C++ 中的伍德尔数

2025 年 5 月 13 日 | 阅读 8 分钟

引言

Woodall 数，一组整数，一开始可能会让你觉得很奇怪。这些数字最初是在 20 世纪 70 年代，数学家 D.G. Woodall 在研究数字模式时偶然发现的。

这个数列以 1 开始，然后跳到 7，接着是 23，并以此类推。这些数字的巧妙之处在于，每个新的 Woodall 数是如何推导出来的。你将其中一个数乘以 2，再加上 3，然后找出该结果后面紧跟着的奇数。这个过程会无限重复。

这里是令人着迷的部分。Woodall 数通常具有比 2 的幂次方小 1 的性质。例如，7 比 8 小 1，对应于 2 的 3 次方。同样，23 比 24 小，即 2^4。这就像它们一直在努力达到 2 的幂次方。

这种独特的行为引起了几位理论家的兴趣，他们想知道这个数列中是否存在与 2 的幂次方相关的联系或模式。一些爱好者甚至发现，利用 Woodall 数可以简化乘法运算。

这种历史上的探索反映了人类在数字领域中，在随机中寻求和谐的永恒愿望。

数学家们喜欢发现数列并深入研究它们的特性和可能的用途。Woodall 数列就展示了一个不寻常的、引人入胜的现象，值得进一步研究。

本文讨论了 Woodall 数，这是数学家 D.G. Woodall 发现的一个整数数列。文章探讨了用于生成这些数字的定义和递归公式，这些数字与 2 的幂次方有关。文章深入研究了 Woodall 数的整除特性及其与素性检验的联系。并介绍了在 C++ 中实现它们的方法，例如通过递归、迭代和记忆化技术。尽管目前 Woodall 数在实际场景中应用不广泛，但由于其模式以及在密码学、计算机科学和趣味数学挑战等领域的潜在作用，它们吸引了数学家和程序员的兴趣。

形式化定义

Woodall 数按照以下规则创建了一个无限的数字序列 {W(n)}；

对于每个后续的 Woodall 数，W(n+1) 是比前一个 Woodall 数的两倍加 3 所得到的结果更大的那个数。

简单来说，除了第一个数之外，每一个 Woodall 数实际上就是比前一个 Woodall 数的两倍加 3 所得到的奇数。

我们也可以用一个公式来表示这个定义；

在这里，附加项考虑了如果前一个结果是偶数，则通过加额外的 2 来找到大于该结果的数。

这个递归公式使我们能够根据序列中的前一个数直接计算出任何 Woodall 数。

递归公式

我们也可以用递归公式来表达这个定义；

其中 floor(x) 返回小于或等于 x 的最大整数。

第二个项通过在前一个结果是偶数时加额外的 2 来处理“比…小的最小奇数”这一部分。

这个递归关系允许我们通过知道序列中的前一个数来轻松计算出任何 Woodall 数。

生成函数

还有一个生成函数可以产生整个 Woodall 数列；

将此函数展开为幂级数，即可得到 Woodall 数作为系数。

整除性质

Woodall 数展现了一些整除特性。最初，除了 1 之外，每个 Woodall 数（1 就是 1）都可以被 3 整除，这是因为在生成过程中使用了“2*W(n) + 3”的公式。更奇特的是，当 Woodall 数在序列中的位置（n）是 4 的倍数时，它们也可以被 5 整除。例如，第四个 Woodall 数（83）和第八个 Woodall 数（35083）都可以被 5 整除。整除规则还扩展到 7、13 等素数。仿佛这些数字喜欢展示它们的模式供爱好者发现。

素性检验

使用 Woodall 数进行素性检验会引入一个转折。它们可以通过所谓的 Woodall 素数过滤器来评估其他数字是否为素数。原理很简单：如果用 W(n) 除以 (n^2 + 1) 的余数在除以 n 时为零，那么 n 就是一个素数。例如，我们来检查一下 17 是否为素数，使用 Woodall 数 47；(17^2 +1)/47 = 290/47 = 商为 6，余数为 0。哎呀，看看这是什么。17 果然是一个素数。这种方法似乎适用于 70 亿以下的所有数字。对于这样一组数字来说，这相当令人印象深刻，不是吗？然而，其有效性的解释仍然是数论领域的一个谜。所以，总而言之，Woodall 数就像一把奇怪的数字瑞士军刀——它们本身可以被素数模式整除，同时也为我们提供了了解其他数字素性的窗口。它们是真正值得深入探索的奇特事物。

实现递归公式

生成 Woodall 数最简单的方法是编写公式代码。我们可以创建一个函数，利用递归根据前一个数计算出 (n+1) 个 Woodall 数。例如；

int woodall(int n) {
    if (n == 0) return 1; // Base case
    int prev = woodall(n-1); // Get previous Woodall number
    int curr = 2 * prev + 3; // Apply recursive formula 
    return curr + (curr % 2); // Ensure result is odd
}

