C++ 基于 DFA 的除法

在本文中，您将学习 C++ 中基于 DFA 的除法及其示例。

使用确定性有限自动机 (DFA) 检查可除性

使用确定性有限自动机 (DFA) 进行除法是一种可以高效地在硬件中实现整数除法的技术。其基本思想是构建一个 DFA，逐位识别表示除法过程的字符串。

如果您想除两个 n 位整数 A 和 B，您可以构建一个具有 2n+1 个状态的 DFA，它一次计算 A/B 的一位，从最高有效位到最不重要的位。

步骤如下：

1. 构建一个具有 2n+1 个状态的 DFA，标记为 0 到 2n。状态 0 是起始状态，状态 2n 是接受状态。
2. DFA 的转移函数基于除法算法定义：
   1. 如果当前状态 + A 的下一位小于 B，则通过左移并加上 A 的下一位来获得新状态。
   2. 否则，通过左移，加上 A 的下一位并减去 B 来获得新状态。
3. 当 DFA 到达接受状态 2n 时，它接受，此时除法完成。
4. 商通过记录每个状态中执行的减法次数来获得。余数是最后到达的状态。

它可以在 C++ 中使用具有转移表、当前状态、查找函数等的 DFA 类来实现。除法可以通过逐位遍历 DFA 来执行，同时跟踪商和余数。

DFA 方法的优点是它只需要简单的比较、加法和减法，这使其在硬件中非常快速。它可以使用固定大小的 DFA 在 O(n) 时间内计算 n 位除法。

示例

这是使用除以 3 的示例对基于 DFA 的除法的另一种解释：

关键思想是构建一个具有 k 个状态的 DFA，其中 k 是除数。状态表示可能的余数 0 到 k-1。

转移函数基于以下内容：

• 当前状态 = 到目前为止的余数
• 下一个输入位 = 0 或 1
• 下一个状态 = (2 * 当前状态 + 输入位) % k

它在左移并添加新位后计算新余数。模 K 将其映射回 k 个状态之一。

例如，检查一个二进制数是否可被 3 整除 (k=3)：

• 状态 = {0, 1, 2}
• 起始状态 = 0
• 最终状态 = 0 (余数为 0 意味着可被 3 整除)

转移

• 状态 0，输入 0 -> 0 (2*0 + 0 = 0 % 3 = 0)
• 状态 0，输入 1 -> 1 (2*0 + 1 = 1 % 3 = 1)
• 状态 1，输入 0 -> 2 (2*1 + 0 = 2 % 3 = 2)
• 状态 1，输入 1 -> 0 (2*1 + 1 = 3 % 3 = 0)
• 状态 2，输入 0 -> 1 (2*2 + 0 = 4 % 3 = 1)
• 状态 2，输入 1 -> 2 (2*2 + 1 = 5 % 3 = 2)

将 6 (二进制 110) 除以 3：

• 从状态 0 开始
• 输入 1 -> 新状态 1
• 输入 1 -> 新状态 0
• 输入 0 -> 新状态 0

到达最终状态 0，因此 6 可被 3 整除。

对于 4 (二进制 100)：

• 从状态 0 开始
• 输入 1 -> 新状态 1
• 输入 0 -> 新状态 2
• 输入 0 -> 新状态 1

以非零状态结束，因此余数为 1。

这种 DFA 方法允许在 O(n) 时间内进行除法，并具有简单的状态转换。最终状态给出余数，指示数字是否可被整除。

C++ 代码实现

输出

Enter the dividend (as an integer): 1234
Enter the divisor (as an integer): 2
Result: 617