C++ 中的 Shamir 秘密共享算法

沙米尔秘密共享算法简介

沙米尔秘密共享算法是用于将秘密分割成秘密份额的技术之一，这些秘密份额分发给一组参与者，当达到某个最小数量（称为阈值或 k）的参与者聚集在一起时，就可以重构出原始秘密。这意味着任何一个单独的份额都无法透露关于原始秘密的任何信息。

该算法基于多项式插值和有限域算术的思想。秘密 S 被编码为一个随机生成 k-1 次多项式的常数项。每个参与者获得多项式在不同点上的评估值作为份额。秘密的重构是通过使用拉格朗日插值结合这些份额来完成的。

沙米尔秘密共享在密钥安全管理、敏感信息的秘密存储以及实现去中心化信任系统中具有直接应用。鉴于其数学基础保证了少于 k 个份额无法提供关于秘密的任何信息，沙米尔秘密共享是安全的。

该算法的简洁性、设置阈值的灵活性以及强大的安全特性，使其成为当前加密系统中应用广泛的支柱，特别是在需要强大的机密性和防泄露保护的场景中。

沙米尔秘密共享算法的数学基础

沙米尔秘密共享算法的数学基础源于多项式插值和有限域算术，这确保了秘密共享的机密性和安全性。

1. 多项式插值

该算法使用一个 k-1 次的多项式

P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_k-1x^k-1

其中

• a₀ 代表秘密 S。
• a₁,a₂,…a_k-1 是随机选择的系数，以引入随机性。

给定多项式上的 k 个不同点，就可以使用拉格朗日插值重构秘密。重构的公式为

其中 (x_i,y_i) 是给定的点（份额）。

2. 有限域算术

该算法在一个有限域 GF(p) 中 运行，其中 p 是一个大于秘密的素数。算术运算以模 p 进行，这样就不会发生溢出，并且随机系数可以均匀分布。

3. 阈值属性

必需的 k-1 确保了任何 k 个点都足以重构秘密，而少于 k 个点则绝对无法获取关于秘密的任何信息。这是因为一个 k-1 次的多项式可以由 k 个点唯一确定。

这些数学原理确保了算法的安全性，因此，它是一种非常强大的安全且可信赖的秘密共享方法。

在 C++ 中实现沙米尔秘密共享算法

输出

 
Secret is divided into 4 parts:
1 462
2 859
3 1356
4 1853
We can reconstruct the secret from any 2 parts.
Reconstructed Secret: 65   

说明

1. 输入参数
   • secret: 要安全共享的秘密，例如 65。
   • totalShares: 要生成的份额数量（例如 4）。
   • threshold: 重构秘密所需的最小份额数（例如 2）。
2. 共享秘密
   shareSecret 函数执行以下步骤：
   • 生成随机多项式
     • 生成一个阈值 - 1 次的多项式。
     • secret 是常数项。P(0)=secret
     • 为其余系数选择随机值。
       例如，对于阈值 = 2：P(x)=65+397x
   • 生成份额
     • 每个份额是多项式上的一个点：(x,P(x))。
     • 在 x=1,2,3,4 处评估 P(x)
     • 这些份额分发给参与者。
3. 秘密重构过程
   reconstructSecret 函数使用拉格朗日插值来重构秘密。
   • 选择份额
     • 可以使用任何阈值数量的份额，例如 (1, 462) 和 (2, 859)。
   • 拉格朗日插值
     • 该算法恢复多项式 P(x) 并找到常数项 P(0)，即秘密。
     • 对于 P(0)，表达式简化为

沙米尔秘密共享算法的特性

1. 基于阈值的重构
   • 该算法将一个秘密分割成 N 份，但其中任何 K（阈值）份都可以重构出秘密。
   • 少于 K 份则什么也无法揭示，但任何 K 份或更多份都可以重构出秘密。
2. 完美保密性
   • 该算法在数学上保证任何少于 K 份的份额无法重构出秘密。
   • 这是通过提供多项式系数的随机性来实现的。
3. 数学上的简洁性
   • 它建立在简单的多项式插值和模运算之上，这使得它在计算上非常高效。
4. 数据完整性和弹性
   • 秘密可以安全地与 N 方共享，即使丢失了一些份额，也可以从任何 K 个有效份额中重构出来。
5. 可扩展性
   • 份额数量 N 和阈值 K 也是可以根据冗余和安全需求配置的参数。
   • 该算法支持大群体，计算开销很小。
6. 安全性
   • 基于有限域 GF(p) 构建，其中 p 是素数，通过份额可以防止秘密和信息泄露，因此被认为是安全的。
7. 去中心化信任
   • 在多方参与的情况下，参与者在不合作的情况下无法恢复秘密。这意味着信任在整个系统中是去中心化的。
8. 广泛的适用性
   • 分布式密钥管理、安全备份、加密协议以及多方计算。
9. 抗共谋性
   • 由于多项式的随机性，拥有少于 K 份份额的人无法合谋获取秘密。
10. 高效重构
    • 使用拉格朗日插值，可以从任何 K 份份额中高效地重构出秘密。