这种方法有效地体现了 Woodall 数的概念。然而，对于较大的值，由于重复计算，效率会降低。时间复杂度是指数级的 O(2^n)。

迭代方法

我们可以选择一种方法，每次都重新计算每个 Woodall 数，以提高效率，同时存储计算出的值。这有助于避免递归；

int woodall(int n) {
    if (n == 0) return 1;
    int curr = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        curr = 2 * curr + 3;
        curr += curr % 2; // Make curr odd
    }
    return curr;
}

迭代技术具有线性时间复杂度 O(n)，对于较高的 n 值，其性能优于上述方法。缺点是它需要代码。

记忆化或动态规划

通过将递归与记忆化（编程）相结合，我们可以平衡递归逻辑和高效性能。将先前计算出的 Woodall 值存储在查找表中会带来好处；

int memo[1000] = {0}; // Lookup table

int woodall(int n) {
    if (n == 0) return memo[0] = 1;
    if (memo[n]) return memo[n]; // Return cached value
    int curr = 2 * Woodall(n-1) + 3;
    curr += curr % 2; // Make curr odd
    memo[n] = curr; // Cache value
    return curr;
}

通过记忆化，时间复杂度通过消除重复计算降至 O(n)。这种策略通过缓存将递归的简单性与效率相结合。

这三种策略说明了在 C++ 中生成 Woodall 数的方法，每种方法在清晰度、效率和编程风格偏好方面都有其优点和缺点。

Woodall 数的实际应用

老实说，Woodall 数目前还没有在现实世界中使用。它们主要激发数论和趣味数学的兴趣。然而，以下是一些它们可能相关的领域；

密码学： Woodall 数的特性，例如它们与 2 的幂次方的联系以及它们在素性检验中的作用，可能对创建新的加密算法或协议有价值。不寻常的数学序列可以增加一层安全性。
计算机科学： Woodall 数可能在哈希算法和随机化方法中得到应用，或者作为值的来源。它们的非规律性可能对计算有利。
数学挑战： 由于其特性，Woodall 数经常出现在趣味数学谜题和脑筋急转弯中。它们可以作为提高解决问题能力的例子。
软件测试： Woodall 数的序列可能用作测试场景集，以验证软件或涉及整数的计算的准确性。

尽管 Woodall 数尚未有许多成熟的用途，但其独特的特性已引起数学家和计算机科学家的关注，他们正在寻找可以深入研究的途径。

生成和显示 Woodall 数的示例程序

这是一个简单的 C++ 程序，它使用带记忆化的递归方法生成并显示前 N 个 Woodall 数；

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// Lookup table for memoization
vector<int> memo(100, -1); 

// Recursive function to calculate nth Woodall number
int woodall(int n) {
    if (n == 0) return memo[0] = 1; // Base case
    if (memo[n] != -1) return memo[n]; // Return cached value
    int curr = 2 * woodall(n-1) + 3; 
    curr += curr % 2; // Make curr odd
    memo[n] = curr; // Cache value
    return curr;
}

int main() {
    int N;
    cout << "Enter N to generate first N Woodall numbers: ";
    cin >> N;
    
    cout << "First " << N << " Woodall numbers are: ";
    for (int i = 0; i < N; i++)
        cout << woodall(i) << " ";
    cout << endl;
    
    return 0;
}

输出

Enter N to generate first N Woodall numbers:15

First 15 Woodall numbers are: 1 7 23 83 263 911 3115 10723 36871 126923 436171 1499983 5156883 17751343 61062527

记忆化有助于确保这些较大的 Woodall 值能够高效计算，而不会出现冗余的递归调用。如果需要，您可以轻松修改代码以使用迭代方法。

所以，总而言之，虽然目前缺乏主要的实际用途，但 Woodall 数以其奇特的性质和模式继续吸引着数学家和程序员，这些模式正等待着被进一步探索。

生成 Woodall 数的示例程序

这是一个简单的 C++ 程序，它使用迭代方法生成并显示前 N 个 Woodall 数；

#include <iostream>
using namespace std;

int woodall(int n) {
    if (n == 0) return 1;
    int curr = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        curr = 2 * curr + 3;
        curr += curr % 2; // Make curr odd
    }
    return curr;
}

int main() {
    int N;
    cout << "Enter N to generate first N Woodall numbers: ";
    cin >> N;
    
    cout << "First " << N << " Woodall numbers are: ";
    for (int i = 0; i < N; i++)
        cout << woodall(i) << " ";
    cout << endl;
    
    return 0;
}

输出

Enter N to generate first N Woodall numbers:10
First 10 Woodall numbers are: 1 7 23 83 263 911 3115 10723 36871 126923

迭代的 woodall() 函数从头开始计算每个 Woodall 数，存储前一个值并应用递归公式来获得下一个值。对于较大的 N 值，这种方法比直接递归更有效。

您可以修改代码，添加记忆化以获得更好的性能，或者尝试用不同的方法来生成和处理这个令人愉快的奇怪数字序列。

虽然 Woodall 数可能还没有主要的实际应用，但它们以其奇特而对称的特性继续吸引着数学家、程序员和解谜爱好者，这些特性正等待着被进一步探索。

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