C++ 中的普罗思数

Proth 数是形如 N = k⋅2n + 1 的正整数，其中 k 是一个奇正整数，n 是一个正整数，且 2n > k。这些数字对于素性检验和数论很重要。Proth 素数是素数形式的 Proth 数。Proth 定理提供了一种确定这些数是否为素数的方法。密码学和数学研究都使用 Proth 数。在程序上，它们可以通过确认其结构并使用素性检查算法（如模运算）在 C++ 中识别。

确定 Proth 数序列的公式

由于 k 是一个奇正整数，n 是一个正整数，因此 2ⁿ > k。

Proth 素数：在数论中，Proth 数被广泛研究，并在素性检验中发挥重要作用。

要点

C++ 中 Proth 数的几个关键点如下

1. 形式：Proth 数的数学表示形式定义了它。
2. Proth 定理
   Proth 数 N = k⋅2ⁿ + 1 是素数，如果存在整数 x 使得：x^(N-1)/2=-1(Mod N)。
3. 应用：Proth 数在密码学、素性检验和其他计算数学领域都有应用。

示例

对于 K=1 且 n=2：N = 1⋅2² + 1=5（这是一个素数）

对于 K=3 且 n=3：N = 3⋅2³ + 1=25（这不是素数）

对于 K=5 且 n=6：N = 5⋅2⁶ + 1=321（这不是素数）

Proth 数的方法

• 输入要检查条件的数字。
• 使用提供的公式确定给定的数字是否为 Proth 数。
• 当条件的值被打印时，显示一个 Proth 数。
• 如果不是真，则该数字不是 Proth 数。

验证数字是否为 Proth 素数和 Proth 数的算法

1. 输入
   一个正整数 N。
2. 检查 Proth 数
   • 如果 N≤0 或 N−1 不能被 2 整除，则返回 false。
   • 计算 k 为 N−1。
   • 当 k 是偶数时，不断将 k 除以 2，并计算除法的次数 (n)。
   • 如果 k 是奇数且 2ⁿ >k，则 N 是 Proth 数；否则，它不是。
3. 检查 Proth 素数（可选）
   • 如果 N 不是 Proth 数，则返回 false。
   • 计算指数=(N−1)/2。
   • 对于从 2 到 N−1 的整数 X：
     1. 如果 X^指数 mod N=N−1，则 N 是 Proth 素数。
   • 如果没有找到这样的 X，则 N 不是 Proth 素数。

输出：指示 N 是否为 Proth 数和/或 Proth 素数。

伪代码

示例 1

让我们以一个例子来说明 C++ 中的 Proth 数。

输出

Enter a number to check if it is a Proth number: 24
24 is not a Proth number.
Enter a number to check if it is a Proth number: 36
36 is not a Proth number.
Enter a number to check if it is a Proth number: 301
301 is a Proth number!
Enter a number to check if it is a Proth number: 321
321 is a Proth number!   

说明

• 该程序从给定的 N 中删除 k 以检查它是否是 Proth 数。
• 它确保 N 遵循 Proth 数的格式。
• 如果满足所有要求，则已确认 N 是 Proth 数。

示例 2

让我们再举一个例子来说明 C++ 中的 Proth 数。

输出

Enter a number to check if it is a Proth number: 25
25 is a Proth number.
However, 25 is not a Proth prime.
Enter a number to check if it is a Proth number: 321
321 is a Proth number.
However, 321 is not a Proth prime.
Enter a number to check if it is a Proth number: 121
121 is not a Proth number.   

说明

1. Proth 数检查
   N = k⋅2ⁿ + 1 是通过提取 k 并验证 2ⁿ >k
2. Proth 素数检查
   x^(N-1)/2 Mod N= N-1
3. 输出：它显示 N 是否为 Proth 素数或 Proth 数。

示例 3

这是另一个 C++ 程序的示例，可用于验证给定数字是否为 Proth 数。为了提高效率，它还可以使用模运算来检查 Proth 素性。

输出

Enter a number to check if it is a Proth number: 13
13 is a Proth number.
Additionally, 13 is a Proth prime!
Enter a number to check if it is a Proth number: 25
25 is a Proth number.
However, 25 is not a Proth prime.   

结论

总之，这些Proth 数被定义为符合 N = k⋅2ⁿ + 1 形式并满足某些要求的整数，这对于计算数学和数论至关重要。这是因为素性检验非常依赖这些数字，尤其是在确定既是素数又是 Proth 数的 Proth 素数时。我们必须使用 Proth 定理来寻找 Proth 素数，但是 Proth 数可以通过计算机通过简单的结构属性检查来验证。这些概念通过迭代检查和模运算方法很好地转化到 C++ 中。理论的辉煌和实际的应用可以在高级数学和密码学中相遇，正如 Proth 数所展示的那样。