沙米尔秘密共享算法的缺点

1. 份额管理复杂
   • 该算法在处理 N 个份额时需要极其谨慎；如果丢失了 K 个或更多的份额，将确保一个无法再次恢复的值。
   • 提供份额可用性以及安全性需要额外的操作开销。
2. 不支持动态更改阈值
   • 阈值 K 在建立时是固定的，但无法在不重新创建新份额并进行后续分发的情况下进行更改，这在动态环境中处理时可能很不方便。
3. 计算开销
   • 虽然该方案非常适合小秘密，但计算份额和重构将取决于插值，这对于大秘密或资源受限的环境来说可能成本高昂。
4. 缺乏身份验证
   • 算法本身不提供份额的身份验证。恶意参与者可能会提供无效份额来影响重构过程。
5. 存储开销
   • 每个份额的大小通常与秘密相同，如果有大量份额或非常大的秘密，可能需要大量的存储空间。
6. 单次使用的多项式
   • 对于每个新秘密，都必须构建一个不同的多项式；没有多少机会可以重用多项式。
7. 对错误份额没有容错能力
   • 该算法依赖于重构过程中使用的所有 K 个份额都是有效的。如果 K 个份额包含错误值，那么重构将不安全或产生错误的值。
8. 需要初始信任设置
   • 它需要一个受信任的设置来生成和分发份额。如果此过程失败，秘密的安全性可能会受到损害。
9. 有限域约束
   • 它基于有限域 GF(p) 运行。p 的值需要是一个素数，并且必须大于秘密。这在搜索和处理方面相当麻烦。
10. 不适用于实时应用
    • 对于需要秘密恢复的实时应用，插值时间和多项式评估时间不太可能令人满意。

沙米尔秘密共享算法的应用

1. 密码学密钥管理
   • 分布式密钥存储：密钥被分割并分发给多个参与者，没有任何一个参与者拥有完整的密钥。
   • 安全备份：数据库或其他敏感系统的加密密钥的冗余备份。
2. 多方访问控制
   • 用于对资源（如金库、系统或文档）的访问进行授权，只有当一定数量的利益相关者同意提供他们的份额并同意访问该资源时，才能授予访问权限。
3. 区块链和去中心化系统
   • 阈值钱包：加密货币钱包的私钥被分割并分发给一组受托人。
   • 共识机制：通过要求 K-of-N 参与者验证交易来提高分布式账本系统的安全性。
4. 数据保护和备份
   • 保护敏感数据，如公司机密，这些数据被分割并分发到多个地点或给不同的人。
   • 即使一些份额损坏或丢失，也可以进行重构。
5. 安全投票系统
   • 通过分割管理选票或计票结果的加密密钥，来维护分布式投票系统的完整性。
6. 云安全
   • 在多云环境中，份额分散在多个云提供商之间，确保任何单一提供商无法访问全部数据。
7. 军事和政府应用
   • 安全地分发发射代码或机密信息，确保任何个人无法单独访问。
8. 数字资产访问
   • 通过将密码、数字签名或证书等敏感信息分割成份额，并将它们分发给受托人或备份系统，来提供有力的保护。
9. 物联网安全
   • 主要依赖于物联网中使用的加密密钥或数据的加密，以确保份额在系统中的多个节点之间进行分割。
10. 电子投票系统
    • 允许将解密密钥分配给选举官员，以便获得的选票计数保持私密且防篡改。

结论

总而言之，沙米尔秘密共享算法是一种有影响力的密码学分发技术，它能将一个秘密安全地分发给多个参与者，同时提供强大的机密性和强大的弹性。它利用多项式插值以及有限域算术，确保了少于阈值数量的份额不会泄露关于秘密的任何信息。事实上，该算法几乎广泛应用于加密密钥管理、安全备份、区块链安全和多方访问控制等领域。

然而，该算法的优点伴随着一些缺点，例如份额管理的复杂性和对受信任初始化的敏感性。从其数学健壮性的角度来看，其灵活性和可扩展性使其成为去中心化信任和安全数据共享的众多工具中的一部分。因此，沙米尔秘密共享仍然是安全系统的基石之一，通过安全的基于阈值的重构来确保隐私，保护敏感信息免受未经授权的访问和数据泄露。