余线索的不一致状态。

Morris 遍历是一种创新的算法，它牺牲了简单性和速度以换取空间效率。虽然它在内存受限的环境中提供了显著的优势，但其局限性包括临时树修改、执行时间增加、实现复杂性以及对某些树结构和场景的适用性受限。对于内存限制不那么严格或优先考虑实现简单性的用例，传统的递归或迭代方法可能更合适。然而，理解 Morris 遍历的优点和缺点可以帮助开发人员做出明智的决定，何时何地有效地使用该算法。