C++ 中最大化具有唯一元素大小的容器

在本文中，我们将讨论如何在 C++ 中通过几种方法最大化具有唯一元素大小的容器。

问题陈述

给定一个大小为 N 的数组 elements[]，其中 elements[i] 表示元素 i 最多可以使用 elements[i] 次，任务是以元素形成最大数量的容器。每个容器必须包含不同的元素（没有容器应该包含重复的元素），并且每个容器的大小必须不同。

示例 1

输入

elements[] = {3, 1, 5}, N = 3

输出

3

说明

我们可以使用 0 最多 3 次，使用 1 最多两次，使用 2 最多 5 次

• 容器 1：[2]
• 容器 2：[0, 2]
• 容器 3：[0, 1, 2]

因此，最大输出为 3，因为每个容器的大小都不同，并且每个容器都包含唯一的元素。

示例 2

输入

element[] = {3, 3, 12, 200}, N = 4

输出

4

说明

我们可以使用 0 最多 3 次，使用 1 最多 3 次，使用 2 最多 12 次，使用 3 最多 200 次。

• 容器 1：[3] - 使用值为 3 的元素。
• 容器 2：[3, 2] - 使用值为 3 和 2 的元素。
• 容器 3：[3, 2, 1] - 使用值为 3、2 和 1 的元素。
• 容器 4：[3, 2, 1, 0] - 使用值为 3、2、1 和 0 的元素。

因此，最大输出为 4，因为每个容器的大小都不同，并且每个容器都包含唯一的元素。容器的构建方式是为了利用可用元素，从而最大化形成的容器数量。

暴力破解法

此问题的暴力方法将涉及生成所有可能的容器组合，并检查哪种组合满足问题陈述中提到的条件。然而，随着数组大小的增加，这种方法变得不切实际，并且组合的数量随着输入大小呈指数级增长。

暴力方法将需要嵌套循环来迭代所有可能的组合，使其效率低下且计算成本高昂。

C++ 代码

输出

Maximum number of vessels: 3

说明

1. 头文件包含

在此示例中，代码包括必要的头文件，如<iostream>, <vector>, 和 <algorithm>。

2. 命名空间

使用 namespace std; 语句通过允许使用标准 C++ 标识符而不使用 std:: 前缀 来简化代码。

3. 函数 maximumVesselsBruteForce

• 此函数接受一个表示容器容量的整数向量 elements 和一个表示容器数量的整数 N。
• 它将 maxVessels 初始化为 0，该变量最终将存储可以形成的容器的最大数量。
• 之后，函数使用位掩码（子集）迭代所有可能的容器子集。
• 对于每个子集，它计算总负载 (currentLoad) 和子集中的容器数量（count）。
• 它根据条件 currentLoad >= (count * (count + 1)) / 2 检查当前子集是否有效。
• 如果有效，它将 maxVessels 更新为最大计数。
• 函数返回最大容器数量。

4. main 函数

• 在 main 函数中，给出了一个示例，其中 N = 3 且 elements = {3, 1, 5}。
• 使用这些参数调用 maximumVesselsBruteForce 函数，并将结果打印出来。

5. 示例

• 对于输入 N = 3 和 elements = {3, 1, 5}，考虑的子集是 {}、{3}、{1}、{5}、{3, 1}、{3, 5}、{1, 5}、{3, 1, 5}。
• 在这些子集中，{3, 1, 5} 是唯一有效的子集（满足条件 currentLoad >= (count * (count + 1)) / 2）。
• 因此，程序的输出是 3，因为有效子集中最大容器数量为 3。

注意：此方法的时间复杂度为指数级，对于较大的输入规模不可扩展。

时间和空间复杂度

时间复杂度

• 时间复杂度的主要贡献者是嵌套循环
• 外部循环的运行时间为 O(2^N)，其中 N 是容器的数量，因为它迭代了所有可能的子集。
• 内部循环的运行时间为 O(N)，其中 N 是容器的数量，因为它迭代了每个子集中的元素。

因此，整体时间复杂度为 O(N * 2^N)。

空间复杂度

• 空间复杂度由函数中使用的附加变量（currentLoad 和 count）决定，这些变量占用恒定空间。
• 递归堆栈也对空间复杂度有贡献。
• 因此，由于递归堆栈，整体空间复杂度为 O(N)。

最优解决方案

为了找到最佳解决方案，我们需要设计一种策略，有效地识别满足给定条件的最大容器数量。

最佳解决方案根据频率和原始索引对元素进行排序，并使用pair的向量。它使用集合有效地跟踪已使用的元素，确保每个容器都有唯一的元素。该方法是可扩展的，与暴力方法相比提供了更有效的解决方案，特别适用于较大的输入规模。排序和集合的使用使得识别和最大化具有唯一元素大小的容器的算法更快。保留原始索引确保最终结果保持输入数组中元素的顺序。

C++ 代码

输出

Maximum number of vessels: 4

说明

1. 函数 countMaximumVessels

• 此函数接受一个整数向量 vesselCapacities，表示容器的容量，以及一个整数 numberOfVessels，表示容器的总数。
• 它将 vesselCapacities 向量按升序排序。

2. 变量

• currentLoad：它跟踪容器的当前总负载。
• maximumVessels：它跟踪可以形成的容器的最大数量。

3. 迭代容器容量

• 函数遍历排序向量中的每个容器容量。
• 对于每个容量，它将容量添加到 currentLoad
• 之后，它根据条件 currentLoad >= ((maximumVessels + 1) * (maximumVessels + 2)) / 2 检查当前负载是否足以容纳下一个容器。
• 如果条件为真，则增加 maximumVessels，因为这意味着当前负载可以容纳额外的容器。

4. 返回

• 函数返回计算出的 maximumVessels，表示可以形成的容器的最大数量。

5. Main 函数

• 在 main 函数中，给出了一个示例，其中 numberOfVessels = 4 且 vesselCapacities = {3, 3, 12, 200}。
• 使用这些参数调用 countMaximumVessels 函数，并将结果存储在变量 result 中。

时间和空间复杂度

时间复杂度

• 主要耗时操作是对 vesselCapacities 向量进行排序，该向量的时间复杂度为 O(N log N)，其中 N 是向量中的元素数量。
• 随后对排序向量的迭代具有O(N) 线性时间复杂度。
• 因此，整体时间复杂度为 O(N log N + N)，化简为 O(N log N)。

空间复杂度

• 空间复杂度由函数中使用的附加变量（currentLoad 和 maximumVessels）决定，这些变量占用恒定空间。
• 排序通常在 C++ 中就地完成，因此不计入空间复杂度。
• 因此，整体空间复杂度为 O(1) 或常数。